Obliczanie sił w prętach kratownicy metodą Henneberga

ZADANIE DODATKOWE.
OBLICZENIE SIŁ W PRĘTACH KRATOWNICY
METODĄ HENNEBERGA.
1. Geometryczna niezmienność:
Kratownica poniżej jest przytwierdzona do podłoża w sposób zapewniający jej
stabilność. Problem w tym, że kratownica ta nie składa się z samych trójkątów, więc
może być zmienna. Część dolna, a więc pręty 1, 2, 3, 7, 10, to dwa trójkąty, więc ta
część jest stabilna. Pręt 8 i 13 potraktujmy jako tarcze, które:
a) tarcza 8 jest przymocowana do części stabilnej prętami 6 i 9, na przecięciu
których powstaje przegub 8, 9.
b) równocześnie tarcza ta jest przytwierdzona do tarczy 13 prętami 5 i 12, na
przecięciu których powstaje drugi przegub 5, 12.
c) tarcza 13 jest przytwierdzona do części stabilnej prętami 4 i 11, których
przegub znajduje się w nieskończoności.
Ze względu na fakt, że te trzy przeguby nie leżą na jednej prostej, górna część
kratownicy jest geometrycznie niezmienna, a co za tym idzie całość jest
geometrycznie niezmienna.
2p=w+r
16=13+3
Zadanie dodatkowe
1
Adam Łodygowski

Metoda Henneberga polega na usunięciu jednego pręta i wstawieniu go gdzie indziej, ale w
ten sposób, żeby zachowana była nadal geometryczna niezmienność. Zabieg tan ma na celu
wyłapania więzu, od którego można by było rozpocząć obliczenia analityczne (max 2
niewiadome). Po przestawieniu jednego pręta należy skorzystać z zasady superpozycji:
najpierw obliczyć całą kratę dla obciążeń zewnętrznych P, zaniedbując siłę x powstałą w
wyniku usunięcia pręta, a następnie obliczyć kratę tylko dla powstałej siły x. Siła w
poszczególnych prętach wyraża się wzorem:
( P)
( x1=
1)
S
k
= S
z
+ x1
⋅ S
z
Gdzie:
- siła w pręcie od obciążeń P,
(P)
S z
(x=1)
S z
- siła w pręcie od obciążeń x=1,
X 1 to prawdziwa siła występująca w usuniętym pręcie. Można ją obliczyć dzięki znajomości
sił w pręcie, który dowolnie wstawiliśmy, a które musza być równe 0, bo w rzeczywistości
tego pręta nie ma.
KRATOWNICA:
W moim przypadku usunąłem pręt 13 i wstawiłem go gdzie indziej (niebieski). Celem
zadania będzie obliczenie sił w prętach przy obciążeniu P (rys str.1), dla których obliczam
siły reakcji:
X = 8 + H = 0
∑
H
V
b
a
∑
∑
= −8kN
M
a
= 17kN
Y = V
= 7 ⋅8
+ 10 ⋅8
−V
a
a
+ 17 −10
= 0
b
⋅8
= 0
Va
= −7kN
a następnie obliczenie sił w prętach dla obciążenia jednostkowego x=1 (rys)
Zadanie dodatkowe
2
Adam Łodygowski

Obliczam siły w więzach:
Dla obciążeń x=1:
Dla obciążeń P (zewnętrznych):
Węzeł A:
X = 1+
cos 45 ⋅ S
∑
S
S
5
∑
4
= −1,4142kN
X = 1,4142 ⋅sin 45 − S
= 1kN
5
= 0
4
= 0
Węzeł A:
X = 8 + S
∑
S
S
5
∑
4
= −11,3137kN
Y
= −S
= 8kN
4
5
⋅sin 45 = 0
+ 11,3137 ⋅ cos 45 = 0
Węzeł B:
Y = 1,4142 ⋅sin 45 + S
∑
S
S
6
∑
8
= −1kN
X = S
8
= −1kN
= 0
+ 1,4142 ⋅ sin 45 = 0
6
Węzeł B:
Y = −11,3137
⋅ sin 45 − S
∑
S
S
6
∑
8
= −8kN
X = cos 45⋅11,3137
+ S
= −8kN
8
6
= 0
= 0
Węzeł C:
Y = 1+
S
∑
S
S
3
∑
7
3
= −1,2018kN
X = 1,2018 ⋅sin 33,69 + S
− 0,666kN
⋅sin 33,69 = 0
7
= 0
Węzeł C:
Y = 8 + S
∑
S
S
3
∑
7
= −9,6148
X = S
7
3
= −5,333kN
⋅ cos33,69 = 0
− 9,6148⋅
sin 33,69 = 0
Zadanie dodatkowe
3
Adam Łodygowski

Węzeł D:
Y = 1−1,2018⋅
cos33,69 + S
∑
S
2
∑
= 0
X = −1,2018⋅
sin 33,69 + S
= 0
S1
= 0,666kN
Węzeł E:
X = −S
⋅ cos56,3 − 0,666 = 0
∑
S
10
∑
10
= −1,2017kN
Y = −1,2017
⋅sin 56,3 + S
S11
= 1kN
Węzeł F:
X = 0,66 −1,2017
⋅ cos56,3 +
∑
S
S
13
∑
⋅ cos63,43 − S
Y = S
1,2017 ⋅ sin 56,3 = 0
9
9
= −0,55kN
9
11
1
2
= 0
cos63,43 = 0
⋅ sin 63,43 + 13⋅
sin 63,43 +
⋅ sin 26,56 = 0
S13
= −0,55kN
Węzeł G:
Y = S ⋅sin 33,69 + 0,55 ⋅sin 56,3 = 0
∑
S
12
∑
12
= −0,825kN
X = 1−
0,825 ⋅ cos33,69 − 0,55 ⋅ sin 56,3 = 0
L = P
Węzeł H (jako sprawdzenie):
X = −1+
0,825 ⋅ cos33,69 + 0,55 ⋅ cos63,43 = 0
∑
L = P
∑
Y
L = P
= −1+
0,825 ⋅sin 33,69 + 0,55 ⋅sin 63,43 = 0
Węzeł D:
Y = 8 − 7 − 9,6148⋅
cos33,69 + S
∑
S
2
∑
= 15,6524kN
X = −8
− 9,6148⋅
sin 33,69 + 15,6524 ⋅ cos 26,56 + S
S1
= −0,667kN
Węzeł E:
X = 0,667 − S
∑
S
10
∑
= 1,201kN
Y = 17 + S
11
10
⋅ cos56,3 = 0
+ 1,201⋅
sin 56,3 = 0
S11
= −18kN
Węzeł F:
X = 5,334 −15,6525⋅
cos 26,56 − S
∑
S
S
S
13
∑
9
9
⋅ cos63,43 + 1,201⋅
cos56,3 = 0
Y
sin 63,43 + S
= −4,4725kN
sin 63,43 = 0
S13
= 13,4155kN
Węzeł G:
X = 8 − 4,4725 ⋅ cos63,43 + S
∑
S
12
∑
Y
2
⋅ sin 26,56 = 0
⋅ cos63,43 +
= −15,6525⋅
sin 26,56 −1,201⋅
sin 56,3 +
= −7,211kN
13
= −7,211⋅sin 33,69 + 4,4725 ⋅sin 63,43 = 0
L = P
Węzeł H (jako sprawdzenie):
X = −13,4155
⋅ cos63,43 + 7,211⋅
cos33,69 = 0
∑
L = P
∑
Y
L = P
12
9
⋅ cos33,69 = 0
1
= 0
= −10
+ 18 −13,4155
⋅sin 63,43 + 7,211⋅sin 33,69 = 0
Wykorzystując znajomość S 13 przy dwóch różnych obciążeniach (wiemy, że w
rzeczywistości go nie ma więc jest równy 0) możemy obliczyć siłę X 1 =S 13 przed
usunięciem go z jego właściwego miejsca:
S
S
x
( P)
13
( x = 1)
13
1
= 13,4155kN
1
= −0,55kN
= 24,4kN
Zadanie dodatkowe
4
Adam Łodygowski

Teraz pozostaje przemnożyć wyniki dla x 1 =1 przez wartość siły x 1 a następnie zsumować, w
myśl wzory ze strony 2.
Tabela wyników
( = 1)
1
=
( = 1)
2
=
( = 1)
3
−
S x 0, 666kN
S x 0kN
S x = 1, 201kN
( = 1)
4
=
( = 1)
5
−
S x 1kN
S x = 1, 414kN
( = 1)
6
−
S x = 1kN
( = 1)
7
−
S x = 0, 667kN
( = 1)
8
−
S x = 1kN
( = 1)
9
−
S x = 0, 55kN
( = 1)
10
−
S x = 1, 201kN
( = 1)
11
=
S x 1kN
( = 1)
12
−
S x = 0, 825kN
(
S P )
= 0, 667kN
S = 1
15, 583kN
1
−
(
S P )
2
= 15, 652kN
S = 2
15, 652kN
(
S P )
= 9, 614kN
S3 = −38, 93kN
3
−
(
S P )
4
= 8kN
S = 4
32, 4kN
(
S P )
= 11, 313kN
S5 = −45, 82kN
5
−
(
S P )
= 8kN
S6 = −32, 4kN
6
−
(
S P )
= 5, 334kN
S7 = −21, 6kN
7
−
(
S P )
= 8kN
S8 = −32, 4kN
8
−
(
S P )
= 4, 472kN
S9 = −17, 89kN
9
−
(
S P )
10
= 1, 201kN
S10 = −28, 12kN
(
S P )
= 18kN
S = 11
6, 4kN
11
−
(
S P )
= 7, 211kN
S
2
= −27, 34kN
12
−
Zadanie dodatkowe
5
Adam Łodygowski