rama przestrzenna 3 - Instytut Konstrukcji Budowlanych - Poznań

Politechnika Poznańska Poznań, dnia 07.03.2004 r.
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
Ćwiczenie nr 1
Obliczanie ramy przestrzennej metodą sił
Sprawdził:
dr inż. P. Litewka
Wykonał:
Piotr Siniecki
grupa III
2003/2004

Rama przestrzenna strona 2
Dla ramy przedstawionej na poniższym rysunku należy wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych
wywołanych zadanym obciążeniem.
Należy przyjąć, że rama składa się z prętów stalowych o przekroju kołowym
G = 0,385 E
Is = 2 I
GIs = 0,77
z
y
x
4
2
2
3 3
3 kN/m
10 kN
4
2 2
3 3
Piotr Siniecki grupa III

Rama przestrzenna strona 3
SSN = 2
Dobieram układ podstawowy oraz zapisuję układ równań kanonicznych
3 kN/m
10 kN
x1 = 1
x2 = 1
4
2 2
3 3
⎧δ
X
11
⎨
⎩δ
21X
1
1
+ δ X
12
+ δ X
22
2
2
+ δ
+ δ
1P
2 P
= 0
= 0
przy obliczaniu δ
ik
korzystam z następującego wzoru
1 ⋅
δ ik
=
∑∫
y
M ⋅ M
i
EI
y
y
k
dx +
∑∫
z
M ⋅ M
i
EI
z
z
k
dx +
∑∫
m ⋅ m
i k
dx
GI
s
Piotr Siniecki grupa III

Rama przestrzenna strona 4
Stan X1 = 1
x1 = 1
4
2 2
3 3
Wykresy momentów zginających [m]
2
3
2
3
4
2
3
2 2
3 3
M1
Piotr Siniecki grupa III

Rama przestrzenna strona 5
Wykresy momentów skręcających [m]
-3
-3
4
2 2
3 3
m1
Stan X2 = 1
x2 = 1
4
2 2
3 3
Piotr Siniecki grupa III

Rama przestrzenna strona 6
Wykresy momentów zginających [m]
4
4
4
4
2 2
3 3
M2
Wykresy momentów skręcających [m]
4
4
4
4
4
2 2
3 3
m2
Piotr Siniecki grupa III

Rama przestrzenna strona 7
Stan P
3 kN/m
10 kN
4
2 2
3 3
Wykresy momentów zginających [kNm]
30
24
48
20
20
54
4
20
6
2 2
3 3
MP
Piotr Siniecki grupa III

Rama przestrzenna strona 8
Wykresy momentów skręcających [kNm]
2 2
3 3
4
-24
-24
-54
-54
-48
-48
mP
2463,792
4)
4
48
4
2
54
4
2
24
(
0,77
1
6)
3
1
54
3
2
(
4
4
2
1
48
3
2
4
4
2
1
4
4
3
4
24
3
1
594,133
54)
2
(3
0,77
1
30
4
3
20
4
2
20
3
2
2
2
2
1
230,234
4)
4
4
4
4
(4
0,77
1
4
3
2
4
4
2
1
4
3
2
4
4
2
1
4
3
2
4
4
2
1
55,169
4)
2
3
(
0,77
1
3
4
4
2
1
87,043
3)
2
(3
0,77
1
3
4
3
2
4
2
2
3
2
2
2
2
1
3
3
2
3
3
2
1
2
1
22
12
11
= −
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
+
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
= −
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
= −
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
= −
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
= −
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
P
P
EI
EI
EI
EI
EI
δ
δ
δ
δ
δ
Piotr Siniecki grupa III

Rama przestrzenna strona 9
⎧87,043
55,169 594,113
⎪
X − X + = 0
1
2
EI EI EI
⎨
⎪−
55,169 230,234 2463,792
X
1
+ X
2
− = 0
⎩ EI EI EI
X1 = -0,051 kN
X2 = 10,689 kN
3 kN/m
10 kN
0,051
10,689
4
2 2
3 3
Obliczenie momentu maksymalnego
1,311
x 4-x
4
10,689 1,311
= ⇒
x 4 − x
M
max
(3,563) = 19,042
x = 3,563
kNm
10.689
Piotr Siniecki grupa III

Rama przestrzenna strona 10
Wykresy momentów zginających w ramie przestrzennej statycznie niewyznaczalnej [kNm]
30
18,756
0,153
19,042
20,102
5,244
11,091
20,102
4
20,102
5,847
2 2
3 3
Wykresy momentów skręcających w ramie przestrzennej statycznie niewyznaczalnej [kNm]
18,756
18,756
-11,091
-5,244
-11,091
4
-5,224
2 2
3 3
Piotr Siniecki grupa III

Rama przestrzenna strona 11
Wykresy sił normalnych w ramie przestrzennej statycznie niewyznaczalnej [kN]
10,051
4
10,051
2 2
3 3
Wykresy sił poprzecznych w ramie przestrzennej statycznie niewyznaczalnej [kN]
z
y
x
10
1,311
1,311
10,051
0,051
4
10.689
1,311
2 2
3 3
Piotr Siniecki grupa III

Rama przestrzenna strona 12
Sprawdzenie kinematyczne nr 1
30
18,756
0,153
20,102
2
3
5,244
20,102
11,091
4
2
3
4
20,102
5,847
2 2
2
3
2 2
3 3
momenty zginające w stanie niewyznaczalnym
[kNm]
3 3
momenty zginające w stanie x1 = 1
[m]
18,756
18,756
-11,091
-3
-5,244
-11,091
4
-3
4
-5,224
2 2
2 2
3 3
momenty skręcające w stanie niewyznaczalnym
[kNm]
3 3
momenty skręcające w stanie x1 = 1
[m]
1⋅δ
=
1 ⎡ 1 2 1 2
⎛ 11,091−
5,847 ⎞
⋅
2 2 20,102 2 4 20,102 3 4 11,091
EI
⎢−
⋅3⋅3⋅
⋅0,153
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜
−
⎟ +
⎣ 2 3 2 3
⎝
2 ⎠
1
− 0,027
+ ⋅(3⋅
2⋅11,091)
=
0,77
EI
0,027
błąd ⋅ 100% = 0,02%
160,816
Piotr Siniecki grupa III

Rama przestrzenna strona 13
Sprawdzenie kinematyczne nr 2
30
18,756
4
0,153
20,102
5,244
11,091
4
4
20,102
4
4
20,102
5,847
3 3
2 2
momenty zginające w stanie niewyznaczalnym
[kNm]
3 3
2 2
momenty zginające w stanie x2 = 1
[m]
18,756
4
18,756
-11,091
4
-5,244
-11,091
4
4
4
-5,224
2 2
4
2 2
3 3
momenty skręcające w stanie niewyznaczalnym
[kNm]
3 3
momenty skręcające w stanie x2 = 1
[m]
1⋅δ
=
2
1 ⎡1
2 2 3⋅
4 1 1 2
⋅ ⎢ ⋅ 4⋅
4⋅
⋅18,756
+ ⋅ ⋅ 4⋅
⋅ 4 − ⋅ 4⋅
4⋅
⋅5,244
−
EI ⎣2
3 3 8 2 2 3
1
− 0,009
+ ⋅(4⋅
2⋅18,756
− 4⋅
2⋅11,091−
4⋅
4⋅5,244)
=
0,77
EI
1
2
⎛ 2 1 ⎞
⋅ 4⋅
4⋅⎜
⋅11,091+
⋅5,847⎟ +
⎝ 3 3 ⎠
0,009
błąd ⋅ 100% = 0,005%
194,868
Piotr Siniecki grupa III