Verzia B - Univerzita Komenského

Univerzita Komenského, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Jún 2008
Verzia B
1. Určte súradnice bodov L, M, N tak, aby štvoruholník KLMN bol štvorec a bod S bol
1; 2 S 1; 3 . 2,5 b
stredom tohto štvorca, ak K [ − ] a [ ]
Riešenie:
Ak S je stred štvorca KLMN, tak je priesečníkom uhlopriečok, ktoré sú rovnako dlhé, na seba
kolmé a rozpoľujú sa.
• Vypočítame súradnice bodu M, keď S je stred úsečky KM:
K + M
m1 = 2s1 − k1
m1
= 3
S = ⇒ M = 2S − K ⇒
⇒
2
m = 2s − k m = 4
2 2 2
Bod M má súradnice M [ 3; 4]
a bod [ 1;
2 ]
r uuur
r uuur
• Vektor v = KS = ( 2;1)
a vektor u = SN = ( n −1; n − 3)
2
N n n . 0,5 b
1 2
sú na seba kolmé, preto ich skalárny
súčin sa rovná nule:
r r
u ⋅ v = u1v1 + u2v2 = 2( n1 − 1) + 1( n2 − 3)
= 2n1 + n2
− 5
r r
u ⋅ v = 0 ⇒ 2n1 + n2
− 5 = 0 ⇒ n2 = 5 − 2n1
(alebo určíme všeobecnú rovnicu priamky suur LN : 2x
+ y − 5 = 0 a pomocou nej vyjadríme
súradnice bodu N [ n ; 5 2n
]
− ) 0,5 b
1 1
• Veľkosť vektorov v r a u r :
r
2 2 2 2
v = v1 + v2 = 2 + 1 = 5
r
u = ( n ) 2 ( )
2
1
− 1 + n2
− 3
r r
u = v
Dosadíme n2 = 5 − 2n1
:
( ) 2
5 = n − 2n + 1+ 5 − 2n
− 3
2
1 1 1
5 = n − 2n + 1+ 4 − 8n + 4n
2 2
1 1 1 1
5n
− 10n
= 0
2
1 1
1 ( 1
2)
0
n n − = ⇔ n1 = 0 ∨ n1
= 2
1 b
• Vypočítame n 2 : n2 = 5 ∨ n2
= 1
Vypočítali sme dva body, ktoré vyhovujú podmienkam, sú to body N a L.
0; 5 2;1 M 3; 4 . 0,5 b
Súradnice hľadaných bodov sú: N [ ] , L [ ], [ ]
2. Marcel má rád psíkov. Doma má 7 šteniatok dalmatíncov a 3 šteniatka labradora. Aká
je pravdepodobnosť, že keď si šteniatka posadajú vedľa seba, budú všetky šteniatka
labradora pri sebe?
2 b
Riešenie:
• Počet všetkých možností ako sa šteniatka môžu usadiť je 10! (permutujeme 10 psíkov). 0,5 b
• Počet priaznivých možností určíme takto: usadíme (= spermutujeme) šteniatka dalmatíncov
a šteniatka labradora budeme brať ako jeden prvok, teda spolu permutujeme 8 prvkov, čo je
8! možností. 0,5 b

• Šteniatka labradora môžeme ešte medzi sebou vymieňať, čo je 3! usadení. Výsledná
pravdepodobnosť teda je:
0,5 b
8! ⋅3!
6 1
P ( A)
= = =
0,5 b
10! 10.9 15
3. Škatuľa tvaru kvádra má dvojnásobne väčšiu dĺžku ako šírku. Aký môže mať
najmenší povrch (vrátane vrchnáka), ak jej objem je 72 cm 3 . Určte rozmery škatule
a najmenší povrch.
3 b
Riešenie:
• Nech šírka kvádra je x, potom jeho dĺžka je 2x a výšku označme y. Potom pre objem
a povrch platí:
2
2 36
V = 2x y ⇒ 72 = 2x y ⇒ y =
2
x
∧ x, y > 0
2 2
S = 2⋅ 2x + 2xy + 2⋅ 2xy = 4x + 6xy
2 216 2 −1
Po dosadení za y dostaneme: S = 4x + = 4x + 216x
x
0,75 b
•
3
−2
8x
− 216
Zderivujeme funkciu S: S´ = 8x − 216x
=
2
x
0,5 b
•
3
8x
− 216
3
3
3
Nájdeme stacionárne body: = 0 ⇔ 8x − 216 = 0 ⇔ 8x = 216 ⇔ x = 27 ⇔
2
x
x = 3
0,5 b
• Vypočítame hodnotu druhej derivácie v x = 3:
S´´ 8
3
432x S ´´ 3 = 8 + 16 = 24 > 0
= + ⇒ ( )
Pre x = 3 teda funkcia S nadobúda minimum. 0,5 b
• Šírka škatule je 3 cm, dĺžka 6 cm a výška 4 cm pri minimálnom povrchu
2
S = 4x + 6xy
= 36 + 72 = 108 cm 2 . 0,75 b
4. Riešte v R:
3 2
log3x
⎜
⎛ ⎞ ⎟ + log3
x = 1
⎝ x ⎠
3,5 b
Riešenie:
• Podmienky: x > 0 ∧
1
x ≠
3
0,5 b
2
• log3 3 log x 3x log 3
1
log3 3 log3
x 2
− + log3
x = 1
log3 3x
log3
3x
log3 3 log3
x
2
− + log3
x = 1
log 3 + log x log 3+
log x
1 b
3 3 3 3
• substitúcia: log3
x = a
1 a 2
− + a = 1
1+ a 1+
a
2
1− a + a 1+ a −1⋅ 1+
a
( ) ( )
1+
a
= 0

2 3
1− a + a + a −1− a = 0
1+
a
3 2
a + a − 2a
= 0
1+
a
2
a( a + a − 2)
= 0
1+
a
a( a − 1)( a + 2)
= 0 ⇔ ( a = 0 ∨ a = 1 ∨ a = −2)
∧ a ≠ −1
1 b
1+
a
• návrat k substitúcii log3
x = a
⇔ log x = 0 ∨ log x = 1 ∨ log x = −2 ∧ log x ≠ −1
⇔
( )
3 3 3 3
⎛
1 ⎞ 1
⇔ ⎜ x = 1 ∨ x = 3 ∨ x = ⎟ ∧ x ≠
⎝
9 ⎠ 3
⎧ 1 ⎫
Všetky z riešení vyhovujú podmienkam, množina riešení teda je ⎨1; ; 3⎬
1 b
⎩ 9 ⎭
5. Dĺžky strán istého pravouhlého trojuholníka tvoria rastúcu geometrickú postupnosť.
Akú hodnotu má jej kvocient?
2,5 b
Riešenie:
• Označme si strany trojuholníka a, b, c. Keďže sú to 3 po sebe idúce členy GP, platí:
b = a . q, c = a . q 2 .
0,5 b
• Teda Pytagorova veta pre tento trojuholník bude vyzerať nasledovne:
2 2 2
a + b = c
a
2
1 + q
q
4
+ a
2
− q
2
2
. q
2
= q
4
= a
. q
/ : a
− 1 = 0, subst : q
2
x − x −1
= 0
2
D = ( −1)
− 4.1.( −1)
= 5
x
1,2
• Návrat:
2
q = x
1±
5
=
2
2
4
2
2
= x
2 1±
5
q =
2
Vylúčime možnosť, kde q 2 je záporné číslo
• q = ±
1+
5
2
Keďže ide o rastúcu postupnosť dĺžok strán trojuholníka, hľadaný kvocient je
1 b
0,5 b
1 + 5
q = .
2
0,5 b

6. V pravouhlom lichobežníku ABCD je bod S stredom základne dlhej 10 cm. Uhol ACB
je pravý. Obvod trojuholníka ASC je 16 cm. Aký je obvod a obsah lichobežníka ABCD?
3,5 b
Riešenie:
• Vzhľadom na zadanie úlohy môžu byť pravé uhly lichobežníka ABCD umiestnené len pri
vrcholoch A a D a uhol DCB musí byť tupý. Takýmto podmienkam vyhovuje lichobežník na
obrázku:
D
C
A
S
• Veľkosť strany AC vypočítame z obvodu trojuholníka ASC: oASC
= AS + SC + AC
Keďže uhol ACB je pravý, dĺžka úsečky SC je polomerom talesovej kružnice zostrojenej nad
1
priemerom AB, teda SC = AB = 5 cm . Potom z obvodu trojuholníka ASC dostávame:
2
16 = 5 + 5 + AC ⇒ AC = 6 cm . 1 b
• Veľkosť strany BC vypočítame pomocou Pytagorovej vety v trojuholníku ABC:
2 2 2
2 2 2
BC = AB − AC ⇒ BC = 10 − 6 = 100 − 36 = 64 ⇒ BC = 8 cm 0,5 b
• Veľkosť strany AD vypočítame z obsahu trojuholníka ABC, v ktorom je AD výškou na
stranu AB:
10⋅
AD AC ⋅ BC
SABC
= =
2 2
10⋅
AD 6⋅8
48
= ⇒ AD = = 4,8 cm
1 b
2 2
10
• Veľkosť strany DC vypočítame pomocou Pytagorovej vety v trojuholníku ADC:
2 2 2
2 2 2 2304 1296 36
DC = AC − AD ⇒ BC = 36 − 4,8 = 36 − = ⇒ BC = = 3,6 cm
100 100 10
0,5 b
• Obvod lichobežníka ABCD je o = AB + BC + DC + AD = 10 + 8 + 3,6 + 4,8 = 26, 4 cm
Obsah lichobežníka ABCD je
B
( AB + DC ) ⋅ AD ( 10 + 3,6) ⋅4,8
2
S = = = 32,64 cm . 0,5 b
2 2
7. Na obrázku je daný rovnobežný priemet pravidelného šesťbokého hranola
ABCDEFA´...F´. Riešte úlohy:
3 b
a) Zobrazte priesečnicu m rovín stien ABB´A´ a CDD´C´. Akú polohu má priesečnica m
vzhľadom na priamky prechádzajúce hranami daného telesa?
b) Definujte uhol dvoch rovín a určte veľkosť uhla rovín AB B′ a
CD D′ (bez výpočtu).

Riešenie:
a) Dvojice priamok AB, CD a A ′ B′
, C′
D′
rovín stien ABB´A´ a CDD´C´ ležia v rovinách
podstáv telesa, teda priesečnica m rovín prechádza priesečníkmi M, M´ týchto priamok.
Alebo: Keď dve rôznobežné roviny pretínajú tretiu rovinu v navzájom rovnobežných
priamkach, tak aj ich priesečnica je rovnobežná s týmito priamkami (ide o roviny
AB B′, CDD′
a BC C′ ). Odtiaľ vyplýva, že priesečnica m je rovnobežná s priamkou
( C C′ ⎢⎢
B B′ ) a stačí zostrojiť jeden jej bod, napr. bod
B B′
M = AB ∩ CD . 1b
Priamka m:
- je rovnobežná s priamkami
prechádzajúcimi bočnými hranami telesa;
0,25b
- je rôznobežná s priamkami
AB , CD,
A′ B′
, C′
D′
; 0,25b
- je mimobežná so všetkými zvyšnými
hranami telesa. 0,25b
b) Definícia uhla dvoch rovín: Uhol dvoch rôznobežných rovín je zhodný s uhlom dvoch
priamok, ktoré ležia v daných rovinách a sú kolmé na priesečnicu rovín. 0,25b
Priamka m je kolmá na rovinu ABC (pravidelný hranol), teda na všetky priamky tejto
roviny, t.j. i na priamky
AB, CD . Odtiaľ vyplýva: ∠ AB B′
, CDD′
≅ ∠AB,
CD .

Podstava telesa je pravidelný 6-uholník, teda platí: EB ⎢⎢ DM , FC ⎢⎢ AM a trojuholníky SAB
a CBM sú zhodné a rovnostranné. Odtiaľ vyplýva: ∠CMB
= 60°
, t.j. veľkosť uhla rovín stien
AB B′ A′
a CD D′ C′
sa rovná 60°. 1b