Důkazový asistent HOL a jeho logika

uvažování (reasoning). Některé tyto programy mohou být velmi jednoduché. Některé jsou
částmi programů jako HOL. Vzhledem k existenci těchto programů je tedy vhodné v případě
programů, které zajímají nás, hovořit výslovně jako o interactive theorem provers, resp.
proof assistants.
Dostupné a přitom spolehlivé informace o problematice důkazových asistentů
překvapivě v současnosti chybí. Například relevantní heslo Wikipedie 3 je v současnosti
téměř prázdné a některé údaje v něm dokonce chybné. Nezbývá než se opírat o sdělení
příznivců jednotlivých asistentů na jejich webech, anebo o snad příliš zobecňující
přehledové texty, které se však věnují většinou poněkud jinému problému.
Jistě není smyslem této stati suplovat čtenářovu schopnost získávat informace třeba
na internetu, proto se omezím jen na hrst doporučení, o jaké informace se na internetu
aspoň v počátku opřít. Historicky zajímavý je popis období od doby implementace λ-kalkulu
Robinem Milnerem do jím vyvinutého jazyka LCF (Logic for Countable Functions) 4
a sestavení důkazového asistenta LCF theorem prover ve Stanfordu a Edinburghu na
počátku 70. let 20. století, viz k tomu (Gordon 1996).
Dále je zajímavý vyhlášený projekt „převodu matematiky do počítačů“, Project QED 5
a vůbec idea formalized mathematics. Cenné jsou v současnosti komentáře na blogu
Formalized Mathematics 6 (mj. všechny tyto tři aktivity se točí kolem asistenta Mizar). Zdá
se ovšem, že celkově tyto projekty zatím nemají žádné zázračné výsledky. Prý nemají ani
všeobecnou podporu matematiků. 7
Zajímavý je v této souvislosti seznam 100 významných teorémů, přičemž je uvedeno,
v kterém asistentu (a kterým operátorem) byly dokázány. 8 Položka v tomto seznamu vypadá
např. takto: „5. Prime Number Theorem: HOL Light (John Harrison), Isabelle (Jeremy Avigad
et al.)“, anebo třeba: „6. Gödel‘s Incompleteness Theorem: HOL Light (John Harrison), Coq
(contrib., Russell O‘Connor), nqthm (Natarajan Shankar)“. V současnosti prý bylo dokázáno
87% oněch teorémů, přičemž úspěšnost asistentů je aktuálně tato:
3
Http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_assistant/.
4 Http://en.wikipedia.org/wiki/Logic_for_Computable_Functions/.
5 Http://en.wikipedia.org/wiki/QED_manifesto/.
6 Http://slawekk.wordpress.com/2010/11/17/the-next-generation-of-proof-assistants-ten-questions/.
7 Za tuto poznámku vděčím doc. Vítězslavu Švejdarovi.
8 Viz Formalizing 100 Theorems, http://www.cs.ru.nl/~freek/100/. Srov. s The Hundred Greatest Theorems,
http://pirate.shu.edu/~kahlnath/Top100.html.
2