Důkazový asistent HOL a jeho logika

Důkazový asistent HOL a jeho logika
Jiří Raclavský
Abstract (Proof Assistant HOL and Its Logic): In the first part of this paper, I report on actual development of
software called proof assistants or interactive theorem provers. In the second part of the paper, I focus on the
description of logic inbuilt in one of the most known proof assistants, HOL, which is a kind of typed lambdacalculus.
Keywords: proof assistants; theorem provers; HOL; typed lambda-calculus.
Tento článek má dvě části. V prvé stručně referuji o softwarech nazývaných proof assistants
či interactive theorem provers. V druhé části se soustředím na popis logiky, která je
zabudována do jednoho z nejznámějších takovýchto softwarů, HOL. Ačkoli HOL je zkratkou
za ‚higher-order logic‘, což by snad mohla být jistá predikátová logika, jedná se o lambda
kalkul s typy.
1. Důkazové asistenty
Důkazové asistenty jako HOL nejsou primárně určeny pro logiky, ale pro matematiky.
Ovšem predikátová logika prvního řádu bývá jejich součástí, což je pro logika zajímavé.
Důkazové asistenty mají matematikům sloužit k dokazování jednak známých, jednak
neznámých teorémů. Lidský uživatel má přitom možnost implementovat různé strategie,
ukládat si mezivýsledky a rovněž přenechat rutinní práce na softwaru samotném. Je to tedy
softwarový nástroj (prostředí, program) určený k provádění důkazů ve spolupráci s lidským
operátorem.
S oblastí počítačově podporovaného dokazování (computer-aided proofs) souvisí
automated theorem proving (ATP), 1 resp. automated deduction. To nás nyní nezajímá, poněvadž
tato oblast pokrývá programy, které mají na starosti např. prokázání rozhodnutelnosti
logik, ověřování důkazů, apod., anebo třeba prověřování navržených logických obvodů. Pod
tuto oblast spadá automated proof checking, 2 prý velmi rozvinutá oblast automatického
1 Http://en.wikipedia.org/wiki/Automated_theorem_prover/.
2
Http://en.wikipedia.org/wiki/Automated_proof_checking/.
1

uvažování (reasoning). Některé tyto programy mohou být velmi jednoduché. Některé jsou
částmi programů jako HOL. Vzhledem k existenci těchto programů je tedy vhodné v případě
programů, které zajímají nás, hovořit výslovně jako o interactive theorem provers, resp.
proof assistants.
Dostupné a přitom spolehlivé informace o problematice důkazových asistentů
překvapivě v současnosti chybí. Například relevantní heslo Wikipedie 3 je v současnosti
téměř prázdné a některé údaje v něm dokonce chybné. Nezbývá než se opírat o sdělení
příznivců jednotlivých asistentů na jejich webech, anebo o snad příliš zobecňující
přehledové texty, které se však věnují většinou poněkud jinému problému.
Jistě není smyslem této stati suplovat čtenářovu schopnost získávat informace třeba
na internetu, proto se omezím jen na hrst doporučení, o jaké informace se na internetu
aspoň v počátku opřít. Historicky zajímavý je popis období od doby implementace λ-kalkulu
Robinem Milnerem do jím vyvinutého jazyka LCF (Logic for Countable Functions) 4
a sestavení důkazového asistenta LCF theorem prover ve Stanfordu a Edinburghu na
počátku 70. let 20. století, viz k tomu (Gordon 1996).
Dále je zajímavý vyhlášený projekt „převodu matematiky do počítačů“, Project QED 5
a vůbec idea formalized mathematics. Cenné jsou v současnosti komentáře na blogu
Formalized Mathematics 6 (mj. všechny tyto tři aktivity se točí kolem asistenta Mizar). Zdá
se ovšem, že celkově tyto projekty zatím nemají žádné zázračné výsledky. Prý nemají ani
všeobecnou podporu matematiků. 7
Zajímavý je v této souvislosti seznam 100 významných teorémů, přičemž je uvedeno,
v kterém asistentu (a kterým operátorem) byly dokázány. 8 Položka v tomto seznamu vypadá
např. takto: „5. Prime Number Theorem: HOL Light (John Harrison), Isabelle (Jeremy Avigad
et al.)“, anebo třeba: „6. Gödel‘s Incompleteness Theorem: HOL Light (John Harrison), Coq
(contrib., Russell O‘Connor), nqthm (Natarajan Shankar)“. V současnosti prý bylo dokázáno
87% oněch teorémů, přičemž úspěšnost asistentů je aktuálně tato:
3
Http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_assistant/.
4 Http://en.wikipedia.org/wiki/Logic_for_Computable_Functions/.
5 Http://en.wikipedia.org/wiki/QED_manifesto/.
6 Http://slawekk.wordpress.com/2010/11/17/the-next-generation-of-proof-assistants-ten-questions/.
7 Za tuto poznámku vděčím doc. Vítězslavu Švejdarovi.
8 Viz Formalizing 100 Theorems, http://www.cs.ru.nl/~freek/100/. Srov. s The Hundred Greatest Theorems,
http://pirate.shu.edu/~kahlnath/Top100.html.
2

HOL Light 84
Mizar 52
Coq 49
Isabelle 47
ProofPower 42
PVS 16
nqthm/ACL 12
NuPRL/MetaPRL 8
HOL Light, Isabelle a ProofPower patří do rodiny HOL. Coq je vlastně také založen na
λ-kalkulu, Nuprl ostatně rovněž. Nqhtm/ACL, avšak i PVS, jsou založeny na Lispu, a tím
vlastně také na λ-kalkulu. Mizar je založen na predikátové logice prvního řádu.
Na první pohled to tedy vypadá jako značné vítězství λ-kalkulu, resp. funkcionálního
(a typového) přístupu k základům matematiky nad přístupem množinovým, predikátovou
logikou. Takto by to ale nemělo být interpretováno bez výhrady. Poněvadž třeba
Isabelle/HOL byla před cca 8 lety (kdy jsem se tématem začal zaobírat) prezentována jako
implementace prvořádové logiky s jakýmsi λ-kalkulovým přívěskem; i jiné verze HOLu
kolísají v míře, v jakém se podle vývojářů opírají o prvořádovou logiku. Může se ale jednat
jen o způsob podání, kdy jsou tyto programy prezentovány pro většinové publikum, tedy
jakožto založené víceméně na PL1 (FOL).
Velmi stručně se nyní zmiňme o hlavních současných rivalech HOLu. Coq 9 vychází
z kalkulu induktivních konstrukcí odvozeného od kalkulu konstrukcí Thierry Coquanda. 10
Projekt je francouzský. Mizar 11 je v zásadě polský a je v současnosti zřejmě velmi tlačen
nahoru soustředěným úsilím (např. před implementací je teorém diskutován v časopise
příznivců Mizaru apod.). Opírá se o Tarski-Grothendieckovu teorii množin 12 a prvořádovou
logiku. (Znovu zde opakuji, že je namístě být opatrný při zobecňování výsledků do
budoucna. Před deseti lety byla Isabelle/HOL opěvována − mj. manuál tehdy vyšel knižně 13 −,
9 Http://coq.inria.fr/.
10 Http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_constructions/.
11 Http://mizar.org/.
12 Http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski–Grothendieck_set_theory.
13
Srov. aspoň http://www4.in.tum.de/~nipkow/lncs2283/.
3

v současnosti je to projekt spíš upadlý. 14 ) K Nuprlu, 15 nqhtm/ACL 16 a PVS 17 viz níže
odkazované webové zdroje.
Zajímavý je současný odhad budoucího vývoje od autora blogu Formalized
Mathematics, Slaweka K. Ten mj. vyslovuje trend budoucích typově neutrálních základů,
nad nimiž bude typová vrstva. Nemá dojít k omezování na ty nebo jiné základy (např. ZFC),
aby byl daný asistent dík své neutralitě plausibilnější pro širší okruh uživatelů. Nedoufá či
nerozumí otázce po implementaci parciality funkcí (ta v asistentech chybí). Nemyslí si, že je
třeba se věnovat pokrytí teorie kategorií.
Jen některé z důkazových asistentů jsou volně dostupné, jen některé jsou snadno
instalovatelné např. pod Windows, jen některé mají obsáhlou dokumentaci. Také platí, že
obsluha takového programu není triviální. Triviální a důvěrně známá není ani metoda
dokazování. Zaznamenal jsem dokonce informaci, že provést první důkaz trvá studentovi
matematiky asi měsíc studia. Proto jsou mu doporučeny úvodové kurzy, jaké jsou např. ve
Spojeném království (UK) vypisovány. Využitelnost důkazových asistentů i jako doplňku
výuky je následně přinejmenším na humanitních oborech zcela vyloučena.
Výše tu a tam naznačovaný pesimismus by však měl být ihned kompenzován
vyjádřením celkového optimismu ve věci komputerové matematiky. K tomuto doporučuji
např. text (Barendregt, Wiedijk 2005), který se blíže vyjadřuje nejen k implementované
matematice, ale i k poměrům mezi důkazovými asistenty.
2. HOL a jeho logika
Jak už bylo naznačeno, rodinu HOL představuje několik asistentů. Nyní je to HOL4, 18
s jazykem Moscow ML, 19 HOL Light 20 s jazykem OCaml, 21 Isabelle 22 i ProofPower 23 (z počátku
14 Vděčím Mgr. Svatoplukovi Nevrklovi za informaci, že Brazilci ohlásili opětovný rozvoj projektu Isabelle.
15 Http://www.nuprl.org/.
16
Http://en.wikipedia.org/wiki/Nqthm/, http://www.cs.utexas.edu/ftp/boyer/nqthm/,
http://en.wikipedia.org/wiki/ACL2/, http://www.cs.utexas.edu/~moore/acl2/.
17
Http://en.wikipedia.org/wiki/Prototype_Verification_System/, http://pvs.csl.sri.com/.
18 Http://hol.sourceforge.net/.
19 Http://www.itu.dk/~sestoft/mosml.html.
20 Http://www.cl.cam.ac.uk/~jrh13/hol-light/.
21 Http://caml.inria.fr/ocaml/.
22 Http://www.cl.cam.ac.uk/research/hvg/isabelle/.
23
Http://www.lemma-one.com/ProofPower/index/.
4

komerční) jsou založeny na jazyku Standard ML. 24 Uváděné jazyky jsou verze jazyka ML
(‚meta-language‘). Blíže k vývoji vedoucímu k rodině HOL viz např. (Gordon 1996).
Z důvodů dostupnosti, jednoduché instalace pod Windows, nulové pořizovací ceny
a přítomnosti obsáhlých manuálů (viz odkazy níže), jsem se v poslední době zabýval
programem HOL4 (nadále jen HOL).
Metajazykem tohoto systému je Moscow ML, objektovým jazykem je jazyk HOLu4; v rámci
metajazyka uživatel manipuluje prvky objektového jazyka. V obou případech se jedná
o poněkud specifický typovaný lambda kalkul. (Níže se budeme zajímat jen o jazyk HOLu).
Jedná se očividně o:
a) jazyk jednoduché teorie typů
b) pouze s totálními funkcemi
c) s explicitní práci s typy, resp. s typovou polymorfií.
Níže se k tomuto vrátím detailněji. 25
Systém dedukce v HOL, platí pro něj jako celek, je sekvenční systém. Uplatněno je 8
pravidel inference: assumption introduction, reflexivity, beta-conversion, substituition,
abstraction, type instantitation, discharging an assumption, modus ponens. Vidíme, že
kromě známých pravidel (modus ponens, beta konverze) jsou tu i pravidla méně známá
(např. type instantitation). Pravidla jsou formulována v manuálu velmi jednoduše. Nejde
přitom ani tak o to, že tu nejsou komplikace s parcialitou (jaké jsou např. v teorii typů
s parciálními funkcemi, viz Tichý 1982), ale o to, že jsou v manuálu posléze upřesněna.
Kromě těchto pravidel jsou tu ještě nepodmíněná inferenční pravidla, axiómy. Ty jsou
specifické pro každou z jednotlivých tzv. teorií, které jsou obsaženy v HOLu (teorií je např.
teorie aritmetiky). Pro nás je zajímavá teorie LOG, která je teorií predikátové logiky prvního
řádu, ovšem obohacenou o práci s typy. Axiómy LOG se nápadně podobají např. těm, co
známe z Churchovských prací, zde např. |- T = ((λx bool . x)= (λx bool . x)), |- ∀ = λP α → bool . P=(λx α . T)
(první axióm „definuje“ pravdivostní hodnotu pravda, druhý „definuje“ obecný
kvantifikátor). Nějaké „normální“ axiómy PL1 (FOL) zde nejsou.
24 Http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_ML, http://standardml.org/.
25
Nechci však v tomto textu zacházet do detailů logické ortografie či nejostřejších distinkcí.
5

Podívejme se nyní na jazyk HOL. 26 Připomeňme si nejdříve znění Churchovy (Church
1940) jednoduché teorie typů, byť v zobecnění podle Tichého (např. Tichý 1982). Nechť bází B
je množina vzájemně disjunktních kolekcí primitivních objektů:
a) Každý prvek B je typem nad Β.
b) Jestliže ξ, ξ 1 , ..., ξ n jsou (libovolnými) typy nad B, tak (ξξ 1 ...ξ n ), tj. kolekce totálních
a parciálních funkcí z ξ 1 , ..., ξ n do ξ, je typem nad B.
c) Nic jiného, co neplyne z a) nebo b), není typem nad B. 27
Ve srovnání s tímto má Church specifickou bázi B, totiž B Ch ={ι,ο} (tj. individua, pravdivostní
hodnoty). Church se rovněž omezil jen na totální funkce. To mu pak umožnilo uplatnit
Schönfinkelovu redukci n-árních funkcí na unární. 28 Tato redukce neplatí, jak Tichý dokázal
v úvodu statě (Tichý 1982), pro parciální funkce; tato skutečnost mj. znamená, že
implementace parciality do důkazových asistentů povede ke značným komplikacím už od
samého začátku.
V prostředí HOL jsou uznány jen totální funkce. Rozdíl proti Churchovi je však ten, že
se HOL neomezuje na specifickou bázi B Ch . Výklad v manuálu je nejprve obecný, teprve
později dochází ke specifikaci báze. Například je specifikován typ ο (typ bool, tj. obsahuje T
a F). Specifikován je ovšem i typ pro formule (termy). Odtud mj. rychle dostáváme odpověď
na otázku, zda přece jen není teorie typů v HOL rozvětvená: není, protože nejsou odlišeny
λ-termy (formule) a jejich strukturované významy (např. ve smyslu Tichého konstrukcí,
nikoli ve smyslu denotovaných množinových entit). 29 Manuál dále upřesňuje, že alespoň
jeden prvek B (nejlépe typ ι) je nekonečnou množinou, že tu jsou rovněž typy pro
uspořádané dvojice, apod., čímž se výklad přibližuje množinovým foundations.
26
Níže budeme pod manuálem rozumět pouze jeho část LOGIC, v němž lze místa, o nichž budu hovořit, snadno
najít.
27
Připomínám zde, že v rámci teorie typů jsou množinami-třídami ξ-objektů rozuměny charakteristické
funkce definované na ξ-objektech.
28 Opakem oné redukce je curryfikace, která je oblíbená v prostředí computer science. (Filosofický logik
důvěrně zná curryfikované funkce, jimiž jsou monadické zobecněné kvantifikátory jako ‚All‘, které jsou běžně
převáděny na relace mezi třídami.)
29 Hyperintenzionalitu lze v systému tedy jen (neúplně) simulovat – a to způsobem zavedeným již
Richmondem Thomasonem (autor statě vysvětlí na požádání).
6

Dalším rysem jazyka HOL je typová nespecifičnost, resp. důraz na typovou polymorfii.
Tato skutečnost je pro čtenáře odchovaného v prostředí filosofické logiky poněkud
nezvyklá. Jakmile totiž přijmeme myšlenku, že funkce jako např. identita = se aplikuje na
specifický typ objektů – a tedy máme vždy typově specifickou funkci = ξ (kde ξ je konkrétní
typ objektů na nichž = ξ operuje) –, tak je nesprávné uvažovat, že = je v jakémkoli smyslu
typově nevyhraněná, polymorfní. Pocit nezvyku ovšem pramení už z toho, že v prostředí
(filosofické) logiky jsme zvyklí takřka výlučně na Church-style theory of types, kdežto
v computer science byla reflektována i Curry-style theory of types. 30 Zatímco první styl
odpovídá původnímu, tj. vlastně Russellově výkladu myšlenek typů, 31 Curryho styl vychází
z Curryho myšlenek, podle nichž např. ‚=‘ je i při typové nevyhraněnosti o sobě
plnohodnotnou funkcí. Sám jazyk HOL je však bližší reálnému Churchovi (a též i např.
Tichému), který např. teorém reflexivity identity (to je jen příklad) dokázal pro = ξ , tedy
identitu s neurčeným typem, a tím měl teorém reflexivity dokázánu pro jakoukoli typově
specifickou identitu. Neboli jazyk HOL je praxi bližší i v tomto směru. 32
Do objektového jazyka, tj. do jazyka HOL, jsou explicitně zavedeny typy, formule
(a další termy) obsahují znaky pro typy či proměnné pro typy. 33 Příkladem je výše uvedená
λ-abstrakce λP α → bool . P = (λx α . T), v níž ‚α‘ indikuje libovolný typ a ‚bool‘ indikuje
(pojmenovává) typ ο. 34 Z pohledu (filosofického) logika je však toto ilegální. Dle
„conventional wisdom“ filosofické logiky přece nelze o typech v typové teorii „mluvit“ – již
Kurt Gödel přece ukázal (Gödel 1944), že Russellova tvrzení o typových restrikcích tyto
restrikce samy překračují, nedodržují je (a tudíž je celá teorie typů neodůvodněná). Tato
skutečnost nemusí být zpozorována u HOLu hned, poněvadž popis implementované teorie
30 K popisu blíže viz např. (Hindley 1997/2008).
31 Viz (Russell 1903), mám zde však na mysli tam uvedenou „čistou“ teorii typů (kterou později převzal P. F.
Ramsey), nikoli druhou tam uvedenou teorii, podle níž mohou být pro funkce sloučeny obory, pokud tak
nedojde ke zhoubné sebeaplikaci funkce na sebe samu.
32
Hindley uvádí (Hindley 1997/2008), že jazyk ML vychází z jednoduché teorie typů a to ve variantě
type-assignment theory (TA), která je studována např. právě v knize (Hindley 1997/2008). Manuál HOLu se
však při popisu přijaté logiky neodvolává na (Hindley 1997/2008), ale na poněkud známější a též starší práci
(Andrews 1986/2002). Pro kontrast s těmito knihami můžeme referovat na knihu (Kamareddine, Laan,
Nederpelt 2006), která se snaží soustředit na popis λ-kalkulu, jak je implementován např. v asistentech Nurpl,
Coq, resp. v je předcházejícím jazyku Automath (viz http://www.win.tue.nl/automath/) Nicolaase Goverta de
Bruijn.
33 Dle manuálu je takto zavedl do jazyka PPλ systému LCF už Robin Miller.
34
Manuál to vysvětluje poněkud jinak, ale od toho zde abstrahuji.
7

typů je v manuálu důsledně vyveden v syntaktickém módu. Takže samy typy nejsou podle
tohoto popisu nějakými objekty samy o sobě, jsou to jen znaky, které denotují množiny
entit. Vlastně je v tomto popisu zaveden, a to dříve než je uveden jazyk λ-notace, svébytný
jazyk typů.
V následujícím stručném výkladu ukážu, jak se Gödelově kritice vyhnout, resp. ukážu,
v jakém přesně jazyce lze o typech mluvit. 35 Čili určím, jakým jazykem − jazykem jaké teorie
typů − je jazyk HOL. Nejprve několik pomocných pojmů. Každá explikace nějakých
intuitivních před-teoretických pojmů z oblasti PTP x pomocí rigorózních, teoretických
pojmů z oblasti TP x − v našem případě tedy entit nějaké konkrétní teorie typů TT x − probíhá
v nějakém explikačním rámci ER x . Například Tichý nebo Church konkretizují B TC , a tím pak i
TT TC , jakožto obsahující typ individuí a typ pravdivostních hodnot. Entity z těchto dvou
typů korespondují v daném ER TC jistým před-teoretickým individuím a před-teoretickým
pravdivostním hodnotám, tj. entitám z PTP TC .
Uvažme nyní ER R , kdy v části PTP R jsou před-teoretická individua a před-teoretické
pravdivostní hodnoty jako u TT TC . Ovšem dále má ER R jako před-teoretické objekty entity,
jež jsou v TP TC typy. Tyto pro nás předteoretické entity explikujeme v ER R pomocí logicky
primitivních entit ι, ο, ..., které jsou v části TP R našeho ER R prvky specifického atomického
typu δ. Teorii typů, mezi jejímiž atomickými typy je takovýto typ δ, říkejme třeba vyšší teorie
typů. Je vhodné si uvědomit, že TT R je jakýmsi „metajazykem“ k TT TC .
Všimněme si, že TT R je schopna mluvit o TT TC , poněvadž disponuje nejen jejími
individui a pravdivostními hodnotami, a funkcemi nad nimi, ale i jejími typy (resp. jejich
explikačními koreláty). Přes tyto typy jakožto objekty − samozřejmě, že ne přes své vlastní
typy − lze v TT R kvantifikovat, apod. Právě kvantifikace přes typy, kdy tyto všechny jsou
v oboru jisté proměnné d, je možná díky tomu, že typy jsou explikovány jako primitivní
objekty náležící do jednoho typu δ. Takže sémantika formule ‚λP α → bool . P = (λx α . T)‘ je vlastně
„ta funkce z funkcí P, jež α-objekty zobrazují na bool-objekty, do toho, co je výsledkem
aplikace = na ...“, 36 kde ‚α‘ probíhá typ δ a ‚bool‘, tedy ‚ο‘, pojmenovává jeden prvek z δ, totiž
ο.
I tvrzení ‚Karel je typu ι‘, anebo třeba ‚X je typu ξ‘, je smysluplně (a bez rozporu
s myšlenkou teorie typů) analyzovatelné ve vyšší teorii typů, kdy ‚ι‘ označuje δ-objekt ι
35 Opírám se přitom o výsledky mnou prezentované již r. 2009 na konferenci Perspectives on Russell.
36 Za onu sémantickou entitu, slovně vyjádřenou výrazem mezi dvojitými uvozovkami, mám Tichého tzv.
konstrukci.
8

a ‚typu‘ označuje určitou relaci mezi ι-objekty a δ-objekty. 37 Domnívám se tedy, že ač to
z manuálu HOLu nemusí být patrné, jazyk HOLu je právě takovým jazykem vyšší teorie typů,
který dokáže „mluvit o typech“. 38
Literatura
Andrews, Peter B. (1986/2002): An Introduction to Mathematical Logic and Type Theory: To Truth Through
Proof. Springer (Applied Logic Series vol. 27).
Barendregt, Henk, Wiedijk, Freek (2005): The Challenge of Computer Mathematics. Philosophical
Transactions of The Royal Society A 363, 1835,
http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/363/1835/2351.
Gordon, Michael J. C. (1996): From LCF to HOL: a Short History. Dostupné např. na
http://www.cl.cam.ac.uk/~mjcg/papers/HolHistory.pdf.
Gödel, Kurt (1944): Russell’s Mathematical Logic. In: Paul A. Schilpp (ed.), The Philosophy of Bertrand
Russell, The Library of Living Philosophers, Evanston, Chicago: Northwestern University, 125-153.
Hindley, J. Roger (1997/2008): Basic Simple Type Theory. Cambridge, New York: Cambridge University
Press.
Church, Alonzo (1940): A Formulation of the Simple Theory of Types. Journal of Symbolic Logic 5: 56-
68.
Kamareddine, Fairouz D., Laan, Twan, Nederpelt, Rob (2006): A Modern Perspective on Type Theory:
From Its Origins Until Today. Dordrecht, Boston, London: Kluwer.
Russell, Bertrand (1903/1996): Appendix B: The Doctrine of Types. In: Bertrand Russell, Principles of
Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press, 523-528.
The HOL documentation (jmenovitě The HOL System DESCRIPTION, The HOL System LOGIC, The HOL
System TUTORIAL, The HOL System REFERENCE, aktuálně − únor 2012 − všechny ve verzi 7, byť
ještě v létě 2011 to byla verze 6): http://hol.sourceforge.net/documentation.html.
Tichý, Pavel (1982): The Foundations of Partial Type Theory. Reports on Mathematical Logic 14: 57-72.s
37 Dodávám, že v této vyšší teorii typů můžeme názor, že typy jsou univerzální množiny-třídy určitých
objektů, chápat jako významovou záměnu toho, co typy vskutku jsou − totiž že to jsou δ-objekty −, se samými
těmito univerzálními množinami-třídami. Mezi těmito je samozřejmě vztah, např. univerzální množině-třídě
typu (οι) koresponduje ι.
38
Svou analýzu typové teorie HOLu naneštěstí ještě nepokládám za definitivní.
9