DIZERTAČNÁ PRÁCA - Oddelenie didaktiky matematiky - Univerzita ...

UNIVERZITA KOMENSKÉHO BRATISLAVAFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKYDIZERTAČNÁ PRÁCAPRAVDEPODOBNOSTNÉ MYSLENIE ŽIAKOVNA ZÁKLADNEJ ŠKOLEMgr. Ivan Masaryk Bratislava 2010

UNIVERZITA KOMENSKÉHO BRATISLAVAFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKYKatedra algebry, geometrie a didaktiky matematikyDIZERTAČNÁ PRÁCAPRAVDEPODOBNOSTNÉ MYSLENIE ŽIAKOVNA ZÁKLADNEJ ŠKOLEVedný odbor:Doktorand:Školiteľ:11-17-9 Teória vyučovania matematikyMgr. Ivan Masarykprof. Ladislav Kvasz, Dr.Bratislava 2010

Čestne vyhlasujem, že predloženú dizertačnú prácu, Pravdepodobnostné myslenie žiakov nazákladnej škole, som vypracoval len s použitím uvedenej literatúry, pod odborným vedenímprof. Ladislava Kvasza, Dr.V BratislaveMgr. Ivan Masaryk

PoďakovanieĎakujeme riaditeľom škôl a pedagógom, ktorí nám umoţnili uskutočniť experiment na ichškolách. Organizačne sme spolupracovali s Mgr. Veronikou Zeľovou z Pedagogickej fakultyprešovskej univerzity v Prešove, ktorá nám pomohla zabezpečiť priebeh experimentu za čo jejtieţ patrí naša vďaka.. Vďaka patrí aj Danielovi Dziubanovi a Martinovi Kovaríkoviz turistického oddielu Sokolici, ktorí nám pomohli prepísať riešenia respondentov doelektronickej podoby. Ďakujem kamarátom a kolegom, ktorí mi poskytli svoj čas a názor naprácu. Osobitne ďakujem mojim rodičom za trpezlivosť a mojej ţene Katke za pomoc priformulovaní myšlienok a spisovaní výsledkov experimentu.Za odborné konzultácie patrí vďaka najmä môjmu školiteľovi prof. LadislavoviKvaszovi, ktorý mal na mňa vţdy dosť času, mnoţstvo nápadov a vecných pripomienok.Ďakujem tieţ prof. Milanovi Hejnému za nápady a pripomienky k práci počas mojichštudijných pobytov v Prahe. Za pripomienky z jazykovej stránky vo viacerých kapitoláchďakujem mojej učiteľke slovenského jazyka a literatúry zo strednej školy Mgr. ZuzaneSakalovej.V

AbstraktNázov dizertačnej práce:Autor dizertačnej práce:Školiteľ:Rozsah práce:Rozsah príloh:Pravdepodobnostné myslenie ţiakov na ZŠMgr. Ivan Masarykprof. Ladislav Kvasz, Dr.130 strán208 stránZákladné údaje o experimenteTermín realizácie: rok 2007Cieľová skupina:Rozsah experimentu:13-15 roční ţiaci ZŠ535 respondentov z 9 škôl na SlovenskuPredkladaná práca, Pravdepodobnostné myslenie ţiakov na základnej škole, sa zaoberápravdepodobnostným myslením ţiakov na základnej škole z pohľadu úrovne argumentáciea skúma podmienky rozvoja tohto myslenia a podmienky, resp. faktory, ktoré blokujúpravdepodobnostné myslenie ţiakov. Pomocou experimentu sa nám podarilo identifikovaťfaktory blokujúce pravdepodobnostné myslenie ţiakov (schopnosť argumentovať, vnímaniesymetrie, vnímanie pomerov, operácia so zlomkami, nedokončená optimalizácia, operácias veľkými číslami, neistota pri rozhodovaní). Navrhli sme postupy a metódy, ktoré môţuzníţiť vplyv týchto faktorov na myslenie ţiakov. V neposlednom rade sa nám otvorilomnoţstvo zaujímavých výskumných otázokKľúčové slová: pravdepodobnostné myslenie, vnímanie pravdepodobnosti, propedeutikapravdepodobnosti, didaktika pravdepodobnosti, optimalizačné úlohy vo vyučovanípravdepodobnosti, faktory blokujúce pravdepodobnostné myslenie ţiakov.VII

VIII

AbstractTitle of the thesis:Author of the thesis:The supervisor:The extent:The extent of appendixes:The probabilistic thinking of elementary school pupilsMgr. Ivan Masarykprof. Ladislav Kvasz, Dr.130 pages208 pagesThe basic information about the projectThe date of realization: 2007The aim group:The range:13-15 years old pupils of elementary schools535 respondents from 9 Slovakian schoolsThe suggested thesis The probabilistic thinking of elementary school pupils is dealing withthe probabilistic thinking of elementary school pupils from the point of view of the level ofargumentation and examines the conditions of development of this thinking and the factorswhich block this probabilistic thinking. With the help of the experiment we have managed toidentify the factors blocking the probabilistic thinking(ability to reason, perception ofsymmetry, perception of rates, operations with fractions, unfinished optimization, highnumberoperations, the uncertainty when deciding). We have suggested the methods andtechniques which may decrease the influence of these factors on the thinking of pupils. Andlast but not least we have opened many interesting research questions.The key words: probabilistic thinking, perception of probability, propaedeutic of probability,didactics of probability, optimalization tasks in the teaching of probability, factors blockingthe probabilistic thinking of pupils.IX

PredhovorČlovek je kaţdodenne zahŕňaný mnoţstvom informácii, ktoré musí filtrovať, triediť,spracovávať, nakoniec z nich vyvodzuje závery a na ich základe prijíma rozhodnutia. Riešiproblémové situácie, pričom pracuje s náhodou, rizikom a pravdepodobnosťou. S týmitonáhodnými faktormi ľudia narábajú na rôznych úrovniach. Deti neriešia problémy komplexne,náhodu vnímajú intuitívne a vo väčšine situácii si vôbec neuvedomujú prvok rizika. Predospelých ľudí je však nevyhnutné, aby pri svojom rozhodovaní zohľadňovali aj prvok rizika,a tak je pri riešení ţivotných situácii nevyhnutné pravdepodobnostné myslenie. Ako príkladvnímania rizika v ţivotnej situácii moţno uviesť:Pre dospelého človeka s infekčným ochorením je neprijateľné navštívenie rodiny sdieťaťom, ak si uvedomuje zvýšenie rizika nákazy dieťaťa pri osobnom kontakte.Pravdepodobnostné myslenie ľudia trénujú opakovaným riešením problémov s prvkomnáhody v beţných ţivotných situáciách. Niektorí ľudia i keď sa s daným typom problémovejúlohy s prvkom náhody stretávajú prvýkrát, dokáţu pouţiť postupy teórie pravdepodobnosti,ktoré si osvojili a porozumeli im (napr. rozhodovanie sa o vstupe do druhého pilieradôchodkového poistenia, odhadnutie či diverzifikácia rizika v ţivotných rozhodnutiach).Mnohé aplikácie vedných disciplín, ako sú matematika, ekonómia, chémia, meteorológia,medicína, fyzika, biológia či psychológia, potrebujú čoraz častejšie pracovať s teórioupravdepodobnosti, ktorej pochopenie nadväzuje na pravdepodobnostné myslenie pouţívanév beţnom ţivote. Aj tu platí, ţe odborníci pouţívajú svoje pravdepodobnostné myslenie narôznych úrovniach od jednoduchých intuitívnych odhadov rôznych náhodných parametrov aţpo sofistikované návrhy techník spracovania dát a pravdepodobnostných modelov.XI

Predpokladom riešenia úloh s prvkom náhody je osvojenie si princípovpravdepodobnostného myslenia a precvičovanie ich aplikácie v rôznych úlohách. Škola bymala dať ţiakom prvý impulz k pouţívaniu teórie pravdepodobnosti pri kaţdodennomrozhodovaní. Ţiaci by mali práve tu nájsť prepojenie medzi situáciami s prvkom náhody zoţivota a s úlohami z teórie pravdepodobnosti.Aby ţiaci mohli dobre porozumieť princípom pravdepodobnostného mysleniaa precvičiť si ich, je potrebné, aby sa stretávali so zaujímavými, korektne zadanými a realiteblízkymi úlohami z teórie pravdepodobnosti. V školskej praxi nachádzame nedostatkyv zadaniach týchto úloh, ktoré môţu blokovať napredovanie rozvoja pravdepodobnostnéhomyslenia ţiakov. Úlohy sú často odtrhnuté od ţivota a ich cieľom je precvičovať iné učivo(napríklad kombinatoriku alebo počítanie obsahov). Pravdepodobnostný aspekt ostáva častoiba v pozadí. Teória pravdepodobnosti zaviedla pojmy a teoretické postupy, pre odhadovanieparametrov, odhadovanie pravdepodobnosti, testovanie hypotéz i pre rôzne iné výpočty.Týmto pojmom a postupom je vo vyučovaní venovaná hlavná pozornosť. Znalosť týchtopojmov a postupov však nie vţdy koreluje so schopnosťou pravdepodobnostného myslenia.V myslení ţiaka máme často na jednej strane teóriu s pojmami a na druhej stranereálny svet. Aby sme vytvorili zázemie pre rozvíjanie pravdepodobnostného myslenia, jenutné pouţívať pojmy z teórie pravdepodobnosti i v zadaniach úloh. Niektoré úlohy všakpotom obsahujú pojmy a veličiny, ktorých hodnoty sú v beţnom ţivote nedostupné.Uvedieme jednoduchý príklad:Nech je pravdepodobnosť falošnej mince v pomere 60 %, ţe padne rub ku 40 %, ţepadne líc. Vypočítajte, aká je pravdepodobnosť, ţe padne na tejto minci trikrát zasebou rub.XII

Úloha síce môţe precvičovať ovládanie pravidla súčinu, schopnosť pouţívaťBernouliho schému alebo kombinatoriku, ktoré sú potrebné pre pochopenie teóriepravdepodobnosti, v reálnej situácii však, v zadaní udané hodnoty pravdepodobnosti padnutia„rubu a lícu“ mince, nevieme presne zistiť. Preto sa s takouto úlohou v praktickom ţivote asiţiak nestretne. Môţe sa však stretnúť s opačnou úlohou, keď z častejšieho výskytu jednéhovýsledku musí odhadnúť pravdepodobnosť, či je minca falošná.Riešením podobných nerealistických alebo zle formulovaných úloh môţe u ţiakovvzniknúť dojem, ţe teória pravdepodobnosti nesúvisí s problémami reálneho ţivota.Pochopenie tejto teórie vo svojom ţivote potom povaţujú za zbytočné. Zo skúseností vieme,ţe pre ţiakov sú aj korektne zadané úlohy veľkým problémom. Existuje celý rad faktorov,ktoré môţu ovplyvňovať postup pri riešení pravdepodobnostných úloh.Cieľom predkladanej práce je analyzovať faktory, ktoré blokujú rozvojpravdepodobnostného myslenia ţiakov. Veríme, ţe porozumenie mysleniu ţiakov v oblastipravdepodobnosti umoţní učiteľom lepšie učiť túto neľahkú oblasť matematiky.XIII

XIV

ObsahPoďakovanie .............................................................................................................................. VAbstrakt ................................................................................................................................... VIIAbstract .................................................................................................................................... IXPredhovor ................................................................................................................................. XIObsah ...................................................................................................................................... XVÚvod ........................................................................................................................................... 11 Súčasný stav výskumu vyučovania pravdepodobnosti ...................................................... 31.1 Aktuálnosť problematiky ............................................................................................. 31.2 Výskumy z didaktiky kombinatoriky, štatistiky a pravdepodobnosti ......................... 91.3 Didaktické problémy pri vyučovaní pravdepodobnosti ............................................. 132 Prehľad vyučovania kombinatoriky, štatistiky a pravdepodobnosti ................................ 182.1 Učebné osnovy .......................................................................................................... 182.2 Učebnice pre ZŠ ........................................................................................................ 202.3 Publikácie doplňujúce vyučovanie pravdepodobnosti .............................................. 283 Historicko-epistemologická analýza pojmu pravdepodobnosti ....................................... 323.1 Pojem pravdepodobnosti v 17. storočí – Fermat, Pascal a Huygens ......................... 333.2 Pojem pravdepodobnosti v 18. Storočí – Bernoulli, Moivre a Bayes ....................... 343.3 Pravdepodobnosť v 19. storočí – Laplace ................................................................. 363.4 Moderná teória pravdepodobnosti – Von Mises, Ramsey, De Finetti, Kolmogorov 374 Ciele, metódy a hypotézy práce ....................................................................................... 404.1 Ciele práce ................................................................................................................. 404.2 Metódy experimentálnej časti .................................................................................... 414.3 Hypotézy práce .......................................................................................................... 47XV

5 Predbeţná sonda ............................................................................................................... 505.1 Závery prvej etapy predbeţnej sondy ........................................................................ 515.2 Závery druhej etapy predbeţnej sondy ...................................................................... 605.3 Závery predbeţnej sondy ........................................................................................... 626 Experiment ....................................................................................................................... 636.1 Zadania úloh experimentu ......................................................................................... 646.1 Metóda vyhodnotenia úloh ........................................................................................ 667 Vyhodnotenie experimentu .............................................................................................. 687.1 Vyhodnotenie jednotlivých úloh ............................................................................... 708 Chybná argumentácia v pravdepodobnostných úlohách .................................................. 778.1 Porovnanie chýb v úlohách Karty a Kakao ............................................................... 778.2 Chyby v argumentoch v úlohe Klobúky .................................................................... 839 Výsledky práce ................................................................................................................. 879.1 Overenie hypotéz ....................................................................................................... 879.2 Analýza riešiteľských postupov medzi úlohami ........................................................ 889.3 Vyhodnotenie pomeru blokujúcich faktorov ............................................................. 979.4 Návrhy metód vyučovania pravdepodobnosti ........................................................... 9910 Záver ............................................................................................................................... 10711 Zoznam bibliografických odkazov ................................................................................. 109XVI

ÚvodPravdepodobnosť a vyučovanie matematiky sú oblasti matematiky a didaktiky matematiky,ktoré ma zaujímajú uţ od konca štúdia na druhom stupni základnej škole. Odborne som sapravdepodobnosti venoval najmä počas štúdia na vysokej škole, kde som ju vyštudoval akohlavný odbor.Predkladaná práca, Pravdepodobnostné myslenie ţiakov na základnej škole, sa zaoberápravdepodobnostným myslením ţiakov na základnej škole s pohľadu úrovne argumentáciea skúma podmienky rozvoja tohto myslenia a podmienky, resp. faktory, ktoré blokujúpravdepodobnostné myslenie ţiakov.V prvej kapitole sme podľa modelu poznávacieho procesu zhrnuli súčasný stavvyučovania pravdepodobnosti v okolitých krajinách, pretoţe majú podobný systémvyučovania ako je u nás.V druhej kapitole sa venujeme učebniciam z ktorých sa na Slovensku pedagógoviaučili a aj tie z ktorých učia kombinatoriku, štatistiku a pravdepodobnosť.V tretej kapitole sme analyzovali vznik pojmu pravdepodobnosti z historickéhopohľadu.V štvrtej kapitole sme si stanovili ciele práce a hypotézy práce a popísali sme zvolenévýskumné metódy a metódy vyhodnotenia.Piata kapitola je venovaná predbeţnej sonde. Na základe tejto sondy sme následnevybrali úlohy do experimentu a spísali sme metodiku vyhodnotenia riešení respondentov.V šiestej kapitole uvádzame popis priebehu experimentu a metódu jeho vyhodnotenia.Experiment sa uskutočnil v roku 2007, bol zameraný najmä na ţiakov vo veku 13-15 rokova zúčastnilo sa ho 535 respondentov.1

V siedmej kapitole uvádzame vyhodnotenie experimentu pomocou základnýchštatistických charakteristík.V ôsmej kapitole vyhodnocujeme typy riešenia respondentov z experimentu a vzťahymedzi riešiteľskými postupmi v rôznych úlohách experimentu.V deviatej kapitole sme zhrnuli výsledky našej práce, overili sme stanovené hypotézy,určili sme pomer faktorov blokujúcich pravdepodobnostné myslenie ţiakov a navrhli smepostupy a metódy, ktoré môţu zníţiť vplyv týchto faktorov pri vyučovaní pravdepodobnostina základnej škole.V desiatej kapitole sme zhrnuli plnenie cieľov práce a ukázali sme na moţné cesty,ktorými by mohol pokračovať výskum v tejto oblasti.Práca obsahuje aj viacero príloh. V prílohe A1, A2 a A3 sme uverejnili zadania úlohz prvej etapy predbeţnej sondy, druhej etapy predbeţnej sondy a aj zo samotnéhoexperimentu. V prílohe B uvádzame metodiku klasifikácie ţiackych riešení. V prílohách C1,C2 a C3 uvádzame dotazníky z jednotlivých častí výskumu prepísané do elektronickejpodoby. V prílohe D uvádzame histogramy rozloţenia pravdepodobnosti z optimalizačnejúlohy Klobúky.2

1 Súčasný stav výskumu vyučovaniapravdepodobnostiV prvej časti tejto kapitoly sme sa venovali rôznym aspektom výučby pravdepodobnostidiskutovaným v odbornej literatúre. Jednotlivé práce sme začlenili podľa modelupoznávacieho procesu (Hejný 1990, str. 23). V druhej časti uvádzame prehľad výskumovv didaktike kombinatoriky, pravdepodobnosti a štatistike. V závere kapitoly sme zhrnuliaspekty, ktoré môţu výrazne vplývať na výučbu pravdepodobnosti na základnej škole.1.1 Aktuálnosť problematikyMnohé odborné články a vedecké monografie kritizujú súčasný stav vyučovaniapravdepodobnosti. Vybrali sme z nich tie najdôleţitejšie analyzujúce vyučovaniepravdepodobnosti v okolitých krajinách, kde je podobný školský systém ako na Slovensku.Z hľadiska teórie poznávacieho procesu je prvou a zdá sa ţe aj najdôleţitejšou fázoupoznávania motivácia. Z tohto hľadiska je výučba teórie pravdepodobnosti náročná, pretoţeje ťaţké nájsť dostatočné mnoţstvo takých úloh, ktoré by ţiakov oslovili a bolo by v ichmoţnostiach tieto úlohy úspešne vyriešiť. Na tento fakt poukazuje aj prof. Adam Płockiz pedagogickej univerzity v Krakove v článku Stochastický aspekt matematickéhovzdelávania – pravdepodobnosť v „matematike pre kaţdého“ píše:Ţiaci počítajú pravdepodobnosti javov, i keď môţeme pochybovať, či poznajú zmyseltýchto výpočtov. Väčšinou nevieme kto, v akej situácii a prečo vymyslel úlohu, ktorú ţiak musíriešiť. Výpočty väčšinou nemajú ţiadnu motiváciu. Keď hovoríme o „matematike prekaţdého”, nemôţeme túto motiváciu zanedbať. (Płocki 2000, str.1)3

Aj v našich učebniciach sa stretávame s podobnými úlohami, kde výpočty nemajúmotiváciu v zadaní úloh a potom je pre učiteľa náročnejšie nadchnúť triedu prepravdepodobnosť.Druhou fázou v modeli poznávacieho procesu sú separované modely. Pri poznávaníprincípov a zákonitostí náhody ich nemôţeme obchádzať. Separované modely sa vţdy viaţuk nejakému generickému modelu (v staršej terminológii univerzálnemu modelu). Základnýmprincípom klasickej kombinatorickej pravdepodobnosti je pomer priaznivých moţnostía všetkých rovnako pravdepodobných moţností. Domnievame sa, ţe pred zavedením tejtoLaplasovej schémy je potrebné, aby sa ţiaci stretli s argumentovaním pomocou symetriev úlohách bez prvku náhody a v úlohách s prvkom náhody, aby neskôr rozumeli a dokázalipracovať s náročným pojmom rovnako pravdepodobných udalostí. Tento fakt kritizuje aj prof.Milan Hejný z pedagogickej fakulty Karlovej univerzity v 11. kapitole vysokoškolskejučebnici Teória vyučovania matematiky 2 (Hejný 1990), ktorý vyčíta súčasnému vyučovaniupravdepodobnosti vynechávanie „historických“ etáp, predovšetkým preskakovanieseparovaných modelov.Vyučovanie pravdepodobnosti sa zvyčajne začína definícioumP( A) , čím sa,npodobne ako v kombinatorike, preskakuje v ontogenéze celé fylogenetické obdobieseparovaných modelov. V prípade teórie pravdepodobnosti ide o tri storočia, od objaveniaAmeriky aţ po Napoleonov ústup z Moskvy. Uvedený nedostatok vyučovaniapravdepodobnosti dnes pociťujú v mnohých krajinách. Hľadaniu novej koncepcie venujúviacerí metodici matematiky veľké úsilie. (Hejný 1990, str. 480)V slovenských učebniciach sa problému s nesymetrickými udalosťami venuje aţučebnica (Kubáček 2009). Ţiaci musia riešiť úlohy nesymetrickými kockami. V Čechách satomuto problému venuje prof. M. Hejný v učebniciach (Hejný 2007a,b,c, 2008a,b,c4

2009a,b,c) pre prvý, druhý, tretí a štvrtý ročník ZŠ, ktoré vyšli aj spolu s metodickýmipríručkami pre učiteľa. Uţ v prvej triede na ZŠ zavádza rôzne prostredia. Náhodnú udalosťv nich pouţíva ako generátor rôznych zadaní. Napríklad úloha pri ktorej hodíme modroua červenou kockou. Uvediem popis situácie, ktorá môţe pri vyučovaní nastať: Dieťa sapostaví na číselnej osi na číslo ktoré padlo na červenej kocke a potom mu učiteľ zadá presnedivadelne popísaný pokyn podľa modrej kocky (napr. „sprav 4 kroky vpred, začni teraz,“ celátrieda odrátava a ţiak v tomto rytme kráča svoje 4 kroky). V ďalších kolách sa môţu ţiacimeniť a neskôr aj tipovať na ktorom políčku daný ţiak skončí. Pri osobnom rozhovores autorom mi autor vysvetlil, ţe cieľom takýchto hier, z oblasti pravdepodobnosti, jeskúsenosť ţiakov ţe súčet 2 a 12 padá na dvoch kockách menej často ako ostatné súčty.K tejto skúsenosti však majú ţiaci prísť aţ pribliţne po jednom roku práce s týmtoprostredím. Toto prostredie učebnica vyuţíva aj v ostatných ročníkoch, preto kaţdý ţiak sitento objav môţe osvojiť v rôznom čase.Ďalším štádiom poznávacieho procesu je vytvorenie generického modelu. Sémantickázloţitosť úloh o pravdepodobnosti prispela v dejinách matematiky k neskorému objaveniuzákladných princípov univerzálnej teórie. Zloţitosť jednej známej historickej úlohy siukáţeme v kontexte podľa článku Pravděpodobnost ve starověku a středověku (Saxl 2004),ktorého autorom je prof. Ivan Saxl:Úloha je dnes nazývaná „úloha o rozdelení stávky“. Táto úloha nebola správnevyriešená najmenej dve storočia. Prvé písomné zmienky o nej sa vyskytujú v talianskychrukopisoch zo 14. a 15. storočia. Súčasný americký matematik Oystein Ore našiel zmienkuo tejto úlohe v rukopise z roku 1380 avšak častejšie sa spája s postavovouLuca Pacioli,ktorý ju uvádza vo svojej knihe z roku 1494. (Saxl 2004, str. 102j)5

Autor píše o tejto úlohe v ktorej dvaja hráči (pozn. autora rovnako silní) hrajú zápasna 6 víťazných hier. V momente, keď bol stav 5:3, museli hru prerušiť. V akom pomere simajú hráči rozdeliť stávku, aby toto rozdelenie zodpovedalo ich šanci na výhru?Luca Pacioli (1445 – 1517) v roku 1494 uvádza v knihe pomer 5:3, podľa počtudoteraz vyhratých zápasov. Niccolo Fontana Tartaglia (1499 – 1557) v roku 1556 kritizujetoto riešenie myšlienkovým experimentom, v ktorom by museli zápas prerušiť pri stave 1 : 0 ,tak pri rovnakom princípe delenia by dostal celú stávku prvý hráč. Giovanni FrancescoPeverone (1509 – 1559) v roku 1558 riešil túto úlohu spôsobom, pri ktorom uţ nebral doúvahy minulosť, ale zameriaval sa len na budúcnosť, uvádza pomer 6 : 1. Zásadu neopierať sao minulosť aţ neskôr sformuloval Girolamo Cardano (1501 – 1576) ako princíp úmernosti:Vyhraná stávka má byť úmerná počtu spôsobov, ktorými je moţné vyhrať. Aţ o sto rokovbolo, na základe tohto princípu, podané správne riešenie tejto úlohy Blaisom Pascalom(1623–1662) a Pierrom Fermatom (1601–1665) a to 7 : 1.Touto historickou úlohou bol inšpirovaný aj RNDr. Hynek Bachratý ako autor článkuŠtyri nepravdepodobné príbehy (Bachratý 2005). Autor tu popísal štyri prednáškyo pravdepodobnosti. Prvá z nich je O zabavených kartách a kolónii netopierov, v ktorej je tátoúloha o rozdelení stávky pekne didakticky spracovaná. Autor uvádza, ţe téma jenajvhodnejšia pre šikovných ţiakov ZŠ od 7. ročníka. Vytvorenie generického modelu je preţiakov rovnako náročné ako to bolo pre skúsených matematikov v minulosti a preto by smenemali preskakovať priamo k týmto modelom pri vyučovaní pravdepodobnosti.Veľkou pomocníčkou pri vyučovaní pravdepodobnosti nám môţe byť oblasťparadoxov v teórií pravdepodobnosti. Jednotlivé paradoxy nám môţu slúţiť ako motivačnéúlohy alebo práve pre hlbšie porozumenie niektorým vzťahom v tejto teórií. Tejtoproblematike sa venuje kniţka Pravdepodobnosť okolo nás (Płocki 1995). Z motivačnýchpríkladov uvedených v tejto publikácií spomeniem aspoň niekoľko: Paradox spoločných6

narodenín podľa ktorého je v náhodne vybranej skupine väčšej ako 22 člennej viac ako 50%šanca, ţe aspoň dvaja členovia tejto skupiny majú narodeniny v ten istý deň v roku,netranzitívne kocky – netranzitívne relácie, kde je v hre s kockami pre dvoch hráčov,výhodnejšie vyberať si z troch kociek ako druhý pretoţe jedna kocka je výhodnejšia akodruhá, druhá je výhodnejšia ako tretia a tretia je paradoxne výhodnejšia ako prvá (Płocki1995, str. 125, 224). Medzi známe paradoxy z oblasti aritmetiky patrí Simpsonov paradoxrozobraný v knihe Matematika náhody (Anděl 2000, str. 11 a ďalej.). Ukazuje na problémy,ktoré môţu vzniknúť pri neopatrnom zaobchádzaní s percentami či zlomkami. V oblastigeometrickej pravdepodobnosti sa môţeme stretnúť so známym Bertrandovým paradoxom,ktorý bol publikovaný v roku 1889. Podrobne je popísaný napr. v knihe PhilosophicalTheories of Probability (Gillies 2000, str. 37 a ďalej.). Opiera sa o viacznačnosť pojmu„zvoľme si náhodne“. Anděl vo svojej knihe publikoval i klasickú školskú úlohu. Upozorňujeautorov úloh o pravdepodobnosti na chyby, ktoré sa môţu vyskytnúť pri nepresnej formulácii.Jedna zo spomínaných úloh znela:Ţiaci 4. triedy jedného gymnázia dostali túto domácuúlohu: Aká je pravdepodobnosť toho, že pri hode dvoma kockami padne súčet väčší akošesť, za predpokladu, že na jednej kocke padne číslo dva? (Išlo o úlohu zo známej zbierkypríkladov, kde sa ako výsledok uvádza 1 9 ) Anděl (1987, str.5)Autor ukazuje tri moţné „správne“ riešenia tejto úlohy ( 1 3, 4 11, 2 5 ) pričom autoriučebníc uvádzajú „správny“ výsledok iba jeden ( 1 9 ). V úlohe sa píše „za predpokladu, ţe najednej kocke padne číslo dva.“ Túto udalosť môţeme predpokladať tromi spôsobmi:- Dvojka padne na jednej konkrétnej kocke, povedzme na prvej kocke([2, i], i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) Pravdepodobnosť je 1/3.- Dvojka padne práve na jednej kocke([2, i], [j, 2] i, j = 1, , 3, 4, 5, 6) Pravdepodobnosť je 4/10 = 2/5.- Dvojka padne aspoň na jednej kocke([2,2], [2,i],[j, 2] i, j = 1, , 3, 4, 5, 6) Pravdepodobnosť je 4/11.7

V zátvorkách sú dane moţnosti vypísané, pričom hrubo sú vyznačené priaznivéAutori mali na mysli jednoduchú úlohu, ktorej znenie by mohlo vyzerať nasledovne:Aká je šanca, že na dvoch kockách padne súčet väčší ako 6 A SÚČASNE na jednej zkociek padne dvojka?V tomto prípade sú 4 priaznivé moţnosti z 36. Pravdepodobnosťje 1/9.Úloha je čiastočne zbavená kontextu. V závislosti od pohľadu riešiteľa a teda aj odpôvodného kontextu úlohy existuje viacero moţných interpretácií jednoducho zadanej úlohy.Tento fakt môţe učiteľ vyuţiť pre podnietenie diskusie v triede.Pri riešení úloh z oblasti pravdepodobnosti sa stretávame takmer výlučne so slovnýmiúlohami. V článku Slovní úlohy v 8. a 9. ročníku ZDŠ (Křišťan 1970), Josef Křišťanvysvetľuje rozdiel medzi syntetickou a analytickou metódou riešenia slovných úloh. , píšeo svojich skúsenostiach pri vyučovaní slovných úloh, ale aj o obsahu vtedajších učebníc.Prečo sa priemerným ţiakom nedarí riešiť zloţitejšie slovné úlohy? Po dlhšomskúmaní som zistil, ţe hlavnou príčinou je syntetická metóda riešenia slovných úloh. Tátovyhovuje v jednoduchších slovných úlohách. Ak si ale ţiak nedokáţe po prečítaní zadaniastanoviť plán, potom si začne náhodne, bez väčšieho logického odôvodnenia zoraďovaťpodmienky úlohy a vykonáva na nich naučené aritmetické operácie. Po tomto zistení somzačal učiť ţiakov riešiť úlohy aj analyticko-syntetickou metódou a výsledky sa dostavili. Ţiacisi pri zloţitejších úlohách viac osvojili túto metódu. Naučiť túto metódu ţiakov bolo spočiatkudosť náročné, pretoţe sa od 1. triedy učia riešiť úlohy väčšinou syntetickou metódou. V 4. a 5.ročníku je pár vzorovo vyriešených príkladov aj na analyticko-syntetickú metódu, ale od6.ročníka sú v učebniciach úlohy, ktoré vedú ţiakov a učiteľov takmer systematicky k riešeniuúloh syntetickou metódou. Je síce pravda, ţe si môţe učiteľ vybrať ako bude učiť, alespravidla pouţíva pri riešení slovných úloh tie metódy, ktoré sa uvádzajú v učebniciacha metodických príručkách.(Křišťan 1970, str. 411 a ďalej.) Domnievame sa, ţe úlohy8

z teórie pravdepodobnosti patria medzi náročnejšie úlohy aj preto, ţe ţiaci nevedia riešiťúlohy analytickou metódou.1.2 Výskumy z didaktiky kombinatoriky, štatistiky apravdepodobnostiV tejto kapitole spomenieme niektoré z výskumov didaktiky kombinatoriky, štatistikya pravdepodobnosti, ktoré sa venujú ţiackym riešeniam, prístupom učiteľov matematikyk vyučovaniu pravdepodobnosti ako aj samotným metódam výučby v tejto oblasti. Materiálsme rozdelili podľa toho, či je výskum zameraný na postoje učiteľov, myslenie ţiakov, alebosa zameriava na metódy vo vyučovaní pravdepodobnosti.V školskom roku 1998/99 bol v Prešovskom a Košickom kraji vykonaný prieskummedzi učiteľmi matematiky, týkajúci sa výučby kombinatoriky na ZŠ. Zúčastnilo sa ho205 učiteľov. Zo záverov vyplynuli nasledujúce skutočnosti:1. Učitelia priznávajú medzery v odborných vedomostiach z kombinatoriky a hlavne pociťujúnedostatky v metodickej príprave na výučbu tejto témy.2. Zaradenie kombinatoriky do učebných osnov ZŠ povaţuje väčšina pedagógov za vhodné.3. Učitelia nemajú jasnú predstavu o tom, čo a ako majú v kombinatorike ţiakov naučiť,mnohí nevedia sformulovať cieľ výučby.4. Absentuje poznanie kombinatorických metód (okrem vypísania všetkých moţností agrafického znázornenia).5. Subjektívne pocity učiteľov z doterajšej výučby kombinatoriky sú viac-menej neutrálne.Reakcie ţiakov na toto učivo hodnotia skôr pozitívne.(Scholzová, 2001, str. 114)K dispozícii sú dve alternatívne sady učebníc „klasická sada“ (Šedivý) a „netradičnásada“ (Repáš) pre výučbu matematiky, a teda aj kombinatoriky a pravdepodobnosti. Podľa9

výskumu RNDr. Ivety Scholzovej, PhD. sa učitelia vo väčšine prípadov rozhodnú pri výberepre „klasickú” a nie pre „netradičnú” učebnicu. V školských rokoch 1998/1999 a 1999/2000bolo v Prešovskom a Košickom kraji uskutočnených v jednotlivých okresoch v rámcimetodických dní niekoľko stretnutí s učiteľmi matematiky ZŠ na tému – výučbakombinatoriky na ZŠ. Uvádzame niekoľko postrehov o výučbe kombinatoriky na ZŠ, ktoréučitelia ocenili pozitívne. Mnohí priznali, ţe si uvedené skutočnosti málo alebo vôbec vdaných situáciách neuvedomili:1. Kombinatorika má veľmi blízko k reálnemu ţivotu, naša kaţdodenná činnosť závisí od toho,ako „kombinujeme“.2. Učiť v súčasnosti kombinatoriku cestou „tvrdého systému“, t. j. snaha o pouţívanievzorcov, nie je ten smer, ktorý by mal šancu zaujať ţiaka.3. Obmedziť sa pri výbere kombinatorických úloh len na tie klasické, t. j. usporadúvaniečíslic, rozmieňanie mincí a pod., je nepostačujúce.4. Šancu pritiahnuť ţiaka majú len také úlohy, ktoré ho presvedčia, ţe kombinatorika je „oţivote“.5. Dbať na to, ţe kombinatorické úlohy často krát v sebe skrývajú nejednoznačnosť v zadaní,jednotliví ţiaci, a samozrejme aj učiteľ, môţu jeden text pochopiť rôznymi spôsobmi.6. Mať neustále na pamäti, ţe ţiaci môţu prekvapiť učiteľa a prísť s riešením, ktoré je iné, akoočakáva. Správna reakcia v takejto situácii je nevyhnutná, aby nebola potlačenátvorivosť ţiaka.7. Výučba kombinatoriky je náročná na prípravu učiteľa.8. Je potrebné ukázať ţiakom a presvedčiť ich o tom, ţe dôleţitou činnosťou pri riešeníkombinatorických úloh je organizácia práce, t. j. vytvorenie si systému.9. Zdôrazniť význam grafického znázornenia, ktoré je veľmi efektívnou pomôckou.10

10. Venovať sa riešeniu aj takých úloh, v ktorých je problematické identifikovať, čo je rovnakéa čo je rôzne.11. Zaradiť do výučby také typy kombinatorických úloh, v ktorých sa vyskytujú situácie sopakovaním jednotlivých prvkov. Pri ich riešení sa často vyskytujú problémy.12. Nestrácať zo zreteľa skutočnosť, ţe algoritmické postupy nevedú vţdy k cieľu, ţe vkombinatorike je veľa úloh, v ktorých je nutné pouţiť netradičné spôsoby riešenia.(Scholzová, 2001, str. 115)V práci Štatistické myšlení a jeho vyuka (Saxl 2005a, str. 9 a ďalej.) zhŕňa prof. IvanSaxl výskumy pravdepodobnostného myslenia v západnej Európe. Z jeho rozsiahlej práceuvádzame niekoľko relevantných výsledkov.Rozsiahly výskum prístupu ţiakov vo veku 6 aţ 14 rokov k náhodným javom prebeholv Taliansku v rokoch 1975 aţ 1980, ktorý vykonala Maria Pai Perelli D’Argenzio a výsledkypublikovala v článku The teaching of Probability and Statistics in Italian compulsory schools(Perelli 1989) . Ako prvý stupeň výchovy sú odporúčané jazykové úlohy pretoţe sa zistilo, ţeţiaci majú problémy s termínmi beţne pouţívanými v štatistike a pravdepodobnosti. Ţiacimali dopĺňať do neúplných viet slová: istý, neistý a nemoţný. Ţiaci na jednej strane nevedelipresne, čo znamená slovo neistý, na druhej strane boli ich odpovede ovplyvnené emóciami.Napríklad úspech svojich futbalistov takmer všetci povaţovali za istý.Schopnosť kvalitatívne posúdiť elementárnu pravdepodobnosť bola sledovaná naurnovom modeli s priehľadnými nádobami a čiernymi (Č) a bielymi (B) guľôčkamis nasledujúcim obsadením: 6B, 2Č ; 3Č ; 5B, 3Č ; 4B. Ţiaci mali určiť urnu, v ktorej jenajvyššia pravdepodobnosť vytiahnutia bielej guľôčky. Prekvapivo sa objavovali odpovede„Prvá urna.“ (najviac bielych) a „Je to jedno.“Je len málo didaktických výskumov venovaných geometrickej pravdepodobnosti. O tocennejší je projekt, ktorý zrealizoval Dr. David Green na britských školách na počte pribliţne11

6 000 ţiakov vo veku od 7 do 16 rokov. Výsledky publikoval v článku School pupils’understanding of randomness v roku 1991. Na štvorčekovom papieri boli bodkami vyznačenékvapky daţďa, resp. vločky snehu, a ţiaci mali určiť, ktorý obrázok zodpovedá náhodnémupadaniu daţďa či snehu. Ţiaci vo väčšine prípadov za náhodné povaţovali také rozmiestnenie,ktoré nevytváralo zhluky. Zhluky pripúšťalo len 15-25 % ţiakov, podľa kontextu (či išloo dáţď, či o sneh). U starších ţiakov sa vyskytli horšie výsledky. Ţiaci neboli v ţiadnom vekuna tento problém pripravení a pojem „náhodný“ im nebol vôbec jasný. Jeho chápanie savekom nelepšilo. Podobne dopadla aj obrátená úloha, keď mali ţiaci kresliť bodky sami.„Z vlastních zkušeností mohu konstatovat, ţe i dospělí absolventi vysokých škol pozorujícínáhodné rozmístnění, bývají překvapeni jak přítomností a početností shluků, tak velikostíprázdných oblastí“ Vyplýva z toho, ţe pod mierne narušenou pravidelnosťouintuitívnechápeme rovnomernú náhodnosť, alebo aj vzájomnú nezávislosť polôh.Na Slovensku sa problematike výučby pravdepodobnosti pomocou počítačov venuje ajučiteľka matematiky a informatiky PaedDr. Erika Kaňová. Vo svojom článku Podporavyučovania pravdepodobnosti pomocou počítača (Kaňová 2002) zhŕňa skúsenostis pouţívaním softvéru pri vyučovaní pravdepodobnosti.Program PRAVDEPODOBNOSŤ 5.1 bol vytvorený ako prostriedok podporujúcivyučovanie pravdepodobnosti na gymnáziách a stredných školách v rámci povinnéhopredmetu matematika. Dá sa vyuţiť aj na rozšírené vyučovanie teórie pravdepodobnosti akonepovinného predmetu. Program je vytvorený pre pedagógov i študentov. Pedagóg jehomoţnosti vyuţije napríklad pri výklade. Generuje výsledky zvolenej situácie – pokusu a natejto simulácii vysvetlí pojem pravdepodobnosti. Pri skúšaní si môţe generovať skúšobnétesty, tieto potom zadať ţiakom, testovať ich „on line“ alebo „off line“ a výsledky testovspracovať, vyhodnotiť a analyzovať jednotlivé didaktické testy. (Kaňová 2002)12

Maciej Major a Barbara Nawloska vo svojom článku Gra strategiczno-losowa jakośrodek aktywizacji matematycznej uczniów (Major, Nawolska 2002) píšu o hre a zábave, ktorésú podstatnou formou vzdelávania detí a môţu byť dobrou motiváciou pri zrodematematizácie náhody, ako to bolo i v dejinách. Navrhujú do vyučovania zaradiť jednoduchémotivačné hry s kockou, osemstenom i dvadsaťstenom.1.3 Didaktické problémy pri vyučovaní pravdepodobnostiVýskumy uvedené v predošlých kapitolách naznačujú, ţe vyučovaniepravdepodobnosti je náročné. Aby sme sa mohli v tejto zloţitej problematike orientovaťnavrhujeme rozdeliť didaktické problémy do niekoľkých oblastí:Nedostatočne zvládnutá predchádzajúca látkaNedostatočná predstava o náhodnostiKontextová náročnosť slovných úlohV tejto kapitole sa budeme kaţdej z týchto oblastí venovať podrobnejšie.1.3.1 Nedostatočne zvládnutá predchádzajúca látkaPod nedostatočne zvládnutou teóriou pravdepodobnosti sa môţe skrývať hneď viaceronedostatkov, nakoľko teória pravdepodobnosti nadväzuje na viacero matematických oblastí.Problémy s operáciami so zlomkamiV teórií pravdepodobnosti sa nachádzajú rôzne situácie, v ktorých je potrebnéporovnávať veľkosti, obsahy, ale i mnoţstvá, a preto môţu mať niektorí ţiaci problémaplikovať v týchto situáciách naučené poznatky z aritmetiky. Nepriamo na tento problémpoukazujú viaceré výskumy týkajúce sa urnového princípu, spomenieme napr. The teachingof Probability and Statistics in Italian compulsory schools (Perelli 1989). Na zdanlivýchpravdách z tejto oblasti je postavený i známy Simpsonov paradox.13

Problémy s veľkým počtom numerických operáciíPočítanie spamäti je takmer nevyhnutnosťou pri mnoţstve drobných výpočtocha úvahách v teórii pravdepodobnosti. Ak však u ţiaka nie je dostatočne zautomatizovanésčitovanie, odčitovanie a malá násobilka, tak sa často dopustí chyby aj pri jednoduchejúprave. Ak sa ţiak rozhodne v takýchto prípadoch pouţívať kalkulačku, môţe stratiť prehľado postupe, ktorý si stanovil. Často musí ţiak venovať veľkú pozornosť pri písaní výrazu dokalkulačky, napríklad umiestneniu zátvoriek pri komplikovanejších zlomkoch.Problémy s predstavou a operáciami s veľkými číslamiProblémom však môţu byť i operácie s veľkými, aţ nepredstaviteľnými mnoţstvamimoţností, ktoré sa v kombinatorike často vyskytujú. Na túto skutočnosť upozorňujemetodická príručka Propedeutika kombinatoriky a teórie pravdepodobnosti vo vyučovanímatematiky na ZŠ a v niţších triedach gymnázia (Jodas 1998). Túto predstavu sa snaţíu ţiakov budovať niekoľkými príkladmi a úlohami o stávkach medzi učiteľom matematikya ţiakmi. Úlohou ţiakov je napríklad zistiť, či geometrická postupnosť prerastie postupnosťaritmetickú. Ţiaci sa pritom vypísaním niekoľkých členov dostávajú do oblasti veľkých čísel.S touto koncepciou dôleţitosti predstavy o veľkých číslach je písaný i zvyšok práce.Problémy s tvorbou systémuPod kombinatoriku neoddeliteľne patria úvahy o všetkých moţnostiach nejakéhostavu. Ţiaci sú schopní uchopiť dve riešenia konštrukčnej úlohy, ale v kombinatorikepotrebujú skúmať vlastnosti veľkého často nepredstaviteľného mnoţstva riešení. Pri tomtoskúmaní si potrebujú vytvoriť systém zoraďovania prvkov, hľadania moţností počiatočnýchpodmienok, ako aj systém pre rozlišovanie zhodného, rovnakého, podobného a rozdielneho.Systém je jedna z najdôleţitejších vecí, ktoré ţiaci potrebujú pre riešenie úlohz kombinatoriky, z teórie pravdepodobnosti a v neposlednom rade i pri riešení úloh zo ţivota.14

Problémy súvisiace s časovou následnosťou javovTáto oblasť sa v pravdepodobnosti vyskytuje pri podmienenej pravdepodobnosti,ale súvisí aj z dôleţitou nezávislosťou udalostí. V zadaniach úlohy z kombinatoriky ateórie pravdepodobnosti, ale aj pri ich riešení sa často nevyskytuje priama časová línia.Stáva sa, ţe problém je situovaný do minulosti. Otázka môţe znieť: „ Koľkými spôsobmito mohla urobiť?“, „Čo sa stane s počtom moţností, ak by som mal o jeden prvok viac?“Úvahy sa pri riešení môţu opierať o „skúsenosti “ z budúcnosti: „Ak ich rozdelímeakokoľvek, vţdy bude platiť, ţe ...“ Nakoľko sú moţnosti na prvý pohľad úplnerovnocenné je náročné ich bez systému chronologicky zoradiť. Nesmieme zabudnúť ani naklasický typ uvaţovania, ktorý ilustrujeme otázkou: „Čo sa stane s počtom moţností, ak sarozhodnem takto?“1.3.2 Nedostatočná predstava o náhodnostiPod nedostatočnou predstavou o náhodnosti sa môţe podpisovať niekoľko skutočností.Matematické skúsenosti v oblasti náhodných udalostí sa získavajú pomerne náročne, pretoţe snáhodnými dejmi sa zväčša stretávame v emocionálne vypätej situácii spojenej s hazardoma šťastím. Ţiaci si zväčša predstavia danú situáciu z pohľadu emocionálneho a matematickýpohľad je tým často skreslený. Ţiak musí často uvaţovať v budúcnosti a okrem toho si musívedieť predstaviť jav vo všetkých moţných stavoch. Ide o náročný myšlienkový proces, ktorýje však často len východiskom pre riešenie zadanej úlohy. Môţe tomu brániť:Zmysel pre spravodlivosť a morálkuCelý ţivot učíme deti ku spravodlivému deleniu a aţ v kombinatorike a teóriipravdepodobnosti sa prvýkrát stretávajú s iným významom slova rozdeľ. Ţe môţe ísťo problémovú úlohu, ak uvaţujeme o nespravodlivom delení, ukazuje aj práca MCRE úlohya školské úlohy, ktorej autorom je PaedDr. Ján Ďuriš. Úlohou ţiakov bolo rozdeliť šesť15

čokolád štyroch druhov: 3 vanilkové, 1 sójovú, 1nugátovú a 1 arašidovú medzi 2 deti tak, abymal kaţdý len dva druhy čokolád. Z práce uvádzame rozhovor experimentátora a ţiaka:Ţ: „To sa nedá, aj to je chyták.“E: „No, prečítajte si to ešte raz.“Ţ: „Veď! Tých čokolád je šesť.“E: „A ako si ich majú rozdeliť?“Ţ: „Aby kaţdý mal dva druhy… a tie druhy sú štyri – to sa nedá, vlastne, počkaj…(po chvíli) …Veď to nemusí byť spravodlivé!“Hneď potom píše tento ţiak do testu správnu odpoveď. (Ďuriš 2004)Vnímanie symetrie a náhodyNa jednej strane potrebujeme, aby boli ţiaci schopní uvaţovať o nesymetrických„nespravodlivých“ moţnostiach, ale na druhej strane je potrebné, aby vedeli rozpoznaťsymetriu v úlohách a na jej základe dokázali usúdiť rovnosť šancí nejakého javu, napr. pádjednej steny pri hode jednou kockou. Medzi najkomplikovanejšie pojmy v súvislosti sosymetriou patrí často pouţívaný pojem „zvoľme náhodne“. Ide totiţ o pojem, ktorý v sebenesie automatický predpoklad „nejakej“ symetrie. Väčšina paradoxov spomínanýchv predchádzajúcich kapitolách vyuţíva práve veľkú medzeru vo vnímaní tohto pojmu.1.3.3 Kontextová náročnosť slovných úlohPri vyučovaní pravdepodobnosti má veľký význam schopnosť ţiakov riešiť náročnejšieslovné úlohy, pretoţe sa stretávame takmer výlučne so slovnými úlohami a často sú v ichzadaniach nejednoznačné pojmy, čo môţe situáciu ešte viac skomplikovať.Viacznačnosť pojmovAutori úloh zjednodušujú a matematizujú jednotlivé problémy tak, ţe zbavujú úlohy„prebytočného“ kontextu. Táto matematizácia problémov pomáha učiteľom rýchlejšie16

postupovať pri precvičovaní algoritmov riešenia daných problémov a vďaka tejtomatematizácii sa do zbierok úloh vmestí na rovnakom rozsahu viac úloh. Problémom všakostáva v pravdepodobnostných úlohách viacznačnosť pojmov, ktoré sa z nepresných zadanínedajú doplniť. Podobne ako ţivot prináša úlohy v ktorých nie sú úplne jasné otázky ajv pravdepodobnosti sa s takýmito úlohami budeme stretávať. Povaţujeme za veľmi dôleţitéaby ţiaci o takýchto úlohách diskutovali, aby svoje riešenie dokázali verejne odargumentovať,aby sa prípadne snaţili doplňujúcou otázkou poţiadať o chýbajúce informácie. Mieraschopnosti danej triedy diskutovať a argumentovať určuje učiteľove moţnosti pre ďalší rozvojpravdepodobnostného myslenia ţiakov.Syntetický a analytický spôsob uvažovania pri riešení slovných úlohAko sme uţ spomínali pravdepodobnostné úlohy sú z pravidla slovné úlohy, ktoré sanedajú riešiť syntetickou metódou, teda pouţitím niekoľko málo algebraických úkonov nahodnotách zo zadania úlohy. Väčšinou je na mieste, ak sa derie na jazyk otázka, čo musímzistiť, aby som mohol odpovedať na otázku v zadaní. Jedná sa o analytickú metódu riešeniaúloh. Táto sa však v učebniciach nenachádza. Ako píše (Krišťan 1970) v článku Slovní úlohyv 8. a 9. ročníku ZDŠ autori učebníc radšej komplikovanejšie slovné úlohy vynechávajú. Takale ešte viac podporujú iba syntetický spôsob riešenia úloh. Pre učiteľov pravdepodobnosti jepotom takmer nemoţné naučiť ţiakov pýtať sa na podstatné informácie v úlohe v ktorej jemodel situácie často dosť abstraktný.17

2 Prehľad vyučovania kombinatoriky, štatistiky apravdepodobnostiV prvej časti tejto kapitoly uvádzame učebné osnovy pre vyučovanie matematiky nazákladnej škole v rokoch 1997-2008 vydané v roku 1997. V školskom roku 2008/2009 uţtieto osnovy neplatili pre piaty ročník a v školskom roku 2009/2010 neplatia ani pre piatya ani pre šiesty ročník ZŠ. Školy si môţu vytvoriť svoj školský vzdelávací program pre tietoročníky. V druhej časti kapitoly porovnávame aktuálne učebnice s niektorými staršímiučebnicami obsahujúcimi vyučovanie kombinatoriky, štatistiky a pravdepodobnosti. V záverekapitoly uvádzame publikácie doplňujúce vyučovanie pravdepodobnosti na ZŠ.2.1 Učebné osnovyPre vyučovanie pravdepodobnosti sú pre učiteľov dôleţitým materiálom učebnéosnovy. (Bálint 1997) Ako dôvod vyučovania pravdepodobnosti sa tu uvádza: „v súlade sosvetovým trendom, do učebných osnov je zaradená propedeutika kombinatoriky, štatistikya pravdepodobnosti.“ (Bálint 1997, str. 3) Učebné osnovy obsahujú i podrobnejšie ciele prejednotlivé tematické celky pre 6. aţ 9. ročník. V 5. ročníku sa v učebných osnováchnenachádza ani kombinatorika a ani pravdepodobnosť či štatistika.V 6. ročníku sa kombinatorike venuje tematický celok 8. Kombinatorika v úloháchs hodinovou dotáciou (10h/165h). Ako cieľ tohto celku sa v učebných osnovách uvádza:- Vedieť vypisovať všetky moţnosti podľa určitého systému.Obsahom vyučovania by mali byť:18

- Úlohy s kombinatorickou motiváciou a ich riešenie rôznymi spôsobmi.V 7. ročníku sa kombinatorike venuje tematický celok 11. Kombinatorika s hodinovoudotáciou (6h/165h). Ako cieľ tohto celku sa v učebných osnovách uvádza:- Vedieť pokračovať v systéme vypisovania všetkých prípadov.- V rôznorodých úlohách nájsť rovnakú matematickú podstatu.- V jednotlivých úlohách objaviť spôsob tvorenia moţných riešení.- Systematicky vytvárať všetky moţné riešenia.- Riešiť rôzne primerané kombinatorické úlohy.Obsahom vyučovania by mali byť:- Úlohy s kombinatorickou motiváciou a ich riešenie rôznymi spôsobmi.V 8. ročníku sa kombinatorike a pravdepodobnosti venuje tematický celok 9. Kombinatorikaa pravdepodobnosť s hodinovou dotáciou (7h/132h). Ako cieľ tohto celku sa v učebnýchosnovách uvádza:- Získať skúsenosti v pozorovaní udalostí.- Rozoznať isté, moţné, ale aj neisté a nemoţné udalosti.- Odhad pravdepodobnosti udalosti.- Chápať potrebu pouţitia relatívnej početnosti.Obsahom vyučovania by mali byť:- Pravdepodobnostné pokusy- Početnosť- Relatívna početnosť- Výpočet relatívnej početnosti19

V 9. ročníku sa kombinatorike, štatistike a pravdepodobnosti venuje tematický celok8. Kombinatorika štatistika a pravdepodobnosť s hodinovou dotáciou (13h/165h). Ako cieľtohto celku sa v učebných osnovách uvádza:- Vedieť zaznamenať a usporiadať údaje získané z praxe.- Vedieť usporiadané údaje graficky znázorniť.- Poznať význam termínov štatistický súbor, štatistická jednotka, znak,početnosť javu, relatívna početnosť, pravdepodobnosť udalosti.- Vedieť riešiť jednoduché úlohy s pravdepodobnostnou tematikou.Obsahom vyučovania by mali byť:- Štatistický súbor, jednotka, znak, početnosť javu, výpočet aritmetickéhopriemeru, relatívna početnosť , pravdepodobnosť.- Riešenie úloh s pravdepodobnostnou tematikou.2.2 Učebnice pre ZŠMomentálne sú na Slovensku dve alternatívne sady učebníc. Sadu „klasických“ učebnícnapísal prof. Ondrej Šedivý a kol. Táto sada je uţ kompletná a obsahuje všetky učebnice prematematiku na druhom stupni ZŠ. Učebnice nemajú metodické poznámky pre učiteľa. Druhúsadu učebníc napísal RNDr. Vladimír Repáš a kol. V tejto sade uţ vyšli učebnice pre 5., 6., 7.a 8. ročník ZŠ a metodické poznámky len pre 5., 6. a 7. ročník. Obe sady sú výnimočné. Súpísané rôznym štýlom a majú i rôznu náročnosť ako pre ţiaka, tak aj pre učiteľa. Učiteľ môţetieto učebnice kombinovať, a tak i systematicky precvičiť školské úlohy, ako aj spestriťhodinu náročnejšími či motivačnými úlohami. Výhodou pre učiteľa sú aj Metodické poznámkypre učiteľa, ktoré sú však len k druhej sade učebníc.20

Autori učebníc Mgr. Zuzana Berová a doc. Peter Bero vydali doplnokk druhostupňovým učebniciam z matematiky pod názvom Pomocník z matematiky pre 5., 6.,a 7. ročník. Uvedené pracovné zošity môţu poslúţiť najmä ţiakom. Pre učiteľov bola vydanáku všetkým týmto Pomocníkom metodika pod názvom Zošit pre učiteľa pre 5., 6., a 7. ročník.2.2.1 Prehľad učebníc pre 6. ročník ZŠZapletal F.; Matematika pre 6. ročník ZŠ, I. diel (Zapletal 1981).Učebnica bola v roku 1980 schválená ako učebnica matematiky pre 6. ročník ZŠ. Z 240 stránučebnice sa na 34 stranách autori venujú základným pojmom štatistiky a pravdepodobnosti.Ide o kapitolu IV. Základné pojmy štatistiky a pravdepodobnosti. V tejto kapitole je 10 stránvenovaných počtom z pravdepodobnosti.Kapitola začína príkladom s dvoma kockami a názvom „Hra so šťastím, alebo hra naistotu?“ Jav je definovaný ako podmnoţina mnoţiny všetkých moţných výsledkov pokusu.Ide o všeobecnú definíciu náhodného javu, kde sa nekladie ţiaden predpoklad na rovnakomoţné výsledky klasickej teórie. Autori však veľmi elegantne zvládli objasniť pojempravdepodobnosti a to nie presnou definíciou, ale len popisne, vypichnutím niekoľkýchvlastností ako z pohľadu frekvenčnej teórie, tak i z pohľadu klasickej teórie. Tie vlastnosti,ktoré ostali platné i pre axiomatickú teóriu v knihe na viac vyznačili.Frekvenčný pohľad: „Keď opakujeme pokus viackrát, zistíme, ţe pomernápočetnosť, z ktorej daný jav A nastáva, je blízka pravdepodobnosti P(A) javu A.“Kombinatorický pohľad: „Ak má náhodný pokus n moţných výsledkov a ak sú tietovýsledky rovnako pravdepodobné, tak kaţdý z nich má pravdepodobnosť n1 . “21

Všeobecné vlastnosti: „Pravdepodobnosť kaţdého javu je nezáporné číslo, pre ktoréplatí: 0 P ( A)1, pričom pravdepodobnosť nemoţného javu sa rovná nulea pravdepodobnosť istého javu sa rovná jednej.V knihe sa tieţ píše, ţe sa pravdepodobnosť javu veľmi často vyjadruje v percentách,čo je ilustrované aj s vysvetlením. Na 8 stranách sa nachádzajú okrem teórie i riešenépríklady, v ktorých sa pojednáva o pokusoch s dvoma kockami, o minciach a o náhodnomvyťahovaní guľôčok. Posledné 2 strany obsahujú 3 členité úlohy na tieto témy.Šedivý, O. a kol.; Matematika pre 6. ročník ZŠ, 2. časť (Šedivý 1999).Učebnica bola schválená ako alternatívna učebnica matematiky pre 6. ročník ZŠ v roku 1999.Zo 140 strán sa kombinatorike v úlohách venuje 18 strán učebnice. Jej obsahom jesystematické precvičovanie kombinatorických úloh najskôr s tromi, štyrmi neskôr i s piatimiprvkami. Úlohy sú písané v rôznych kontextoch a okrem vypísania všetkých moţností sav návodných príkladoch často vyskytuje aj stromový graf.Repáš, V. a kol.; Matematika pre 6. ročník ZŠ, 2. časť (Repáš 1999a)Učebnica bola v roku 1999 schválená ako alternatívna učebnica matematiky pre 6. ročník ZŠ.Uţ v 5. ročníku sa autori tejto sady učebníc venovali systému a poriadku. Kapitola je nazvanáAko šikovne zvládnuť veľa. (Repáš 1997). V tejto učebnici sa nadväzuje na piatackú učebnicupríkladmi z praxe. V hrozivo vyzerajúcom grafe všetkých vlakových trás sa dá zorientovaťhlavne vďaka rozumnému systému. Veľký dôraz sa kladie na schopnosť zoraďovať i väčšiemnoţstvá dát a to i do roviny, nielen na priamke. Silnú motiváciu tvoria zaujímavé kontextya najmä samotné problémy uvedených úloh. Ide o rôzne hry ako Pexeso, Hod s tromikockami, či iné vymyslené hry, signalizačné spôsoby ako Semafor a Morseova abeceda,22

Turnaj v basketbale alebo Parádnica - spôsoby obliekania sa dievčat do rôznych šiat,Hľadanie hesla na vkladnú kniţku, Policajné vyšetrovanie, či Narodeninová oslava.Úlohy tejto učebnice môţeme označiť ako ťaţšie, v porovnaní s predchádzajúcimisystematicky riešenými úlohami z alternatívnej učebnice (Šedivý 1999). V tejto učebnici savenuje veľa priestoru pre vytvorenie systému kaţdým ţiakom zvlášť, čím sa stáva preberanéučivo ešte náročnejším aj pre učiteľa. Pre učiteľa však vyšli k tejto učebnici metodicképoznámky.Repáš, V. a kol.; Metodické poznámky, Matematika pre 6. ročník, 2. diel (Repáš 1999b)V metodických materiáloch sú podrobne rozobraté ciele tejto kapitoly a vzorovo vyriešenéúlohy z kombinatoriky, pričom sú často vysvetlené i rôzne prístupy riešenia. Ako ilustráciuuvediem príklad: Ukladáme kartičky (76–79) Z orientácie v „ hotovom“ systémeprechádzame na dôleţitú etapu – budovanie potreby riešiť problémy tak, ţe si vytvoríme akýsivlastný systém v práci: v predchádzajúcej časti sme poukázali na vhodnosť poriadkuv informáciách, tu sa pokúšame ţiakov priviesť k systému, ako takýto poriadok vytvoriť. Je todôleţitá súčasť kombinatoriky. (Repáš 1999b, str. 34)Berová, Z. Bero, P.; Pomocník z matematiky pre 6. ročník ZŠ, 2. zošit (Berová, Bero 2005)Tento pracovný zošit je vhodným doplnkom ku obom učebniciam. Na deviatich stranách je tupredloţených 33 úloh, od klasických aţ po netradičné. Prínosom tohto pracovného zošita jeto, ţe ţiaci si môţu precvičovať svoje myslenie na viacerých primeraných úlohách, bezohľadu na to, ktorú učebnicu pouţívajú v škole. K zošitu autori napísali aj metodiku Zošit preučiteľa, Pomocník z matematiky pre 6. ročník ZŠ (Berová, Bero 2003), v ktorom učiteľnájde doplnené postupy riešení jednotlivých úloh, ale aj praktické komentáre k úlohám.23

2.2.2 Prehľad učebníc pre 7. ročník ZŠŠedivý, O. a kol.; Matematika pre 7. ročník, doplňujúci text, II. diel (Šedivý 1986)Učebnica bola v roku 1985 schválená ako doplňujúci text k učebniciam matematiky pre triedys rozšíreným vyučovaním matematiky a prírodovedných predmetov pre 7. ročník ZŠ.Kombinatorike a základom pravdepodobnosti sa venuje relatívne malý priestor. Učebnicakončí mnoţinovými príkladmi z teórie pravdepodobnosti v kapitole s názvom zloţitejšieúlohy z pravdepodobnosti. Ani pri určovaní pravdepodobnosti symetrických útvarov sanevyuţíva ich symetria, ale autori siahajú rovno ku frekvenčnému (štatistickému) pohľadu,pričom výpočet pomocou symetrie mlčky predpokladajú.Šedivý, O. a kol.; Matematika pre 7. ročník ZŠ, 2. časť (Šedivý 2000)Učebnica bola schválená v roku 1999 ako alternatívna učebnica matematiky pre 7. ročník ZŠ.Zo 160 strán je kombinatorike venovaných 14 strán na ktorých sa systematicky pokračujev precvičovaní niekoľko málo typov príkladov v rôznych kontextoch a z rôznych pohľadov.Okrem prístupov zo 6. ročníka sa tu objavujú aj nové prístupy ako uţ známe stromové grafy avypísanie všetkých moţností. Sú nimi planárne grafy a planimetrické kombinatorické úlohy.Repáš, V. a kol.; Matematika pre 7. ročník ZŠ, 2. časť (Repáš 2000)Učebnica bola v roku 1999 schválená ako alternatívna učebnica matematiky pre 7. ročník ZŠ.V celej kapitole Kombinatorika sa neuvádza ani raz všeobecný vzorec, ale ţiaci na neprichádzajú samostatne. Z tohto dôvodu sa v učebnici nachádzajú aj úlohy s väčším ajmenším počtom prvkov. Nie je úplne reálne, aby priemerný ţiak pochopil všetky uvedenépostupy, na druhej strane má na výber bohatú paletu prístupov. Môţe si vybrať postup,ktorým bude riešiť úlohy a sám usúdi, či mu tento postup postačuje pri väčšine úloh. Pestrépríklady z praxe tvoria v náročnej učebnici príjemne pútavý kontext, avšak náročnosť textu24

ľahko unaví i šikovného čitateľa. Podstatná časť pozornosti sa venuje kapitole Učíme saz cudzích chýb. Podľa tejto učebnice sa ţiakovi oveľa ťaţšie dobieha zameškané učivo. Musísa totiţ sám rozhodnúť, čo bude povaţovať za najdôleţitejšie. Na učiteľa naopak autorimysleli a napísali pre neho metodické poznámky k tejto učebnici.Repáš, V. a kol.; Metodické poznámky, Matematika pre 7. ročník ZŠ, 2. diel (Repáš 2001)Uvádzame úryvok z metodických poznámok:„V 7. ročníku pokračujeme v rozvíjaní kombinatorického myslenia. Najskôr zopakujemehľadanie systému pri vypisovaní niektorých typov kombinatorických situácií, potomprejdeme ku otázke koľko rôznych moţností môţeme takto vypísať. Takýmto rekurzívnymspôsobom zistíme, o koľko (koľkokrát) narastie počet moţností, ak zväčšíme početzákladných prvkov o jeden. Takto uvaţujeme o dvojprvkových kombináciách, neskôrprejdeme i na trojprvkové. Podobne postupujeme i pri permutáciách. Ţiakov privediemek pravidlu súčinu. Celok kombinatoriky nechávame otvorený. Ţiaci by mali byť pripraveníprejsť k výpočtu prvkov kombinácie cez vzorce, ale to prenechávame na strednú školu.V tomto veku to povaţujeme za predčasné. Nechajme ţiakov pracovať čo najviacsamostatne, pestujme v nich cit pre kombinatorické usporiadanie.“ (Repáš 2001, str. 37)Berová, Z., Bero, P.; Pomocník z matematiky pre 7. ročník ZŠ, 2. diel (Berová, Bero 2004a)Pomocník je vhodný doplnok k ľubovoľnej učebnici. Obsahuje pestré úlohy nadväzujúce naoba typy učebníc. Autori poukazujú aj na sémantickú náročnosť a cielene menia len málo slovv zadaní, pričom úloha má celkom iné riešenia. Na obrázku je daných 9 miest a úloha znie:Nakresli cesty z kaţdého mesta do kaţdého tak, abya) bola cesta z kaţdého mesta do kaţdého,b) sa z kaţdého mesta dalo dostať do kaţdého,c) sa z kaţdého mesta dalo dostať do kaţdého a aby bol počet ciest čo najmenší.(Berová, Bero 2004 a, str. 76)Náročnosť kombinatorických úloh je zjavná. Napríklad i táto úloha variant a) je v metodickejpríručke Zošit pre učiteľa, Pomocník z matematiky pre 7. ročník ZŠ (Berová, Bero 2004b),vyriešený chybne. Autori zabudli na to, ţe kaţdá cesta má dva konce. Inak sa v tejto25

metodickej príručke nachádzajú komentované postupy riešení jednotlivých úloh, ktoré sú preučiteľa dobrou pomôckou.2.2.3 Prehľad učebníc pre 8. ročník ZŠŠedivý, O. a kol.; Matematika pre 8. ročník ZŠ, 2. časť (Šedivý 2001)Učebnica bola schválená v roku 1998 ako alternatívna učebnica matematiky pre 8. ročník ZŠ.Zo 160 strán je kombinatorike a pravdepodobnosti venovaná 9. kapitola v rozsahu 16 strán.Autori sa v úvodnom probléme venujú najskôr rozdeleniu udalostí na tri skupiny a to naudalosti nemoţné, udalosti isté a udalosti náhodné. V ďalšom texte sa hneď objasňujerelatívna početnosť a taktieţ je tu spomenutá symetria či pravidelnosť ako tvorcapravdepodobnosti. Väčší dôraz sa kladie na experimentovanie a tým pádom na schopnosťvedieť odhadnúť pravdepodobnosť náhodnej udalosti. Po príkladoch, úlohách a cvičeniachs kockou, dvoma kockami a mincami, sa autori dostávajú k frekvenčnej definícií odhadupravdepodobnosti, aj keď slovíčko odhad im v texte pravdepodobne vypadlo:„Ak sa pri viacnásobnom opakovaní určitého pokusu relatívne početnosti konkrétnejudalosti blíţia, alebo kolíšu okolo konkrétneho čísla, potom toto číslo nazývamepravdepodobnosť tejto udalosti.“ (Šedivý 2001, str. 91)Pre konečný počet experimentov platí však skôr opačné tvrdenie, teda ak je pravdepodobnosťnejakej udalosti konkrétne číslo (ktoré poznáme napr. pomocou pouţitia symetrie), tak potomsa pri zvyšovaní počtu opakovaní pokusu relatívna početnosť konkrétnej udalosti skoro vţdyblíţi k tomuto číslu (k pravdepodobnosti).Preto ak pravdepodobnosť danej udalostinepoznáme, môţeme ju odhadnúť pomocou relatívnej početnosti. Definícia v učebnici je dosťkomplikovaná svojou abstraktnosťou.26

Učebnica sa ešte venuje aj nezávislosti javov a na príkladoch sa objasňuje ajpouţívanie deťom známej kombinatoriky pri počítaní klasickej pravdepodobnosti. Často saale v zadaniach vynecháva dôleţitý predpoklad o rovnako moţných udalostiach.Repáš, V. a kol.; Matematika pre 8. ročník ZŠ, 2. časť (Repáš 2002)Učebnica bola schválená v roku 2002 ako alternatívna učebnica pre 8. ročník ZŠ. V 6.kapitole Šanca a pravdepodobnosť sa tejto téme venujú na 14 stranách. V učebnici sanachádzajú rôzne úlohy precvičujúce aplikovanie zlomkov v pravdepodobnosti, ale aj otázkytypu, čo by som mal zmeniť (a kedy), aby sa napríklad vyrovnali šance nejakej udalosti.V ďalšom texte sa vysvetľuje rozdiel medzi pragmatickým a matematickým pohľadom,napríklad na hádzanie mincí. Celé dve strany sú venované geometrickej pravdepodobnosti čiskôr rôznym spôsobom výpočtu plochy geometrických útvarov. Rozdiel medzi rovnakomoţnými a nie rovnako moţnými moţnosťami je rozobratý z viacerých pohľadov. Autori siv tomto neodpustili náznak definície pravdepodobnosti pomocou vzorcamp , kde m –npočet moţností, kedy nastane zvolený jav, n – počet všetkých moţností (javov). Taktieţ sa tuzabúda na podmienku rovnako moţných javov, avšak na príklade sa táto definícia spresňuje.2.2.4 Prehľad učebníc pre 9. ročník ZŠŠedivý O.; Matematika pre 9. ročník ZŠ, 2. diel (Šedivý 2002)Učebnica bola schválená v roku 2002 ako učebnica matematiky pre 9. ročník ZŠ. Autorikladú dôraz najmä na oblasť štatistiky a s ňou spojené pojmy, ako je štatistický súbor,štatistická jednotka, znak, početnosť (frekvencia), relatívna (pomerná) početnosť, aritmetickýpriemer. Viaceré úlohy vyţadujú zápis zistených údajov a rozvíjajú schopnosť ţiakovspolupracovať medzi sebou.27

Berová, Z., Bero, P.; Pomocník z matematiky pre 9. ročník ZŠ, 2. diel (Berová, Bero 2008).Autori doplnili sadu Pomocníkov aj pre 9. ročník. Kapitola Kombinatorika, pravdepodobnosťa štatistika sa nachádza na 8 stranách, pričom dôraz je taktieţ kladený najmä na štatistiku,a na kombinatoriku. Prevládajú úlohy spojené so zaznamenávaním údajov do stĺpcovéhoa kruhového diagramu. Autori zaradili do tejto publikácie len dve jednoduché úlohys pravdepodobnosti.2.3 Publikácie doplňujúce vyučovanie pravdepodobnostiVyučovanie pravdepodobnosti je na ZŠ náročné. Preto vznikajú rôzne materiály od skúsenýchpedagógov, ktorých cieľom je podeliť sa o skúsenosti s vyučovaním v tejto oblasti. Okremmalého mnoţstva publikácií z tejto oblasti vidíme problém i v nedostatočnej informovanostiučiteľov, ktorí sa o týchto materiáloch často nedozvedia. Uvádzame niekoľko materiálovpojednávajúcich o vyučovaní pravdepodobnosti, resp. o vyučovaní propedeutikypravdepodobnosti na ZŠ.Propedeutika kombinatoriky a teórie pravdepodobnosti vo vyučovaní matematiky na ZŠa v nižších triedach gymnázia (Jodas 1998), ktorej autorom je Vladimír Jodas. Príručka jevhodná najmä pre triedy s rozšíreným vyučovaním matematiky a prírodovedných predmetovna ZŠ, ako aj pre niţšie ročníky gymnázií. V celej metodickej príručke sa nenachádza anijeden kombinatorický vzorec. Klasické príklady doplňujú jednoduché, ale prekvapujúcepríklady a úlohy, v ktorých je potrebné pracovať s veľkými číslami. Autor prezentuje rôzneprístupy k riešeniu kombinatorických úloh a v návodných príkladoch robí analýzu a postupnézostručňovanie zadania úlohy. Úlohy sú zaujímavé svojou netradičnosťou. V príručke sa28

nachádza aj viacero náročnejších úloh, ktoré však nadväzujú na vzorovo vyriešený príklad.Autor učiteľovi ukazuje i paralelu medzi rôznymi prístupmi v riešeniach.V zborníku Letnej školy z teórie vyučovania matematiky Pytagoras 2005 vyšiel článokŠtyri nepravdepodobné príbehy (Bachratý 2005), ktorého autorom je Hynek Bachratý.Obsahuje podrobne spracovanú inšpiráciu na štyri prednášky z propedeutikypravdepodobnosti. 1. téma O zabavených kartách a kolónii netopierov je vhodná prešikovných ţiakov ZŠ od 7. ročníka. Cieľom prednášky je pokus vyriešiť známy historickýproblém – „úlohu o rozdelení stávky“, ale v takom kontexte, ktorý je pre ţiakov prístupnejší.Ako motiváciu tu autor pouţil kartovú hru sedmu, ktorú hrajú dvaja dobrí priatelia tajne počasvyučovacej hodiny. Dlhodobé skúsenosti hovoria, ţe bez ohľadu na začínajúceho hráča je vkaţdej partii šanca na víťazstvo kaţdého zo súperov rovnaká (práve preto ich hra tak baví).Majú aj svoj systém zápasov. Najskôr sa zloţia na cenu pre víťaza – veľkú čokoládu, alebo 50cukríkov. Potom začnú hrať a počítajú si víťazstvá v jednotlivých partiách. Kto prvý získa 6víťazstiev, vyhráva celý zápas a aj celú výhru. Dôvodom prerušenia zápasu je učiteľslovenčiny, ktorý vyrába v systéme „zmätok“ a karty zabavuje v napínavom stave 5:4.Priatelia sa rozhodli rozdeliť si výhru hneď, ale chcú sa rozdeliť spravodlivo.V ďalšom texte sa nachádza analýza rôznych prístupov detských riešení. Podobne akosa matematikom nedarilo vyriešiť túto úlohu vyše dvesto rokov, predpokladá sa, ţe sa to naprvýkrát nepodarí ani deťom, ale naopak môţe vzniknúť krátka plodná diskusia o metódachriešenia. Pre povzbudenie je moţné spomenúť spravodlivé delenie výhry pre prípad, ţe byučiteľ prerušil stav za stavu 5:5 resp. 4:4. V rozprávke autor rozpráva o kolóne netopierov,čím si pomáha v pomalom posune časom. Po príbehu by ţiaci mali objaviť metódu, ktorou bysa dal problém priateľov vyriešiť. Neskôr sa ešte môţu riešiť i náročnejšie úlohy preľubovoľný iný stav. V tejto časti majú ţiaci moţnosť si precvičiť prácu so zlomkami29

a dokonca si môţu sami voliť počet tabličiek čokolády. Ostatné tri príbehy sa týkajúnáhodných prechádzok a mierne na seba nadväzujú. Ide ale o nadväznosť čisto odbornú,pretoţe príbeh pojednáva o úplne iných problémoch a aj skúsený učiteľ môţe mať problémtento súvis spozorovať. Ďalšími témami sú:Analýza slovenských prísloví a porekadiel, alebo ako dlho sa chodí s džbánom po vodu a jevhodná pre ţiakov 8. a 9. ročníka ZŠ, optimálna pre študentov SŠ. O opitom námorníkovi(a zruinovaných hazardéroch) a je vhodná pre ţiakov 8. a 9. ročníka ZŠ, optimálna preštudentov SŠ. O púpavách a kolonizácií Marsu a je vhodná pre študentov SŠ. Vo všetkýchštyroch príbehoch je dôraz na matematickej podstate problému a príbeh autor pouţíva jednakpre vytvorenie vhodnej atmosféry a taktieţ na posúvanie sa v riešení problému.V zborníku z konferencie v Ruţomberku Matematika v škole dnes a zajtra 2004, vyšielčlánok, Kedy a ako vyučovať pravdepodobnosť a štatistiku na ZŠ a SŠ (Ácsová 2004, str. 5a ďalej.). Autorka uvádza prehľad vyučovania pravdepodobnosti pomocou učebníc naSlovensku a prispieva svojimi postrehmi. V súčasnosti sa vyučuje najskôr pravdepodobnosťa potom štatistika. Uvaţuje tu o vhodnosti tejto kombinácie pre výučbu.O stredoškolských učebniciach píše Katarína Lendelová v Obzoroch matematiky, fyzikya informatiky 3/2004 v rovnomennom článku O stredoškolských učebniciach (Lendelová2004). V súčasnosti sa na výučbu pravdepodobnosti na stredných školách vyuţívajú učebniceTomáša Hechta Pravdepodobnosť, Štatistika. a Beloslava Riečana Pravdepodobnosťa štatistika. Kaţdá z nich má osobitú štruktúru i náročnosť. Je potrebné, aby učiteľ vhodnevyberal témy a kombinoval ich tak, aby motivoval študenta, rešpektoval vývoj predmetua potreby praxe. Nedá sa jednoznačne postupovať len podľa jedných učebníc. (Lendelová,2004, str. 21 a ď.)30

V Čechách sa presadzuje výučba pravdepodobnosti s pomocou počítačov o čom svedčínapríklad aj dizertačná práca Michala Čiháka pod vedením prof. Jaromíra Antocha: Výukapravdepodobnosti na gymnáziu s využitím počítačů (Čihák 2004). Táto práca je vlastnestredoškolskou učebnicou najmä axiomatickej teórie pravdepodobnosti. V učebnica jeprezentovaná kombinovaná výučba pravdepodobnosti a algoritmického programovaniav MuPade, čo môţe pôsobiť motivačne pre študentov. Na druhej strane je potrebné na tútovýučbu vyčleniť väčšiu hodinovú dotáciu.31

3 Historicko-epistemologická analýza pojmupravdepodobnostiKu vzniku teórie pravdepodobnosti prispelo viacero udalostí. Jej vznik sa zvykne datovať dodruhej polovice 17. storočia, avšak ľudia sa hrali hazardné hry od pradávnych čias. Existujúarcheologické nálezy, ktoré poukazujú na existenciu doskových hier uţ počas vlády prvejdynastie v Egypte okolo 3500 p.n.l. (David 1962, str. 4 a ďalej.) Tieto hry sa hrali pomocoumalých kostí zvierat (astragali). Astragali síce pripomínajú kocky, ale sú trochu nepravidelnéa tak nepadajú rovnako často na kaţdú stranu. Pouţívali sa v rôznych kultúrach zväčša prináboţenských rituáloch, hazardných hrách i pri veštení a komunikácií s bohmi. V Malej Áziisa pomocou týchto kostičiek veštilo. Spôsob niţšie popísaného rituálu (Abrams 2005) sapodobá modernej hre Poker. Pri veštení sa hádzalo 5 astragali, ktoré mali šesť očíslovanýchstien podobne ako naše kocky. Na stenách mali niekedy vyryté i rôzne ornamenty. Jednotlivéfigúry boli potom spájané s bohmi a človek dostal od veštca aj radu do ţivota. Napríkladfigúra (1, 3, 3, 4, 4) bola spájaná s Diom a bola znakom povzbudzujúcej aktivity. Na druhejstrane bola figúra (4, 4, 4, 6, 6) predstavujúca nešťastie, nakoľko sa spájala s Chronom, ktorýpojedal deti a radou bolo, aby sa všetci známi mali na pozore pred nebezpečenstvom anešťastím. Hlinené kocky sa našli uţ v egyptských hrobkách z pred roku 2000 p.n.l. aneskôr v čase rozkvetu antiky boli uţ kocky takmer všade. Svedčí o tom i slávny výrok GaiaJulia Caesara (100 – 44 p.n.l.) z roku 49 p.n.l. Povedal ho pri prekročení rieky Rubikon,hranice medzi Galiou a Itáliou na severe dnešného Talianska. Prekročením Rubikonu začalav Ríme päťročná občianska vojna medzi Caesarom a Pompeiom (106 – 48 p.n.l.), resp. jehosynmi.Alea iacta est. (Kocky sú hodené.)32

Počas antického obdobia hrá náhoda stále rolu mystického a spravodlivého. Napríkladv starovekom Grécku nebolo súkromné vlastníctvo, ale kaţdá osada mala spoločnévlastníctvo a na kaţdý rok bolo potrebné rozdeliť pôdu. Kto bude obhospodarovať ktorý kuszeme sa rozhodovalo lósom, čo bola boţia vôľa. Podobne sa nikto nesmel vzoprieť lósu privoľbách, aby si nepohneval bohov.3.1 Pojem pravdepodobnosti v 17. storočí – Fermat, Pascala HuygensPočiatok matematickej teórie pravdepodobnosti sa zvykne stotoţňovať so začiatkomkorešpondencie Blaisa Pascala (1623 – 1662) a Pierra Fermata (1601 - 1665) v roku 1654 ohazardných hrách. Za zmienku tu stojí fakt, ţe Pascalovi zomrel v roku 1651 otec a onprepadol na 3 roky hazardným hrám. Je preto moţné, ţe známy rytier de Mére, ktorývystupuje ako postava v Pascalových listoch Fermatovi je samotný Blaise Pascal (Gillies2000, str.4). O tomto období dejín sa čitateľ môţe dočítať v kniţke prof. Alfréda Rényiho(1921 -1970) Dialogy o matematice. (Rényi 1980, str. 126 a ďalej.) Rényi tu vysvetľuje veľmidôleţitý rozdiel medzi pojmom pravdepodobnosti a jej odhadom.Koncom 16. storočia a začiatkom 17. storočia sa problematike hazardných hiervenovali aj Geronimo Cardano (1501 – 1576) a Galileo Galilei (1564 – 1642), ktorých dielavšak vyšli aţ omnoho neskôr. Naopak Christian Huygens (1629 – 1695) inšpirovanýPascalom i Fermatom publikoval základnú knihu Výpočty v hrách s kockami (1657), ktorá sastala učebnicou teórie pravdepodobnosti na nasledujúcich 50 rokov. Uvedení vedci si bolivedomí, ţe pravdepodobnosť môţe nadobúdať ľubovoľnú hodnotu z intervalu 0 , 1 , avšak pririešení problémov hazardných hier vystačili iba s racionálnymi hodnotami. Riešili mnohokonkrétnych problémov, najčastejšie išlo o hry s kockami.33

3.2 Pojem pravdepodobnosti v 18. Storočí – Bernoulli,Moivre a BayesVýznamným matematikom, ktorý prispel k rozvoju teórie pravdepodobnosti bol ajJacob Bernoulli (1655 – 1705), ktorého výsledky boli publikované aţ posmrtne v roku 1713pod názvom Ars Conjectandi. Dokázal prvú limitnú vetu z teórie pravdepodobnosti. Jejmyšlienku uvádzame v modernom zápise. (Gillies 2000, str. 7 a ďalej.)Nech na falošnej minci padne hlava s pravdepodobnosťou p, teda nechPravdepodobnosť(padne v n hodoch, k hláv) je P n, kPotom P ,1 ps pravdepodobnosťou 1 – p. Pravdepodobnosť pádu z n hodov k hláv je:Pnk1 . Znak padne naopakk nkn, k p 1 p 1Pre hodnotyk 0,1, 2, ... , n nadobúda vzťah 1 hodnoty binomického rozdelenia.Bernoulliho výsledok hovorí, ţe 0: p k / n 1,P pre n 2Bernoulli pri dôkaze svojho tvrdenia hovorí aj o rýchlosti tejto konvergencie a ilustruje ju napríklade: „Ak p 0, 6 a 1 50, potom ak je počet hodov väčší alebo sa rovná 25 550, takje šanca aspoň 1000 : 1, ţe pomer k nbude v intervale29,503150.“ (Gillies 2000, str. 7)Teda pravdepodobnosť toho, ţe pomer k nbude mimo tohto intervalu bude menšiaako 1 1001. Uvedená Bernoulliho veta je dnes uţ len špeciálnym prípadom všeobecnéhoZákona veľkých čísiel. Za jeho čias to však bol dôleţitý výsledok, ktorý prevratným spôsobomspojil empirickú skúsenosť a matematickú teóriu.34

V roku 1733 sa podarilo Abrahamovi de Moivre (1667 – 1754) ukázať, ţe binomickérozdelenie pre hodnotu p = 1/2 sa blíţi k normálnemu rozdeleniu so spojitou hustotou. Svojobjav publikoval ako dodatok Miscellanea Analytica (1730).V roku 1763 bolo publikované významné dielo Thomasa Bayesa (1702 – 1761)An Essay towards Solving a Problem in Doctrine of Chances, ktoré obsahuje Bayesovú vetuo podmienenej pravdepodobnosti. Vychádza z nasledujúcej rovnosti:PPB& A PA& BB.PA/B PA.PB/ A3Nech PB 0 a nech sú známe pravdepodobnosti P A, PBa BAnajjednoduchšia podoba tejto vety hovorí, ţeP / , takP A/B A& B PAPB/ APP(B)P(B)4Bayesovský prístup kladie dôraz na kombináciu vyuţitia apriórnejinformácie (skúsenosti) a informácie, ktorú získame z cieleného experimentu. Apriórnainformácia môţe mať objektívny, ale aj subjektívny charakter, podľa toho, či ideo kolektívnu, alebo osobnú skúsenosť. Uvedieme tu upravený príklad podľa kniţky prof.Andreja Pázmana Bayesovská štatistika.(Pázman 2003, str. 10 a ďalej.) Predpokladajme, ţev našom okolí je len pribliţne kaţdý 10 000 človek chorý (CH) na špeciálnu chorobu a lekárimajú prístroj, ktorý zdravého človeka (Z) vyšetrí správne s pravdepodobnosťou 95 %.Chorobu u chorého človeka však odhalí na 100 %. Označme symbolom udalosť, ţeprístroj indikoval chorobu a symbolom udalosť, ţe prístroj chorobu neindikoval. P / Zje označenie pre podmienenú pravdepodobnosť, ţe prístroj neindikoval chorobu, zapredpokladu, ţe pacient bol naozaj zdravý. Potom platípre zdravého človeka:pre chorého človeka:35

P / Z 95%P / CH 0%P / Z 5%P / CH 100%Keďţe v našom okolí je na danú chorobu chorý len kaţdý desaťtisíci človek, takZ 99,99 %P je apriórna pravdepodobnosť, ţe sme zdraví.CH 0,01 %P je apriórna pravdepodobnosť, ţe sme chorí.Pravdepodobnosť, ţe prístroj indikoval chorobu jePP . PZ& PCH& PZ.P(/Z) PCH.P/ CH 5,0095%Nás však zaujíma pravdepodobnosť toho, ţe sme zdraví, za predpokladu, ţe prístroj indikovalchorobu. Teda P Z /. Podľa 4 dostávameZ.P/ Z PPP Z / 99,8004% .Napriek tomu, ţe prístroj indikoval chorobu, môţeme si byť skoro istí, ţe nie sme chorí. Tedaz 1 000 pacientov, ktorým prístroj indikoval chorobu sú v priemere ozaj chorí pribliţne dvaja.3.3 Pravdepodobnosť v 19. storočí – LaplacePierre Simone de Laplace (1749 – 1829) zovšeobecnil diela Bernoulliho, Bayesaa de Moivra v diele Théorie analytique des Probabilités (1812). O dva roky neskôr publikovalklasickú definíciu pravdepodobnosti:Teória náhody spočíva v redukovaní všetkých udalostí rovnakého druhu na určitýpočet rovnako možných prípadov, čo znamená, ţe môţeme byť rovnako nerozhodnutíohľadom ich nastania. Teória tieţ spočíva v určení počtu priaznivých prípadov udalosti (A),ktorej pravdepodobnosť je hľadaná. Pomer počtu priaznivých a počtu všetkých moţnýchprípadov je miera pravdepodobnosti. Je to vlastne zlomok, ktorého čitateľ je početpriaznivých prípadov (m) a ktorého menovateľ je počet všetkých moţných prípadov (n).36

(Gillies 2000, str. 17)Ak nezabudneme na podmienku rovnako moţných prípadov, tak sa podľa tejto definíciepravdepodobnosť skúmanej udalosti A dá vyjadriť pomocou vzorcamnPA 5Laplaceov prístup k pravdepodobnosti sa presadil a bol široko pouţívanýv nasledujúcom storočí. Napríklad aj ruský matematik Andrei Andrejevič Markov (1856 –1922) sa v roku 1912 vo svojej knihe, v ktorej zavádza pojem Markovových reťazcov, opierao Laplaceovu definíciu.3.4 Moderná teória pravdepodobnosti – Von Mises,Ramsey, De Finetti a KolmogorovŠiroké pouţívanie Laplaceovej definície je prekvapujúce. V roku 1928 ju tvrdonapadol Richard von Mises (1883 – 1953). „Ako si môţeme vystačiť s teórioupravdepodobnosti zaloţenou na počte rovnako moţných výsledkov v prípade falošnejkocky?“ Paradoxy s princípom nerozhodnosti sa objavili uţ skôr. Napríklad v roku 1883Joseph Louis Francois Bertrand (1822 – 1900) publikuje paradox z oblasti geometrickejpravdepodobnosti. Paradoxy sa objavovali i v ostatných oblastiach.Richard von Mises vytvoril frekvenčnú teóriu pravdepodobnosti. Jej základnýmpredpokladom je zákon opakovateľnosti udalostí bez podmienky rovnako pravdepodobnýchudalostí. Idealizáciou je tu moţnosť opakovateľnosti udalostí. Základné pravidlo tejto teóriepotom hovorí, ţe rozdelenie pravdepodobnosti náhodných udalostí bude rovnaké akorozdelenie pravdepodobností opakovaných udalostí. Zvykne sa tvrdiť, ţe náhodné udalostimajú danú (stabilnú) hustotu pravdepodobnosti. Táto teória pokrýva i prípad falošnej mince,či kocky a mnoho ďalších. Napriek tomu, ţe frekvenčná teória pokrýva väčšie mnoţstvo37

udalostí, nepokrýva ich všetky. Vo svete sa totiţ často stretávame práve s takými udalosťami,ktoré sú neopakovateľné za úplne totoţných podmienok. Napríklad nákup konkrétnych akciína konkrétnej burze je neopakovateľná udalosť, pretoţe burza sa nevratne zmení uţ prvýmnákupom na novú burzu s inými pravdepodobnosťami výnosov z nákupov jednotlivých akcií.Zaujímavý pohľad na teóriu pravdepodobnosti objavili nezávisle na sebe FrankRamsey(1904-1930) v Anglicku a Bruno de Finetti (1906-1985) v Taliansku. Definovalisubjektívnu teóriu pravdepodobnosti. Ramsey ju objavil údajne v článku Trust andProbability, ktorý napísal v roku 1926, ale vydali ho aţ po jeho smrti v roku 1931. De Finettitvrdil, ţe teóriu napísal v roku 1928, ale prvý krát bola publikovaná aţ v roku 1930.Teória je zaloţená na myšlienke zmerať subjektívnu mieru viery v nastanie danejudalosti. Keďţe neexistuje prístroj, ktorý by túto mieru meral autori významný rolu má v tejtoteórii psychologický myšlienkový experiment, pomocou ktorého je moţné zistiť subjektívnupravdepodobnosť (subjektívny výherný kurz stávky, betting quotient – q). Predstavme si, ţepani A (psychologička) potrebuje zmerať mieru viery pána B v nastanie udalosti E. Urobí totak, ţe sa s pánom B uzavrie stávku o nastaní udalosti E s nasledujúcimi podmienkami.Najskôr si pán B zvolí číslo q (subjektívnu pravdepodobnosť nastania udalosti E). Následne sipani A zvolí výšku stávky S, ktorú dá pánovi B, ak udalosť E nastane. Ak však udalosť Enenastane dá pán B Pani A hodnotu qS v závislosti od stávky S. Výška stávky môţe byť kladnáale aj záporná, ale |S| musí byť malá v porovnaní s majetkom pána B. Pani A vlastnerozhoduje o tom kto bude hrať hru. Ak zvolí kladnú sumu S, tak bude platiť ona ak udalosť Enastane a v prípade nenastania udalosti E získa výhru. Ak naopak zvolí zápornú hodnotuS tak si bude túto hru musieť zahrať pán B s rovnakými podmienkami.V medzivojnovom období vznikla aj axiomatickú teória pravdepodobnosti. Zaloţil juv roku 1933 Andrei Nikolajevič Kolmogorov (1903 – 1987). Obsahuje ako princípopakovateľnosti, tak aj princíp náhodnosti. Je vybudovaná na pravdepodobnostnom priestore38

,S, P, kde znamená priestor elementárnych udalostí, čo je mnoţina všetkých moţnýchvýsledkov náhodného pokusu. S je -algebra podmnoţín . Prvkami S sú náhodné javy.Pravdepodobnosť P je zobrazenie: P : S 0, 1 pričom platí, 1. axióma: A S : PA 0 2. axióma: P 1 3. axióma: Ak A n S, n 1,2, ... a A A 0,i j , tak nn1 n1ijP A PA6nTeória pravdepodobnosti je pomerne mladá matematická disciplína. Napriek tomu máširoké aplikácie vo fyzike, ekonómií, genetike, chémií, psychológií, ale i inde.39

4 Ciele, metódy a hypotézy práceV tejto kapitole uvedieme ciele experimentálnej časti výskumu a hypotézy našej práce, ktorésme v experimente overovali. V samostatných podkapitolách uvádzame popisy metódpredbeţnej sondy a experimentu ako aj spôsoby ich vyhodnotenia.4.1 Ciele práceNáš hlavný cieľ, porozumieť pravdepodobnostnému mysleniu ţiakov na základných školách,sme rozdelili na tri čiastkové ciele. Uvádzame aj stručný popis častí práce, ktoré sú venovanéplneniu týchto cieľov.Cieľ 1 – Identifikovať faktory blokujúce pravdepodobnostné myslenie žiakovPrvým cieľom práce bolo nájsť základné faktory, ktoré blokujú pravdepodobnostnémyslenie ţiakov. V rámci predbeţnej sondy (Kapitola 5) sme preto ţiakom zadalirôznorodé úlohy, aby sme zachytili čo najviac kognitívnych faktorov blokujúcichpravdepodobnostné myslenie ţiakov (ako napríklad vnímanie pomerov, vnímanie symetrie,operácia s veľkými číslami, schopnosť optimalizácie, operácia so zlomkami, neistota prirozhodovaní a pod.). V samotnom experimente (Kapitola 6) sme zúţili spektrum úlohz pohľadu rôznych faktorov a zamerali sme sa na presnú identifikáciu vybraných faktorov,ktoré blokujú pravdepodobnostné myslenie ţiakov. Analýza faktorov blokujúcichpravdepodobnostné myslenie ţiakov je uvedená v kapitole 8.40

Cieľ 2 – Určiť vzájomný pomer blokujúcich faktorovZ hľadiska vyučovania je dôleţité poznať, ktoré blokujúce faktory sú dominantnéa naopak, ktoré sa vyskytujú zriedkavo. Ako druhý cieľ práce sme si stanovili nájsťfrekvenciu výskytu jednotlivých faktorov, ktoré blokujú pravdepodobnostné myslenieţiakov. V úlohách experimentu sme riešenia úloh respondentov najskôr rozdelili podľaspôsobu vyhodnotenia experimentu (Kapitola 4.2.4). Kaţdému fenoménu nekorektnéhoriešenia sme priradili aj blokujúce faktory pomocou čoho sme zisťovali ich zastúpeniev jednotlivých úlohách. Analýza vzájomných pomerov sa nachádza v kapitole 8.4.Cieľ 3 – Navrhnúť spôsoby vyučovania teórie pravdepodobnosti, ktoré pomôžuznížiť vplyv blokujúcich faktorov na myslenie žiakovTretím cieľom práce je navrhnúť praktické spôsoby zlepšenia vyučovania teóriepravdepodobnosti, ktoré by pomohli zníţiť vplyv blokujúcich faktorov na myslenie ţiakov.Pre kaţdý z nájdených faktorov sme navrhli metódu, ktorá by mohla zníţiť jeho vplyv.4.2 Metódy experimentálnej častiHlavnou metódou výskumu bola experimentálna metóda porovnania a vyhodnoteniedotazníkov. Tejto metóde predchádzala experimentálna metóda overovania úloh v testochpredbeţnej sondy a vypracovanie spôsobu vyhodnotenia úloh. Metodiku klasifikácie úlohuvádzame v Prílohe B. V tejto kapitole uvedieme popis experimentálnych metód predbeţnejsondy, experimentu a aj spôsoby, ktorými boli tieto testy predbeţnej sondy a dotazníkyexperimentu analyzované a vyhodnotené.41

4.2.1 Predbežná sondaPredbeţnú sondu sme naplánovali na dve etapy. V prvej etape sme nechali ţiakov druhéhostupňa vybranej základnej školy riešiť 4 úlohy. V druhej etape predbeţnej sondy sme zadalitest s vymenenými prípadne mierne pozmenenými úlohami. Riešenia úloh sme prepísali doelektronickej podoby a vyhodnotili. Oba testy sme zadali ţiakom osobne v papierovej podobe.Na riešenie úloh mali ţiaci neobmedzený čas, ale všetkým na riešenie stačilo 45 min.4.2.2 Spôsob vyhodnotenia predbežnej sondyV jednej práci nie je moţné obsiahnuť vyčerpávajúcim spôsobom všetky úrovnepravdepodobnostného myslenia. Preto sa budeme venovať len tým, ktoré súvisia s riešenímmatematických úloh s prvkom náhody. Pre názornosť sme vytvorili schému, podľa ktorej smezatrieďovali úlohy z predbeţnej sondy. Úlohy sme potom vyhodnotili najskôr podľa toho, čije z popisu riešenia moţné analyzovať ţiakov myšlienkový postup počas riešenia úlohy,a jednak či sa v riešeniach vyskytuje dostatočné mnoţstvo rozmanitých fenoménovsúvisiacich s blokujúcimi faktormi pravdepodobnostného myslenia. S otázkou, či je moţnédostatočne presne sledovať myšlienkový postup ţiakov sme sa vysporiadali tak, ţe sme sapokúsili riešeniu respondenta priradiť úroveň argumentácie a skupinu podľa Tabuľky 4.1.V tabuľkách vyhodnotení úlohy Karty, Klobúky a Kakao je klasifikácia riešení pre lepšiuorientáciu vyznačená farebne tak, ţe riešenia patriace do Skupiny 0, 2 a 4 sú zvýraznenétmavšie.42

Tabuľka 4.1:Schéma rozdelenia riešení na úrovne a do skupiny argumentácie podľa typu riešenia.Úroveň argumentácie Skupina Popis skupinySkupina 0 Nepochopil, Uviedol iné riešeniePredagrumentačná úroveň Skupina 1 Tipovanie bez argumentácieSkupina 2Náznak argumentácieÚroveň nematematickej argumentácie Skupina 3 Nematematická argumentáciaÚroveň matematickej argumentácieSkupina 4 Nekorektná matematická argumentáciaSkupina 5Korektné riešenieNa základe analýzy ţiackych riešení sme jednotlivým riešeniam úloh priradili úroveňargumentácie. Ak nebolo v postupe zaznamenané argumentovanie tieto riešenia sme zaradilido predargumentačnej úrovne. Ak sme v postupe našli iba takú argumentáciu, ktorá saopierala o skúsenosti respondenta alebo o výroky autorít, takýmto riešeniam sme priradiliúroveň nematematickej argumentácie. Ostatným riešeniam, sme priradili úroveň matematickejargumentácie. Riešeniam respondentov sme okrem úrovní argumentácie priradili v jemnejšomdelení aj skupinu.Predargumentačná úroveň argumentácieDo Skupiny 0 Neriešil, alebo nepochopil úlohu sme zaradili riešenia, ktoré nepatria doţiadnej inej skupiny. Do tejto skupiny sme zaradili prípady, keď respondentovi riešenie úlohyneuviedol, prípadne úlohu nepochopil a riešil inú úlohu. Patria sem aj prípady, keď argumentnesedí s riešením úlohy a je moţné predpokladať, ţe respondent jednu variantu riešenianapísal a druhou argumentoval, ale nie je jasné ako sa k nim dostal.Do Skupiny 1 Tipovanie bez argumentácie sme zaradili riešenia, ktoré vznikli nazáklade tipovania, prípadne respondent neuviedol dôvod ani komentár prečo sa pre danéhohráča rozhodol.Do Skupiny 2 Tipovanie s náznakom argumentu sme zaradili riešenia, ktorýchodpovede sú odôvodnené iba popisom, prípadne nevysvetleným dôvodom s pouţitím slovíčok43

pravdepodobnosť alebo šanca, kde si respondent zamenil zadanie úlohy so svojimodôvodnením.Úroveň nematematickej argumentácieDo Skupiny 3 Nematematická argumentácia sme zaradili riešenia, ktoré súodôvodnené, ale namiesto matematickej argumentácie respondent argumentuje svojimiskúsenosťami alebo výrokmi autorít. Prípadne sa vţil do fiktívnej hry, či situácie a odtiaľčerpá svoje argumenty.Úroveň matematickej argumentácieDo Skupiny 4 Nekorektná matematická argumentácia sme zaradili riešenia, v ktorýchrespondenti argumentujú logickým argumentom, ktorý vo všeobecnosti neplatí.Do Skupiny 5 Korektné riešenie sme zaradili riešenia respondentov, ktoré sú správneodôvodnené.Cieľom vyhodnotenia predbeţnej sondy bolo upraviť úlohy tak, aby boli prerespondentov čo najviac zrozumiteľné a teda zabezpečiť, aby bol v experimente počet riešenípatriacich do skupiny 0 čo najmenší. Podobne sme úlohy upravili s cieľom eliminovaťv experimente aj riešenia spadajúce do skupiny 3. Uvedomujeme si dôleţitosť týchto úvahnematematickej argumentácie pre ţivot, ale v našej práci sa im nebudeme venovať.4.2.3 ExperimentDo dotazníku experimentu sme zaradili 4 úlohy (Karty, Klobúky, Kakao a Cukríky). Dotazníkexperimentu sme zadali 535 respondentom v júni roku 2007 prevaţne ţiakom 8. a 9. ročníkana rôznych základných školách. Dotazníky sme respondentom zadávali v papierovej podobe.Inštrukcie pre učiteľov zadávajúcich dotazníky boli jednoduché. Na riešenie úloh v dotazníkumali ţiaci neobmedzený čas. Dotazník obsahoval aj hlavičku s miestom na meno a priezvisko.44

V prípade, ţe ţiak odmietol poskytnúť tieto identifikačné údaje, pre náš experimentpostačovala informácia o pohlaví respondenta, ktorú ţiaci zadávali.4.2.4 Spôsob vyhodnotenia experimentuPodobne ako pri vyhodnotení predbeţnej sondy sme aj pri vyhodnotení experimentuanalyzovali jednotlivé riešenia podľa úrovne argumentácie (predargumentačnú úroveň,úroveň nematematickej argumentácie alebo úroveň matematickej argumentácie). Okremúrovne a skupiny (Tab. 4.1) sme sa pri vyhodnotení zamerali aj na typ riešenia s pohľadufaktorov blokujúcich pravdepodobnostné myslenie ţiakov. Pre kaţdú úlohu sme vytvorilioznačenie rôznych typov riešenia. Na prvom mieste sme zvolili písmeno R (od slova riešenie)na druhé miesto sme umiestnili číslo skupiny. Tretie miesto v označení sme ponechali voľnejcifre(0-9) pre prípad viacerých typov riešenia spadajúcich do jednej skupiny. Tieto typyriešenia sme pomenovali podľa hlavného fenoménu charakteristického pre daný typ riešenia.V prípade ţe je potrebné odlíšiť rovnaké typy riešenia z rôznych úloh pridávame predpísmeno R číslo 1, ak ide o úlohu Karty, číslo 2, ak ide o úlohu Klobúky a číslo 3, ak ideo úlohu Kakao. Napríklad 3R41 Redukcia úlohy na pozitívny parameter je typ riešeniav úlohe Kakao, ktorý je zaradený do skupiny 4 a je v poradí prvý. Fenomén podľa ktoréhosme riešenia zadeľovali do tohto typu riešenia je „Čím viac ţolíkov má hráč, tým je väčšiašanca, ţe vytiahnem ţolíka“ alebo skrátene „viac žolíkov = väčšia šanca“. V Tabuľke 4.2uvádzame prehľad typov riešení jednotlivých úloh.45

Úloha KakaoÚloha KlobúkyÚloha KartyTabuľka 4.2:Zoznam typov riešenia s fenoménmi pre úlohy Karty, Klobúky a Kakao.Typ riešeniaFenomén riešeniaR00 Neriešil, alebo nepochopil úlohuNeriešil, alebo nepochopil úlohuR11 Tipovanie bez argumentácieTipovanie bez argumentácieR21 Náznak argumentácieNáznak argumentácieR31 Nematematická argumentáciaNematematická argumentáciaR41 Redukcia úlohy na pozitívny parameterViac žolíkov = väčšia šancaR42 Neistota pri rozhodovaníMenej kariet = väčšia šancaR43 Redukcia úlohy na súčet parameterovViac kariet = väčšia šancaR44 Redukcia úlohy na negatívny parameterMenej zlých kariet = väčšia šancaR45 Používanie percient alebo koncentrácie Väčšie percento (1:3, 2:5, ...)R46 Opačne porovnané pomery 1:3 > 2:5R47 Rovnosť pomerov 1:3 = 2:5R51 Korektné riešenieKorektné riešenieR00 Neriešil, alebo nepochopil úlohuNeriešil, alebo nepochopil úlohuR11 Tipovanie bez argumentácieTipovanie bez argumentácieR21 Symetria medzi klobúkmi a aj v ich vnútri Rovnomerne medzi klobúkmi a aj v ich vnútriR22 Symetria iba vnútri klobúkovRovnomenre iba vo vnútri klobúkovR23 Náznaky porušenia symetrieNáznaky porušenia symetrieR31 Nematematická argumentáciaNematematická argumentáciaR48 V dvoch klobúkoch väčšina bielychV dvoch klobúkoch väčšina bielychR49 Dva čisto biele klobúkyDva čisto biele klobúkyR51 Korektné riešenieKorektné riešenieR00 Neriešil, alebo nepochopil úlohuNeriešil, alebo nepochopil úlohuR11 Tipovanie bez argumentácieTipovanie bez argumentácieR21 Náznak argumentácieNáznak argumentácieR31 Nematematická argumentáciaNematematická argumentáciaR41 Redukcia úlohy na pozitívny parameterViac granka = sladšieR42 Neistota pri rozhodovaníMenej granka a menej mlieka = sladšieR43 Redukcia úlohy na súčet parameterovViac granka a viac mlieka = sladšieR44 Redukcia úlohy na negatívny parameterMenej mlieka = sladšieR45 Používanie percient alebo koncentrácie Väčšia koncentrácia (1:3, 2:5, ...)R46 Opačne porovnané pomery 1:3 > 2:5R47 Rovnosť pomerov 1:3 = 2:5R51 Korektné riešenieKorektné riešeniePodrobne sme analyzovali chyby v riešeniach patriacich do skupiny 4 vo všetkýchtroch úlohách a riešenia patriace do skupiny 2 v úlohe Klobúky. Vyhodnotili sme vzťahymedzi typmi riešení v rámci kaţdej úlohy a aj medzi úlohami pomocou softvérov MS Excela CHIC.Tabuľka 4.3:Priradenie typu riešenia skúmaným faktoromSkúmaný faktorTyp riešenia použitý pri vyhodnotení pomerov faktorovOperácie so zlomkami 1R45, 1R46, 1R47, 3R45, 3R46, 3R47Vnímanie pomerov 1R41, 1R42, 1R43, 1R44, 2R48, 2R49, 3R41, 3R42, 3R43, 3R44Vnímanie symetrie 1R47, 2R21, 2R22, 2R23, 2R48, 2R49, 3R47Nedokončená optimalizácia 2R48, 2R49Neistota pri rozhodovaní 1R42, 3R42Problém s veľkými číslami zastúpenie tohto faktoru bolo vyhodnotené iným spôsobomVnímanie náhody zastúpenie tohto faktoru bolo vyhodnotené iným spôsobomDiskrétnosť zadania zastúpenie tohto faktoru bolo vyhodnotené iným spôsobomZmena strátegie zastúpenie tohto faktoru bolo vyhodnotené iným spôsobom46

K väčšine skúmaných faktorov sme podľa Tabuľky 4.3 priradili typ riešenia, pričomniektoré typy riešenia sme priradili aj k viacerým faktorom. Pomocou zastúpenia typovriešení sme potom vyhodnotili aj zastúpenie faktorov príslušných faktorov.4.3 Hypotézy práceUvádzame hypotézy, ktoré sme počas práce štatisticky overovali. Moţno ich rozdeliť dodvoch skupín. Do prvej skupiny sme zaradili východiskové hypotézy a do druhej skupiny smezaradili hypotézy, ktoré vznikli počas vyhodnotenia údajov (tzv. pomocné hypotézy).Východiskové hypotézy:Symbolom označujeme strednú hodnotu rozdelenia stupňa argumentácie (pre výpočet smepouţili priemer z hodnôt 0-5 podľa Skupiny 0-5). V úlohe Karty 3 . Hypotézy sme testovali na hladine významnosti 95 % ( 0, 05).1 , Klobúky a KakaoPomocou prvých dvoch hypotéz sme skúmali náročnosť optimalizačnej úlohy (úlohaKlobúky) v porovnaní s úlohami, ktoré nie sú optimalizačné (Karty a Kakao). Tretia hypotézaskúma vplyv faktora vnímania náhody (vyskytujúceho sa iba v úlohe Karty) na úroveň stupňaargumentácie, pretoţe úlohy Karty a Kakao sú podobné ale líšia sa najmä prvkom náhody.1. Priemerný stupeň argumentácie je v úlohe Karty rovnaký ako v úlohe Klobúky.H1: H : proti alternatíve 0 1 21 222. Priemerný stupeň argumentácie je v úlohe Klobúky rovnaký ako v úlohe Kakao.H : proti alternatíve H : 0 2 31 2 33. Stredná hodnota stupeň argumentácie je v úlohe Karty rovnaký ako v úlohe Kakao.H : proti alternatíve H : 0 1 31 1 347

Predpokladali sme, ţe respondentom bude robiť najmenší problém úloha Kakao bezprvku náhody, potom diskrétne zadaná úloha Karty s prvkom náhody a nakoniec diskrétnezadaná optimalizačná úloha Klobúky s prvkom náhody.Pomocné hypotézyV úlohách Karty a Kakao sme pozorovali veľký rozdiel vo výskyte typu riešenia R42 (úlohaKarty 1R42 – 33 riešení, úloha Kakao 3R42– 2 riešenia). Na základe rozdielov úloh smesformulovali tri moţné dôvody vysvetlenia tohto rozdielu.1. Dôvodom rozdielu je faktor vnímania náhody a teda fakt, ţe v úlohe Karty prvoknáhody vystupuje a v úlohe Kakao tento prvok nevystupuje.Hypotézu sme overovali nepriamo pomocou úlohy Klobúky (úloha s prvkom náhody).Porovnali sme úroveň argumentácie v úlohe Klobúky tej časti respondentov, ktorí v úloheKarty riešili úlohu typom 1R42, so súborom všetkých respondentov v úlohe Klobúky.Overili sme dve štatistické hypotézy o rovnosti stredných hodnôt a o rovností disperziirozdelenia stupňa argumentácie v úlohe Klobúky.H proti alternatíve H : 2 21 1 2: 2 20 1 2H1: H : proti alternatíve 0 1 21 2Symbolom označujeme strednú hodnotu stupňa argumentácie a symbolom2označujeme disperziu stupňa argumentácie v úlohe Klobúky (z hodnôt 0-5 podľa Skupiny20-5), pričom u všetkých respondentov je to hodnota 1, 1a u vybraných2respondentoch, ktorých riešenie sme v úlohe karty zaradili do typu 1R42 2, 2.Pomocné hypotézy sme testovali na hladine významnosti 95 % ( 0, 05).48

2. Dôvodom rozdielu je faktor diskrétne zadanej úlohy Karty, proti spojito zadanej úloheKakao.3. Dôvodom rozdielu je faktor rozhodnutia sa medzi rovnako-pravdepodobnýmiudalosťami v úlohe Karty oproti úlohe Kakao, v ktorej toto rozhodnutie nie je.Ostatné dva dôvody sme analyzovali bez pouţitia štatistických hypotéz.49

5 Predbežná sondaV predbeţnej sonde sme otestovali zadania úloh pre samotný experiment. Zaradili sme do nejúlohy, ktoré zahŕňajú rôzne tematické oblasti matematiky (napr. operácie so zlomkami,aritmetika, symetria, kombinatorika, ...). Zvolili sme otvorené úlohy súvisiace s prvkomnáhody. Cieľom predbeţnej sondy bolo vyberať také otvorené úlohy, v ktorých sa môţuvyskytovať rôznorodé typy riešenia a zároveň je moţné z popisu riešenia analyzovať ţiakovmyšlienkový postup. Sonda pozostávala z dvoch etáp. Prvá etapa bola realizovaná v marci2006 na Slovensku a druhá vo februári 2007 v Čechách.V Tabuľke 5.1 uvádzame počty respondentov, ktorí riešili jednotlivé úlohyv predbeţnej sonde a aj oblasti zamerania úloh prislúchajúce k daným úlohám. V poslednomstĺpci tejto tabuľky uvádzame počty respondentov, ktorí riešili dané úlohy v samotnomexperimente.Tabuľka 5.1:Počty respondentov, ktorí riešili jednotlivé úlohy v predbeţnej sonde a experimente.Úloha Oblasti zamerania úlohPredbežná sondaExperimentSR ČR SRKarty zlomky, náhoda 54 40 535Klobúky optimalizácia, náhoda 54 60 535Kocka symetria, náhoda 54 x xDve kocky kombinatorika, náhoda 54 x xSirup zlomky, symetria x 20 xKakao zlomky upravená úloha Sirup535Cukríky porozumenie textu, náhoda prevzatá z Talianskeho výskumu 535Dotazníky (testy) so zadaniami úloh prvej a druhej etapy predbeţnej sondy uvádzame ajv Prílohe A1 a v Prílohe A2.V prvej etape predbeţnej sondy sme testovali 4 úlohy (Karty, Klobúky, Kocka a Dvekocky), ktoré sme zadali 54 ţiakom 8. a 9. ročníka ZŠ Nobelovo námestie 6 z Bratislavy.50

V druhej etape predbeţnej sondy sme testovali 3 úlohy Karty, Klobúky (po českyKlobouky) a Sirup (po česky Šťáva). Tento test sme vyhotovili v dvoch verziách. Prvá verziaobsahovala úlohy Karty a Klobúky a zadali sme ju 19 študentom 1. ročníka (14 rokov)a 21 študentom 3. ročníka (16 rokov) na 6-ročnom súkromnom Gymnasiu Jiţní Městov Prahe. Druhú verziu testu obsahujúcu úlohy Sirup a Klobúky sme zadali 20 študentomv paralelnej triede 1. ročníka na tom istom gymnáziu. Úloha Klobúky nám slúţila akokontrolná úloha. Porovnávali sme jej riešenia v paralelných triedach 1. ročníka, 1. a 3. ročníka6-ročného gymnázia. Túto úlohu sme zadali respondentom v obidvoch etapách predbeţnejsondy, čím sme chceli overiť dôveryhodnosť našich výsledkov.Testy s úlohami predbeţnej sondy sme zadávali respondentom v papierovej podobe,pričom mali na ich riešenie neobmedzený čas. Respondentom vystačila jedna vyučovaciahodina na vyriešenie úloh. Všetky riešenia sme prepísali do elektronickej podoby.5.1 Závery prvej etapy predbežnej sondyÚlohu Karty sme zaradili do experimentu.Sledovali sme ňou vplyv zlomkov na riešenie úlohy s prvkom náhody. Preformulovali sme jejzadanie tak, ţe hráči karty nedrţali v ruke, ale kaţdý hráč svoje karty zamiešal a poloţil nastôl. Chceli sme sa tak vyhnúť v experimente riešeniam zaradeným do Skupiny 3(Nematematická argumentácia), ktoré boli v predbeţnej sonde ovplyvnené priamouskúsenosťou respondentov s kartovou hrou. („Dal by som si ţolíka na kraj“, „sledujem, kde sahráč pozerá a tú kartu vyberiem“ a pod.) Náš zámer sa podaril o čom svedči fakt, ţe v prvejetape predbeţnej sondy bola Skupina 3 zastúpená pribliţne 20 % (11 z 54 respondentov) a vexperimente to bolo uţ len necelých 5 % (25 z 535 respondentov). Na Obrázku 5.1 a naObrázku 5.2 uvádzame pôvodné zadanie a aj zmenené zadanie úlohy Karty.51

Obrázok 5.1:Pôvodná verzia zadania úlohy Karty v predbeţnej sonde1. úloha KartyPredstav si, že sa hráš ešte s dvoma spolužiakmi hru so žolíkovými kartami. Jedenz protihráčov má 3 karty a druhý ich má 5. Počas hry si dával pozor a preto vieš,že prvý hráč má 1 žolíka a druhý hráč má 2 žolíkov.1. hráč – 1 žolíka 2. hráč – 2 žolíkovPodľa pravidiel hry si môžeš vybrať jednu kartu, ale len od jedného z hráčov. Aksi vyberieš žolíka, tak vyhráš. Označ krížikom kartu, ktorú si vyberieš.Sem napíš dôvod svojej voľby:Obrázok 5.2:Verzia zadania úlohy Karty pre experiment1. úloha KartyPredstav si, že sa hráš ešte s dvoma spolužiakmi hru so žolíkovými kartami.Jeden z protihráčov má 3 karty a druhý má 5 kariet. Počas hry si dával pozora preto vieš, že prvý hráč má 1 žolíka a druhý hráč má 2 žolíkov. Každý protihráčsi svoje karty zamiešal a takto položil na stôl.1. hráč má 1 žolíka 2. hráč má 2 žolíkovPodľa pravidiel hry si môžeš vybrať jednu kartu, ale len od jedného z hráčov. Aksi vyberieš žolíka, tak vyhráš. Označ krížikom v bielom políčku () jednu kartu,tú, ktorú si vyberieš.Sem napíš dôvod, prečo si si vybral kartu od prvého alebo druhého hráča:Úlohu Klobúky sme zaradili do experimentu.Úloha je optimalizačná, čo znamená, ţe pri riešení museli respondenti vyuţívať viaceroschopností z oblastí matematiky (napr. z aritmetiky, kombinatoriky, logiky alebo iných) Prijej riešení je potrebná jednoduchá práca s väčšími číslami (spolu rozdeľovali 100 guľôčok).52

Vedieť určiť moţnosti, ktoré si moţno vybrať, vedieť si zvoliť niektoré z nich, porovnaťšance (nie nutne počítať so zlomkami), hodnotiť stav situácie a schopnosť zmeniť svojerozhodnutie, hľadať argumenty a to všetko v úlohe s prvkom náhody.Obrázok 5.3:Verzia zadania úlohy Klobúky pre experimentÚloha nás prekvapila pestrosťou argumentácie respondentov, celkovo respondentiuviedli riešenia s 22 rôznymi pravdepodobnosťami preţitia. Pozorovali sme dokonca zmeny53

stratégie pri riešení tejto úlohy. Aţ 19 respondentov (z 54 respondentov) zmenilo riešenieúlohy (napísané riešenie prečiarkli a následne zmenili za nové často podloţené inýmiargumentmi). Zadanie tejto úlohy sme postúpili do experimentu iba so štylistickými zmenami.Na Obrázku 5.3 uvádzame verziu zadania pre experiment.Z rozmanitých ţiackych úvah sme vytvorili dve fiktívne riešenia, v ktorých sme sapokúsili zachytiť hlavné stratégie riešení respondentov. Všetky informácie uvedené v tomtoriešení sme odpozorovali zo ţiackych odpovedí. Postup fiktívneho respondenta je pretokombináciou viacerých skutočných riešiteľov tejto úlohy. Základný rozdiel medzi týmitostratégiami je v tom, ţe fiktívny respondent I vychádza z počiatočného stavu zadania úlohy avylepšuje šancu po jednotlivých krokoch aţ do svojho „vyčerpania“, kým u druhéhofiktívneho respondenta prevláda túţba hľadania príčiny nedostatkov v situácii a snaha tietopríčiny odstraňovať.5.1.1 Stratégia fiktívneho respondenta I – Vylepšovanie šance naprežitie1. krok: Skúsim dať všetky do jedného klobúka50500000Skupina 0Hodnotenie respondentom: Moja šanca na preţitie je 1/6, čo je horšie odpôvodnej šance 1/3 keby som guľôčky nepresúval50 005000Skupina 1Záver:V každom klobúku by mala byť nejaká biela guľôčka.2. krok: Skúsim ich rozdeliť rovnomerne171717171616Skupina 2Hodnotenie respondentom: zvýšenie šance na preţitie na 50 %Otázka:Dá sa šanca ešte vylepšovať?3. krok: Skúsim porušiť symetriu, ...54

152525151010Skupina 2Hodnotenie respondentom: Ostala mi 50 % šanca, zmena mi nepomohla.Úvaha: V jednom klobúku je šanca väčšia ak je v ňom viac bielych ako čiernychguľôčok. Do všetkých troch sa mi však nepodarí vloţiť viac bielych ako čiernych. Ak bysom však umiestnil do dvoch klobúkov viac bielych guľôčok ako čiernych, mohla by byťmoja šanca väčšia.4. krok: Do 2 klobúkov dám viac bielych1514252410 22Skupina 4Hodnotenie respondentom: Neviem vypočítať aká je toto šanca, ale mala bybyť väčšia ako 50 % pretoţe vo viacerých klobúkoch prevládajú biele guľôčky.(Pravdepodobnosť preţitia v tomto prípade je necelých 47 %, teda menej ako 50 %)Úvaha:Keby boli rozdiely väčšie, nebola by šanca väčšia?Teraz je v dvoch klobúkoch iba mierne viac bielych guľôčok5. krok: Skúsim zväčšiť rozdiely15 51552040Skupina 4Hodnotenie respondentom: Toto je jasne viac ako 50 %, pretoţe dva sú skorojasne v prospech bielych a jeden je v prospech čiernych ale nie tak výrazneako tie dva.Úvaha:Najväčší rozdiel dosiahnem, ak budú len dva čisto biele klobúky.6. krok: Umiestnim dvoch klobúkov iba biele guľôčky25 02500 50Skupina 5Hodnotenie respondentom: Áno, toto je zatiaľ najlepšie riešenie, pretoţe ak sivyberiem ľubovoľný z „bielych klobúkov,“ budem voľný a ak ten „ten čierny,“tak mám smolu.Úvaha:Koľko guľôčok potrebujem nechať v „bielych“ klobúkoch?Ak pridám guľôčky do „čierneho“ klobúka, moja šanca sa ešte zväčší.7. krok: Nechám v nich po jednej bielej guľôčke10104850Skupina 6Hodnotenie respondentom: Jasne najvyššia šanca z doteraz skúšanýchmoţností.Úvaha:to, ţe uţMôže sa dať toto riešenie ešte vylepšovať? A ak sa uţ nedá, znamenálepšie neexistuje, alebo sa mohlo dať odbočiť od nejakého iného riešenia k povedzme55

ešte lepšiemu. Zhodnotenie respondentom: Podľa mňa nemôţe existovať lepšierozmiestnenie guľôčok do klobúkov, nakoľko momentálne mám na preţitie skoro 5/6pravdepodobnosť. Dva klobúky sa mi podarilo vyrobiť ako záchranné, len pomocoudvoch bielych guľôčok. Mimochodom, aspoň jedna musí byť v kaţdom klobúku leboinak je šanca nanajvýš 2/3.5.1.2 Stratégia fiktívneho respondenta II – Hľadanie príčiny zléhostavu.1. krok Hodnotenie respondentom:Mám takéto rozmiestnenie guľôčok50 0klobúk mám dobrý, a dva klobúky zlé. Šanca je malá.05000, teda jedenOtázka:Vmestia sa všetky guľôčky do jedného klobúka?50502. krok Myšlienkový experiment: Asi áno (sú to veľké klobúky), pomohlo by mi to?0000ale3. krok Porovnanie možností: V druhom rozmiestnené by som mal dva zlé klobúky,pretoţe by boli dva prázdne a nemal by som ani jeden klobúk dobrý.Záver:Biele guľôčky sú príčinou dobrých klobúkov. 0504. krok Hurá prázdny klobúk dokážem zachrániť. presunul len jednu guľôčku.49010a to som vlastneÚvaha:Príčinou dobrých klobúkov sú biele guľôčky a príčinou zlých sú zasečierne. V niektorých klobúkoch na konci čierne guľôčky musia ostať a preto sa minepodarí zväčšiť pravdepodobnosť na 100 %. Teraz uţ mám šancu 2/3. Je moţné, ţe uţto lepšie rozmiestniť nepôjde. Ak totiţ presuniem niekoľko čiernych guľôčok z prvéhoklobúka, pohorším tým čo sú čisto biele. Pomocou rovnomerne, resp. symetrickyrozdelených guľôčok by som vedel vyrobiť šancu 1/2, ale teraz uţ mám šancu 2/3. Bieleguľôčky potrebujem v dvoch dobrých klobúkoch a aj keby som ich popresúvalnavzájom, moc mi to nepomôţe.5. krok Otázka: Čo je príčinou ostávajúceho zlého klobúka?Je to prítomnosť čiernych, alebo neprítomnosť bielych guľôčok?Odpoveď:Vlastne oboje.Zhodnotenie: Ak stačí v poslednom jedna biela, stačí aj v druhom, ostatnébiele môţeme dať do čierneho klobúka. Odhadnem šancu na preţitie na cca2/3+1/6 = 5/6 a v jasnej istote sa presvedčím, či som dobre pochopil zadaniea intuícia nepustí, ... toto je najlepšie riešenie aké viem nájsť.48506. krok V bielych klobúkoch mi stačí po jednej guľôčke 101056

Tieto dve stratégie sú samozrejme idealizáciou. Reálne stratégie pouţité ţiakmi sa od nichlíšili hlavne tým, ţe príslušnú stratégiu nesledovali aţ do konca, ale po niekoľkých krokoch sa(vplyvom únavy či iného podnetu) zastavili, alebo prešli k inej úvahe.Úlohu Kocka sme nezaradili do experimentu.Touto úlohou sme sledovali schopnosť respondentov argumentovať symetriou kocky. Lenveľmi málo respondentov argumentovalo symetriou a u väčšiny respondentov sme nedokázalisledovať myšlienkovú líniu počas riešenia. To bol hlavný dôvod nezaradenia úlohy doexperimentu. Nakoľko sa v odpovediach vyskytovali odôvodnenia poukazujúce na fyziku,rozšírili sme hlavičku dotazníku (testu) o známku z fyziky. Domnievali sme sa, ţe práveúroveň fyzikálneho myslenia (známka z fyziky) by mohla významne korelovaťs úspešnosťou riešenia (vyššia úroveň argumentácie) ostatných úloh dotazníku. Avšakv experimente sme nezaznamenali významné rozdiely koeficientov korelácie úspešnostiriešenia ţiadnej úlohy so známkou z fyziky oproti korelácii so známkou z matematiky. Našadomnienka, ţe úspešnosť úloh súvisí viac s fyzikálnym myslením sa nám nepotvrdila.Uvádzame zadanie úlohy Kocka z predbeţnej sondy.57

Obrázok 5.4:Zadanie úlohy Kocka v predbeţnej sonde3. úloha KockaKocka má steny očíslované od jedna po šesť. Ktorá z týchto stien Ti padáčastejšie štvorka alebo šestka. častejšie mi padá štvorka častejšie mi padá šestka padajú mi rovnako často ...............................................Ktorá stena kocky by mala padať najčastejšie?............................................................................................................................................. .Prečo?.............................................................................................................................................. .Úlohu Dve kocky sme nezaradili do experimentu.V tejto úlohe s prvkom náhody sme sledovali kombinatorickú schopnosť respondentova zároveň prepojenosť skúseností zo strategických hier ţiakov a študentov soškolskými úlohami. Respondenti spájali úlohu so stolovými a strategickými hrami ibasporadicky. Nakoľko respondenti písali zriedka odôvodnenie svojho rozhodnutia, nevedelisme sledovať líniu ich myšlienok v tejto úlohe, a preto sme ju nezaradili do experimentu.Uvádzame zadanie úlohy Dve kocky z predbeţnej sondy.58

Obrázok 5.5:Zadanie úlohy Dve kocky v predbeţnej sonde4. úloha Dve kockyAk hádžem dvoma kockami a padla mi jednotka a štvorka, tak je súčet päť.Ktorými spôsobmi mi môže padnúť na dvoch kockách súčet päť?Sem ich všetky vypíš: ............................................................................................................. .Čo je väčšia šanca, že mi padne na dvoch kockách súčeta) 2 5 šance sú rovnakéb) 7 9 šance sú rovnakéc) 6 10 šance sú rovnakéd) 2 12 šance sú rovnakée) 4 13 šance sú rovnakéNa odpovede a) až e) som prišiel/prišla teraz poznám ich z hry .............................. iba som tipoval inak....................................................................................................................V Tabuľke 5.2 uvádzame prehľad všetkých úloh, ktoré sme testovali v prvej etape predbeţnejsondy bez ohľadu na ich zaradenie do experimentu. V poslednom stĺpci je uvedená ajprípadná zmena, ktorú sme vykonali.Tabuľka 5.2:Úlohy zaradené a úlohy nezaradené do experimentu z prvej etapy predbeţnej sondy.PočetÚlohaStav úlohyrespondentovprijatá do experimentu,Karty 54 zmena zadaniaKlobúky 54 prijatá do experimentuKocka 54 zamietnutá,zmenená hlavičkaDve kocky 54 zamietnutá59

5.2 Závery druhej etapy predbežnej sondyÚlohu Sirup (po česky Štáva) sme nezaradili do experimentu.Úloha Sirup je z matematického pohľadu analogická s úlohou Karty aţ na prvok náhody,ktorý v nej nevystupuje. Táto úloha nás inšpirovala k jednoduchšej úlohe Kakao. ÚlohaKakao je zjednodušená o prvok rozhodovania sa vo výbere moţnosti nápoja s najvyššoukoncentráciou z rovnako-koncentrovaných moţností. Tento výber predstavoval pre viacerýchrespondentov nepreklenuteľný problém.Obrázok 5.6:Pôvodná verzia zadania úlohy Sirup (po česky Štáva) v predbeţnej sonde1. úloha ŠťávaBarman nalil do 3 litrového džbánu jeden litr šťávy a zbytek dolil vodou. Do 5litrového džbánu nalil 2 litry šťávy a taky dolil vodou. Pak zamíchal obsahkaždého ze džbánů a rozlil šťávu do různě velikých skleniček. Vyber si jedenuskleničku s nejsladší šťávou a označ ji křížkem.Z 3 litrového džbánuZ 5 litrového džbánu5 dcl 1 dcl 4 dcl 2 dcl 3dclSem napiš důvod, proč sis vybral skleničku z prvního nebo ze druhého džbánu:60

Obrázok 5.7:Verzia zadania úlohy Kakao upravená zo zadania úlohy Sirupúloha KakaoSnehulienka varila pre trpaslíkov kakao.Do 1. pohárika dala Do 2. pohárika dala1 polievkovú lyžicu Granka, 2 polievkové lyžice Granka,2 polievkové lyžice mlieka 3 polievkové lyžice mliekaa premiešala.a premiešala.Do 3. pohárika dala1 polievkovú lyžicu Granka,3 polievkové lyžice mliekaa premiešala.V ktorom poháriku je najsladšie a teda aj najtmavšie kakao?Prečo?V ktorom poháriku je najmenej sladké a teda aj najsvetlejšie kakao?Prečo?V Tabuľke 5.3 uvádzame prehľad všetkých úloh, ktoré sme testovali v druhej etapepredbeţnej sondy bez ohľadu na ich zaradenie do experimentu. V poslednom stĺpci jeuvedená aj prípadná zmena, ktorú sme vykonali.Tabuľka 5.3:ÚlohaÚlohy zaradené a úlohy nezaradené do experimentu z druhej etapy predbeţnej sondy.PočetrespondentovStav úlohyKarty 40 prijatá do experimentuKlobúky 60 prijatá do experimentuSirup 20 zamietnutá,upravená na úlohu Kakao61

5.3 Závery predbežnej sondyDo nášho experimentu sme z predbeţnej sondy vybrali 3 úlohy (Karty, Klobúky aKakao). Námet na štvrtú úlohu experimentu, s názvom Cukríky, sme prevzali z talianskehovýskumu (Perelli 1989).Predbeţná sonda nám ukázala širokú škálu detských riešení. Uţ pri samotnej predbeţnejsonde sa prejavilo niekoľko zaujímavých fenoménov, ktoré sa stali záujmom pri samotnomexperimente. (častá redukcia dvoj-parametrickej úlohy Karty a Kakao na jedno-parametrickúv riešení respondentov, početné nekorektné argumentovanie respondentov pomocou symetriev úlohe Klobúky, a iné)Pri spracovaní predbeţnej sondy sme si uvedomili, ţe pri experimente bude veľmináročné spracovanie riešení respondentov z hľadiska faktorov blokujúcichpravdepodobnostné myslenie. Kvôli tomu, aby bolo moţné jednotlivé kognitívne fenoményvyhodnotiť, ukázalo sa nevyhnutným, vypracovať pomerne jemnú metódu kódovaniaodpovedí.62

e s p o n d e n t o v6 ExperimentExperiment sme uskutočnili v júni v roku 2007 na siedmych ZŠ, jednom 8-ročnom gymnáziua jednej ZUŠ na Slovensku (Tabuľka 6.1). Zúčastnilo sa ho 535 respondentov. Experimentbol zameraný najmä na ţiakov 8. ročníka ZŠ (246 respondentov) a 9. ročníka ZŠ (233respondentov).Tabuľka 6.1Názvy škôl, okresy a počet respondentov, ktorí sa zúčastnili experimentu.Číslo školy Názov školy OkresPočet1 ZŠ Vazovova Bratislava 552 ZŠ Holubyho (zrušená) Pezinok 523 ZŠ Tilgnerova Bratislava 174 ZŠ Sokolíková Bratislava 785 ZŠ Udavské Humenné 466 Spojená škola Novohradská Bratislava 257 ZŠ Laborecká Humenné 1018 ZŠ Kudlovská Humenné 1409 ZUŠ Jozefa Kresánka Bratislava 21Spolu 535Do experimentu sme zaradili 4 matematicky podobné úlohy, Karty, Klobúky, Kakao aCukríky. Všetky úlohy by sme mohli zaradiť do typu „urnových úloh“, pretoţe v nich bolopotrebné pracovať s „urnami“ (klobúkmi, vrecúškami, kartami hráčov) a z nich vyberať„guľôčky“ (guľôčky, cukríky, karty). Následne bolo potrebné porovnať pravdepodobnostitakýchto udalostí. (porovnať koncentráciu priaznivých moţností, resp. porovnať koncentráciunápoja) Tri úlohy sme do experimentu zaradili na základe predbeţnej sondy a námet štvrtejsme prevzali z talianskeho výskumu (Perelli 1989). V experimente skúmame faktory(Porozumenie textu, Operácie so zlomkami, Prvok náhody, Vnímanie symetrie, Schopnosťrozhodovať sa), ktoré vplývajú na chybovosť riešenia úloh s prvkom náhody.63

6.1 Zadania úloh experimentuUvádzame zadania štyroch úloh, ktoré sme zaradili do experimentu (Obrázok 6.1-6.4).Obrázok 6.1 Zadanie úlohy Karty – Experiment 20071. úloha KartyPredstav si, že sa hráš ešte s dvoma spolužiakmi hru so žolíkovými kartami.Jeden z protihráčov má 3 karty a druhý má 5 kariet. Počas hry si dával pozora preto vieš, že prvý hráč má 1 žolíka a druhý hráč má 2 žolíkov. Každý protihráčsi svoje karty zamiešal a takto položil na stôl.1. hráč má 1 žolíka 2. hráč má 2 žolíkovPodľa pravidiel hry si môžeš vybrať jednu kartu, ale len od jedného z hráčov. Aksi vyberieš žolíka, tak vyhráš. Označ krížikom v bielom políčku () jednu kartu,tú, ktorú si vyberieš.Sem napíš dôvod, prečo si si vybral kartu od prvého alebo druhého hráča:Obrázok 6.2 Zadanie úlohy Klobúky – Experiment 200764

Obrázok 6.3 Zadanie úlohy Kakao – Experiment 20073. úloha KakaoSnehulienka varila pre trpaslíkov kakao.Do 1. pohárika dala Do 2. pohárika dala1 polievkovú lyžicu Granka, 2 polievkové lyžice Granka,2 polievkové lyžice mlieka 3 polievkové lyžice mliekaa premiešala.a premiešala.Do 3. pohárika dala1 polievkovú lyžicu Granka,3 polievkové lyžice mliekaa premiešala.V ktorom poháriku je najsladšie a teda aj najtmavšie kakao?Prečo?V ktorom poháriku je najmenej sladké a teda aj najsvetlejšie kakao?Prečo?Obrázok 6.4 Zadanie úlohy Cukríky – Experiment 20074. úloha CukríkyVo vrecúškach sú do papierikov zabalené kamienky a cukríky rovnakej veľkosti,tvrdosti, váhy a aj tvaru. Chceš si vybrať z vrecúška cukrík. Označ krížikomvrecúško, z ktorého si budeš ťahať.Prečo si si vybral práve toto vrecúško?65

6.1 Metóda vyhodnotenia úlohDotazníky s úlohami experimentu sme zadávali respondentom v papierovej podobe. Všetkýmrespondentom vystačila jedna vyučovacia hodina na vyriešenie úloh. Pred vyhodnocovanímsme riešenia respondentov prepísali do elektronickej podoby. Kaţdému z nich sme prideliliidentifikáciu: ((100xČíslo školy + Poradie žiaka v triede)_Trieda) Napríklad identifikácia820_9A zodpovedá 20. ţiakovi z triedy 9.A, chodiacemu do školy ZŠ Kudlovskáv Humennom (škola č. 8 pozri Tabuľka 6.1).Riešenia respondentov úloh Karty, Klobúky a Kakao sme zaradili do Skupín 0-5,podľa druhu argumentácie. Na základe vyskytnutého fenoménu sme v kaţdej skupine určili ajtyp riešenia (pozri Metodiku klasifikácie – Príloha B). Elektronicky prepísané riešenia,zaradené do Skupín 0-5 a do typov riešenia podľa fenoménov uvádzame v Prílohe C3. Nakvantitatívnu analýzu riešení sme pouţili softvéry MS Excel a CHIC. Pri analýze riešenía určovaní dôvodov chýb sme pouţívali overovanie štatistických hypotéz a vlastné úvahy.V Tabuľke 6.2 uvádzame základnú schému podľa ktorej sme rozdelili riešeniarespondentov v úlohách Karty, Klobúky a Kakao.Tabuľka 6.2Schéma rozdelenia riešeníÚroveň argumentácie Skupina Popis skupiny Typy riešeniaPredagrumentačná úroveň0Nepochopil zadanie alebouviedol iné riešenieR001 Tipovanie bez argumentácie R112 Náznak argumentácie R2i (i = 1, 2, 3)Úroveň nematematickej argumentácie 3 Nematematická argumentácia R31Úroveň matematickej argumentácie4 Nekorektná matematická argumentácia R4i (i = 1, 2, 3, ... ,9)5 Korektné riešenie R5166

Úlohu Cukríky sme nevyhodnotili podľa úrovne argumentácie. Pri správnom riešenítejto úlohy sme respondenta zaradili do skupiny „rozumie zadaniu slovnej úlohy a jednému sozákladných princípom pravdepodobnosti (dokáţe určiť istý jav).“67

7 Vyhodnotenie experimentuExperimentu sa zúčastnilo 535 respondentov, čo zodpovedá počtu riešení vo všetkých štyrochúlohách. V Tabuľke 7.1 uvádzame vekové rozdelenie respondentov.Tabuľka 7.1:Rozdelenie respondentov podľa veku.Vek v rokoch neuviedlo 10 11 12 13 14 15 16Počet respondentov 8 6 37 12 26 225 210 11Skúmali sme koreláciu medzi vekom a úspešnosťou (súčet hodnoty Skupín 0-5v úlohe Karty, Klobúky a Kakao) a zistili sme, ţe je korelačný koeficient štatistickynevýznamný, resp. súbory dát nie sú lineárne závislé ( Vek , Súč.skupín) 0,005.Skúmali sme aj koreláciu medzi pohlavím a úspešnosťou riešenia úloh.66 respondentom sme nedokázali priradiť pohlavie, keďţe v hlavičke dotazníku neuviedlimeno ani pohlavie (priradili sme im hodnotu 0). 224 respondentov uviedlo dievčenské meno(hodnota 2) a 245 respondentov uviedlo meno muţské (hodnota 1). Skúmaná korelácia bolanevýznamná ( Pohlavie , Súč.skupín) 0,078.Nepotvrdila sa nám ani domnienka o významne väčšej korelácie úspešnosti riešeniaúloh a známky z fyziky v porovnaní so známkou z matematiky( ( ( Mat,Súč.skupín) 0,358, ( Fyz , Súč.skupín) 0,367)). Známky z matematikya fyziky korelovali významne ( Mat,Fyz ) 0,807.Na koniec hlavičky dotazníka sme zaradili priestor pre dodatočnú informáciuo respondentovi. Je zaujímavé, ţe 173 respondentov vyuţilo ponúknutý priestor napísať niečoo sebe. Na konci dotazníku sme zaradili ešte jedno miesto na postrehy a pripomienky. Tu sanám vyjadrilo 131 ţiakov (reakcie sú uvedené v Prílohe C3). Ţiaci otvorene vyjadrovali svoje68

Počet respondentovnázory na úlohy, stretli sme sa aj so zaujímavými myšlienkami. („V niektorých úlohách saťaţko opisuje moje myslenie. Musíte najprv poznať duševný stav človeka a jeho minulosť abyste mohli pochopiť, ako naozaj myslí.“(605_Prima A) ).Zaujímalo nás celkové rozdelenie úrovne myslenia respondentov a preto sme sčítaličísla skupín (0-5) pre kaţdého respondenta v úlohách Karty, Klobúky a Kakao. Týmto súčtomsme získali 16 úrovní myslenia (0-15). Zostrojili sme Graf 7.1, kde uvádzame početrespondentov prislúchajúci kaţdej novovzniknutej úrovni.. Z grafu vyplýva, ţe iba 10respondentov uviedlo na všetky 3 úlohy korektné odôvodnenie svojej odpovede a naopak iba2 respondenti neriešili ţiadnu zo spomínaných úloh. Priemerná hodnota súčtu skupín je 7,75so smerodajnou odchýlkou 2,95.Graf 7.1:Rozdelenie úrovne myslenia všetkých respondentov v úlohách Karty, Klobúky a KakaoSúčet hodnôt Skupín 0-5 v úlohe Karty, úlohe Klobúky a úlohe Kakao9080706050407377302010060575248343528251599 102 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Súčet Skupin69

7.1 Vyhodnotenie jednotlivých úlohÚlohu Cukríky sme vyhodnotili samostatne iba na správne a nesprávne vyriešenú.V ostatných úlohách sme sledovali úroveň argumentácie v odpovedi. V týchto úlohách sibudeme všímať typy chybnej argumentácie, ktorej sa respondenti dopúšťajú. Zameriame sazatiaľ iba na registráciu tejto argumentácie a základné charakteristiky. Následne ú analýzutýchto chýb uvádzame v Kapitole 8 – Chybná argumentácia v pravdepodobnostných úlohách.Vyhodnotenie úlohy CukríkyÚloha Cukríky testuje porozumenie zadaniu slovnej úlohy a jednému zo základnýchprincípov teórie pravdepodobnosti (schopnosť určiť istý jav). Námet úlohy sme prevzaliz rozsiahleho talianskeho výskumu, z ktorého vyplýva, ţe niektorí ţiaci medzi 6 aţ 14 rokomnevedeli určiť istý jav. (Napríklad z dvoch vrecúšok v ktorých v prvom sú iba štyri cukríkya v druhom šesť cukríkov a dva kamienky mali určiť vrecúško v ktorom je väčšia šancavytiahnuť cukrík. Vyberali vrecko s väčším počtom cukríkov bez ohľadu na početkamienkov). Pri riešení takejto úlohy je potrebné porovnať šance v jednotlivých vrecúškach,resp. stačí vedieť, ţe istý jav má najväčšiu pravdepodobnosť. Zaradením tejto úlohy doexperimentu sme chceli zistiť, či sa odpovede podobné odpovediam z talianskeho výskumubudú vyskytovať aj u našich respondentov. Zaujímala nás aj relatívna početnosť týchtoodpovedí.Úlohu Cukríky neriešilo 5 respondentov, 29 respondentov si vybralo prvé vrecúško,7 respondentov si vybralo tretie vrecúško a zvyšných 494 respondentov zvolilo správne(štvrté) vrecúško so samými cukríkmi. Iba 13 respondentov zvolilo prvé vrecúško sodôvodnením typu „pretoţe je v tom vrecúšku najviac cukríkov.“ Podobne sa našlirespondenti, ktorí tipovali vrecúško, ale ich počet bol v porovnaní s celkovým rozsahomsúboru zanedbateľný. Oproti talianskemu výskumu sme mali v experimente staršie deti.70

Vynorila sa zaujímavá otázka: „Od akého veku sú ţiaci schopný porozumieť jednoduchejslovnej úlohe s prvkom náhody?“ V rozsahu tejto práce nebolo moţné na túto otázkuodpovedať komplexne. V Tabuľke 7.2 uvádzame percentuálne vyjadrenie počtu respondentov,ktorí odpovedali správne v úlohe Cukríky v jednotlivých vekových kategóriách. Celkovov úlohe Cukríky odpovedalo správne vyše 92 % respondentov. Tieto výsledky námpotvrdzujú dobré porozumenie textu našich respondentov v jednoduchej slovnej úlohes prvkom náhody.Tabuľka 7.2:Dolný odhad porozumenie textu v úlohe Cukríky podľa vekuVek v rokoch neuviedlo 10 11 12 13 14 15 16Počet respondentov 8 6 37 12 26 225 210 11Počet percent respondentovodpovedajúcich správne88% 83% 89% 75% 96% 92% 94% 82%Porovnanie úloh Karty a KakaoÚlohy Karty a Kakao sú takmer analogické z matematického pohľadu. V oboch úlohách majúrespondenti porovnať tie isté koncentrácie (1 z 3 a 2 z 5), buď ţolíkov v kartách hráčov aleboGranka v kakau. Rozličný je v oboch úlohách kontext. Najdôleţitejšie je, ţe úloha Kartyobsahuje prvok náhody, kým úloha Kakao náhodný faktor neobsahuje. Ďalším významnýrozdiel je v spôsobe zadaní úloh. Úloha Karty je zadaná diskrétne (karty hráčov nie sú spojité,kým úlohu Kakao je moţné vnímať aj spojito, pretoţe Granko je v mlieku rozmiešané narovnorodú zmes). Posledný rozdiel spočíva v náročnejšom rozhodovaní v úlohe Karty. V tejtoúlohe je potrebné rozhodnúť sa medzi rovnako-pravdepodobnými moţnosťami, zatiaľ čov úlohe Kakao sa podobná voľba nevyskytuje.Úlohu Kakao bez prvku náhody sme do experimentu zaradili ako kontrolnú úlohuk úlohe Karty, pre lepšie analyzovanie chýb respondentov v ich úvahách.71

Relatívna početnosť riešení [%]r i e š e n íVyhodnotenie úlohy KartyV Tabuľke 7.3 uvádzame početnosti respondentov rozdelených podľa typov riešenia v úloheKarty. V Grafe 7.2 uvádzame relatívne početnosti riešení respondentov rozdelené uţ ibapodľa skupín argumentácie (0-5) v úlohe Karty.Tabuľka 7.3:Rozdelenie postupov respondentov na jednotlivé skupiny a typy riešení pre úlohu Karty.SkupinaTypriešeniaFenomén riešeniaÚloha Kartyani jedenalebo obajaPrvýhráčDruhýhráčPočet0 R00Nepochopil zadanie //Uviedol iné riešenie37 1 1 391 R11 Tipovanie bez argumentácie 4 62 71 1372 R21 Náznak argumentácie 54 126 1803 R31 Nematematická argumentácia 3 8 14 25R41 Viac žolíkov = väčšia šanca 25 25R42 Menej kariet = väčšia šanca 32 1 334R43 Viac kariet = väčšia šanca 16 16R44 Menej zlých kariet = väčšia šanca 19 2 21R45 Väčšie percento (1:3, 2:5, ...) 5 5R46 1:3 > 2:5 5 2 7R47 1:3 = 2:5 2 7 3 125 R51 Korektné riešenie 1 34 35Spolu 46 189 300 535Graf 7.2:Rozdelenie riešení do skupín v úlohe KartyExperiment 2007Rozdelenie riešení do skupín v úlohe Karty45%40%35%30%25%20%15%10%26%34%22%5%0%7%Skupina 0Skupina 1Skupina 25%Skupina 3Skupina 47%Skupina 5Nepochopil zadanieTipovanie bezargumentácieNáznak argumentácieNematematickáargumentáciaNekorektnámatematickáargumentáciaKorektné riešenie72

ÚspešnosťV úlohe Karty uviedlo 300 respondentov hráča s väčšou šancou (t. j. druhého hráča –správna odpoveď). Matematicky argumentovalo 154 respondentov, ale ku korektnejargumentácii sa dopracovalo len 35 respondentov. Úlohu neriešilo 37 respondentov.Najčastejšie nekorektné matematické argumenty boli typu:„Čím menej kariet má hráč, tým je väčšia šanca, ţe vytiahnem ţolíka“(R42 – 33 respondentov)„Čím viac ţolíkov má hráč, tým je väčšia šanca, ţe vytiahnem ţolíka“(R41 – 25 respondentov )„Čím menej rôznych kariet od ţolíka má hráč, tým je väčšia šanca, ţe vytiahnem ţolíka“(R44 – 21 respondentov )„Čím viac kariet má hráč, tým je väčšia šanca, ţe vytiahnem ţolíka “(R43 – 16 respondentov )Je veľmi zaujímavé, ţe viac nesprávnych odpovedí (63) ako správnych odpovedí (54),uviedli iba respondenti zo Skupiny 4 Nekorektná matematická argumentácia. V Grafe 7.3môţeme vidieť výrazne niţšiu úspešnosť respondentov práve zo Skupiny 4. Pri vývinepravdepodobnostného myslenia to môţe negatívne vplývať na myslenie ţiakov a môţe ich toodradiť od hľadania zákonitostí v oblasti pravdepodobnosti.Graf 7.3:100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%Graf úspešnosti odpovede v úlohe Karty podľa argumentačnej skupiny97%70%52%56%45%Skupina 1 Skupina 2 Skupina 3 Skupina 4 Skupina 573

Relatívna početnosť riešení [%]r i e š e n íRiešenia spadajúce do Skupiny 4 sú veľmi rozmanité, čo svedčí o veľkom mnoţstveţiackych úvah a teda aj o „sile“ vytvárať konflikty. Tie sú vo vyučovaní potrebné pre riešenieproblémov a vytváranie postojov ţiakov.Vyhodnotenie úlohy KakaoV Tabuľke 7.4 uvádzame početnosti respondentov rozdelených podľa typov riešenia v úloheKakao. V Grafe 7.4 uvádzame relatívne početnosti riešení respondentov rozdelené iba podľaskupín úrovne argumentácie (0-5) v úlohe Kakao.Tabuľka 7.4 Rozdelenie postupov respondentov na jednotlivé skupiny a typy riešení pre úlohu Kakao.SkupinaTypFenomén riešeniaAni jeden Prvý Druhý Tretí PočetriešeniaÚloha Kakaoalebo oba pohár pohár pohár0 R00Nepochopil zadanie//Uviedol iné riešenie9 7 1 171 R11 Tipovanie bez argumentácie 10 16 84 1 1112 R21 Náznak argumentácie 29 9 60 2 1003 R31 Nematematická argumentácia 1 4 3 8R41 Viac granka = sladšie 2 78 1 81R42 Menej granka a menej mlieka = sladšie 2 2R43 Viac granka a viac mlieka = sladšie 2 13 154 R44 Menej mlieka = sladšie 14 2 16R45 Väčšia koncentrácia (1:3, 2:5, ...) 1 8 58 1 68R46 1:3 > 2:5 3 3R47 1:3 = 2:5 39 1 405 R51 Korektné riešenie 73 1 74Spolu 91 58 379 7 535ňGraf 7.4Rozdelenie riešení do skupín v úlohe Kakao.Expetiment 2007Rozdelenie riešení do skupín v úlohe Kakao.45%40%35%30%25%20%42%15%10%5%21%19%14%0%3%Skupina 0Skupina 1Skupina 21%Skupina 3Skupina 4Skupina 5Nepochopil zadanieTipovanie bezargumentácieNáznak argumentácieNematematickáargumentáciaNekorektná matematickáargumentáciaKorektné riešenie74

V tejto úlohe uviedlo 379 respondentov pohár s najväčšou koncentráciou (t. j.druhý pohár – správna odpoveď). Matematicky argumentovalo 299 respondentov a kukorektnej argumentácii sa dopracovalo 74 respondentov. Úlohu neriešilo 17 respondentov.Najčastejšie nekorektné matematické argumenty boli typu:„Čím viac Granka je v pohári, tým je kakao sladšie“(R41 – 81 respondentov )„Čím väčšia je koncentrácia Granka, tým je kakao sladšie.(R45 – 68 respondentov)„V prvom a druhom pohári je kakao rovnako sladké“(R47 – 40 respondentov )Vyhodnotenie úlohy KlobúkyÚloha Klobúky je optimalizačná úloha s prvkom náhody. Táto úloha testuje schopnostiţiakov porovnávať šance v rôznych situáciách a zároveň hľadať moţnosti zlepšenia danejsituácie. Pri vyhodnocovaní tejto úlohy sme skúmali u respondentov schopnosti vnímaniapomeru a symetrie. V Tabuľke 7.5 uvádzame početnosti respondentov rozdelených podľatypov riešenia v úlohe Klobúky. V Grafe 7.5 uvádzame relatívne početnosti riešenírespondentov rozdelené uţ iba podľa skupín úrovne argumentácie (0-5) v tejto úlohe.Tabuľka 7.5Rozdelenie postupov na jednotlivé skupiny a typy riešení pre úlohu Klobúky.SkupinaTypFenomén riešeniariešeniaÚloha KlobúkyPočet riešení0 R00 Nepochopil zadanie//Uviedol iné riešenie 401 R11 Tipovanie bez argumentácie 113R21 Rovnomerne medzi klobúkmi a rovnomerne aj v klobúkoch 612 R22 Nerovnomerne medzi klobúkmi, ale rovnomenre v klobúkoch 51R23 (Ne)symetria sa nachádza v rozdelení guľôčok, alebo v odôvodnení 773 R31 Nematematická argumentácia 184R48 V dvoch klobúkoch väčšina bielych 40R49 Dva čisto biele klobúky 635 R51 Korektné riešenie 72Spolu 53575

Relatívna početnosť riešení [%]Graf 7.5Rozdelenie riešení do skupín v úlohe Klobúky.Experiment 2007Rozdelenie riešení do skupín v úlohe Klobúky45%40%35%30%25%20%15%35%10%5%0%7%Skupina 021%Skupina 1Skupina 23%Skupina 319%Skupina 413%Skupina 5Nepochopil zadanieTipovanie bezargumentácieNáznak argumentácieNematematickáargumentáciaNekorektnámatematickáargumentáciaKorektné riešenieÚlohu nepochopilo 40 respondentov. 189 respondentov úlohu pochopilo a riešilo ju,ale nedopracovali sa k optimalizácii, pretoţe respondenti mali problém s vnímaním symetrie.(Skupina 2). Matematicky argumentovalo 175 respondentov, z čoho 72 respondentov uviedlokorektné riešenie tejto optimalizačnej úlohy. V Prílohe D uvádzame Tabuľku: Histogrampravdepodobností preţitia respondentov, podľa ich riešení v úlohe Klobúky. Vyplýva z nej, ţev tejto úlohe bolo aţ 69 rôznych číselných hodnôt pravdepodobností preţitia. 99 respondentovsa dopustilo numerickej chyby, ale ich riešenia boli zaradené do skupín podľa pouţitéhoargumentu. Najčastejšie nekorektné matematické argumenty boli typu:„Ak je v dvoch klobúkoch väčšina bielych guľôčok, šanca na preţitie je väčšia ako 50 %“(R48 – 40 respondentov)„Ak sú v dvoch klobúkoch iba biele guľôčky šanca je najväčšia. Nedá sa uţ zväčšiť,pretoţe čierne guľôčky niekde musia byť.“(R49 – 63 respondentov)76

8 Chybná argumentácia v pravdepodobnostnýchúloháchZnalosti a schopnosti respondentov sú odlišné, o čom svedčia rozmanité postupy pri riešeníúloh a veľká variabilita chýb, ktorých sa respondenti dopúšťali. V tejto kapitole podrobneanalyzujeme jednotlivé chyby v argumentoch respondentov patriacich do skupiny 4(Nekorektná matematická argumentácia) vo všetkých troch úlohách a špeciálne chyby vriešeniach patriace do skupiny 2 (Náznak argumentu) v úlohe Klobúky.8.1 Porovnanie chýb v úlohách Karty a KakaoDo Skupiny 4 sme zaradili 119 respondentov v úlohe Karty a 225 respondentov v úloheKakao. Tieto počty sú základom pre všetky nasledujúce výpočty percentuálneho podielutypov riešení v týchto úlohách. Obidve úlohu chápeme ako úlohy s dvomi parametrami.Prvým parametrom je počet ţolíkových kariet (Karty) a mnoţstvo Granka (Kakao). Druhýmparametrom je počet ostatných kariet (Karty) a mnoţstvo mlieka (Kakao). V Tabuľke 8.1 súuvedené jednotlivé typy riešení skupiny 4. Pre porovnanie uvádzame aj charakteristickéfenomény úloh Karty a Kakao prislúchajúce týmto typom riešenia.Tabuľka 8.1:Stručný popis fenoménov riešení v úlohe Karty a v úlohe Kakao.Fenomén riešeniaRiešeniaFenomén riešeniaÚloha KartySkupina 4Úloha KakaoViac žolíkov = väčšia šanca R41 Viac granka = sladšieMenej kariet = väčšia šanca R42 Menej granka a menej mlieka = sladšieViac kariet = väčšia šanca R43 Viac granka a viac mlieka = sladšieMenej zlých kariet = väčšia šanca R44 Menej mlieka = sladšieVäčšie percento (1:3, 2:5, ...) R45 Väčšia koncentrácia (1:3, 2:5, ...)1:3 > 2:5 R46 1:3 > 2:51:3 = 2:5 R47 1:3 = 2:577

8.1.1 Redukcia úlohy na pozitívny (prvý) parameter (Riešenie R41)„Čím viac ţolíkov má hráč, tým je väčšia šanca, ţe vytiahnem ţolíka“(R41 – 25 respondentov – úloha Karty – 21 % zo Skupiny 4)„Čím viac Granka je v pohári, tým je kakao sladšie“(R41 – 81 respondentov – úloha Kakao – 36 % zo Skupiny 4)Skúmaný faktor:Vnímanie pomerovV úlohe Kakao pozorujeme redukciu na pozitívny parameter, ako najčastejšiu chybuv Skupine 4. V úlohe Karty sa vyskytuje táto chyba ako druhá najčastejšiu. Napriek tejtonekorektnej matematickej argumentácií prichádzajú respondenti ku správnej odpovedi.Respondenti tvrdia, ţe šanca je určená počtom ţolíkov, bez ohľadu na počet kariet,respektíve, ţe sladkosť kakaa je určené mnoţstvom Granka bez ohľadu na mnoţstvomlieka. Ak by sme v úlohe Karty zafixovali počet neţolíkových kariet a pridávali bysme ţolíkové karty, tak by sa šanca vytiahnuť ţolíka zväčšovala. Ak by sme zafixovalicelkový počet kariet a neţolíkové karty by sme vymieňali za ţolíkové, tieţ by sa tátošanca zväčšovala. V prípade takejto redukcie pôvodnej úlohy by argumentyrespondentov boli správne. V pôvodnej úlohe tieto argumenty nemôţeme povaţovať zakorektné. (3/10 < 1/3 < 2/5). Analogicky je tomu i v úlohe Kakao.8.1.2 Neistota pri rozhodovaní (Riešenie R42)„Čím menej kariet má hráč, tým je väčšia šanca, ţe vytiahnem ţolíka“(R42 – 33 respondentov – úloha Karty – 28 % zo Skupiny 4)„Čím je menej Granka a mlieka v pohári, tým je kakao sladšie“(R42 – 2 respondenti – úloha Kakao – 1 % zo Skupiny 4)Skúmané faktory:Vnímanie pomerov, Neistota pri rozhodovaníTáto chyba sa vyskytla významne v úlohe Karty zatiaľ čo v úlohe Kakao bol je výskytzanedbateľný. Úlohy sa líšia vo faktore náhody, spojitosti zadania a v náročnostirozhodovania sa, preto vznikla prirodzene experimentálna otázka: Ktorý faktorspôsobuje vysoký rozdiel v početnosti chyby typu R42 (Neistota pri rozhodovaní)v úlohe Karty a Kakao?78

Pravdepodobné odpovede:4. Dôvodom rozdielu je faktor vnímania náhody a teda fakt, ţe v úlohe Kartyprvok náhody vystupuje a v úlohe Kakao tento prvok nevystupuje.5. Dôvodom rozdielu je faktor diskrétne zadanej úlohy Karty, oproti spojitozadanej úlohe Kakao.6. Dôvodom rozdielu je faktor rozhodovania sa. V úlohe Karty je totorozhodovanie náročnejšie (je potrebné si vybrať aj konkrétnu kartu, t.j.vybrať jednu z rovnako-pravdepodobných moţností).Úvaha 1: Ak je vnímanie náhody dominantným faktorom tejto chyby v úlohe Karty,potom predpokladáme, ţe sa respondenti s riešením R42 (Karty) dopustia podobnejchyby aj v úlohe Klobúky (náročná optimalizačná úloha s prvkom náhody).Vybrali sme respondentov, ktorí v úlohe Karty urobili diskutovanú chybu R42.Porovnali sme ich rozdelenie úrovne argumentácie v riešení (Skupiny 0-5) v úloheKlobúky s rozdelením úrovne argumentácie všetkých respondentov v tejto úlohe.Hodnoty predstavujú stredné hodnoty úrovne argumentácie (z čísla skupín 0-5)z vybraných respondentov ( 1) a zo všetkých respondentov ( 2). Hodnoty21,predstavujú ich disperzie. Nasledujúce hypotézy sme testovali na hladine významnosti 0,05 .221.H : 2 2proti alternatíve H : 2 20 1 21 1 22. H : proti alternatíve 0 1 2H1: 1 2Na základe dvojvýberového testu (Studentovo t-rozdelenia) a na základe testurovnosti dvoch disperzií (Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie), sme nezamietli anijednu nulovú hypotézu (Lámoš, Potocký 1998).( t = 0,70 < 1,96 = u(/2) = t(566; /2); F = 1,111 < 1,787 = F(534, 32, /2));79

PercentoZ uvedených testov vyplýva, ţe rozdiely v úrovni myslení vybranýchrespondentov nie sú štatisticky významné. V Grafe 8.1 uvádzame porovnania obochrozdelení početností výskytu argumentačných skupín.Graf 8.1:Porovnanie percentuálneho rozdelenia početnosti riešení v úlohe KlobúkyPorovnanie percenuálneho rozdelenia početnosti riešení v úlohe Klobúky454035302520151050393521 2119 18137993 3Skupina 0 Skupina 1 Skupina 2 Skupina 3 Skupina 4 Skupina 5Experiment535 respondentovVýber R42_Karty33 respondentovZáver 1: Faktor náhody nie je dominantným faktorom pre riešenie R42.Úvaha 2: Úloha Kakao je zadaná spojito, je však moţné sa na ňu pozerať ako nadiskrétne zadanú úlohu. Úloha Karty je zadaná diskrétnym spôsobom. Vybrali smerespondentov, ktorí riešili úlohu Karty typom riešenia R42. Preštudovali sme ichriešenia v úlohe Kakao a zistili sme ţe len jedna respondentka (916_Sekunda B)vnímala úlohu Kakao spojito. Píše „Odhadom. Predstavovala som si to kakao ako tampridávam mlieko a ako to zamiešam“Záver 2: Výskyt riešenia R42 nie je závislý od diskrétneho zadania úlohy Karty.Úvaha 3: Sťaţenie rozhodovania sa v úlohe Karty (je potrebné si vybrať aj konkrétnukartu od vybraného hráča) môţe viesť k stresovej situácii pre respondentov.Respondent môţe byť v konflikte so svojou predstavou alebo s didaktickýmkontraktom (TDS) (napríklad vnútorná potreba, mať v úlohe jedno správne riešenie).Z odpovedí respondentov vyplýva, ţe nedokáţu argumentovať symetriou situácie apovaţujú za jednoduchšie rozhodnúť sa spomedzi menšieho počtu ponúknutých80

moţností. Pre ilustráciu uvádzame argumenty dvoch respondentiek 210_8Ba 916_Sekunda B. Podobne argumentovalo viac respondentov:„Vybrala som si ju preto, lebo si myslím, ţe tam je ţolík. Preto, lebo má menej kariet aľahšie sa to tam vyberá“ alebo „Vybrala som si kartu od prvého hráča, pretoţe má menejkariet a ţolík sa dá lepšie nájsť“Záver 3: Dôvodom častého výskytu riešenia R42 v úlohe Karty je faktorrozhodovania sa. Tento typ riešenia sme nazvali R42 Neistota pri rozhodovaní.8.1.3 Redukcia úlohy na súčet parametrov (Riešenie R43)„Čím viac kariet má hráč, tým je väčšia šanca, ţe vytiahnem ţolíka “(R43 – 16 respondentov – úloha Karty – 13 % zo Skupiny 4 )„Čím je viac Granka a mlieka v pohári, tým je kakao sladšie“(R43 – 15 respondentov – úloha Kakao – 7 % zo Skupiny 4)Skúmaný faktor:Vnímanie pomerovRedukcia úlohy na súčet parametrov patrí k menej častým riešeniam v oboch úlohách.Respondenti odpovedajú správne (majú dobrú intuíciu), ale nedokáţu korektneargumentovať. Redukujú dvojparametrickú úlohu na jednoparametrickú, pričom akoparameter vyberajú súčet nami zvolených parametrov. Respondenti môţu vnímať tútoúlohu aj ako signálnu a uvádzajú argument, ţe dosiahnutie „väčšej“ šance vytiahnutiaţolíkovej karty súvisí s „väčším“ počtom kariet, resp. dosiahnutie sladšieho nápojasúvisí s „väčším“ mnoţstvom zmesi Granka a mlieka.8.1.4 Redukcia úlohy na negatívny (druhý) parameter (Riešenie R44)„Čím menej rôznych kariet od ţolíka má hráč, tým je väčšia šanca,ţe vytiahnem ţolíka.“(R44 – 21 respondentov – úloha Karty – 18 % zo Skupiny 4 )„Čím menej mlieka je v pohári, tým je Granko sladšie.“(R44 – 16 respondentov – úloha Kakao –7 % zo Skupiny 4 )Skúmaný faktor:Vnímanie pomerovV oboch úlohách pozorujeme redukciu úlohy na negatívny parameter, teda zameranie sana počet neţolíkových kariet (18 % respondentov zo Skupiny 4 v úlohe Karty)a mnoţstvo mlieka (7 % respondentov zo Skupiny 4 v úlohe Kakao). Pozorujeme druhý81

významný rozdiel výskytu danej chyby v porovnávaných úlohách. Tento druh chyby jezaujímavý tým, ţe respondenti odpovedajú chybne na základe argumentov. Úvaha bybola korektná, ak by bol počet priaznivých moţností rovnaký, resp. fixovaný.Domnievame sa, ţe diskrétnosť v zadaní úlohy Karty poskytuje respondentom moţnosťnazerať na úlohu s pohľadu nepriaznivých moţností (pracovať s počtom neţolíkovýchkariet). V spojito zadanej úlohe Kakao je tento pohľad menej prirodzený a preto ajmenej frekventovaný.8.1.5 Používanie percent alebo koncentráte (Riešenie R45)„Čím väčšie percento ţolíkov má hráč, tým je väčšia šanca vytiahnuť ţolíka.“(R45 – 5 respondentov – úloha Karty – 4 % zo Skupiny 4)„Čím väčšia je koncentrácia Granka, tým je kakao sladšie.“(R45 – 68 respondentov – úloha Kakao – 30 % zo Skupiny 4 )Skúmaný faktor:Operácia so zlomkamiV riešeniach respondentov sa vyskytovala táto správna argumentácia v nedokončenejforme. Respondenti uvádzali správnu slovnú argumentáciu o najväčšom percente,pomere, či koncentrácii, ale neuvádzali konkrétne hodnoty ani ich porovnania v danýchmoţnostiach. V úlohe Kakao aţ 10 respondentov nevybralo správny pohár, aj keďuviedli správny argument (58 respondentov odpovedalo správne). Veľký rozdiel vovýskyte tejto chyby pripisujeme kontextu úlohy Kakao. Respondenti sa potrebovalivyhnúť porovnaniu zlomkov a preto aspoň upozornili na jeho fyzikálnu vlastnosť –hustotu, ale nedokázali ju vypočítať a porovnať. V kontexte úlohy Karty sa nevyskytujeţiadna im známa fyzikálna veličina. Počas rozhovoru so starším respondentom (17ročný študent, ktorý nie je zahrnutý do experimentu) som zistil, ţe počas hodínmatematiky si uvedomoval, ţe práca so zlomkami je nad jeho sily ale percentám ešterozumel a preto sa snaţil úlohu Karty vyriešiť pomocou percent.82

8.1.6 Opačne porovnané pomery (Riešenie R46)„Šanca jedna tretina je väčšia ako šanca dve pätiny“(R46 – 7 respondentov – úloha Karty – 6 % zo Skupiny 4)„koncentrácia jedna tretina je väčšia ako dve pätiny“(R46 – 3 respondenti – úloha Kakao – 1 % zo Skupiny 4 )Skúmaný faktor:Operácia so zlomkamiTúto skupinu sme vytvorili aj napriek malému počtu respondentov, ktorých semzaraďujeme. Respondenti porovnávajú správne pomery, ale nevedia určiť väčší z nich,uvádzajú, ţe 1:3 > 2:5 resp. 1:2 > 2:3. Zriedkavo sa vyskytovalo aj riešenie, kderespondenti vymenili čitateľa a menovateľa, teda porovnávali pomery 3:1 a 5:2.8.1.7 Rovnosť pomerov (Riešenie R47)„Šanca jedna tretina je rovnaká ako šanca dve pätiny“(R47 – 12 respondentov – úloha Karty – 10 % zo Skupiny 4)„V prvom a druhom pohári je kakao rovnako sladké, pretoţe 1:2 = 2:3“(R47 – 40 respondenti – úloha Kakao – 18 % zo Skupiny 4 )Skúmaný faktor:Operácia so zlomkami, Vnímanie symetrieV porovnaní s riešením typu R46 je výskyt tohto riešenia niekoľko krát vyšší. V úloheKakao aţ 40 respondentov uviedlo takéto riešenie. Respondenti rovnako ako v type R46vedia, ţe majú porovnať pomery a nevedia určiť ktorý z nich je väčší. V tomto typeriešenia uvádzajú respondenti rovnosť pomerov podloţenú nesprávnym argumentom(nie tipovaním alebo numerickou chybou pri výpočte ako je to často v riešení typuR46). V oboch úlohách respondenti často argumentujú tým, ţe ak máme pomer 1:2(priaznivé moţnosti ku nepriaznivým moţnostiam) a ku obom stranám pomeruprirátame po jednej moţnosti, pomer sa nezmení. Respondenti sa uspokojili s týmtoargumentom.8.2 Chyby v argumentoch v úlohe KlobúkyV tejto kapitole uvádzame analýzu riešení respondentov spadajúcich do Skupiny 2 v úloheKlobúky (189 respondentov) a do Skupiny 4 v tejto úlohe (103 respondentov). Tieto počty súzákladom pre výpočet percentuálneho podielu typov riešení v nasledujúcich výpočtoch.83

8.2.1 Symetria medzi klobúkmi aj vo vnútri klobúkov (Riešenie R21)„Symetria medzi klobúkmi a aj vo vnútri klobúkov“(R21 – 61 respondentov – úloha Klobúky – 32 % zo Skupiny 2)Skúmaný faktor:SymetriaRespondenti argumentujú symetriou. Riešia problém ako rozdeliť 50 guľôčok medzi3 klobúky čo najrovnomernejšie. Domnievajú sa ţe ak je niečo rozdelené rovnomerne,bude to optimálne. Respondenti si svoj prvý plán neskontrolovali a preto ani nezačalioptimalizovať.8.2.2 Symetria iba vo vnútri klobúkov (Riešenie R22)„Symetria iba vo vnútri klobúkov“(R22 – 51 respondentov – úloha Klobúky – 27 % zo Skupiny 2)Skúmaný faktor:SymetriaRespondenti argumentujú symetriou podobne ako v riešení typu R21. Pri rozdeľovaní50 guľôčok medzi 3 klobúky však zistili, ţe nezáleţí na počte guľôčok v klobúkoch,ak je v kaţdom klobúku 50 % pravdepodobnosť vybratia bielej guľôčky. Ideo jednoduché porušenie celkovej symetrie situácie. My snahu ţiakov porušiť symetriuchápeme pozitívne, nakoľko tento spôsob uvaţovania podnecuje k porovnaniu šancídvoch situácii, smeruje k optimalizácii. Respondenti porovnaním dvoch situáciínezistili rozdiel v šanci vytiahnuť bielu guľôčku, a uspokojili sa s týmto riešením akos optimálnym.8.2.3 Dva symetricky opačné klobúky (Riešenie R23)„Dva symetricky opačné klobúky“(R23 – 77 respondentov – úloha Klobúky – 41 % zo Skupiny 2)Skúmaný faktor:SymetriaRespondenti zaradený pod tento typ riešenia vychádzali zo symetrickej situácie(podobne ako v type R21 a R22). Ich snahou však bolo experimentovať s porušenímsymetrie a tak zvýšiť svoju šancu na preţitie. (porušili symetriu medzi klobúkmi,v klobúkoch, pracovali so symetricky opačnými klobúkmi). Niektorí respondenti sa84

dopracovali k riešeniam, v ktorých bola symetria porušená v malej miere, čo viedlok malej zmene pravdepodobnosti preţitia oproti 50 % šanci symetrického rozdeleniaguľôčok.8.2.4 V dvoch klobúkoch väčšina bielych guľôčok (Riešenie R48)„V dvoch klobúkoch väčšina bielych guľôčok“(R48 – 40 respondentov – úloha Klobúky – 39 % zo Skupiny 4)Skúmané faktory:Symetria, Vnímanie pomerov, Nedokončená optimalizáciaRespondenti si uvedomujú, ţe pravdepodobnosť vytiahnutia bielej guľôčky z jednéhoklobúka je väčšia ako 50 % v prípade, ţe je v tomto klobúku väčší počet bielychguľôčok ako čiernych. V prípade, ţe je v dvoch klobúkoch šanca vytiahnuť bieluguľôčku väčšia ako 50 % domnievajú sa, ţe je výsledná šanca väčšia ako 50 %. Nazáklade tejto úvahy začali optimalizovať a dopracovali sa k jednému konkrétnemurozdeleniu spĺňajúce ich poţadované kritérium pre dva klobúky (ich cieľom bolo získaťväčšiu ako 50 % šancu vytiahnutia bielej guľôčky). Keďţe vo všeobecnosti toto pravidloneplatí, piati respondenti sa dopracovali k moţnosti s pravdepodobnosťou menšou ako50 %. (Teoretická pravdepodobnosť preţitia v úlohe Klobúky pri dodrţaní horeuvedeného pravidla je v rozmedzí 34 % aţ 83 %02252425481 1 , 24500 0resp.384911110(78,5 %) ak neuvaţujeme o dvoch čisto bielych klobúkoch alebo3848101101 (73,5 %), ak neuvaţujeme ani o jednom čisto bielom klobúku).Respondenti optimalizáciu nedokončili.85

8.2.5 Dva čisto biele klobúky (Riešenie R49)„Dva čisto biele klobúky“(R49 – 63 respondentov – úloha Klobúky – 61 % zo Skupiny 4)Skúmané faktory:Symetria, Vnímanie pomerov, Nedokončená optimalizáciaRespondenti našli druhú dôleţitú myšlienku riešenia tejto úlohy: „V prípade výskytučisto bielych guľôčok v klobúku je šanca na preţitie pre daný klobúk 100 %.“Respondenti optimalizáciu tejto úlohy nedokončili.8.2.6 Omyl v súčte (Riešenie ROS)„Respondenti rozdelili iný počet guľôčok“(Omyl v súčte -- 99 respondentov – úloha Klobúky – 19 % zo všetkých respondentov)Skúmaný faktor:Problém s veľkými číslamiAţ 99 respondentov má v uvedenom výslednom riešení omyl v súčte guľôčok.Predpokladáme, ţe respondentom nerobí problém sčitovať čísla do 100, avšak ichhorizont uchopiteľnosti čísiel sme v tejto úlohe prekročili. Ak je riešenie úlohy zahranicou tohto horizontu stáva sa pre respondenta úloha neprehľadnejšia a respondentmôţe vytesniť zo svojho myslenia dôleţitú informáciu zo zadania. Riešenia týchtorespondentov sme podľa argumentov zaradili do ostatných typov riešenia.86

9 Výsledky práceV tejto kapitole uvádzame výsledky našej práce v štyroch podkapitolách. V prvej podkapitoleuvádzame overenie štatistických hypotéz. V druhej podkapitole štatistickú a logickú analýzuriešiteľských postupov úloh z experimentu medzi úlohami z pohľadu rôznych typov riešenía úrovne argumentácie. V tretej podkapitole vyhodnocujeme pomer faktorov blokujúcichpravdepodobnostné myslenie ţiakov. V poslednej podkapitole sa venujeme návrhom metódpri vyučovaní matematiky, ktoré môţu učiteľovi matematiky propedeuticky pomôcť privýučbe teórie pravdepodobnosti a rozvoji pravdepodobnostného myslenia ţiakov na ZŠ.9.1 Overenie hypotézStanovené hypotézy práce sme otestovali pomocou Studentovho t-testu na hladinevýznamnosti 95 %, teda 0, 05, čím sme porovnali strednú hodnotu rozdelenia stupňaargumentácie ; v úlohách Karty, Klobúky a Kakao.1 2;31. H0: 1 2proti alternatíve H1: 1 22. H : proti alternatíve H : 0 2 31 2 33. H0: 1 3proti alternatíve H1: 1 3Pre odhad strednej hodnoty rozdelenia stupňa argumentácie sme pouţili jehopriemerné hodnoty v úlohách Karty, Klobúky a Kakao, ktoré sú po rade (2,29; 2,46 a 3,00)a ich smerodajné odchýlky, ktoré sú po rade (1,41; 1,52 a 1,51). Priemerná hodnota stupňaargumentácie sme počítali z hodnôt 0-5 prislúchajúcich argumentačnej skupine 0-5.Hypotézu H : 0 1 2na danej hladine významnosti na základe našich výsledkovneprijímame ( t 2, 1227 , pričom pri našom počte respondentov je kritická hodnota87

Studentovho t-rozdelenia zhodná s kritickou hodnotou normálneho rozdelenia u 1, 96 ).Stredné hodnoty úrovne argumentácie v úlohe Karty a Klobúky sú rôzne. / 2Hypotézu H : 0 2 3na danej hladine významnosti na základe našich výsledkovneprijímame ( t 8, 2356 ). Stredné hodnoty úrovne argumentácie sú rozdielne aj v úloheKlobúky a Kakao.Neprijímame ani hypotézu H : 0 1 3na danej hladine významnosti ( t 6, 1312 )a teda aj stredné hodnoty úrovne argumentácie v úlohe Karty a Kakao sú rôzne..Záver: Úlohy môţeme podľa náročnosti zoradiť na hladine významnosti 95 % odnajnáročnejšej k najmenej náročnej nasledovne: úloha Karty, úloha Klobúky a úloha Kakao.9.2 Analýza riešiteľských postupov medzi úlohamiV prvej časti tejto kapitole sme porovnali úroveň náročnosti úloh z pohľadu konkrétnychtypov riešení v jednotlivých úlohách. Pre lepšie pochopenie myslenia ţiakov sme analyzovaliaj vzťahy medzi jednotlivými typmi riešení.Pomocou softvéru MS Excel sme zostrojili kontingenčné tabuľky typov riešení prevšetky dvojice skúmaných úloh. V Tabuľke 9.1 (úloha Karty a Klobúky), v Tabuľke 9.2(úloha Karty a Kakao) a v Tabuľke 9.3 (úloha Kakao a Klobúky) uvádzame vzťahy medzipočetnosťami respondentov zaradených do jednotlivých typov riešení v oboch porovnávanýchúlohách. Tmavšie sú označené typy riešenia, ktoré sú z úrovne matematickej argumentácie.V tabuľke 9.1 vidíme, ţe respondenti ktorí riešili úlohu Karty korektne (R51) riešiaprevaţne aj úlohu Klobúky typom riešenia R49 alebo R51, čo zodpovedá vysokej úrovniargumentácie. Opačne to však neplatí. Ak sa zameriame na respondentov, ktorí úlohuKlobúky riešili na vysokej argumentačnej úrovni, tak u nich nachádzame aj pomerne dosť88

Úloha KakaoÚloha Klobúkyveľa riešení typu R11 a R21, tie však zodpovedajú niţšej argumentačnej úrovni. Tento faktpotvrdzuje, ţe úloha Klobúky je pre ţiakov prístupnejšia.Tabuľka 9.1:Kontingenčná tabuľka typov riešení medzi úlohami Karty a Klobúky.Úloha KartyR00 R11 R21 R31 R41 R42 R43 R44 R45 R46 R47 R51 SúčetR00 6 14 6 1 3 3 2 1 2 2 40R11 14 38 36 1 8 7 4 1 3 1 113R21 8 12 25 6 1 4 2 2 1 61R22 3 10 21 2 2 4 3 1 1 3 1 51R23 3 31 22 5 5 5 2 1 1 2 77R31 1 4 2 4 2 1 2 2 18R48 9 17 2 1 4 2 2 1 2 40R49 1 13 20 2 2 2 3 5 2 3 10 63R51 3 6 31 2 1 3 1 5 1 2 1 16 72Súčet 39 137 180 25 25 33 16 21 5 7 12 35 535V tabuľke 9.2 a vidíme, ţe úloha Kakao je pre ţiakov ľahšia alebo prístupnejšia akoúloha Karty. V tabuľke 9.3 vidíme, ţe úloha Kakao je menej náročná ale obe úlohy sú dobreprístupné. Prístupnosť riešení je vidieť z relatívne rovnomerného rozloţenia jednotlivýchriešení vo vyšších argumentačných skupinách.Tabuľka 9.2:Kontingenčná tabuľka typov riešení medzi úlohami Karty a Kakao.Úloha KartyR00 R11 R21 R31 R41 R42 R43 R44 R45 R46 R47 R51 SúčetR00 2 5 4 2 1 1 1 1 17R11 10 34 37 4 1 6 1 1 4 5 8 111R21 9 28 32 3 8 8 2 6 1 2 1 100R31 1 2 2 1 2 8R41 5 21 30 3 6 4 3 3 1 2 3 81R42 1 1 2R43 7 5 1 1 1 15R44 1 3 5 4 1 1 1 16R45 4 15 27 8 2 2 3 2 2 3 68R46 1 1 1 3R47 2 13 11 1 2 6 1 3 1 40R51 5 8 27 1 4 1 2 4 2 1 1 18 74Súčet 39 137 180 25 25 33 16 21 5 7 12 35 53589

Úloha KlobúkyTabuľka 9.3:Kontingenčná tabuľka typov riešení medzi úlohami Kakao a Klobúky.Úloha KakaoR00 R11 R21 R31 R41 R42 R43 R44 R45 R46 R47 R51 SúčetR00 3 8 5 1 8 1 1 1 6 2 4 40R11 7 24 25 22 6 5 9 7 8 113R21 1 12 10 2 8 1 14 4 9 61R22 1 10 9 4 3 5 1 9 9 51R23 2 20 14 3 14 3 8 1 6 6 77R31 4 2 1 1 2 3 5 18R48 5 12 9 3 2 3 4 2 40R49 3 18 10 1 5 1 1 10 3 11 63R51 10 13 10 1 1 3 11 1 2 20 72Súčet 17 111 100 8 81 2 15 16 68 3 40 74 535Pomocou softvéru CHIC sme porovnali všetky typy riešení a zostrojili sme grafyznázorňujúce vzťahy medzi nimi podľa dôleţitosti. Za premenné sme zvolili jednotlivé typyriešení a určili sme im názov podľa čísla úlohy, typu riešenia úlohy s pripojením počturespondentov, ktorých riešenie patrí pod daný typ riešenia. Napríklad premenná 3r44_16,zodpovedá typu riešenia R44 v 3. úlohe (Kakao) a pomocou tohto typu riešilo túto úlohu 16respondentov. V úlohe Klobúky sme sledovali aj numerickú chybu. Typ riešenia s toutochybou sme označili ako 2rOS_99 (resp. 2r_Omyl_v_sučte_99). Premenným sme priraďovalihodnoty 0 alebo 1 pre kaţdého respondenta. Ak respondent pri riešení pouţil daný typriešenia, tak sme premennej priradili hodnotu 1, inak sme jej priradili hodnotu 0. Z výslednejmatice sme zostrojili dva typy grafov. Strom podobností typov riešení (Graf 9.1, Graf 9.2,Graf 9.3) a graf implikácii (Graf 9.4). V strome podobností typov riešení sme sledovalipodobnosť riešení respondentov (obojstranné vzťahy). V grafe implikácii sme analyzovalináročnosť a dôsledkovú previazanosť jednotlivých typov riešení (orientované vzťahy).90

Graf 9.1:Strom podobností všetkých typov riešení1r00_392r11_1132rOS_993r43_153r41_813r00_171r21_1801r41_252r48_403r21_1001r11_1372r23_771r31_252r31_183r45_681r43_163r31_82r21_611r44_213r46_31r45_51r51_353r51_742r51_722r49_632r00_403r42_21r42_333r44_162r22_513r47_401r46_73r11_1111r47_12Similarity : C:\__Ivan_Masaryk_mladsi\__2009_dizertacka\CHIC_2003\fenomeny_pocty.csvClassification at level : 1 : (1r51_35 3r51_74) similarity : 1Classification at level : 2 : ((1r51_35 3r51_74) 2r51_72) similarity : 1Classification at level : 3 : (2r11_113 2rOS_99) similarity : 1Classification at level : 4 : (1r43_16 3r31_8) similarity : 0.999841Classification at level : 5 : (1r31_25 2r31_18) similarity : 0.999714Classification at level : 6 : (1r42_33 3r44_16) similarity : 0.998789Classification at level : 7 : (2r22_51 3r47_40) similarity : 0.996049Classification at level : 8 : (1r44_21 3r46_3) similarity : 0.994929Classification at level : 9 : (1r11_137 2r23_77) similarity : 0.99447Classification at level : 10 : (((1r51_35 3r51_74) 2r51_72) 2r49_63) similarity : 0.994334Classification at level : 11 : ((1r31_25 2r31_18) 3r45_68) similarity : 0.993188Classification at level : 12 : ((2r11_113 2rOS_99) 3r43_15) similarity : 0.988804Classification at level : 13 : (2r00_40 3r42_2) similarity : 0.986073Classification at level : 14 : (1r00_39 ((2r11_113 2rOS_99) 3r43_15)) similarity : 0.982745Classification at level : 15 : (1r46_7 3r11_111) similarity : 0.982743Classification at level : 16 : (((1r31_25 2r31_18) 3r45_68) (1r43_16 3r31_8))similarity : 0.976762Classification at level : 17 : ((1r00_39 ((2r11_113 2rOS_99) 3r43_15)) 3r41_81)similarity : 0.960721Classification at level : 18 : ((1r42_33 3r44_16) (2r22_51 3r47_40)) similarity : 0.951874Classification at level : 19 : (2r48_40 3r21_100) similarity : 0.950965...Classification at level : 30 : ((((1r00_39 ((2r11_113 2rOS_99) 3r43_15)) 3r41_81)3r00_17) (1r21_180 (1r41_25 (2r48_40 3r21_100)))) similarity : 0.394197Classification at level : 31 : (((1r11_137 2r23_77) ((((1r31_25 2r31_18) 3r45_68)(1r43_16 3r31_8)) 2r21_61)) ((1r44_21 3r46_3) (1r45_5 ((((1r51_353r51_74) 2r51_72) 2r49_63) (2r00_40 3r42_2))))) similarity : 0.0407243V Grafe 9.1 uvádzame strom podobností všetkých typov riešení vygenerovanýsoftvérom CHIC. Čím sa väzba v grafe nachádza vyššie, tým je vyššia hladina podobnostitýchto typov riešení. Zaujímavé sú pre nás vzťahy s vysokou hladinou podobnosti (sú vysokov grafe), ktoré sa vyskytujú medzi typmi riešení s dostatočnou početnosťou u respondentov.Na rovnakom základe sme pre názornejšiu interpretáciu vzťahov vytvorili dva nové grafy(Graf 9.2, Graf 9.3) odlišujúce sa v úrovni argumentácie v zobrazovaných typoch riešenia.V Grafe 9.2 sa venujeme typom riešení v skupinách spadajúcich do predargumentačnej91

úrovne a do úrovne nematematickej argumentácie (skupiny 0-3). V Grafe 9.3 sa venujemeúrovni matematickej argumentácie (skupiny 4-5).Graf 9.2: Strom podobností vybraných typov riešení zo skupín 0, 1, 2 a 31r00_392r11_1132rOS_992r00_403r00_173r21_1001r11_1372r23_773r11_1111r31_252r31_183r31_82r21_611r21_1802r22_51Similarity : C:\__Ivan_Masaryk_mladsi\__2009_dizertacka\CHIC_2003\fenomeny_pocty.csvClassification at level : 1 : (2r11_113 2rOS_99) similarity : 1Classification at level : 2 : (1r31_25 2r31_18) similarity : 0.999714Classification at level : 3 : (1r11_137 2r23_77) similarity : 0.99447Classification at level : 4 : ((1r31_25 2r31_18) 3r31_8) similarity : 0.992193Classification at level : 5 : (1r00_39 (2r11_113 2rOS_99)) similarity : 0.988463Classification at level : 6 : (2r00_40 3r00_17) similarity : 0.937435V Grafe 9.2 môţeme pozorovať podobnosť typov riešení respondentov v skupine 3(1r31_25, 2r31_18, 3r31_8) na vysokej hladine podobnosti. Týmto porovnaním smez predchádzajúceho výsledku, ţe skupina respondentov riešila danú úlohu na danej úrovniargumentácie (Skupina 3) zovšeobecnili toto tvrdenie na tvrdenie: Táto skupina respondentovrieši úlohy tohto typu na danej úrovni argumentácie (Skupina 3).Najvyššia hladina podobnosti sa nachádza medzi typom riešenia 2r11_113 Tipovaniebez argumentácie a 2rOS_99 Omyl v súčte. Z Grafu 9.4 vidieť, ţe platí implikácia2rOS _99 2r11_113(na hladine významnosti 98 %). Je to spôsobené častým zaradenímriešení typu 2rOS (44 riešení respondentov) do typu riešenia 2r11. Z riešenia týchtorespondentov (2rOS) sme nedokázali sledovať ich myšlienkový postup. Ak niektorí z týchto92

espondentov pouţili argumenty pri svojom rozhodovaní, do odôvodnenia riešenia ichneuviedli.Medzi vzťahy s významnou hladinou podobnosti zaraďujeme aj vzťah medzi typomriešenia 1r11_137 Tipovanie bez argumentácie a typom riešenia 2r23_77 Dva symetrickyopačné klobúky. Z grafu 9.3 vidieť, ţe platí implikácia 2r23_ 77 1r11_137 (na hladinevýznamnosti 89 %). Tento vzťah sme podrobnejšie skúmali. Zistili sme, ţe 31 respondentovriešilo úlohy pomocou typov riešení (1r11 a 2r23) a 22 respondentov riešilo úlohy pomocoutypov riešení (1r21 a 2r23) (kapitola 8). S vysokou pravdepodobnosťou platí, ţe akrespondent rieši úlohu Klobúky typom riešenia 2r23 (snaţí sa porušiť symetriu a začínaoptimalizovať), v úlohe Karty bude s najväčšou pravdepodobnosťou výsledok tipovať alebobude uvádzať náznaky argumentácie. Tento výsledok poukazuje na to, ţe úloha Karty jeo trochu náročnejšia v porovnaní s úlohou Klobúky pre respondentov, ktorých myslenie je naniţšej úrovni argumentácie.Vo všetkých argumentačných skupinách (0-3) sme našli významné podobností medzitypmi riešení.93

Graf 9.3: Strom podobností vybraných typov riešení zo skupín 4 a 5.1r41_252r48_403r41_813r43_152rOS_991r42_333r44_163r47_401r47_121r43_161r44_213r46_31r45_53r45_681r51_353r51_742r51_722r49_633r42_21r46_7Similarity : C:\__Ivan_Masaryk_mladsi\__2009_dizertacka\CHIC_2003\fenomeny_pocty.csvClassification at level : 1 : (1r51_35 3r51_74) similarity : 1Classification at level : 2 : ((1r51_35 3r51_74) 2r51_72) similarity : 1Classification at level : 3 : (1r42_33 3r44_16) similarity : 0.998789Classification at level : 4 : (1r44_21 3r46_3) similarity : 0.994929Classification at level : 5 : (3r43_15 2rOS_99) similarity : 0.994386Classification at level : 6 : (((1r51_35 3r51_74) 2r51_72) 2r49_63) similarity : 0.994334V Grafe 9.3 môţeme pozorovať podobnosť typov riešení respondentov v skupine 5(1r51_35, 2r51_72, 3r51_74) na vysokej hladine podobnosti. Na túto skupinu podobnýchtypov riešení, s vysokou početnosťou výskytu u respondentov, sa napája na vysokej hladinepodobnosti aj typ riešenia 2r49_63. Z grafu 9.4 vidieť, ţe platí implikácia1r51_35 2r49 _ 63 (na hladine významnosti 83 %). Teda s vysokou pravdepodobnosťouplatí, ţe ak respondenti riešili úlohu Karty v argumentačnej skupine 5, tak v úlohe Klobúkyv argumentačnej skupine 4 (10 respondentov) alebo v argumentačnej skupine 5 (16respondentov). Môţeme hovoriť o posunutí argumentačnej úrovne v úlohe Klobúkyv porovnaní s úlohou Karty.Z uvedenej analýzy vyplýva, ţe sme zvolili argumentačné skupiny v jednotlivýchúlohách dostatočne vhodne aby boli porovnateľné medzi sebou.94

Graf 9.4:Implikatívny graf vybraných typov stratégiiV grafe 9.4 je pomocou šípok znázornených 19 vzťahov pričom 10 z nich smeruje dotypu riešenia patriaceho k úlohe Klobúky. Potvrdzuje to dobré charakterizovanie úrovneargumentácie respondentov podľa jednotlivých typov riešení v úlohe Klobúky.Do vyhodnotenia argumentácie respondentov podľa skupín sme zaradili aj úlohuCukríky skupinu správne odpovedajúcich respondentov sme tu označili ako 4s_494.V Grafe 9.5 vidíme prepojenosť niţších argumentačných skupín 1s0, 2s0, 3s0, 1s1,2s1, 3s1, 1s3, 2s3 a 3s3. Vzťahy zo všetkých týchto skupín smerujú do skupiny 2s2. Z tejtoskupiny ďalej nevedie ţiadny iný vzťah na daných hladinách. Táto skupina patrí k úloheKlobúky a súvisí s faktorom vnímania symetrie. Môţeme uvaţovať o previazanosti riešení vniţších argumentačných skupinách s faktorom vnímania symetrie u respondentov. Tentofaktor môţeme povaţovať za blokujúci faktor pre postúpenie myslenia respondentov dovyššej argumentačnej skupiny.95

Graf 9.5:Implikatívny graf všetkých argumentačných skupín1s0_393s0_172s3_183s1_1122s0_402s1_1131s5_351s3_253s3_81s1_1372s5_723s2_992s4_1033s4_2252s2_1893s5_741s2_1801s4_1194s_49498 89 81 68V druhej časti grafu vidíme silné väzby medzi skupinami 1s5, 2s5, 3s5 a 4s, pričomskupina 1s5 je na vrchole podgrafu z týchto skupín. Tieto vzťahy vypovedajú o náročnostiúloh. Zo skupiny 1s5 vychádzajú tri silné väzby do skupín 2s4, 2s5 a 3s5. To znamená, ţe akrespondent riešil úlohu Karty v argumentačnej skupine 5 (1s5), potom riešil v skupine 4 (2s4)úlohu Klobúky alebo v skupine 5 (2s5, 3s5) úlohu Klobúky alebo Kakao na daných hladináchpravdepodobnosti. Z tohto vyplýva, ţe úloha Karty je náročnejšia oproti úlohe Klobúkya úlohe Kakao.Ďalej platí, ţe ak respondent riešil úlohu Klobúky v argumentačnej skupine 5 (2s5),potom riešil úlohu Karty v skupine 2 (1s2), úlohu Kakao v skupine 5 (3s5) alebo úlohuCukríky riešil v skupinesprávne vyriešenej úlohy Cukríky (4s) na daných hladináchpravdepodobnosti. Z tohto vyplýva, ţe úloha Klobúky je náročnejšia oproti úlohe Cukríkya úlohe Kakao.96

Skupiny 1s3 a 2s3 patriace do úrovne nematematickej argumentácie (Skupina 3)oddeľujú skupiny patriace do predargumentačnej úrovne (Skupiny 0,1,2) a úrovnematematickej argumentácie (Skupiny 4 a 5). Overili sme správnosť metodiky klasifikácieţiackych riešení, pretoţe sme našli významné vzťahy medzi príslušnými typmi, skupinamii úrovňami argumentácie9.3 Vyhodnotenie pomeru blokujúcich faktorovJedným z cieľov našej práce bolo vyhodnotiť pomer blokujúcich faktorov v úlohách, ktorésme zadali respondentom. Skúmaným faktorom sme priradili jednotlivé typy riešenia ako touvádza tabuľka 9.4. (pozri kapitola 4.2.4 Spôsob vyhodnotenia experimentu)Tabuľka 9.4:Priradenie typu riešenia skúmaným faktoromSkúmaný faktorTyp riešenia použitý pri vyhodnotení pomerov faktorovOperácie so zlomkami 1R45, 1R46, 1R47, 3R45, 3R46, 3R47Vnímanie pomerov 1R41, 1R42, 1R43, 1R44, 2R48, 2R49, 3R41, 3R42, 3R43, 3R44Vnímanie symetrie 1R47, 2R21, 2R22, 2R23, 2R48, 2R49, 3R47Nedokončená optimalizácia 2R48, 2R49Neistota pri rozhodovaní 1R42, 3R42Problém s veľkými číslami zastúpenie tohto faktoru bolo vyhodnotené iným spôsobomVnímanie náhody zastúpenie tohto faktoru bolo vyhodnotené iným spôsobomDiskrétnosť zadania zastúpenie tohto faktoru bolo vyhodnotené iným spôsobomZmena strátegie zastúpenie tohto faktoru bolo vyhodnotené iným spôsobomV tabuľke 9.5 uvádzame výskyt faktorov blokujúcich pravdepodobnostné myslenieţiakov pri riešení úloh zadaných v experimente.Tabuľka 9.5:Vplyv skúmaných blokujúcich faktorov v úlohách, ktoré sme zadali respondentomSkúmaný faktorpočet riešení počet riešení počet riešení počet riešenív úlohe Karty v úlohe Klobúky v úlohe Kakao spoluVnímanie symetrie 12 292 40 344Vnímanie pomerov 95 103 114 312Operácia so zlomkami 24 0 111 135Nedokončená optimalizácia 0 103 0 103Operácia s veľkými číslami 0 99 0 99Neistota pri rozhodovaní 33 0 2 35Vidíme, ţe dominantnými faktormi blokujúcimi pravdepodobnostné myslenie ţiakov jefaktor vnímania symetrie a faktor vnímania pomerov. Nasledujú faktory operácia sozlomkami, nedokončená optimalizácia, operácia s veľkými číslami a neistota pri rozhodovaní.Vplyv faktora vnímania náhody a diskrétnosti v zadaní úlohy sme zisťovali pomocou úloh97

Karty a Kakao. Zistili sme, ţe napriek tomu, ţe je úloha Kakao v priemere jednoduchšia prerespondentov, niektorým respondentom vyhovuje naopak úloha Karty. Domnievame sa, ţeniektorým respondentom môţe vyhovovať moţnosť predstaviť si priaznivé a nepriaznivémoţnosti v úlohe Karty – diskrétne zadanej úlohe a iným zase jednoznačnosť hustoty Grankav kakau. Zistili sme, ţe 141 respondentov riešilo obe úlohy v rovnakej argumentačnejskupine, 123 respondentov riešilo úlohu Karty vo vyššej argumentačnej skupine a 271respondentov riešilo úlohu Kakao vo vyššej argumentačnej skupine. Celkovo riešilo úlohuKakao 148 respondentov vo vyššej argumentačnej skupine v porovnaní s úlohou Karty.Podrobnejšiu analýzu vplyvu týchto faktorov sme nedokázali zo zistených údajov vytvoriť.Vidíme veľmi veľký potenciál vo faktore zmeny stratégie respondentov. Moţnosť zmeniťstratégiu riešiteľského postupu sa prejavila v malej miere u respondentov pri úlohách Karty,Kakao a Cukríky. Domnievame sa, ţe moţnosť vlastnej kontroly a zmeny postupu je potrebnýpri pravdepodobnostných úlohách a preto je vzácne ak nájdeme úlohu ktorej zadanie čikontext neblokujú ţiakovu kontrolu svojich výsledkov. Veľký potenciál moţnosti vyuţitiazmeny riešiteľského postupu alebo jeho riešiteľskej stratégie vidíme v optimalizačnej úloheKlobúky. Pri zmene postupu môţeme sledovať smer pohybu riešiteľovho postupu z pohľaduúrovne argumentácie. Takúto analýzu sme vyrobili iba pre prípad predbeţnej sondy nakoľkoide o veľmi širokú oblasť odporúčame skúmanie tohto javu k ďalšiemu výskumu.98

9.4 Návrhy metód vyučovania pravdepodobnostiNa základe analýzy faktorov blokujúcich pravdepodobnostné myslenie ţiakov a vlastnejskúsenosti navrhujeme niekoľko metód a aktivít, ktoré by mohli zmenšiť vplyv jednotlivýchblokujúcich faktorov9.4.1 Schopnosť argumentovaťPredpoklad 1 – argumentácia:Pri vyučovaní pravdepodobnosti je potrebné, aby ţiaci dokázali argumentovať namatematickej (logickej) úrovni. Je potrebné, aby sa dokázali vyjadriť, vypočuť si a pochopiťiný názor a v prípade nesúhlasu vedeli vysloviť protiargument, prípadne argumentompodporiť názor.Odporúčanie 1 – argumentácia:Odporúčam po odbornej časti vyučovania (napríklad po prebraní náročnejšieho tematickéhocelku) zaradiť argumentačné hry a sledovať schopnosť argumentácie ţiakov ako pri týchtohrách tak aj v nasledujúcom odbornej časti výučby. Odporúčam venovať jednu hodinumatematiky riešeniu aktuálnej série, najlepšie prvej, nejakého korešpondenčného seminára.Aktivita 1 – argumentačné hry:Z vlastnej pedagogickej skúsenosti viem, ţe aj šikovný ţiaci nedokáţu argumentovať nalogickej úrovni ak si túto schopnosť netrénujú. Tento nedostatok som postrehol u šikovnýchţiakov v predmaturitnom ročníku. Pol roka som učil odbornú matematiku s častýmpreskúšavaním prebraného učiva a následne po polročnom vysvedčení som tri týţdne venovaťv tejto triede dvom argumentačným hrám, hre Alibi a hre Mafiáni, známej tieţ pod názvomMestečko Palermo. Výsledky sa dostavili neuveriteľnou rýchlosťou. Po necelom mesiaci ţiacivymenili takmer všetky argumenty typu: „Spoluţiak je mafián, lebo je z inej triedy“ zaargumenty typu „Spoluţiak je mafián, lebo keby nebol, tak by sa pri hlasovaní99

v predchádzajúcom kole nesprával tak ako sa správal a tak musí byť mafián.“ Výhodou tejtohry bolo aj to, ţe kultúru argumentovať ţiaci šírili pomocou tejto hry aj na oslavách narodenínspoluţiakov alebo iných večierkoch. Po zistení, ţe 16-17 roční ţiaci sa dokáţu takto rýchlootvoriť myšlienke argumentovať na úrovni, som tento pedagogický experiment vyskúšal aj soţiakmi 14-15 ročnými a 12-13 ročnými. Mafiáni sa veľmi dobre uchytila aj u 14-15 ročnýchţiakov. U 12-13 ročných ţiakoch bolo argumentovanie v hre Mafiáni kostrbatejšie a častokrát sa opieralo o vymyslené príbehy. Tieţ sme chvíľu riešili správanie ţiakov, ktorýpodvádzali počas noci, keď mali všetci zatvorené oči a oni sa napriek tomu pozerali.V kaţdom prípade sa kaţdá skupina ţiakov podľa mňa posunula v schopnosti argumentovaťo veľký krok vpred. U 14-15 ročným ţiakom sa veľmi zapáčila hra Alibi, pri ktorej je jedenţiak obvinený a za 7 minút sa musí obhájiť tak, ţe kladie ostatným ţiakom (členom poroty„vše vediacim“) postupne otázky a tí mu musia na ne nahlas, pohotovo a jednoznačneodpovedať. V prípade, ţe si niektorí ţiaci pritom protirečia, obvinený tým našiel alibi a jeuznaný ako nevinný. Ak obvinený nestihne nájsť alibi za 7 minút vyhráva porota. Ţiaci sa prihre počúvali a tieţ ju hrali aj mimo hodín matematiky, napríklad na veľkej prestávke. HraAlibi sa uchytila uţ aj medzi 10-11 ročnými ţiakmi a ja medzi 12-13 ročnými ţiakmi.Aktivita 2 – Korešpondenčný matematický seminárV triede 14-15 ročných ţiakov som rozdal zadania prvej série korešpondenčnéhomatematického seminára KMS, ktorá je vţdy špeciálne vyberaná tak, aby boli úlohy v nejveľmi zaujímavé. Počas celej hodiny som nechal ţiakov riešiť úlohy s motivácioubonusových bodov avšak s tým, ţe ak ich táto činnosť prestane baviť prejdeme plynulek výkladu učiva. Ţiakom som povolil vzájomnú diskusiu. Na moje počudovanie sa kaţdý ţiakponoril naplno do nejakej úlohy a buď samostatne alebo vo dvojici túto úlohu riešil. Nahodinu som priniesol aj čisté papiere, aby ţiaci mohli písať riešenia úloh aj načisto. V tomtoprípade však uţ museli formulovať myšlienky samostatne. Ostatné úlohy uţ ţiaci mohli riešiť100

doma. Sľúbil som jednotku na polroku z matematiky tomu, kto sa dostane na sústredenie.Ostatné dve série úloh riešili ţiaci samostatne a učili sa tak argumentovať a na viac im chybyv argumentoch hľadali a opravovali ďalší ľudia. Ţiaci, ktorí sa dostali na sústredenie sa popríchode chceli vrátiť naspäť na sústredenie. Naďalej riešia seminár a ak im to vydrţí, v čopevne dúfam, budú mať absolvovaný kurz argumentácie. Zo skúseností niektorýchopravovateľov olympiád viem, ţe je častejšie sú na vyššej úrovni práve riešenia týchštudentov, ktorý riešili alebo riešia nejaký matematický seminár. Skúsil som aj pri 12-13ročných ţiakov rozdať zadania s úlohami korešpondenčného seminára PIKOMAT a aj tu saţiaci celú hodinu od úloh neodtrhli. Niektorý ţiaci riešili seminár SEZAM a tak som imodporučil, aby si nechali svoj seminár a zadané úlohy riešili len na hodine ostatným somodporučil poslať svoje riešenia organizátorom. Pri 10-11 ročných ţiakoch sa mi táto metódazatiaľ neosvedčila, aj keď som na hodinu priniesol zadania, ţiaci po chvíľke prestali pracovaťa museli sme prejsť k inej aktivite.9.4.2 Vnímanie náhody a symetriaPredpoklad 2 – vnímanie náhody a symetriaŢiaci sa v beţnom ţivote nestretávajú s kombinatorickou pravdepodobnosťou, ktorá savyučuje na ZŠ. Ţiaci však majú naopak dostatočne veľké skúsenosti s náhodou z beţnéhoţivota, ktorú zatiaľ nedokáţu uchopiť. Ich rozhodovanie je na intuitívnej úrovni, väčšinoupodloţené nanajvýš vlastnou, nie bohatou skúsenosťou, alebo pouţívajú rozhodovanie nazáklade odporúčaní ich autorít. Predpokladáme, ţe v prostredí, v ktorom by kombinatorickúpravdepodobnosť potrebovali, by lepšie pochopili jej zákonitostiam.Odporúčanie 2 – vnímanie náhody a symetriaOdporúčam vytvoriť prostredie, v ktorom bude potrebná kombinatorická pravdepodobnosťzaloţená na symetrických rovnako pravdepodobnostných udalostiach.Aktivita 3 – hra Casino101

Pouţitím pohľadu subjektívnej pravdepodobnosti sme sformulovali hru, ktorú si ţiaci nahodine zahrali a motivovala ich práve paradoxne k výpočtom pravdepodobnosti. Hru smenazvali Casino. Uvádzame aj jej pravidlá. K hre sme potrebovali fiktívne peniaze a väčšiemnoţstvo kociek. Pouţili sme peniaze z jednej spoločenskej hry. Kaţdý hráč dostal vstupnýkapitál a cieľom bolo svoj kapitál čo najlepšie zúročiť. Kaţdý ţiak si vymyslel hru s nejakýmpočtom kociek. Zvolil si cenu hry, pravidlá hry a výhru. (Napr. Hráč A si zvolil cenu za hru100, pravidlá hry: hrá sa s 2 kockami a výhra sa vyplatí, ak padne na oboch kockách rovnakéčíslo, výhra je 700) Podobnú hru si zvolil kaţdý hráč. Ak sa hráč A stretne s hráčom B, takhráč A musí ponúknuť svoju hru hráčovi B. Hráč B má dve moţnosti: buď zaplatí cenu hry,zahrá si ju a ak vyhrá, tak mu hráč A vyplatí výhru alebo si nechá zaplatiť od hráča A cenuhry, potom si hráč A zahrá hru a ak vyhrá, bude musieť vyplatiť výhru hráč B hráčovi A.Jeden z dvojice si teda zahrá hru hráča A a potom musí ešte hráč B ponúknuť hráčovi A svojuhru a rovnako môţe túto hru hráč A prijať a zahrať si ju alebo odmietnuť a v tom prípade si jumusí zahrať hráč B. Hra upravuje intuíciu ţiakov o pravdepodobnosti a motivuje ich počítaťpravdepodobnosť výhry svojej hry.9.4.3 Nedokončená optimalizácia a problém s veľkými číslamiPredpoklad 3 – nedokončená optimalizácia a problém s veľkými číslamiŢiaci sa v ţivote stretávajú najmä s optimalizačnými problémami avšak na hodine matematikyto nebýva pravidlom aby takéto úlohy riešili. Aj experiment ukázal, ţe optimalizačnémyšlienky sú pre ţiakov prirodzené a preto predpokladáme, ţe sa v tejto oblasti dokáţu ľahkorozvíjať a prekonávať napríklad aj svoj horizont uchopiteľných čísiel..Odporúčanie 3 – nedokončená optimalizácia a problém s veľkými číslamiZadávať ţiakom optimalizačné úlohy.Aktivita 4 – Optimalizačné úlohy:102

Jeden príklad optimalizačnej úlohy je úloha Klobúky z experimentu. Ďalšia veľmi vďačnáúloha na optimalizáciu je bez pomoci počítaču nájsť čo najdlhšiu postupnosť hneď po sebeidúcich prirodzených čísiel, z ktorých ani jedno nie je prvočíslo. Túto úlohu je moţné zadať ajna doma na dlhší čas, napríklad dva týţdne a prípadne podľa veku ţiakov odporúčam ajvypísanie nejakej špeciálnej odmeny napr. hrá sa o čokoládu. Výstup od deti musí byť jasný,napríklad očakávam napísané minimálne prvé číslo postupnosti, počet k čísel, ktoré nie súprvočísla a jasný popis prečo nie je ţiadne ďalšie z nasledujúcich čísiel prvočíslom, napríkladku kaţdému nasledujúcemu číslu mi vypíšete jedného jeho netriviálneho deliteľa. Ak nejakýţiaci objavia vlastnosť, ţe n! + k kde 2 < k

(7, 3, 2, 5) – vrchol(4, 1, 3, 2) – 100 m pod vrcholom(3, 2, 1, 2) – 200 m pod vrcholom(1, 1, 1, 1) – 300 m pod vrcholom(0, 0, 0, 0) – 400 m pod vrcholomKaţdému matematikovi je jasné, ţe ak má 4 krát nulu, tak je na úpätí kopca, teda zišiel dole.Na aký najvyšší matematický kopec sa dokáţete vyviesť lanovkou? Malú odmenu – česť bzťna tabuli ako prvý objaviteľ kopca danej výšky som sľúbil kaţdému, kto objaví kopecs rekordnou výškou, kopec sme napísali na tabuľu a ostatný overili, ţe ide o danú výšku. Nakonci hodiny som vţdy vyhlásil, ţe do konca mesiaca, kto prinesie kopec, ktorého výška jevyššia ako 1000 m získa čokoládu. Ak by bolo vyšších kopcov viac ako 10, tak dostanúčokoládu len tí, ktorí budú mať kopec čo najvyšší. Po mesiaci sa veľa ţiakom podarilo nájsť800 m vysoký kopec a málo ţiakom 900 m kopec a iba 11 ţiakov získalo čokoládu, tedajednu čokoládu si delili dve deti. Niektorým sa podarilo nájsť postup ako nájsť ľubovoľnevysoký kopec, ale viem ţe všetci zapojení ţiaci sa naodčitovali do sýtosti. Aktivita sa mizapáčila a vyhlásil som po polroku po písomných maturitách pretek aj pre maturantov. Tubola odmena iba jedna čokoláda, ale len pre toho, kto prinesie kopec vyšší ako 1000 ma vylosujeme ho, pričom váha losu bude úmerná jeho výške. Hľadať kopec som tentokrátpovolil aj pomocou počítača a výsledok mi mohli poslať aj e-mailom. Do súťaţe sa zapojiliiba dvaja ţiaci ale ich výsledky ma oslnili. Jeden našiel kopec, ktorého výška je6 700 000 000 m a druhý našiel v mnoţine iracionálnych čísiel kopec s nekonečnou výškou,pričom konkrétne poslal mailom kopec s výškou 7 400 000 000 m. Svoje riešenia predlosovaním čokolády predniesli spoluţiakom a počas prestávky prirodzene víťaz ponúkolkaţdého čokoládou aj spoluţiakov, teda ledva sa jemu samému ušlo. Pri riešení104

optimalizačnej úlohy môţe získať ţiak prestíţ a to je myslím si hlavná motivácia ţiaka. Tým,ţe je vyhlásená špeciálna odmena, je dôleţitosť tejto prestíţe učiteľom podčiarknutá.9.4.4 Rozhodovanie sa a symetriaPredpoklad 4:V ţivote sa ţiaci potrebujú rozhodovať v rôznych situáciách. Súhlasím so slovami jednéhomôjho priateľa, ktorí raz povedal, ţe je lepšie sa rozhodnúť nie úplne optimálne ale hlavneprimerane rýchlo. Rozhodovanie je nepochybne náročné a preto od nikoho neočakávame, ţesa bude rozhodovať bezchybne, ale kaţdému celkom oprávnene môţeme vytknúť, ak sanerozhoduje vôbec alebo mu rozhodovanie trvá príliš dlho. Negatívum dlhého rozhodovaniaje aj to, ţe na ostatné rozhodnutia nemusí ostať čas a teda môţu byť príliš zbŕkle. Inýmislovami do optimálneho riešenia sa započítava aj jeho časová náročnosť.Odporúčanie 4:Zaradiť do výučby také aktivity, pri ktorých hrá rozhodovanie sa významnú úlohu. Vhodné súúlohy trénujúce zmenu stratégie riešenia alebo aj strategické rozhodovacie hry, typu zvoľ sistratégiu a riaď sa ňou, prípadne zaznamenávaj si zmeny svojej stratégie rozhodovania sa prihre alebo riešenia daných úloh.Aktivita 6 – pravdepodobnostná hra s tromi kotúčmi:Tamas Varga v publikácii Hrajme sa s matematikou (Varga 1981, str. 87 a ďalej) uvádzapravdepodobnostnú hru so zaujímavou optimálnou stratégiou. Tromi kotúčmi sa nehádţe alesa vyťahuje iba jeden, pričom sa pozrieme iba na jednu stranu. Je potom potrebné uhádnuť, čoje na druhej strane. Na jednom kotúči je na oboch stranách krúţok, na druhom je na jednejstrane krúţok a na druhej strane kríţik a na treťom je na oboch stranách kríţik. Je dôleţité abysa nedali rozoznať jednotlivé znaky na kotúčoch. Ţiaci si zvolia stratégiu podľa ktorej sa budúrozhodovať a niekoľko kôl sa môţe odohrať. Ţiaci si môţu následne zmeniť stratégiu a znovasa môţe zahrať niekoľko kôl. Aj keď hra vyzerá ako jednoznačne symetrická, nie je taká105

a ţiaci po chvíle hrania zistia, ţe niektorá stratégia je menej alebo viac výhodná ako iná. Cieleaktivity pre ţiakov môţu byť preto dva. Jednak môţeme trénovať ţiakov aby sa rozhodovalia jednak sa môţeme upriamiť na hľadanie optimálnej stratégie. V prípade, ţe hra „zamrzne“môţeme ju oţiviť pridaním ďalších kotúčov. Napríklad pridáme dva kotúče. Jeden s kríţikmina oboch stranách a jeden s krúţkami na oboch stranách. Viacero podobných aktivít je moţnénájsť napríklad na stránke www.ucmeradi.sk.9.4.5 Vnímanie pomerov a operácia so zlomkamiPredpoklad 5:Na základe výsledkov vyhodnotenia pomerov blokujúcich faktorov, je v našich úloháchnajväčší problém s faktorom vnímania symetrie. Faktor vnímania pomerov a problém soperáciou so zlomkami sú na druhom a treťom mieste. Predpokladáme, ţe učivo spojené sozlomkami je pre ţiakov náročné v priestore rovnako pravdepodobných udalostí:Odporúčanie 5:Odporúčame nevyučovať bez propedeutiky pravdepodobnosť pomocou kombinatorickejdefinície ako pomer priaznivých moţností ku všetkým moţným a ani ako pomer priaznivýchmoţností ku všetkým rovnako pravdepodobným moţnostiam, čo je síce definícia presnejšia,ale vo viacerých smeroch komplikovaná. Ţiaci musia pochopiť a vedieť argumentovať prečosú udalosti rovnako pravdepodobné a potom môţe vzniknúť dojem, ţe je definíciapravdepodobnosti cyklická a definuje sa na základe samej seba a nakoniec sa definujepomocou pomeru dvoch čísiel, ktoré tvoria zlomok a svojou veľkosťou hodnoty čitateľai menovateľa môţu presahovať horizont uchopiteľnosti riešiteľa. Nehovoriac o samotnejhodnote kombinatorickej pravdepodobnosti, ktorá je číslo spravidla racionálne ale nie celé.V predchádzajúcich podkapitolách sme sa preto venovali metódam a spôsobom akomotivovať ţiakov k otázkam a teda ako by bolo moţné v priestore rovnako pravdepodobnýchudalostí definovať mieru pravdepodobnosti ako nevyhnutné uspokojenie potreby ţiakov.106

10 ZáverV našej práci sme skúmali pravdepodobnostné myslenie ţiakov na základnej škole pomocouexperimentu. Experiment sa uskutočnil v roku 2007 a bol zameraný na 13-15 ročných ţiakovzákladných škôl na Slovensku. Zúčastnilo sa ho 535 respondentov. Účastníci experimenturiešili 4 úlohy, ktoré sme do experimentu vybrali na základe vyhodnotenia predbeţnej sondy.Stanovili sme si nasledujúce 4 ciele práce: Identifikovať faktory blokujú pravdepodobnostné myslenie ţiakov. Určiť vzájomný pomer blokujúcich faktorov Navrhnúť spôsoby vyučovania teórie pravdepodobnosti, ktoré pomôţu zníţiť vplyvblokujúcich faktorov na myslenie ţiakov Overiť pouţité rozdelenie riešení do jednotlivých typov, skupín a úrovníargumentácie.Pomocou teoretickej časti práce, vyhodnotenia experimentu, skúseností a pedagogickejpraxe sa nám podarilo splniť všetky stanovené ciele práce.Ako hlavné faktory blokujúce pravdepodobnostné myslenie ţiakov na ZŠ smeidentifikovali: Vnímanie symetrie, Vnímanie pomerov, Operácia so zlomkami, Operácias veľkými číslami, Neistota pri rozhodovaní, Vnímanie náhody a schopnosť argumentovať.Podľa schopnosti argumentácie sme ţiacke riešenia v 3 experimentálnych úloháchrozdelili do 3 úrovní, 6 skupín a jednotlivo na 12 typov riešení v úlohe Karty a analogicky ajv úlohe Kakao a na 9 typov riešení v úlohe Klobúky. Niektorým typom riešení, najmä tým,ktoré patria do úrovne matematickej argumentácie a Skupiny 4 Nekorektná matematickáargumentácia, sme priradili faktory, ktoré blokujú pravdepodobnostné myslenie ţiakov. Tým107

sme dostali celkový obraz o pomere faktorov, blokujúcich pravdepodobnostné myslenieţiakov v našom experimente, čo bolo druhým cieľom nášho experimentu.Na základe vlastných skúseností ako z pozície ţiaka, študenta a následne najmäs pohľadu pedagóga, sme navrhli metódy a postupy vyučovania pravdepodobnostia propedeutiky pravdepodobnosti, aby sa zmiernil vplyv faktorov blokujúcichpravdepodobnostné myslenie ţiakov.Metodiku klasifikácie ţiackych riešení sme overili pomocou štatistického softvéruCHIC a pomocou MS Excel.Po vyhodnotení experimentu sa v oblasti didaktiky matematiky otvárajú nové otázky,ktoré by bolo zaujímavé preskúmať. V ďalšom výskume pravdepodobnostného mysleniaţiakov navrhujeme: Preskúmať zmeny stratégie riešiteľského postupu ţiakov v úlohe Klobúkyalebo všeobecnejšie v optimalizačných úlohách v porovnaní s ostatnýmiúlohami s prvkom náhody. Navrhnúť experiment a overiť nami navrhované metódy vyučovania v praxipočas dlhodobejšieho výskumu Zistiť, či by bola optimalizačná úloha Klobúky vhodná ako diagnostická úloha. Rozšíriť výskum pravdepodobnostného myslenia v duchu tejto práce aj naţiakov strednej školy, prípadne aj na mladších ţiakov druhého stupňa ZŠa ţiakov prvého stupňa ZŠDúfame, ţe táto dizertačná práce, určená najmä pre učiteľov matematiky, pomôţe privyučovaní pravdepodobnosti a pochopení pravdepodobnostného myslenia ich ţiakov.108

11 Zoznam bibliografických odkazovAbrams, B. (2005): A Brief History of Probability,In: http://www.secondmovement.org/articles/probability.php, 23.6.2005Ácsová, S. (2004): Kedy a ako vyučovať pravdepodobnosť na ZŠ a SŠ,In: Matematika v škole dnes a zajtra 2004, RuţomberokAnděl, J. (2000): Matematika náhody, MATFYZPRESS 2000Anděl, J. (1985): Matematická statistika, Alfa, Praha 1985Anděl, J. (1987): Dva paradoxy z počtu pravdepodobnosti,In: Rozheldy matematicko-fyzikální 1/66, SPN Praha 1987Bachratý, H. (2006): Štyri nepravdepodobné príbehy,In: Letná škola z teórie vyučovania matematiky PYTAGORAS 2005, P-MAT,n.o. 2006Bálint, L. (1997): Učebné osnovy pre 5. aţ 9. ročník ZŠ, SPN 1997Berová, Z., Bero, P. (2003): Zošit pre učiteľa, Pomocník z matematiky pre 6. ročník ZŠ,Orbis Pictus Istropolitana 2004Berová, Z., Bero, P. (2004a): Pomocník z matematiky pre 7. ročník ZŠ, 2. zošit,Orbis Pictus Istropolitana 2004Berová, Z., Bero, P. (2004b): Zošit pre učiteľa, Pomocník z matematiky pre 7. ročník ZŠ,Orbis Pictus Istropolitana 2004Berová, Z., Bero, P. (2005): Pomocník z matematiky pre 6. ročník ZŠ, 2. zošit,Orbis Pictus Istropolitana 2005Berová, Z., Bero, P. (2008): Pomocník z matematiky pre 9. ročník ZŠ, 2. zošit,Orbis Pictus Istropolitana 2005Bobok, J. a kol. (1983a): Matematika pre 8. ročník základnej školy, 1. diel, SPN 1983Bobok, J. a kol. (1983b): Matematika pre 8. ročník základnej školy, 2. diel, SPN 1983109

Čihák, M. (2004): Výuka pravdepodobnosti na gymnáziu s vyuţitím počítačů,Dizertačná práca, Praha 2004David, F. N. (1962): Games, Gods and Gamblings, Charles Griffin & Co. Ltd. 1962Ďuriš, J. (2004): MCRE úlohy a školské úlohy,Písomná časť dizertačnej skúšky, Bratislava 2004Gillies, D. (2000) : Philosophical Theories of Probability, Routledge, 2000Hejný, M. a kol. (1990): Teória vyučovania matematiky 2, SPN 1990Hejný, M. (2003): Diagnostika aritmetické struktury, In: Zborník príspevkov z letnej školy zteórie vyučovania matematiky PYTAGORAS 2003, EXAM 2003 BratislavaHejný, M. (2007a): Matematika 1, 1.díl, učebnice pro 1. ročník základní školy,Fraus Plzeň 2007Hejný, M. (2007b): Matematika 1, 2.díl, učebnice pro 1. ročník základní školy,Fraus Plzeň 2007Hejný, M. (2007c): Matematika 1, příručka učitele pro 1. ročník základní školy,Fraus Plzeň 2007Horáček, R. (1974): Algebra pre 9. ročník, SPN 1974Hric, R. (1994): Vývinové štádiá v dejinách algebry. In: Rybár a kol. 1994, s. 27-35.Janáčková, M. (2006): A classification of strategies employed by high school students inisomorphic combinatorial problems. In: TMME 2006 vol.3, no. 2, p. 128-154Jodas V. (1998): Propedeutika kombinatoriky a teórie pravdepodobnosti vo vyučovanímatematiky na ZŠ a v niţších triedach gymnázia, Metodické centrum Bratislava 1998Kačala, J. a kol. (2003): Krátky slovník slovenského jazyka 4, Veda 2003 Bratislavahttp://slovnik.juls.savba.sk/ (20.3.2006)Kaňová, E. (2002): Podpora vyučovania pravdepodobnosti pomocou počítača,In: Matematika v škole dnes a zajtra 2002, Ruţomberok110

Křišťan, J. (1970) : Slovní úlohy v 8. a 9. ročníku ZDŠ, In: Matematika ve škole 9/XX ,SPN Praha 1970Lamoš, F., Potocký, R. (1989): Pravdepodobnosť a matematická štatistika, štatistické analýzyUK Bratislava 1998Laplace, M. (1814) : A Philosophical Essay on Probabilities, Dover 1951Lendelová, K.(2003): O jednom experimente so ţiakmi,In: Matematika v škole dnes a zajtra 2003, RuţomberokLendelová, K. (2004): O stredoškolských učebniciach pravdepodobnosti,In: Obzory matematiky, fyziky a informatiky 3/2004Major, M; Nawolska, B. (2002): Gra strategiczno-losowa jako środek aktywizacjimatematycznej uczniów, In: Matematika v škole dnes a zajtra 2002, RuţomberokMichalcová, A.(1984): Skúsenosti z vyučovania štatistiky,Pedagogický ústav mesta Bratislavy, Bratislava 1984Pázman, A. (2003): Bayesovská štatistika, Univerzita Komenského Bratislava 2003Pelikán, Š. (1985): Realizační postup zavedení pravděpodobnosti a statistiky z hlediskaprofilu absolventa učitelského studia matematiky. In: Kraemer, E. : Příspěvkyk vysokoškolské didaktice matematiky, Sborník prací účastníků kursu specializovanéhostudia vysokoškolské pedagogiky pro učitele matematiky na univerzitácha samostatných pedagogických fakultách 1982/1983, Praha 1985Perelli D’Argenzio, M. P., Aureli Cutillo, E., Pesarin, F. (1989): The teaching of Probabilityand Statistics in Italian compulsory schools, In: Studies of Mathematics Education,Vol. 7, The Teaching of Statistics, UNESCO, 228-241Piaget, J.; Gracia, R. (1989): Psychogenesis and History of Science. New York 1989.Płocki, A. (1995): Pravdepodobnosť okolo nás, Ruţomberok 2004111

Płocki, A. (2000): Stochastický aspekt matematického vzdelávania – pravdepodobnosť v„matematike pre kaţdého“, In: Matematika dnes a zajtra 2000, RuţomberokPłocki, A.(2001): Stochastické paradoxy ako prostriedok aktivizácie ţiakov,In: Matematika dnes a zajtra 2001, RuţomberokRényi, A. (1965): Dialogy o matematice, Mladá fronta, 1980Rényi, A. (1972) : Teorie pravdepodobnosti, Academia, Praha 1972Repáš, V. a kol. (1997): Matematika pre 5. ročník základných škôl, Prirodzené čísla,Orbis Pictus Istropolitana 1997Repáš, V. a kol. (1998): Metodické poznámky, Matematika pre 5. ročník ZŠ,Orbis Pictus Istropolitana 1998Repáš, V. a kol. (1999a): Matematika pre 6. ročník základných škôl, 2. diel,Orbis Pictus Istropolitana 1999Repáš, V. a kol. (1999b): Metodické poznámky, Matematika pre 6. ročník ZŠ, 2. diel,OrbisPictus Istropolitana 1999Repáš, V. a kol. (2000): Matematika pre 7. ročník základných škôl, 2.diel,Orbis Pictus Istropolitana 2000Repáš, V. a kol. (2001): Metodické poznámky, Matematika pre 7. ročník ZŠ, 2.diel,Orbis Pictus Istropolitana 2001Repáš, V. a kol. (2002): Matematika pre 8. ročník základných škôl, 2.diel,Orbis Pictus Istropolitana 2002Rybár, J. a kol. (1994): Kapitoly z epistemológie II, Univerzita Komenského Bratislava 1994Saxl, I. (2004): Pravdepodobnosť ve starověku a středověku, STAKAN 2003,MATFYZPRESS 2004 In: CD – Statistika v České republice,KPMS MFF UK, ČStS a JČMF 2005112

Saxl, I. (2005a): Statistické myšlení a jeho vyuka, In: Pravdepodobnost a statistika na středníškole, MATFYZPRESS 2005 In: CD – Statistika v České republice,KPMS MFF UK, ČStS a JČMF 2005Saxl, I. (2005b): Geometrická pravdepodobnosť, MATFYZPRESS 2005In: CD – Statistika v České republice, KPMS MFF UK, ČStS a JČMF 2005Scholzová, I. (2000): Kombinatorika na základnej škole,In: Matematika v škole dnes a zajtra 2000, RuţomberokScholzová, I. (2001): Kombinatorické úlohy v prijímacích testoch na stredné školy,In: Matematika v škole dnes a zajtra 2001, RuţomberokŠedivý, O. a kol. (1986): Matematika pre 7. ročník ZŠ, Doplňujúci text pre triedys rozšíreným vyučovaním prírodovedných predmetov, II. diel, SPN 1986Šedivý, O. a kol. (1999): Matematika pre 6. ročník základných škôl, 2.časť,SPN 1999Šedivý, O. a kol. (2000): Matematika pre 7. ročník základných škôl, 2.časť, SPN 2001Šedivý, O. a kol. (2001): Matematika pre 8. ročník základných škôl, 2.časť, SPN 2003Šedivý, O. a kol. (2002): Matematika pre 9. ročník základných škôl, 2.časť, SPN 2005Siegler, R. (1977): The twenty questions game as a form of problem solving.In: Child-Development 1977, vol. 48 (2), p. 395−403Varga T. (1981): Hrajme sa s matematikou, Mladé letá, Bratislava 1981Wussing, H. Arnold, W. (1983): Biographien bedeutender Matematiker, Berlín 1983Zapletal, F. a kol. (1981): Matematika pre 6. ročník ZŠ, I. diel, Aritmetika, SPN 1981Ţilková, M. (2004): Ohodnotenie pravdepodobnosti alebo „je hra spravodlivá“?,In: Matematika v škole dnes a zajtra 2004, RuţomberokMetodické materiály pre prácu učiteľa na hodine. Konkrétne námety a spracované témy navyučovanie nie pomocou pracovných listov. http://www.ucmeradi.sk (12.3.2008)113