Φ Φ Φ Φ - FSB

Mirko Tadić
Termodinamika
6 Otvoreni sustavi
Premda je teorija termodinamike postavljena na modelu zatvorenog sustava, dobivene
termodinamičke relacije mogu se uz dodatne pretpostavke primijeniti i na tehnički značajnije
otvorene sustave. Njih karakterizira protok mase, ṁ (kg/s), kroz granične plohe sustava, koji
je definiran kao fiksni prostor, tzv. kontrolni volumen. Na slici 6.1 prikazan je tipičan model
otvorenog sustava. Granice sustava određene su stijenkom cijevi kroz koju protječe radni
medij – idealni plin.
Ḣ ̇ +
̇
1
= U1
p1V
1
1
Φ snaga P Φ 2
dV
Ḣ ̇ +
̇
2
= U2
p2V
2
w 1 w 2
z 1 z 2
Φ toplinski tok
Φ
Slika 6.1 Karakterističan model otvorenog strujanja
Protok mase ṁ (kg/s), odnosno količine Ṅ (kmol/s), osnovna je karakteristika otvorenih
sustava. Zbog toga svi članovi u jednadžbi održanja energije (I. Zakon) imaju dimenziju J/s =
W. Umjesto o toplini govorimo o toplinskom toku, Φ 12 , a umjesto o radu govorimo o snazi,
P 12 . Početno stanje radnog medija je ulazno stanje (1), konačno stanje je izlazno stanje (2).
Ulazno i izlazno stanje opisani su s temperaturom T ili ϑ, tlakom p i protočnim volumenom
V̇ m 3 /s. Odnos protočnog volumena i protočne mase ṁ kg/s je specifični volumen v:
V̇
v = , m 3 /kg. (6.1)
ṁ
Protočni volumen je povezan s brzinom strujanja w (m/s) i površinom presjeka strujanja A
(m 2 ):
V ̇ = wA , m 3 /s. (6.2)
Energija koju radni medij unosi, odnosno iznosi iz kontrolnog volumena, sastoji se iz dva
U̇ = mu ̇ = U̇
T , J/s, te
dijela: unutarnje energije, srazmjerne protočnoj masi i temeperaturi, ( )
snazi strujanja, srazmjernoj produktu tlaka i protočnog volumena, pV
̇ , (N/m 2 )(m 3 /s) = J/s.
Ova dva oblika su energije vezane sa stanjem radnog medija, a objedinjena su pojmom
entalpije Ḣ , koja je također veličina stanja.
Po definiciji je specifična entalpija:
h = u + pv , J/kg. (6.3)
Množenjem jednadžbe (6.3) s protočnom masom ṁ slijedi da je:
H ̇ = mh ̇ = mu ̇ + pmv ̇ = U̇
+ pV̇
, J/s. (6.4)
64

Mirko Tadić
Termodinamika
Kako je entalpija veličina stanja to se ona matematički klasificira kao totalni diferencijal, što
znači da je promjena entalpije:
( − )
∆Ḣ = ̇ , (6.5)
12
m h2
h1
neovisna o procesu, tj. načinu promjene stanja radnog medija od ulaza do izlaza iz otvorenog
sustava. Zbog toga se kaže da je entalpija konzervativno svojstvo, poput mase. Uz to, entalpija
je ekstenzivna veličina, jer njena numerička vrijednost ovisi o masi.
Apsolutna vrijednost specifične entalpije h nema značaja pri opisu procesa, već samo
promjena njene vrijednosti tijekom procesa, ∆h 12 . Stoga je sasvim svejedno koje se toplinsko
stanje smatra nultim stanjem entalpije (označeno indeksom 0), tj. stanjem pri kojem je
entalpija h 0 = 0. Do izražaja dolazi samo razlika entalpija stanja (1) i (2):
( h − h ) − ( h − h ) = h − h = c ( T − T ) = C ( ϑ − )
∆h , J/kg. (6.6)
12
=
2 0 1 0 2 1 p 2 1 p 2
ϑ1
Izborom nultog stanja entalpije s h 0 = 0, tom stanju je istovremeno pripisana određena
vrijednost specifične unutarnje energije u 0 , sukladno relaciji:
u = = , J/kg. (6.7)
0
h0
+ p0v0
p0v0
To nema utjecaja na oblik računa, jer do izražaja dolazi samo razlika specifične unutarnje
energije, ∆u 12 , za koju vrijedi:
( u − u ) − ( u − u ) = u − u = c ( T − T ) = C ( ϑ − )
∆u , J/kg. (6.8)
12
=
2 0 1 0 2 1 v 2 1 v 2
ϑ1
Vidi se da je stvarna vrijednost u 0 potpuno nevažna.
Na temelju jednadžbi (6.6) i (6.8) nastaju relacije koje su korisne za proračun otvorenih
sustava:
( − h ) = mc ̇ ( T − T ) = Ṅ
C ( ϑ − )
∆Ḣ ̇
, J/s = W. (6.9)
12
= m h2
1 p 2 1
p 2
ϑ1
( − u ) = mc ̇ ( T − T ) = Ṅ
C ( ϑ − )
∆U̇ ̇
, J/s = W. (6.10)
12
= m u2
1 v 2 1 v 2
ϑ1
Primjenom jednadžbe (6.4) na stanja (1) i (2) dobijaju se dvije jednadžbe, pa se razlika stanja
(2) prema stanju (1) može izraziti kao:
∆ Ḣ
̇ ̇ ̇ . (11)
12
= ∆U12
+ p2V2
− p1V
1
Promjena entalpije obuhvaća i promjenu unutarnje energije i razliku energije strujanja s
istovremenim promjenama volumena. Radi jasnoće možemo promotriti diferencijalni oblik
jednadžbe (6.11):
( pV̇
) = dU̇
+ pdV̇
V̇
dp
dH
̇ = dU̇
+ d
+ . (6.12)
65

Mirko Tadić
Termodinamika
Značenje dU
̇ (W) jasno je od ranije, s jedinom razlikom što se preko protočne mase uvela
jedinica vremena. Član pdV
̇ je očito energija (po vremenu) koju radni medij uzima (daje) za
porast (smanjenje) svog volumen. Dakle taj član je snaga, povezana s promjenom volumena.
Posljednji član, V̇ dp , je snaga čistog strujanja bez volumenske promjene, tj. samo kao
transport u smjeru pada tlaka.
Uvođenjem pojma entalpije nestaje potreba da sve te efekte razmatramo pojedinačno!
Stanje radnog medija na ulaznom (1) i na izlaznom (2) presjeku nije jednoznačno, jer su
stanja materijalnih čestica po istom presjeku različita i po brzinama i po temperaturi!
Uzimanje u obzir tih činjenica vodi jako kompliciranom proračunu. Sukladno dosadašnjem
principu idealiziranja fizikalnog modela možemo pretpostaviti da je stanje materije po
presjeku, tj unutar proizvoljno malog volumena, dV, jedinstveno. Time će se proračun bitno
pojednostaviti, ali uz izvjesnu netočnost rezultata koja se može ustanoviti eksperimentalno.
Po potrebi, uvijek se može primijeniti kompleksniji pristup.
U narednim razmatranjima polazi se od pretpostavke jedinstvenog stanja po presjeku.
U odnosu na fizikalni model prikazan na slici 6.1 vidljivo je da zbog toplinske i mehaničke
interakcije s okolišem može doći ne samo do promjene entalpije, ∆ Ḣ12
, već i do promjene
kinetičke ∆ Ė k , 12
i potencijalne ∆ Ė p, 12
energije radnog medija. Primjena I. Zakona na takav
fizikalni model rezultira jednadžbom:
Φ − P = ∆Ḣ
+ ∆Ė
k
+ ∆Ė
, W. (I. Zakon za otvoreni sustav). (6.13)
12 12 12 , 12 p,
12
Promjena kinetičke energije može se odrediti iz jednadžbe:
2 2
w2
− w1
∆E ̇ k , 12
= ṁ
2
, W, (6.14)
pri čemu se za određivanje brzina može koristiti veza s protočnim volumenom prema
jednadžbi (6.2):
V̇
w = , m/s. (6.15)
A
Promjena potencijalne energije postoji, ako postoji razlika u poziciji presjeka, z,
( z − )
∆ ̇ ̇ , W. (6.16)
E p,
12
= mg
2
z1
Toplinska interakcija s okolišem, u obliku toplinskog toka, Φ 12 (W), odvija se pri konačnoj
razlici temperatura radnog medija (RM) i toplinskih sudionika (TS) u okolišu, tj.
ireverzibilno.
Mehanička interakcija s okolišem, u obliku snage P 12 (W), prepoznaje se kao neposredni
dodir radnog medija s pomičnim mehaničkim sudionikom (MS) i smatra se reverzibilnom, tj.
bez gubitaka.
Razmotrit će se odvojeno dvije vrste procesa radnog medija:
• ravnotežne promjene stanja (politropske),
• neravnotežne promjene stanja, kod kojih nisu ispunjeni uvjeti unutarnje toplinske
mehaničke ravnoteže.
66

Mirko Tadić
Termodinamika
Politrope otvorenih sustava
Proces u nekim važnim tehničkim uređajima može se klasificirati kao proces idealnog
radnog medija u otvorenom sustavu. Kao primjer spomenimo zračni kompresor koji je
pokretan električkim motorom. Radnom mediju, zraku, pripisuje se idealno ponašanje budući
da su stvarni tlak i temperatura tijekom procesa daleko od uvjeta pretvorbe u kapljevito stanje
(sudionika u zraku). Kao sastav zraka obično se uzima molni sastav s 21% O 2 i 79% N 2 .
Standardni sastav zraka ponešto je drugačiji. Za svojstva takvog zraka postoje numerički
podaci u odgovarajućim tablicama, pa se pri proračunu zrak smatra jednim plinom.
Radi lakšeg razumijevanja opisa rada stapnog kompresora prikazan je na slici 6.2 presjek
cilindra. Otvaranje i zatvaranje usisnog (UV) i tlačnog (TV) ventila određeno je razlikom
tlaka zraka u cilindru i tlakova u usisnom (p u ), odnosno tlačnom (p t ) vodu.
tlačni vod
štetni prostor
cilindar
p t
TV
STAPAJICA
p u
usisni vod
UV
STAP
s
stapaj
Slika 6.2 Stapni kompresor
Realni i teorijski proces zraka u kompresoru prikazani su u p-V dijagramu na slici 6.3.
Na realni proces utječu dva faktora:
• postojanje štetnog prostora u kojem uvijek ostaje dio komprimiranog zraka, koji se pri
usisu miješa s usisanim zrakom,
• inertnost usisnog i tlačnog ventila zbog koje pri usisu nastaje potlak, a pri ispuhu
pretlak – u odnosu na tlakove u usisnom i tlačnom vodu.
Teorijski proces aproksimira usis kao punjenje cilindra sa zrakom čiji se tlak i temperatura pri
tome ne mijenjaju, tj. zrak je istog stanja kao u usisnom vodu. Stoga je sekvenca usisa čisti
transport vanjskog zraka, koji je uzrokovan pokretom stapa. Stanje plina nije pod utjecajem
bilo kakve mehaničke i toplinske interakcije iz okoliša, pa zbog toga usis nije politropska
promjena. Sve točke na liniji usisa su istog stanja kao i točka označena s (1).
Nakon završetka usisa, stap kreće u suprotnom smjeru, a oba ventila su zatvorena.
Smanjivanjem volumena zrak se komprimira pri čemu raste tlak. Sekvenca kompresije smatra
se ravnotežnom promjenom, tj. politropom, pV n = konst.
Njen eksponent n ovisi o izmjeni
topline, tj. hlađenju tijekom kompresije, Φ 12 . Kompresija završava u trenutku kada je tlak u
cilindru dostigao vrijednost tlaka u tlačnom vodu.
Rad ventila kompresora nije dirigiran nikakvim drugim mehanizmom, već samo razlikama
tlaka, koje se u teorijskom procesu smatraju zanemarivo malenim, a reakcije ventila
trenutnim.
67

Mirko Tadić
Termodinamika
p
2
Realni proces
Teorijski proces
p 1
p 2
V 1
dp
{ P } okret
P = 12
n0
12
{ P } okret
= −∫V( p)
12
dp
2
1
V 2
n = konst.
V
1
V, m 3 /okret
motor
ispuh
usis
kompresija
ZRAK
Slika 6.3 Realni i teorijski proces u kompresoru
Tlačni ventil se podiže s ispušnog otvora i zrak se istiskuje u tlačni vod, prema
odgovarajućem spremniku komprimiranog zraka. Sekvenca ispuha nije politropska promjena,
već transport zraka stanja (2), kakvo je dostignuto na kraju kompresije.
Procesi koji su prikazani na slici 6.3 odnose se na jedan puni okret vratila kompresora. Zbog
toga su na apscisi volumeni po okretu, V (m 3 /okret), pa se za zadani broj okretaja n 0 (okret/s)
mora izračunati protočni volumen V̇ (m 3 /s) pomoću relacije:
V̇ = n 0
V = mv ̇ , (m 3 /s). (6.17)
Snaga motora za pogon kompresora troši se tijekom kompresije i ispuha, a dio snage se
dobiva tijekom usisa efektom inercije. Mehanička interakcija prema okolišu, tj. zatvorenom
prostoru kućišta u kome se nalazi vratilo kompresora (na slici 6.3 opisan kao zrak), se
poništava budući da se stap giba jednako u dva suprotna smjera, a gubici zbog trenja
zanemaruju.
Razultantni utrošak snage za pogon kompresora pri teorijskom procesu prikazan je u p-V
dijagramu kao površina omeđena linijama usisa, kompresije i ispuha. Ta se površina može
prikazati kao zbroj niza malih površina koje imaju smisao diferencijalno male utrošene snage,
Vdp = dP. Stoga za utrošak snage po jednom okretu vratila vrijedi jednadžba:
2
= −∫
1
{ } V ( p)
P okret
, J/okret. (6.18)
12
dp
Negativan predznak u jednadžbi (6.18) uveden je iz slijedećih razloga. Matematički se dp
uvijek izražava prema + p smjeru, pa bi produkt Vdp imao pozitivan smisao. Kako postojeći
dogovor o smislu mehaničkog rada (snage), propisuje negativan predznak svakom utrošenom
radu (snazi) to se taj smisao mora osigurati i u jednadžbi (6.18).
68

Mirko Tadić
Termodinamika
Za ukupni utrošak snage pri n 0 (okret/s) vrijedi relacija:
2
{ P } = −n
V ( p) dp = − V ( p) dp = − mv ̇ ( p) dp = −m
v( p)
P12 = n
̇ ̇
0 12 okret 0
dp , W. (6.19)
∫
1
2
∫
1
Lako je uočljivo, prama slici 6.3, da je površina koja odgovara utrošku snage jednaka površini
koja nastaje projekcijom politropske kompresije (1)-(2) na ordinatnu os p.
Za politropu vrijedi jednadžba pv n = konst.
na osnovu koje se diferenciranjem dobiva:
n
v dp + npv
iz čega slijedi
n
2
∫
1
− 1
dv = 0 , (6.20)
vdp = −npdv . (6.21)
Za cijelu politropu između (1) i (2) vrijedi:
2
1
2
( p) dp −n
p( v) dv = −nw12
∫ v = ∫
, (6.22)
1
gdje je w 12 (J/kg) specifični mehanički rad politrope čija se površina dobija projekcijom na
apscisnu os. Sukladno tome, može se jednadžba (6.19) pisati u obliku:
2
12
−ṁ v
= W
P
1
( p) dp = nmw ̇
12
n ̇
12
= ∫ , W. (6.23)
2
∫
1
P
P
3
= −∫
1
2
= −∫
1
p
N/m 2
3
p
2
3
−∫ V̇
p dp = P12
= nẆ
12
= n
V̇
1
( p)
n
2 13
p 2
V̇
( p)
n 12
1
13
dp
12
dp
p 1
V 2 =V 3
2
( ) ∫ p( V̇
)
V 1
Ẇ
2
= ∫
1
( ̇)
̇
12
p V dV
V, m 3 /okret
1
dV̇
Slika 6.4 Prikazi snage i mehaničkog rada politropa u p – V dijagramu
Uočimo da se u jednadžbi (6.23) nalazi mehanička snaga politrope Ẇ
12
, zbog utjecaja protoka
mase ṁ (kg/s).
Ako se politropi pridruže usis i ispuh, tada se množenjem snage, Ẇ 12
, s eksponentom
politrope n dobiva snaga, P
12
, takvog otvorenog politropskog procesa.
69

Mirko Tadić
Termodinamika
To znači da se za otvorene politropske procese mogu koristiti sve ranije izvedene relacije za
mehanički rad zatvorenih sustava, ali se pri tome umjesto mase m (kg) treba uvrstiti protočna
masa ṁ (kg/s), kako bi se dobila snaga Ẇ 12
. Jedini izuzetak je otvoreni sustav s izohorom
( V ̇ = konst.
) kod koje je eksponent n = ± ∞, a mehanička snaga Ẇ 0 , tako da je umnožak
nW ̇ 12
neodređen. U tom slučaju treba koristiti jednadžbu (6.23) koja omogućava dobijanje
rezultata:
2
2
12
= −m∫
vdp = −mv
̇ dp = −V̇
∫
2
p1
1
1
P
( p − )
̇ , W, (izohorni otvoreni proces). (6.24)
Budući da su usis i ispuh samo transportne sekvence procesa, to pri tome nema izmjene
topline. Jedina izmjena topline postoji, eventualno, samo tijekom politropske promjene koja
se odvija pri zatvorenim ventilima. Stoga se toplinski tok, Φ 12 (W), računa potpuno isto kao
kod zatvorenih sustava, tj. vrijede iste jednadžbe uz zamjenu mase m s protočnom masom ṁ .
Isto vrijedi i za proračun promjene entropije, ∆ Ṡ12
(J/K), radne tvari od usisnog stanja (1) do
ispušnog stanja (2). Transportne sekvence procesa, usis i ispuh, pretpostavljene su bez
gubitaka (∆S = 0).
Teorijski gubitak snage uslijed nepovratnosti izmjene topline (samo pri politropi) računa se
prema referentnom prirodnom toplinskom spremniku temperature T 0 = konst. pomoću
relacije:
∆P
= T ∆ ̇
0
, W, (teorijski gubitak snage). (6.25)
S s
12
=
Otvoreni procesi specijalnih politropa
Ostajući pri aproksimaciji procesa u otvorenim sustavima, kao kombinaciji ravnotežne
promjene (politrope) idealnog plina s dvije transportne sekvence, usisom (ulazom) i ispuhom
(izlazom), promotrit ćemo procese sa specijalnim politropama.
Postoje i sličnosti i razlike između politropskih procesa u otvorenim i onih u zatvorenim
sustavima. Kod otvorenih sustava uvodi se putem protočne mase ṁ (kg/s) utjecaj vremena i
ponavljanje procesa, dok se kod zatvorenih sustava proces s konstantnom masom m (kg)
odvija jednokratno, bez ponavljanja.
U oba slučaja politropska promjena se odvija potpuno identično, jer se i kod otvorenih
sustava ta sekvenca odvija pri zatvorenim ventilima, kao što je to slučaj kod zatvorenih
sustava. Stoga je početno i konačno stanje radnog medija identično u oba slučaja. Sukladno
usvojenim pretpostavkama kod otvorenih sustava ta stanja nisu pod utjecajem transportnih
sekvenci, usisa i ispuha.
Promjena energije radnog medija: unutarnje, kinetičke i potencijalne, tijekom politropskog
procesa računa se po istom principu, tj. s istim jednadžbama u oba slučaja. Pod utjecajem
protočne mase ṁ (kg/s), umjesto mase m (kg), nastaje samo razlika u dimenziji tih energija.
Jednako tako, umjesto topline, Q 12 (J), sada govorimo o toplinskom toku, Φ 12 (J/s). Kako
ćemo zanemariti izmjenu topline pri transportnim sekvencama usisa i ispuha to je grafički
70

Mirko Tadić
Termodinamika
prikaz politropskog procesa u ravnini T-s identičan onom kod zatvorenih sustava. Ukratko,
usis i ispuh se ne vide u dijagramu.
Jedina razlika očituje se u promjeni grafičkog prikaza u ravnini p-V, budući da se transportne
sekvence (usis i ispuh) kod otvorenih sustava odražavaju na ukupni mehanički efekt, tj. snagu.
Zbog ponavljanja procesa poništava se mehanička interakcija prema okolišnjem zraku, koja
kod jednokratnih procesa u zatvorenim sustavima dolazi do izražaja kao rad W 0 .
Grafički prikazi otvorenih procesa u p-V i T-s dijagramu dani su u nastavku za posebne
politropske procese.
Izohora (V = konst.; n = ± ∞)
p
N/m 2
n = ±∞
ispuh 2
2
p 2 T 2
ϑ 2
2
{ P } okret
= −∫ V dp
OS
12
1
1
p 1
1
T
usis
1
p 1
2
ϑ 1
q 12
= ∫Tds
1
V, m 3 V1 = V /okret
2
s 1 s 2
Izobara (p = konst.; n = 0)
2
12
= n0
12
0∫
1
p2
1
{ P } = −n
V dp = V̇
( p )
P
okret
−
T
K
OS
v 1 = v 2
n = ±∞
p 2
( T )
Φ = ̇ ̇
v
−
12
mq12
= mc
2
T1
Slika 6.5 Otvoreni izohorni proces u p-V i T-s dijagramu
s, J/(kg K)
p
N/m 2
p
T 2
1 2
s 1
T
K
v 2
V 1 V 2 V, m 3 /okret
s 2
OS
OS
2
usis n = 0
ϑ 1
ispuh
ϑ 2 v 1
T 1
1
q 12 > 0
p 1 = p 2
P
12
= 0
Φ = ṁ
q = mc ̇
p
( T − )
12 12
2
T1
s, J/(kg K)
Slika 6.6 Otvoreni izobarni proces u p-V i T-s dijagramu
71

Mirko Tadić
Termodinamika
Izentropa (S = konst.; n = κ)
p
T
N/m 2
K
v
usis
1
1
p 1
p 1 1
MS
dp
ϑ 1
T 1
2
n = κ
2
{ P } okret ∫ V
12
= −κ ( p)dp
2
1
p 2
ispuh ϑ 2
T 2
v 2
p 2
V 1
V
V 2
κ
P12
= n
̇
0 12 okret 1
−
κ −1
{ P } = mR( T T )
V, m 3 /okret
2
s 1 = s 2
q 12 = 0
s, J/(kg K)
Izoterma (T = konst.; n = 1)
Slika 6.7 Otvoreni izentropski proces u p-V i T-s dijagramu
p
ϑ T
N/m 2 1
K
usis
p 1 1
OS
MS
dp
v 2
p 1 p
1
2 2
T 1 = T 2
2
{ P } okret ∫ V
12
= − ( p)dp
1
2
p q 2 12 > 0
ispuh
ϑ 2
n =1
v 1
s 1
V 1 V
V2
p
P12
= n0{ P12
} = mRTln ̇
okret
p
1
2
V, m 3 /okret
Φ
= ̇ ̇
s 2
( s − )
12
mq12
= mT
2
s1
s, J/(kg K)
Slika 6.8 Otvoreni izotermni proces u p-V i T-s dijagramu
Maksimalni rad i eksergija
Već smo upoznali način određivanja teorijskog gubitka na radu u zatvorenim, odnosno
snazi u otvorenim sustavima, pomoću kojih se ocjenjuje termodinamička valjanost procesa u
odnosu na nepovratnost izmjene topline.
72

Mirko Tadić
Termodinamika
Preostaje nam da razmotrimo kriterij vrednovanja zadanog stanja radnog medija, polazeći od
činjenice da sva moguća početna stanja nisu jednako vrijedna u odnosu na mogućnost
dobijanja korisnog rada, odnosno snage.
Očito je, da kriterij ne smije imati nikakve realne karakteristike koje bi utjecale na rezultat
procjene. Stoga je logično da se kao osnova kriterija uzme idealni teorijski proces radnog
medija u kojem nema nepovratne izmjene topline. Mehanička interakcija tijekom procesa
smatra se reverzibilnom, tj. bez gubitaka, kao i u svim prethodnim razmatranjima. Tijekom
procesa radni medij prolazi kroz stanja u unutarnjoj ravnoteži.
Radni sustav uključuje samo nužne sudionike: sam radni medij, neopisanog mehaničkog
sudionika čije su osobine idealizirane (bez trenja), te postojeći prirodni toplinski spremnik
(okolišnji zrak) temperature T 0 = konst., koji je ujedno i mehanički sudionik tlaka p 0 = konst..
Sustav je potpuno izoliran od drugih utjecaja. Pretpostavit ćemo da radni medij zadanog
stanja (T 1 , p 1 , V 1 ) nije u ravnoteži s okolišem, jer u protivnom slučaju ne bi bio moguć
nastanak procesa niti teorijski. Neravoteža s okolišem pruža mogućnost provođenja procesa i
dobivanja korisnog mehaničkog rada, odnosno snage. Proces traje do uspostave ravnoteže s
prirodnim spremnikom (okolišnjim zrakom), kada radni medij postiže temperaturu T 0 i tlak
p 0 .
Stanje plina u potpunosti je zadano podacima temperature T 1 , tlaka p 1 i volumena V 1 , odnosno
V̇ 1, na osnovu čega se iz jednadžbe stanja može izračunati masa m, odnosno protočna masa
ṁ , plina:
p1V
1
m = , kg,
RT1
(zatvoreni sustav), (6.26)
p1V̇
1
ṁ = , kg/s,
RT
(otvoreni sustav). (6.27)
1
Da bi se izbjegli gubici na radu, odnosno snazi, koji su spomenuti na početku, tijekom procesa
ne smije doći do nepovratne izmjene topline. Teorijski zamišljena povratna izmjena topline
mogla bi biti samo pri istoj temperaturi radnog medija i toplinskog spremnika. Ta je
temperatura zadana zadavanjem stanja prirodnog toplinskog spremnika, okolišnjeg zraka.
Tamperatura T 0 je upravo ta povratna izoterma po kojoj smije teći proces plina. Naravno,
proces uravnotežavanja može koristiti i bilo koju politropu bez izmjene topline, tj. izentropu,
S = konst., dS = 0. Promjena entropije takvog izoliranog sustava jednaka je nuli, ∆S s = 0 ili
Ṡ = 0 , kao i teorijski gubitak na radu, ∆W = 0, odnosno snazi, ∆P = 0.
∆ s
S postavljenim uvjetom reverzibilnosti izmjene topline uklonjena je poslijednja realna
karakteristika, pa takav proces ima samo teorijski smisao. Pri takvom procesu teorijski se
dobiva najveći mogući mehanički rad, odnosno najveća moguća snaga (eksergija), s obzirom
na zadana stanja radnog medija i prirodnog spremnika.
Maksimalni rad – zatvoreni sustav
Teorijski idealan proces u zatvorenom sustavu smije biti samo kombinacija bilo koje
izentrope, pri kojoj nema izmjene topline, dok se izmjena topline smije odvijati samo tijekom
povratne izoterme T 0 , koja je zadana temperaturom prirodnog spremnika, okolišnjim zrakom.
U posebnim slučajevima bit će dovoljna samo jedna od tih promjena.
73

Mirko Tadić
Termodinamika
Na slici 6.10 prikazan je jedan slučaj takvog idealnog procesa za zadano stanje (1) radnog
medija i zadano stanje (0) prirodnog spremnika, okolišnjeg zraka temperature T 0 i tlaka p 0 .
p
p 1
1
p 1
1
T 1
ϑ 1
v 0 p 0
2
0
T 0
2
W max
0
p q 0
ϑ o
20 > 0
n = κ
p 2
W 0
s 1 = s 2
v
T
1
V V, m 3 1
V0 s 0
s, J/(kg K)
Slika 6.9 Idealni proces zatvorenog sustava u ravnini p-V i T-s
Dogod je temperatura radnog medija različita od temperature T 0 smije se koristiti samo
izentropski proces bez izmjene topline. Tek kada plin postigne tu temperaturu (stanje 2 u
dijagramima) može se zamisliti teorijska izmjena topline, pri istim temperaturama plina i
toplinskog spremnika, okolišnjeg zraka. Proces se po toj povratnoj izotermi odvija sve dok se
ne uspostavi potpuna ravnoteža plina i okoliša, tj. plin poprimi stanje s temperaturom T 0 i
tlakom p 0 (stanje 0 u dijagramima).
Položaj stanja (2) u ravnini p-V može se procijeniti ako se izračuna pripadni tlak p 2 :
κ
⎛ T
κ−1
0
⎞
p
2
= p1
⎜
⎟ ,
T1
(za sjecište izentrope 1-2 i izoterme 2-0). (6.28)
⎝
⎠
Teorijski rad plina je, po definiciji, površina ispod linija procesa (1-2-0). Kako se proces (1-2)
odvija po zakonu izentrope, a proces (2-0) po zakonu izoterme, to se mehanički rad može
izračunati samo odvojeno za svaku sekvencu. Stoga je
W , J. (mehanički rad plina pri idealnom procesu). (6.29)
1− 2−0
= W1
−2
+ W2−0
No, W 1-2-0 se može izraziti i na drugi način, kako će se pokazati u nastavku.
U promatranom primjeru ovaj je rad pozitivan tj. predaje se prisutnim mehaničkim
sudionicima. Dio tog rada troši se na potiskivanje okolišnjeg zraka u iznosu W 0 , a ostatak se
može iskoristiti. Zbog idelnog procesa taj koristana rad je ujedno i najveći mogući rad, W max ,
koji se teorijski može dobiti od plina zadanog stanja – u odnosu na zadano stanje prirodnog
spremnika, okolišnjeg zraka (T 0 , p 0 ).
Odnos teorijskog rada plina W 1-2-0 , rada okoline W 0 i maksimalnog korisnog rada W max , uvijek
je određen jednadžbom oblika:
W max
= W 1 − 2−0
+ W0
, (6.30)
Rad prema okolini može se izraziti, pomoću definicije mehaničkog rada, na slijedeći način:
74

Mirko Tadić
Termodinamika
0,ok
W0 p0
dV0
= p0
0,ok
−
1,ok
1,ok
( V V )
= ∫ , J, (rad prema okolini). (6.31)
Razliku volumena okolišnjeg zraka moramo zamijeniti s istom takvom razlikom volumena
radnog medija, ali suprotnog smisla:
V
( V )
0, ok
V1,
ok
= −
0
−V1
− , (6.32)
pa umjesto jednadžbe (6.31) možemo pisati:
W
( V − )
0
p0
1
V0
= , J, (rad prema okolini). (6.33)
Za određivanje teorijskog rada plina W 1-2-0 , tijekom procesa (1-2-0), iskoristit ćemo jednadžbu
I. Zakona:
Q − W = ∆U
, J, (6.34)
1−2−0
1−2−0
1−2−0
koju možemo uskladiti s procesom u dvije sekvence, (1-2) i (2-0):
Q + Q −W
= ∆U
+ ∆U
, J. (6.35)
1−2
2−0
1−2−0
1−2
2−0
Na sekvenci izentrope (1-2) nema izmjene topline, Q 1-2 = 0, dok se toplina na sekvenci (2-0)
odvija pri konstantnoj temperaturi, pa se može izračunati primjenom II. Zakona:
( S − S ) = T ( S − )
Q
−
, J, (jer vrijedi: S 2 = S 1 ). (6.36)
2 0
= T0∆S
2−0
= T0
0 2 0 0
S1
Promjena unutarnje energije radnog medija tijekom procesa (1-2-0) iznosi:
( U
2
−U1) + ( U
0
−U
2
) = U
0
−
1
∆U
−
, J, (jer vrijedi: U 2 = U 0 ). (6.37)
1 2
+ ∆U
2−0
=
U
Rezultate jednadžbi (6.35) i (6.37) možemo uvrstiti u jednadžbu (6.35) i preoblikovati u izraz
kojim se izražava W 1-2-0 :
( S − )
W
−
, J. (6.38)
1 2−0
= U1
−U
0
− T0
1
S0
Konačno, uvrštavanjem jednadžbi (6.38) i (6.33) u jednadžbu (6.29) dobivamo izraz za
izračunavanje maksimalnog rada za proces između zadanih stanja 1-0:
( S − S ) + p ( V − )
W max, 1 0
= U1
−U
0
− T0
1 0 0 1
V0
−
, J, (maksimalni rad). (6.39)
Sve veličine na desnoj strani jednadžbe se odnose na radni medij, a pojedini članovi se
računaju prema slijedećim relacijama:
( T )
U −
v
− , J, (6.40)
1
U
0
= mc
1
T0
75

Mirko Tadić
Termodinamika
⎛ T p ⎞
T
p
, J, (6.41)
0
1
1
( S − ) =
⎜ − ⎟ 1
S0
mT0
c ln R ln
⎝ T0
p0
⎠
( V )
p − , J, pomoću:
0 1
V0
mRT
1
V
1
= i
p1
mRT
0
V
0
= . (6.42)
p0
U dijagramu p-V uvijek se W max,1-0 može prikazati površinom, koja je omeđena s linijama
idealnog procesa (1-2-0) i s dvije pomoćne linije (nisu linije procesa): izohorom V 1 i izobarom
p 0 .
Radi ilustracije prikazan je na slici 6.10 proces dobijanja maksimalnog rada u slučaju kada je
zadano stanje plina (T 1 , p 1 , V 1 ) ispod stanja prirodnog spremnika, okolišnjeg zraka (T 0 , p 0 ).
p
p 0
p 0
2
q v 20 < 0 1 p 1
p 2
v 0
0
T
0
T 0
W max
ϑ o
2
ϑ 1
V V, m 3 0
s 0
n = κ
p 1
1
T 1
1
V1 s 1 = s 2
s, J/(kg K)
Slika 6.10 Idealni proces s plinom stanja ispod okolišnjeg
Za teorijski proces (1-2-0) potrebno je utrošiti rad W 1-2-0 (površina ispod procesa – bez oznake
u dijagramu). Pri tome okolina pomaže dajući rad W 0 = p 0 (V 1 – V 0 ). Razlika je koristan
(pozitivan) rad W max .
Minimalni rad
U slučaju da je početno stanje radnog medija u ravnoteži s prirodnim spremnikom
(stanje s oznakom 0 u dijagramima) može se po istom principu odrediti teorijski minimalan
rad, W min , da bi se radni medij doveo u stanje (1). Idealni proces je identičan, ali se odvija u
suprotnom smjeru, pa je konačni rezultat za W min,0-1 jednak rezultatu za W max,1-0 , samo
suprotnog, negativnog predznaka.
( S − S ) + p ( V − )
W min, 0 1
= U
0
−U1
− T0
0 1 0 0
V1
−
, J, (minimalni rad). (6.43)
Eksergija – otvoreni sustav
Ako raspolažemo sa stalnim dotokom ṁ (kg/s) radnog medija zadanog stanja, (T 1 , p 1 ),
može se primjenom istog principa idealnog procesa odrediti eksergija (= maksimalna snaga),
koja pripada tom stanju u odnosu na referentno stanje prirodnog spremnika, okolišnjeg zraka,
76

Mirko Tadić
Termodinamika
(T 0 , p 0 ). Zbog ponavljanja, idealnom procesu pripadaju transportne sekvence usisa i ispuha.
Primjer eksergijskog procesa prikazan je na slici 6.10.
p
p
T
1
usis 1
p 1
1
T 1
ϑ 1
v 0 p 0
{ E} okret
2
0
T 0
2
p 2
ϑ 0
0
p q 0 20 > 0
ispuh
n = κ
V, m 3 /okret
s 1 = s 2
V 1
v 1
V0 s 0
s, J/(kg K)
Slika 6.11 Eksergijski proces (1-0) u p-V i T-s ravnini
Budući da se radi o otvorenom sustavu grafički prikaz eksergije (po okretu) u ravnini p-V
predstavlja površinu, dobivenu projekcijom idealnog procesa (1-2-0) na ordinatnu os p.
Prema I. Zakonu za otvorene sustave je:
Φ1 −2−0
− P1
−2−0
= ∆Ḣ 1−2−0
, W, (6.44)
odnosno
Φ + Φ − P = ∆Ḣ + ∆Ḣ
, W. (6.45)
1−2
2−0
1−2−0
1−2
2−0
Za pojedine sekvence idealnog procesa vrijedi:
0 Φ = mT ̇ s − s = mT ̇ s − s = T S − , W, (6.46)
Φ , ( ) ( ) ( )
1 −2
=
2−0
0 0 2 0 0 1 0 0
S1
∆Ḣ
1 2
= Ḣ
2
− Ḣ
− 1
, ∆H
̇ 2 − 0
= Ḣ
0
− Ḣ
2
= 0 , W, ( Ḣ 2
= Ḣ
). (6.47)
0
Snaga idealnog procesa je eksergija stanja (1) u odnosu na referentni prirodni spremnik stanja
(0):
P ≡ E , W, (6.48)
1−2−0
1−0
Uvrštavanjem jednadžbi (6.46), (6.47) i (6.48) u jednadžbu (6.44) dobiva se:
E
( S − )
̇ ̇
, W, (eksergija). (6.49)
1−0
= H1
− H
0
− T0
1
S0
Računanje pojedinih članova vrši se pomoću jednadžbi:
( T )
Ḣ ̇ ̇
p
− , (6.50)
T
1
− H
0
= mc
1
T0
0
⎛ T p ⎞
̇ , (6.51)
1
1
( S − ) =
⎜ − ⎟ 1
S0
mT0
c
p
ln R ln
⎝ T0
p0
⎠
koje zahtijevaju poznavanje samo svojstava početnog (1) i konačnog (0) stanja.
77