Zaawansowane modele finansowe z wykorzystaniem Excela i VBA

IDZ DO
PRZYK£ADOWY ROZDZIA£
KATALOG KSI¥¯EK
ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG
Wydawnictwo Helion
ul. Chopina 6
44-100 Gliwice
tel. (32)230-98-63
e-mail: helion@helion.pl
TWÓJ KOSZYK
CENNIK I INFORMACJE
ZAMÓW INFORMACJE
O NOWOCIACH
ZAMÓW CENNIK
CZYTELNIA
SPIS TRECI
KATALOG ONLINE
DODAJ DO KOSZYKA
FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE
Zaawansowane modele
finansowe z wykorzystaniem
Excela i VBA
Autorzy: Mary Jackson, Mike Staunton
T³umaczenie: Daniel Kaczmarek
ISBN: 83-7361-340-4
Tytu³ orygina³u: Advanced Modelling
in Finance using Excel and VBA
Format: B5, stron: 320
Zastosowania Excela wykraczaj¹ poza sporz¹dzanie prostych zestawieñ i wykonywanie
trywialnych obliczeñ. W rêkach specjalisty Excel staje siê potê¿nym narzêdziem
przydatnym w analizie skomplikowanych zagadnieñ finansowych.
Ta wyj¹tkowa ksi¹¿ka dowodzi, ¿e Excel i Visual Basic for Applications mog¹ odgrywaæ
istotn¹ rolê w objanianiu i wdra¿aniu metod ilociowych w dziedzinie finansów.
Dysponuj¹c wydajnym kodem i funkcjami VBA w ci¹gu kilku sekund, a nawet u³amków
sekund, mo¿emy wykonywaæ w Excelu obliczenia, które dot¹d by³y przeprowadzane
jedynie przy u¿yciu specjalnych pakietów i jêzyków.
Wszystkie modele opracowano zarówno w postaci arkuszy kalkulacyjnych pomocnych
w nauczaniu finansów, jak równie¿ w formie zdefiniowanych przez u¿ytkownika funkcji
napisanych w VBA, a stanowi¹cych bibliotekê przenonych funkcji gotow¹ do
zastosowania w Excelu. Ksi¹¿ka przeznaczona jest zarówno dla magistrantów, jak i dla
studentów ostatnich lat studiów licencjackich.
Ksi¹¿ka opisuje:
• Zaawansowane funkcje i procedury Excela
• Podstawy programowania w VBA
• Tworzenie w³asnych funkcji w VBA
• Optymalizacjê portfela akcji
• Wycenê aktywów
• Mierzenie efektywnoci
• Zagadnienia zwi¹zane z opcjami na akcje
• Drzewa dwumianowe i formu³ê Blacka
• Scholesa
• Zagadnienia zwi¹zane z opcjami na obligacje
Zaawansowane obliczenia dla finansistów i mened¿erów
• Poznaj zaawansowane funkcje Excela
• Naucz siê pisaæ programy w jêzyku Visual Basic for Applications
• Zarz¹dzaj portfelem przy pomocy Excela i analizuj efektywnoæ zarz¹dzania
• Poznaj metody analizy zwi¹zane z opcjami na akcje i obligacje

Spis treści
Przedmowa......................................................................................... 9
Rozdział 1. Wprowadzenie .................................................................................. 11
1.1. Geneza finansów jako dziedziny nauki...................................................i...................12
1.2. Założenia do wyceny aktywów...................................................i...............................12
1.3. Problemy matematyczne i statystyczne...................................................i...................13
1.4. Metody ilościowe ...................................................i...................................................i.13
1.5. Rozwiązania w Excelu ...................................................i............................................14
1.6. Przedstawione zagadnienia ...................................................i.....................................14
1.7. Zamieszczone arkusze Excela...................................................i.................................17
Część I
Zaawansowane modelowanie w Excelu...........................19
Rozdział 2. Zaawansowane funkcje i procedury Excela....................................... 21
2.1. Korzystanie z funkcji Excela...................................................i...................................21
2.2. Funkcje matematyczne...................................................i............................................23
2.3. Funkcje statystyczne ...................................................i...............................................24
2.3.1. Zastosowanie funkcji CZĘSTOŚĆ ...................................................i................25
2.3.2. Zastosowanie funkcji KWARTYL ...................................................i................27
2.3.3. Zastosowanie funkcji Excela rozkładu normalnego .........................................28
2.4. Funkcje wyszukiwania ...................................................i............................................29
2.5. Inne funkcje...................................................i...................................................i........ ..32
2.6. Narzędzia inspekcji ...................................................i.................................................33
2.7. Tabele danych ...................................................i...................................................i......34
2.7.1. Tworzenie tabel danych z jedną zmienną wejściową .......................................34
2.7.2. Tworzenie tabel danych z dwiema zmiennymi wejściowymi ..........................35
2.8. Wykresy XY...................................................i...................................................i.........37
2.9. Udostępnianie analizy danych i Solvera ...................................................i.................40
2.10. Stosowanie nazw zakresów...................................................i...................................40
2.11. Regresja...................................................i...................................................i........... ...42
2.12. Narzędzie Szukaj wyniku...................................................i......................................44
2.13. Algebra macierzy i związane z nią funkcje...................................................i...........46
2.13.1. Wprowadzenie do teorii macierzy ...................................................i...............46
2.13.2. Transpozycja macierzy ...................................................i................................46
2.13.3. Dodawanie macierzy...................................................i....................................47

4 Zaawansowane modele finansowe z wykorzystaniem Excela i VBA
2.13.4. Mnożenie macierzy...................................................i......................................47
2.13.5. Odwracanie macierzy...................................................i...................................49
2.13.6. Rozwiązywanie układów równoważnych równań liniowych.........................50
2.13.7. Podsumowanie funkcji macierzowych w Excelu ...........................................51
Podsumowanie ...................................................i...................................................i............51
Rozdział 3. Wprowadzenie do VBA ...................................................................... 53
3.1. Korzyści ze znajomości VBA ...................................................i.................................53
3.2. Zorientowane obiektowo cechy VBA...................................................i.....................55
3.3. Zaczynamy pisać makra w VBA...................................................i.............................57
3.3.1. Kilka przykładowych procedur VBA ...................................................i............57
3.3.2. Interakcja z zastosowaniem MsgBox...................................................i.............58
3.3.3. Edytor kodu źródłowego...................................................i................................59
3.3.4. Wpisywanie kodu i wykonywanie makr...................................................i........60
3.3.5. Rejestrowanie naciśnięć klawiszy i edytowanie kodu ......................................61
3.4. Elementy programowania ...................................................i.......................................63
3.4.1. Zmienne i typy danych...................................................i...................................63
3.4.2. Zmienne tablicowe VBA ...................................................i...............................64
3.4.3. Struktury sterujące ...................................................i.........................................66
3.4.4. Sterowanie procedurami powtarzalnymi ...................................................i.......67
3.4.5. Stosowanie w kodzie funkcji Excela oraz funkcji VBA...................................69
3.4.6. Ogólne uwagi na temat programowania ...................................................i........69
3.5. Komunikacja między makrami a arkuszem ...................................................i............70
3.6. Przykładowe procedury...................................................i...........................................74
3.6.1. Wykresy ...................................................i...................................................i......74
3.6.2. Wykres prawdopodobieństwa normalnego...................................................i....77
3.6.3. Generowanie granicy efektywności za pomocą Solvera ..................................79
Podsumowanie ...................................................i...................................................i............82
Lektury ...................................................i...................................................i......................83
Dodatek 3A. Edytor Visual Basic ...................................................i..................................83
Krokowe wykonywanie makra i korzystanie z innych narzędzi testujących .............86
Dodatek 3B. Rejestrowanie naciśnięć klawiszy w trybie „odwołań względnych”...........88
Rozdział 4. Tworzenie funkcji VBA zdefiniowanych przez użytkownika.................. 91
4.1. Prosta funkcja obliczająca prowizję od sprzedaży...................................................i..92
4.2. Wstawianie funkcji Commission(Sales) do arkusza ..................................................93
4.3. Dwie funkcje z wieloma danymi wejściowymi służące do wyceny opcji .................94
4.4. Manipulowanie tablicami w VBA...................................................i...........................97
4.5. Funkcje wartości oczekiwanej i wariancji z tablicami wejściowymi ........................98
4.6. Funkcja wariancji portfela posiadająca tablice wejściowe ......................................101
4.7. Funkcje zwracające tablice...................................................i....................................103
4.8. Stosowanie funkcji Excela i VBA
w funkcjach zdefiniowanych przez użytkownika...................................................i......105
4.8.1. Stosowanie funkcji VBA w funkcjach zdefiniowanych przez użytkownika ... 105
4.8.2. Dodatki...................................................i...................................................i......106
4.9. Zalety i wady tworzenia funkcji VBA ...................................................i..................106
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........107
Dodatek 4A. Funkcje ilustrujące obsługę tablic...................................................i...........108
Dodatek 4B. Funkcje wyceny opcji z zastosowaniem drzewa dwumianowego.............110
Ćwiczenia w pisaniu funkcji ...................................................i........................................115
Rozwiązania ćwiczeń w pisaniu funkcji ...................................................i......................117

Spis treści 5
Część II
Zaawansowane modele akcji........................................121
Rozdział 5. Wprowadzenie do akcji ................................................................... 123
Rozdział 6. Optymalizacja portfela .................................................................... 125
6.1. Średnia i wariancja portfela...................................................i...................................125
6.2. Reprezentacja portfeli za pomocą ryzyka i zwrotu ..................................................128
6.3. Zastosowanie Solvera do znajdowania portfeli efektywnych..................................129
6.4. Wyznaczanie granicy efektywności (podejście Huanga i Litzenbergera) ...............132
6.5. Portfele efektywne z warunkami ograniczającymi ..................................................134
6.6. Łączenie aktywów ryzykownych i pozbawionych ryzyka.......................................136
6.7. Problem pierwszy: łączenie aktywa pozbawionego ryziyka
z aktywem ryzykownym...................................................i............................................137
6.8. Problem drugi: łączenie dwóch aktywów ryzykownych..........................................139
6.9. Problem trzeci: łączenie aktywa wolnego od ryzyka z portfelem ryzykownym......141
6.10. Funkcje zdefiniowane przez użytkownika w Module1..........................................143
6.11. Funkcje w Module1 dla trzech ogólnych problemów konstrukcji portfela ...........145
6.12. Makra z modułu ModułM ...................................................i...................................146
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........148
Lektury ...................................................i...................................................i....................148
Rozdział 7. Wycena aktywów............................................................................ 149
7.1. Model jednoindeksowy ...................................................i.........................................150
7.2. Szacowanie współczynników beta...................................................i........................151
7.3. Model wyceny aktywów kapitałowych...................................................i.................154
7.4. Macierze wariancji-kowariancji...................................................i............................154
7.5. Value-at-Risk ...................................................i...................................................i.....156
7.6. Horyzont zysków...................................................i...................................................i159
7.7. Momenty rozkładów powiązanych ze sobą
na przykładzie rozkładów normalnego i logarytmiczno-normalnego ..........................161
7.8. Funkcje zdefiniowane przez użytkownika w Module1............................................162
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........163
Lektury ...................................................i...................................................i....................164
Rozdział 8. Mierzenie efektywności i jej przypisywanie ..................................... 165
8.1. Tradycyjny pomiar efektywności...................................................i..........................166
8.2. Zarządzanie aktywne-pasywne ...................................................i.............................168
8.3. Wprowadzenie do analizy stylu ...................................................i............................170
8.4. Prosta analiza stylu...................................................i................................................172
8.5. Analiza stylu dla kolejnych okresów ...................................................i....................173
8.6. Przedziały ufności dla udziałów stylu...................................................i...................175
8.7. Funkcje zdefiniowane przez użytkownika w Module1............................................178
8.8. Makra w ModuleM...................................................i................................................179
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........180
Lektury ...................................................i...................................................i....................181
Część III Opcje na akcje...................................................w..........183
Rozdział 9. Wprowadzenie do opcji na akcje...................................................... 185
9.1. Geneza formuły Blacka-Scholesa ...................................................i.........................186
9.2. Formuła Blacka-Scholesa...................................................i......................................187
9.3. Portfele zabezpieczające ...................................................i.......................................188
9.4. Wycena niezależna od ryzyka...................................................i...............................190
9.5. Proste jednokrokowe drzewo dwumianowe z wyceną niezależną od ryzyka..........191

6 Zaawansowane modele finansowe z wykorzystaniem Excela i VBA
9.6. Parytet put-call ...................................................i...................................................i...192
9.7. Dywidendy ...................................................i...................................................i.........193
9.8. Cechy opcji amerykańskiej ...................................................i...................................194
9.9. Metody ilościowe ...................................................i..................................................194
9.10. Zmienność i stopy zwrotu z akcji mające rozkład inny od normalnego ................195
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........196
Lektury ...................................................i...................................................i....................197
Rozdział 10. Drzewa dwumianowe....................................................................... 199
10.1. Wprowadzenie do drzew dwumianowych ...................................................i..........200
10.2. Uproszczone drzewo dwumianowe...................................................i.....................201
10.3. Drzewo dwumianowe JR ...................................................i....................................203
10.4. Drzewo CRR ...................................................i...................................................i....207
10.5. Przybliżenia dwumianowe a formuła Blacka-Scholesa .........................................208
10.6. Zbieżność drzew dwumianowych CRR ...................................................i..............210
10.7. Drzewo LR ...................................................i...................................................i.......211
10.8. Porównanie drzew CRR i LR...................................................i..............................212
10.9. Opcje amerykańskie oraz amerykańskie drzewo CRR ..........................................214
10.10. Funkcje zdefiniowane przez użytkownika w Module0 i Module1 ......................216
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........218
Lektury ...................................................i...................................................i....................218
Rozdział 11. Formuła Blacka-Scholesa ................................................................ 219
11.1. Formuła Blacka-Scholesa...................................................i....................................219
11.2. Formuła Blacka-Scholesa w arkuszu ...................................................i..................220
11.3. Opcje na waluty i towary ...................................................i....................................222
11.3. Obliczanie „greckich” parametrów opcji ...................................................i............223
11.5. Portfele zabezpieczające ...................................................i.....................................224
11.6. Formalne wyprowadzenie formuły Blacka-Scholesa.............................................227
11.7. Funkcje zdefiniowane przez użytkownika w Module1..........................................229
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........230
Lektury ...................................................i...................................................i....................231
Rozdział 12. Inne metody ilościowe dla opcji europejskich.................................. 233
12.1. Wprowadzenie do symulacji Monte Carlo...................................................i..........234
12.2. Symulacja przy użyciu przeciwnych zmiennych losowych...................................236
12.3. Symulacja przy użyciu próbkowania quasi-losowego ...........................................237
12.4. Porównanie metod symulacji ...................................................i..............................238
12.5. Obliczanie parametrów greckich w symulacji Monte Carlo..................................240
12.6. Całkowanie numeryczne ...................................................i.....................................240
12.7. Funkcje zdefiniowane przez użytkownika w Module1..........................................242
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........244
Lektury ...................................................i...................................................i....................244
Rozdział 13. Rozkłady inne niż normalny oraz zmienność wewnętrzna.................. 245
13.1. Zastosowanie w formule Blacka-Scholesa
alternatywnych założeń dotyczących rozkładów...................................................i.......246
13.2. Zmienność wewnętrzna...................................................i.......................................248
13.3. Uwzględnianie skośności i kurtozy...................................................i.....................249
13.4. „Uśmiech zmienności”...................................................i........................................252
13.5. Funkcje zdefiniowane przez użytkownika w Module1..........................................254
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........257
Lektury ...................................................i...................................................i....................257

Spis treści 7
Część IV Opcje na obligacje...................................................w.....259
Rozdział 14. Wprowadzenie do wyceny opcji na obligacje ................................... 261
14.1. Struktura czasowa stóp procentowych ...................................................i................263
14.2. Przepływy pieniężne z obligacji kuponowych
i rentowność w momencie wykupu ...................................................i...........................264
14.3. Drzewa dwumianowe...................................................i..........................................265
14.4. Formuła Blacka na wycenę opcji na obligację...................................................i....266
14.5. Trwałość i wypukłość...................................................i..........................................267
14.6. Sposób zapisu...................................................i...................................................i...269
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........269
Lektury ...................................................i...................................................i....................270
Rozdział 15. Modele stóp procentowych ............................................................. 271
15.1. Model Vasicka struktury czasowej ...................................................i.....................272
15.2. Wycena opcji europejskich na obligacje zerokuponowe — model Vasicka .........274
15.3. Wycena europejskich opcji na obligacje kuponowe — model Vasicka ................276
15.4. Model CIR struktury czasowej...................................................i............................276
15.5. Wycena europejskich opcji na obligacje zerokuponowe — model CIR................277
15.6. Wycena europejskich opcji na obligacje kuponowe — model CIR.......................278
15.7. Funkcje zdefiniowane przez użytkownika w Module1..........................................279
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........281
Lektury ...................................................i...................................................i....................281
Rozdział 16. Dopasowywanie struktury czasowej................................................ 283
16.1. Drzewa ze stopami procentowymi o rozkładzie logarytmiczno-normalnym.........284
16.2. Drzewa ze stopami procentowymi o rozkładzie normalnym.................................287
16.3. Drzewo BDT ...................................................i...................................................i....288
16.4. Wycena opcji na obligacje z wykorzystaniem drzewa BDT..................................290
16.5. Funkcje zdefiniowane przez użytkownika w Module1..........................................292
Podsumowanie ...................................................i...................................................i..........294
Lektury ...................................................i...................................................i....................294
Dodatki ...................................................w....................................295
Dodatek Inne funkcje VBA ............................................................................ 297
Prognozowanie...................................................i...................................................i..........297
Modele ARIMA ...................................................i...................................................i........299
Krzywe sklejane ...................................................i...................................................i........301
Wartości własne i wektory własne...................................................i...............................302
Lektury ...................................................i...................................................i....................303
Skorowidz...................................................................................... 305

Rozdział 2.
Zaawansowane funkcje
i procedury Excela
Celem tego rozdziału jest zapoznanie czytelnika z niektórymi funkcjami i procedurami
Excela zastosowanymi w dalszej części książki. Chodzi przede wszystkim o matematyczne,
statystyczne lub wyszukiwawcze funkcje Excela, a także o najczęściej stosowane
procedury, takie jak tworzenie tabel z danymi oraz wyświetlanie wyników na wykresach
typu XY. Przedstawione zostaną również metody podsumowywania zestawów danych,
przeprowadzania analiz regresji oraz uruchamiania narzędzi Excela Szukaj wyniku
i Solver. Postaramy się jak najlepiej objaśnić prezentowany materiał, by nie sprawiał
on czytelnikowi żadnych trudności. Bardziej zaawansowani użytkownicy Excela mogą
ograniczyć się do pobieżnego przeglądnięcia tego rozdziału bądź odwoływać się do
niego tylko wtedy, gdy odczują taką potrzebę. W celu uprzyjemnienia i zwiększenia
efektywności lektury opracowano skoroszyt o nazwie ZMFExcel.xls, zawierający opisywane
przykłady i umożliwiający sprawdzenie swoichz umiejętności.
2.1. Korzystanie z funkcji Excela
Excel udostępnia wiele funkcji arkuszy kalkulacyjnych, będących zasadniczo zaimplementowanymi
procedurami obliczeniowymi. Funkcje te ułatwiają wykonywanie obliczeń
przeprowadzanych w arkuszu, a także mogą być dołączane do makr VBA i funkcji
zdefiniowanych przez użytkownika (te zagadnienia zostaną przedstawione w rozdziale
3. i 4.).
Funkcje udostępnia przycisk Wstaw funkcję (oznaczony jako fx) znajdujący się na
standardowym pasku narzędzi (wcześniej służył do tego tak zwany kreator funkcji.)
Na rysunku 2.1 widać, że funkcje są pogrupowane w kilka różnych kategorii: matematyczne,
statystyczne, logiczne, wyszukiwania i adresuz itd.
Jak widać na rysunku, zaznaczona została funkcja , co spowodowało wyświetlenie
krótkiego opisu jej danych wejściowych i wyjściowych. Pełniejszy opis można
uzyskać, naciskając przycisk Pomoc (oznaczony jako ?).

22 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
Rysunek 2.1.
Okno dialogowe
Wstawianie funkcji
przedstawiające
funkcję
KOMBINACJE
należącą do kategorii
Matematyczne
Po kliknięciu przycisku OK wyświetlony zostanie formularz Argumenty funkcji zawierający
pola, w których należy wprowadzić odpowiednie dane wejściowe, tak jak na
rysunku 2.2. Dane wejściowe można wpisać w pola tekstowe (jak na rysunku) lub „wybrać”
je, odwołując się do komórek arkusza (klikając wcześniej przyciski służące do
zwijania formularza Argumenty funkcji). Zwróćmy uwagę, że formularz można przesunąć
na inną niż standardowa pozycję. Kliknięcie przycisku OK na formularzu lub
przycisku zatwierdzenia w wierszu edycji spowoduje wprowadzenie formuły do arkusza
kalkulacyjnego.
Rysunek 2.2.
Tworzenie formuły
KOMBINACJE
w formularzu
Argumenty funkcji
Oprócz formularza Argumenty funkcji, zawierającego dane wejściowe dla funkcji
, na rysunku 2.2 widać również wiersz Edycja przedstawiający taką postać
formuły, w jakiej pojawi się ona w komórce arkusza, oraz wciśnięty przycisk Wstaw
funkcję. Zwróćmy też uwagę na przycisk Wklej nazwy (oznaczony jako =ab), ułatwiający
wklejanie do formuły komórek, którym nadano nazwę (nadawanie nazw zakresom
komórek oraz odwoływanie się do zakresów za pomocą nazw zostanie przedstawione
w punkcie 2.10.).

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 23
Podobnie jak funkcje Excela przycisk Wstaw funkcję umożliwia dostęp do kategorii
funkcji zdefiniowanych przez użytkownika, opisanych wz rozdziale 4.
Znamy już sposób korzystania z funkcji, a zatem w następnych punktach przedstawimy
niektóre funkcje matematyczne i statystyczne.
2.2. Funkcje matematyczne
Spośród funkcji należących do kategorii Matematyczne zastosujemy funkcje ,
, , , oraz .
Funkcja zwraca wartość funkcji potęgowej exp(x) lub e x . Na przykład:
zwróci wartość liczby e (2,7183, jeśli sformatujemy ją do czterech
miejsc po przecinku);
zwróci wartość e 2 (7,3891 — z czterema cyframi po przecinku);
zwróci wartość 1/e, czyli e –1 (0,36788 — z pięcioma cyframi
po przecinku).
W obliczeniach finansowych przepływy pieniężne zachodzące w różnym czasie przekształca
się w wartości przyszłe (lub teraźniejsze), przykładając czynniki kapitalizacji
(lub dyskontowe). W przypadku kapitalizacji ciągłej stopą procentową równą r czynnik
kapitalizacji w jednym roku ma wartość exp(r), a jeśli kapitalizacja odbywa się raz
do roku, wówczas odpowiadającą jej roczną stopę procentową r a oblicza się za pomocą
wyrażenia:
r a
= exp( r)
−1
Kapitalizacja ciągła oraz zastosowanie funkcji zostanie zilustrowane w punkcie 2.7.1
dotyczącym tabel z danymi.
Funkcja zwraca wartość logarytmu naturalnego liczby . Liczba ta musi być
dodatnia, bo w przeciwnym razie funkcja zwróci wartość oznaczającą przepełnienie
liczbowe. Na przykład:
zwróci wartość ,
zwróci wartość ,
zwróci wartość ,
zwróci wartość .
W finansach często wykorzystuje się logarytmy (naturalne) zysków, stosując funkcję
do przekształcania kwoty zysków w ich logarytmy.
Funkcja zwraca wartość pierwiastka kwadratowego liczby . Oczywiście
musi być liczbą dodatnią, w przeciwnym razie funkcja zwróci wartość
oznaczającą przepełnienie liczbowe.

24 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
Funkcja generuje losową liczbę o rozkładzie jednostajnym, większą lub równą
zero i mniejszą od jeden. Liczba ta zmienia się po każdym przeliczeniu arkusza.
można zastosować do wprowadzania probabilistycznej zmienności w symulacji Monte
Carlo wartości opcji.
Funkcja zwraca silnię liczby, równą ∗∗∗∗. Na
przykład:
zwróci wartość równą .
Funkcja zwraca liczbę kombinacji (podzbiorów
o rozmiarze ), jakie można utworzyć z podanej liczby elementów
(). Podzbiory mogą mieć dowolny porządek. Na przykład, jeśli cena udziału
zmienia się w kierunku „góra” lub „dół” w czterech odrębnych okresach, wówczas
liczba sekwencji z trzema wzrostami (i jednym spadkizem) wynosi:
lub równoważnie ,
czyli mogą wystąpić cztery sekwencje: „góra-góra-góra-dół”, „góra-góra-dół-góra”,
„góra-dół-góra-góra” i „dół-góra-góra-góra”. W ujęciu statystycznym
oznacza liczbę kombinacji trzech spośród czterech elementów, co zwykle zapisuje się
jako 4 C 3 (lub w postaci ogólnej n C r ).
Excel udostępnia funkcje służące do transponowania macierzy, mnożenia macierzy oraz
do odwracania macierzy kwadratowych. Są to następującze funkcje:
, która zwraca transpozycję tablicy;
, która zwraca iloczyn dwóch tablic;
, która zwraca macierz odwrotną podanej tablicy.
Wszystkie należą do kategorii funkcji matematycznych. Być może przed poznaniem
tych funkcji niektórym czytelnikom przyda się krótkie wprowadzenie do teorii macierzy,
dlatego zamieściliśmy je na końcu tego rozdziałzu (patrz punkt 2.13).
2.3. Funkcje statystyczne
Excel udostępnia kilka funkcji umożliwiających szybkie podsumowywanie cech zestawu
danych (czyli „tablicy”, jeśli zastosujemy terminologię Excela). Są to funkcje
zwracająca wartość średnią, , która zwraca
wartość odchylenia standardowego, oraz i zapewne znane
już czytelnikowi.
Istnieje kilka użytecznych funkcji służących do rozpoznawania rozkładu zestawów
danych o umiarkowanych rozmiarach, które warto poznać. Na przykład funkcja
wyznacza wartości kwartyli na podstawie wartości percentyli zestawu danych, a funkcja
zwraca pełen rozkład częstości pogrupowanego zestazwu danych.

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 25
W Excelu istnieją również funkcje dotyczące różnych teoretycznych rozkładów prawdopodobieństwa,
w szczególności są to funkcje dotyczące rozkładu normalnego:
i dla standardowego rozkładu normalnego,
w którym średnia ma wartość 0, a odchylenie standardowe wynosi 1, oraz
i dla dowolnego rozkładu normalnego.
Innymi użytecznymi funkcjami z kategorii funkcji statystycznych są te operujące na
dwóch zmiennych, zwracające wiele różnych wartości wykorzystywanych w analizie
korelacji i regresji. Na przykład:
,
,
,
,
,
.
Istnieje również mało znana funkcja , która zwraca podstawowe
statystyki regresji w postaci tablicy. Większość wymienionych funkcji zostanie
bardziej szczegółowo przedstawiona w punkcie 2.11 opisującym regresję. Wyniki
ich działania porównamy z danymi wyjściowymi regreszji, zwracanymi przez procedurę
Analiza danych Regresja.
W następnym punkcie na podstawie arkuszy Częstość i SNorm z pliku ZMFExcel.xls
wyjaśnimy, w jaki sposób należy stosować , oraz inne funkcje rozkładu
normalnego.
2.3.1. Zastosowanie funkcji CZĘSTOŚĆ
Funkcja oblicza częstość, z jaką wartości
z zestawu danych występują w określonych przedziałach, i zwraca je w postaci
pionowej tablicy. Parametr jest zbiorem przedziałów, w jakie
pogrupowano wartości. Funkcja zwraca dane wyjściowe w postaci tablicy, dlatego
koniecznie należy zaznaczyć zakres komórek arkusza, w których zostaną wyświetlone
dane wyjściowe, przed wprowadzeniem funkcji.
Sposób stosowania funkcji objaśnimy na podstawie przykładowego arkusza
Częstość z pliku ZMFExcel.xls. Jak widać na rysunku 2.3, w wierszach od czwartego
do siódmego podsumowano miesięczne stopy zwrotu z kolumn D10:D71 oraz logarytmy
stóp zwrotu (obliczone za pomocą funkcji ) z kolumn E10:E71. Załóżmy, że
naszym celem jest otrzymanie rozkładu częstości logarytmów stóp zwrotu (E10:E71),
czyli tak zwanej „tablicy_danych”. Chcielibyśmy w ten sposób sprawdzić, czy rozkład
tych stóp zwrotu jest zbliżony do normalnego. Najpierw musimy zdefiniować przedziały
grupowania danych. Analiza maksymalnej i minimalnej wartości logarytmu stóp zwrotu
wskazuje, że zakres liczb –0,16 do +0,20 najlepiej jest podzielić na 10 – 12 przedziałów.
Wartości wpisane w komórkach G5:G14 stanowią górne granice „przedziałów”,
na jakie dzielimy logarytmy stóp zwrotu.

26 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
Rysunek 2.3.
Arkusz służący
do obliczania
rozkładu
częstości
logarytmów
stóp zwrotu
Rysunek 2.4.
Rozkład częstości
logarytmów
stóp zwrotu
z rozkładami
częstości
procentowych
i skumulowanych
Aby prawidłowo wprowadzić funkcję , należy zaznaczyć zakres komórek
H5:H15. Następnie należy wpisać znak i kliknąć przycisk Wstaw funkcję (oznaczony
jako fx), aby uzupełnić składnię funkcji:
Po wpisaniu nawiasu zamykającego „)” i pozostawieniu kursora w wierszu edycji Excela,
należy wprowadzić funkcję do arkusza i, trzymając wciśnięte klawisze Ctrl i Shift, nacisnąć
klawisz Enter. (Konieczne będzie użycie trzech palców, gdyż w przeciwnym razie
funkcja nie zostanie wprowadzona. Jeśli mimo tego operacja się nie powiedzie, należy
pozostawić zaznaczenie zakresu komórek wyjściowych, nacisnąć klawisz Edycja (F2),
wyedytować formułę, jeśli zajdzie taka konieczność, po czym jeszcze raz nacisnąć
Ctrl+Shift+Enter.)
Teraz w komórkach G5:G15 powinna być widoczna formuła zamknięta w nawiasach
klamrowych () oraz tablica częstości. Wyniki przedstawione są na rysunku 2.4.
W komórce H17 zastosuj funkcję , aby sprawdzić, że częstości sumują się do .
Interpretując wyniki, można powiedzieć, że nie istnieją logarytmy stóp zwrotu mające
wartość poniżej –0,16, istnieje sześć wartości z przedziału od –0,16 do –0,12 i nie ma
wartości przekraczających 0,20 (dolna komórka tablicy CZĘSTOŚĆ, czyli G15, zawiera
liczbę wartości przekraczających górną granicę przedzziału, wynoszącą 0,20).

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 27
Ponieważ funkcja zwraca tablicę, nie ma możliwości zmiany pojedynczych
komórek. Jeśli zajdzie konieczność zdefiniowania innej liczby przedziałów, niezbędne
będzie usunięcie tablicy wyjściowej i wprowadzenie fzunkcji na nowo.
Pomocne może okazać się przekształcenie częstości w częstości procentowe (względem
rozmiaru zestawu danych, zawierającego 62 wartości), a następnie obliczenie skumulowanych
częstości procentowych tak, jak w kolumnach I oraz J na rysunku 2.4. Formuły
częstości procentowych i skumulowanych częstości procentowych można przeanalizować
w arkuszu Częstość.
Najlepszym sposobem zaprezentowania skumulowanych częstości procentowych jest
zamieszczenie ich na wykresie XY i połączenie punktów danych linią bez znaczników.
Aby utworzyć wykres jak na rysunku 2.5, należy zaznaczyć jako dane źródłowe zakresy
G5:G14 i J5:J14. W celu jednoczesnego zaznaczenia zakresów komórek, które nie
sąsiadują ze sobą, należy najpierw zaznaczyć pierwszy zakres, a następnie trzymając
wciśnięty klawisz Ctrl, zaznaczyć drugi i kolejne zakresy.
Rysunek 2.5. Wykres skumulowanych częstości procentowych (dane rzeczgywiste oraz wartości
ścisłego rozkładu normalnego)
Jeśli stopy zwrotu mają rozkład normalny, rozkład skumulowany powinien mieć kształt
zbliżony do litery S (jak linia przerywana). Rzeczywiste wartości logarytmów stóp
zwrotu odbiegają nieco od wartości rozkładu normalnego, co może wynikać ze skośności.
2.3.2. Zastosowanie funkcji KWARTYL
Funkcja zwraca kwartyl zestawu danych. Druga dana
wejściowa, kwartyl, jest liczbą całkowitą określającą, który kwartyl ma zostać zwrócony:
jeśli będzie mieć wartość 0, wówczas zwrócona zostanie najmniejsza wartość
z tablicy; jeśli 1, zwrócony zostanie kwartyl pierwszy (czyli 25. percentyl tablicy); jeśli 2,
zwrócona zostanie mediana (percentyl 50.); jeśli 3, kwartyl trzeci (percentyl 75.); jeśli 4,
zwrócona zostanie wartość maksymalna.
Dzięki kwartylom można szybko i stosunkowo łatwo uzyskać skumulowany rozkład
zestawu danych. Na przykład wpisanie w komórce H22 na rzysunku 2.6 formuły:

28 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
Rysunek 2.6. Kwartyle logarytmów stóp zwrotu z arkusza Częstość
gdzie G22 zawiera wartość całkowitą 1, spowoduje zwrócenie wartości pierwszego
kwartyla. Wyświetlona zostanie liczba –0,043 informująca, że 25% pozycji z zestawu
danych ma wartość od niej niższą. Drugi kwartyl o warztości 0,028 wyznacza medianę,
a kwartyl trzeci, równy 0,075, wyznacza wartość, poniżej której znajduje się 75% pozycji
zestawu danych. Rysunek 2.6 przedstawia wykres XY utworzony na podstawie
zakresu H21:I25, na którym zaznaczono punkty danych. Linia wartości skumulowanych,
wyznaczona na podstawie tylko pięciu punktów danych, jest bardzo zbliżona do
jej dokładniejszej wersji z rysunku 2.5.
Funkcję zastosujemy w punkcie 3.5 jako przykład obsługi tablic w VBA.
Powiązana z nią funkcja , zwracająca wartość -tego percentylu
zestawu danych, zostanie wykorzystana w punkcie 4.7, w przykładzie kodowania
funkcji tablicowej.
2.3.3. Zastosowanie funkcji Excela
rozkładu normalnego
Funkcje statystyczne Excela dotyczące rozkładu normalnego noszą nazwy rozpoczynające
się od słów , a niektóre z nich zawierają dodatkowo literę S
wskazującą, że domyślnie przyjmuje się w nich założenie o standardowym rozkładzie
normalnym.
Funkcja zwraca funkcję rozkładu skumulowanego dla standardowego
rozkładu normalnego. Funkcja
zwraca wartości dla podanych prawdopodobieństw.
Nieco bardziej uniwersalna funkcja
dotyczy dowolnego rozkładu normalnego. Jeśli parametr wejściowy
będzie miał wartość (lub ), funkcja zwróci wartości dla funkcji
rozkładu skumulowanego; jeśli będzie miał wartość (lub ), zwrócona
zostanie funkcja gęstości prawdopodobieństwa.
Rysunek 2.7 przedstawia arkusz Norm zawierający formułę dla gęstości prawdopodobieństwa
w komórce C5 oraz formułę dla prawdopodobieństwa lewostronnego w komórce
D5. W obydwu formułach zastosowano funkcję ze średnią i odchyleniem
standardowym zdefiniowanymi odpowiednio jako 0 i 1. W komórce C5 ostatnia

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 29
Rysunek 2.7.
Funkcje Excela
rozkładu normalnego
z arkusza SNorm
dana wejściowa () ma w przypadku formuły dla gęstości prawdopodobieństwa
wartość 0, a w komórce D5 zawierającej formułę na prawdopodobieństwo
lewostronne dana ta ma wartość 1.
Wartości rzędnych odpowiadające prawdopodobieństwu lewostronnemu można odczytać
z komórki F5 za pomocą funkcji .
Aby zapoznać się z przedstawionymi funkcjami, wpisz fzormuły i sprawdź ich wyniki.
W poprzednim punkcie wyznaczyliśmy rozkład skumulowanych częstości procentowych
logarytmów stóp zwrotu. Jego normalność można sprawdzić, stosując funkcję
wywoływaną z otrzymanymi wartościami średniej i odchylenia standardowego
i obliczając w ten sposób teoretyczne częstości procentowe. Takie działanie
wykonano w kolumnie K arkusza Częstość. Otrzymane w jej wyniku częstości widnieją
na wykresie na rysunku 2.5 — zostały one nałożone na rozkład rzeczywistych stóp
zwrotu. Na wykresie można zaobserwować pewne odchylenia od rozkładu normalnego.
Excel udostępnia bogaty zbiór funkcji służących do podsumowywania danych oraz
modelowania różnorodnych rozkładów teoretycznych. Będziemy je często stosować
w częściach książki dotyczących akcji i opcji.
2.4. Funkcje wyszukiwania
Funkcje wyszukiwania pozwalają na znajdowanie określonych pozycji na podstawie
podanych parametrów wejściowych w tabelach zawierających powiązane ze sobą
informacje. Na przykład na rysunku 2.8 pokazano efekt zastosowania funkcji
, która dla podanej zmienności zwraca wartość opcji kupna z tabeli zawierającej
wartości zmienności i odpowiadające im wartości opcji kupna (tło teoretyczne
przedstawimy w rozdziale 11. dotyczącym formuły Blackza-Scholesa).
W ogólnym ujęciu funkcja:

30 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
Rysunek 2.8.
Układ arkusza
Wyszukiwanie
służącego
do wyszukiwania
wartości opcji kupna
odpowiadających
podanej zmienności
wyszukuje wartość w skrajnej lewej kolumnie tabeli (), a następnie
zwraca wartość z tego samego wiersza we wskazanej kolumnie ().
Domyślnie pierwsza kolumna tabeli musi być posortowana w porządku rosnącym (co
oznacza, że będzie miał wartość (albo )). Jeśli tak rzeczywiście
jest, to ostatni parametr wejściowy możnaz tak naprawdę zignorować.
Przykłady wyszukiwania znajdują się w arkuszu Wyszukiwanie. Aby sprawdzić, czy
przedstawione informacje zostały dobrze zrozumiane, można zastosować funkcję
do wyznaczania wysokości prowizji w zależności od wartości sprzedaży,
opierając się na tabeli wskaźników prowizji w komórkach z zakresu F5:G7. Następnie
należy przewinąć arkusz w dół, do tabeli Tabela wyszukiwania wartości Blacka-Scholesa
opcji zakupu przedstawionej na rysunku 2.8.
(dla zmienności) znajduje się w komórce C17 (wartość 20%),
to zakres komórek F17:G27, przy czym zmienności posortowane są rosnąco,
a wartości opcji kupna znajdują się w drugiej kolumnie tabeli . Zatem
wpisana w komórce D18 formuła:
zwróci wartość opcji kupna równą , odpowiadającą zmienności na poziomie 20%.
jest dopasowywana w przybliżeniu (lub dokładnie) do wartości w pierwszej
kolumnie tabeli, na tej podstawie wybierany jest wiersz i zwracana jest wartość ze
wskazanej kolumny. Spróbuj poeksperymentować, wpisując w komórce C17 różne wartości
zmienności, na przykład czy , i sprawdź, w jaki sposób działa ta funkcja.
Parametr wejściowy ma wartość logiczną ( lub ),
która wskazuje, czy funkcja ma dopasowywać wartości w sposób dokładny czy przybliżony.
Jeśli parametr ten będzie mieć wartość lub zostanie pominięty, dopasowywanie
będzie miało charakter przybliżony. Jeśli wartość dokładnie odpowiadająca
szukanej wartości nie zostanie znaleziona, funkcja zwróci wartość największą, lecz
nie większą od wartości . Jeżeli natomiast
będzie mieć wartość , wówczas wyszuka wartość dokładnie
odpowiadającą szukanej wartości lub zwróci wartość błzędną .
Istnieje również pokrewna funkcja wyszukująca wartości w górnym
wierszu tabeli i odczytująca wartości ze wskazanegoz wiersza.

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 31
Rysunek 2.9.
Formuły funkcji
i ich wyniki
w arkuszu
Wyszukiwanie
Kolejnymi funkcjami wyszukiwania są oraz , również przedstawione
na rysunku 2.8. Funkcja
zwraca względną pozycję takiej danej z tabeli zawizerającej jedną
kolumnę (lub wiersz), która pasuje do podanej wartości w podanej kolejności (
). Należy zwrócić uwagę, że funkcja zwróci położenie w tabeli, a nie samą
wartość.
Jeśli wartością parametru będzie , funkcja zwróci położenie danej
dokładnie odpowiadającej szukanej wartości (), bez względu na porządek
tablicy. Jeśli jego wartością będzie , zwrócone zostanie położenie wartości
w przybliżeniu odpowiadającej szukanej wartości przy założeniu, że tablica jest uporządkowana
rosnąco. Jeżeli natomiast będzie równy , wówczas funkcja
zwróci położenie wartości w przybliżeniu odpowizadającej wartości
zakładając, że tablica jest posortowana w porządku mzalejącym.
Na rysunku 2.8 wartości opcji kupna znajdujące się w kolumnie G są uporządkowane
rosnąco. Aby znaleźć pozycję wartości z tablicy, która odpowiada wartości 9,73, formuła
w komórce D22 powinna mieć postać:
Zwróci ona wartość wskazującą na szóstą pozycję w tablicy G17:G27.
Funkcja zwraca wartość z tablicy, położoną
w wierszu i kolumnie o podanych numerach. Numery kolumny i wiersza znajdujące się
w komórkach C25 i C26 zapewniają, że wyrażenie , przedstawione na rysunku
2.9, zwróci wartość z szóstego wiersza drugiej kolumnyz tablicy F17:G27.
Jeśli tablica posiada tylko jedną kolumnę (lub tylko jeden wiersz), wówczas
(albo ) jest niepotrzebny i zostawia się go pustym. Można sprawdzić, jak
zadziała w przypadku takich tablic, zmieniając dane wejściowe w formule znajdującej
się w komórce D27.
Funkcje , i będziemy stosować w części książki
dotyczącej akcji.

32 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
2.5. Inne funkcje
Opracowując formuły w arkuszach tam, gdzie było to możliwe, staraliśmy się tworzyć
formuły „ogólne”, których składnia uwzględniałaby pokrewne lecz różne przypadki.
Na przykład wartość przepływu pieniężnego w którymś roku dla którejś z obligacji
z rysunku 2.10 mogłaby być zerowa, równa wartości kuponu lub równa wartości obligacji
powiększonej o wartość kuponu.
Rysunek 2.10.
Formuła ogólna
zawierająca
różne adresy
i zagnieżdżone
funkcje JEŻELI
z arkusza Obligacje
Funkcja zwróci odmienne wyniki dla każdego z dwóch warunków. Można również
napisać zagnieżdżoną instrukcję w taki sposób, by mogła zwracać trzy różne
wyniki (a nawet więcej, jeśli zagnieżdżenie zostanie rozwinięte na dalsze poziomy). Formuła
przepływu pieniężnego w komórce C11 zawierająca jeden poziom zagnieżdżenia:
zwróci wartości przepływów pieniężnych dla każdego typu obligacji i dla każdego roku,
jeśli zostanie skopiowana do komórek z zakresu C11:H13.
W przypadku obligacji typu 1. wartość przepływu pieniężnego będzie zależeć od roku
(komórka B11) oraz terminu wykupu (C6). Jeśli rok będzie wcześniejszy niż termin
wykupu (), wartość przepływu pieniężnego będzie równa wartości kuponu
z komórki C5; jeśli osiągnięty zostanie termin wykupu (), wartość przepływu
pieniężnego będzie równa wartości obligacji powiększonej o wartość kuponu ();
w pozostałych przypadkach () przepływ pieniężny będzie miał wartość 0. Zagnieżdżona
instrukcja obsługuje przypadki, gdy termin wykupu obligacji został osiągnięty
lub przekroczony, a pierwszy warunek w zewnętrznej instrukcji obsługuje
przypadki płatności kuponowych.
W formule zastosowano „adresowanie mieszane”, aby zapewnić, że po jej skopiowaniu
zmienią się odpowiednio znajdujące się w niej adresy komórek. Napisaliśmy i ,
aby zapewnić, że po wkopiowaniu formuły kolumna C i wiersze 5. i 6. nadal będą odwoływać
się do odpowiedniego terminu wykupu i wartości kuponu. Jednak zmieni
się na oraz dla innych lat. Napisaliśmy , dzięki czemu po skopiowaniu
formuły do kolumny D rok nadal będzie odczytywany z kolumny B, natomiast i
zmienią się na i .
Dokładne przemyślenie i napisanie tej formuły zwróci się z nawiązką, jeśli weźmiemy pod
uwagę czas, jaki zaoszczędzimy w trakcie powielaniaz jej w ramach większego modelu.

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 33
2.6. Narzędzia inspekcji
Rysunek 2.11.
Udostępnianie
paska narzędzi
Inspekcja formuł
zawierającego
najważniejsze
przyciski
Pracując z formułami o dowolnej złożoności, warto jest mieć cały czas pod ręką przyciski
uruchamiające narzędzia Inspekcji, umieszczone na przykład na pasku narzędzi.
Można je uruchomić poprzez menu, wybierając pozycję Widok, a następnie Paski
narzędzi i Dostosuj. Na ekranie pojawi się okno dialogowe Dostosuj przedstawione
na rysunku 2.11, na którym należy zaznaczyć pasek narzędzi Inspekcja formuł — stanie
się on wówczas widoczny.
Najważniejsze przyciski widoczne są na rysunku 2.11 i noszą nazwy, poczynając od
strony lewej, Śledź poprzedniki, Usuń wszystkie strzałki oraz Śledź zależności.
Wróćmy jednak do arkusza. Zaznacz w nim komórkę C11 i kliknij przycisk Śledź
poprzedniki, aby znaleźć te komórki, których wartości wykorzystywazne są w komórce
C11. Efekt jest widoczny na rysunku 2.12, na którym widać również komórki zasilające
komórkę F13. Aby usunąć wszystkie linie, kliknij przyciszk Usuń wszystkie strzałki.
Rysunek 2.12.
Efekt działania
narzędzia
Śledź poprzedniki
zastosowanego
w arkuszu Obligacje
W oknie dialogowym Dostosuj można dostosowywać paski narzędzi według własnych
upodobań. Po kliknięciu zakładki Polecenia i wybraniu odpowiedniej kategorii można
przenieść wybrane narzędzia znajdujące się na liście poleceń — w tym celu należy
zaznaczyć dany przycisk i przenieść go na pasek narzędzi. Możliwe jest również działanie
odwrotne: zaznaczenie i przeniesienie przycisku poza pasek narzędzi doprowadzi
do przeniesienia go do okna narzędziowego.

34 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
2.7. Tabele danych
Tabele danych pozwalają na wykonywanie sekwencji powtarzalnych obliczeń wartości
formuł znajdujących się w komórkach bez konieczności ponownego ich wpisywania
czy kopiowania. W skoroszycie ZMFExcel można znaleźć kilka przykładowych tabel
danych. Wykorzystując obliczanie czynnika dyskontowego i kapitalizacji w arkuszu
KapitalTabD, przedstawiamy tabelę danych z jedną zmienną wejściową, jak również
tabelę z dwiema zmiennymi wejściowymi. Kolejny arkuszz, noszący nazwę BSTabD,
zawiera inne przykłady zastosowania tabel danych, które jeszcze bardziej powinny
przybliżyć ich rolę.
2.7.1. Tworzenie tabel danych
z jedną zmienną wejściową
Rysunek 2.13 przedstawia arkusz, w którym obliczany jest czynnik kapitalizacji odpowiadający
kapitalizacji ciągłej dla stopy nominalnej równej 5% w okresie jednego roku
(wynik widoczny jest w komórce C10). Czynnik dyskontowy odpowiadający stopie
nominalnej w wysokości 5% dla jednego roku znajduje się w komórce D10. Na arkuszu
przedstawiono również formuły znajdujące się w komórkach, służące do obliczania
obu czynników.
Rysunek 2.13.
Układ tabeli danych
z jedną zmienną
wejściową,
znajdującej się
w arkuszu
KapitalTabD
Załóżmy, że chcemy zbudować tabelę czynników kapitalizacji i dyskontowych dla
okresów o różnej długości, na przykład t = 1, 2, aż do 10 lat. Aby wykorzystać do tego
celu tabelę danych, należy najpierw w odpowiedni sposób rozmieścić dane, tak jak
w wierszu 16. i następnych.
Formuła (formuły) służące do wykonywania obliczeń znajdują się w górnym wierszu
tabeli (wiersz 16.). Zatem formuła w komórce D16 ma postać , czyli w komórce
stosowana jest po prostu formuła z komórki C10. Analogicznie, w komórce E16 wpisano

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 35
Rysunek 2.14.
Tabela danych
zawierająca
wartości
czynników
kapitalizacji
i dyskontowych
dla okresów
o różnej długości
formułę . Lista wymaganych długości okresów dla danej wejściowej t znajduje
się w kolumnie C i zaczyna się w wierszu następnym po wierszu, w którym widnieją
formuły. Zwróćmy uwagę, że komórka C16, znajdująca się na przecięciu wiersza z formułami
i kolumny z wartościami, pozostała pusty. W przykładzie przedstawionym na
rysunku 2.13 tak zwanym zakresem tabeli jest zakres C16:Ez26.
Teraz arkusz jest już przygotowany do przeprowadzania obliczeń na tabeli danych.
Wystarczy więc:
Zaznaczyć zakres tabeli, czyli komórki z zakresu C16:E26.
W menu głównym wybrać pozycję Dane, a następnie Tabela.
W oknie dialogowym w polu Kolumnowa komórka wejściowa wpisać:
następnie kliknąć OK.
Wyniki tej operacji są pokazane na rysunku 2.14, na którym dla zwiększenia czytelności
odpowiednio sformatowano niektóre komórki. W komórkach tabeli widnieją wartości
liczbowe, choć w rzeczywistości zawierają one formuły tablicowe. Są to wartości
dynamiczne, co oznacza, że będą obliczane na nowo za każdym razem, gdy zmianie
ulegnie któryś z parametrów, na przykład stopa procentowa r, lub gdy zmieniona zostanie
jedna lub więcej wartości zmiennej t. Można się o tym przekonać, nadając stopie
procentowej w komórce C5 wartość 6% i obserwując zmianę wartości w komórkach
tabeli. Aby kontynuować lekturę, należy ustawić stopę procentową z powrotem na 5%.
2.7.2. Tworzenie tabel danych
z dwiema zmiennymi wejściowymi
Załóżmy, że chcielibyśmy obliczyć czynniki dyskontowe (za pomocą formuły z komórki
C11) odpowiadające nie tylko różnym okresom, ale również różnym stopom procentowym.
Ponownie pierwszą czynnością będzie odpowiednie ułożenie obu zmiennych
wejściowych, zanim wywołana zostanie procedura Tabela. Jeden z możliwych
do zastosowania układów przedstawiono na rysunku 2.15.z
Jak widać na rysunku, obszarem tabeli jest zakres komórek C30:I40. W pierwszej
kolumnie znajdują się długości okresu t (kolumnowej zmiennej wejściowej), dla których
należy obliczyć współczynniki dyskontowe (dane kolumnowe). W wierszu 30.
znajduje się pięć wartości stopy procentowej r (dane wierszowe). Komórka w lewym

36 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
Rysunek 2.15.
Układ tabeli danych
z dwiema zmiennymi
wejściowymi,
znajdującej się
w arkuszu
KapitalTabD
górnym rogu tabeli (C30) zawiera formułę, na podstawie której zostaną obliczone wartości
współczynnika dla wszystkich kombinacji wartości stopy procentowej i okresu.
Formuła w komórce C30 ma postać , a więc stanowi odniesienie do formuły obliczania
współczynnika dyskontowego.
Aby zakończyć tworzenie tabeli danych, należy:
Zaznaczyć zakres tabeli, czyli komórki C30:I40.
W menu wybrać pozycje Dane i Tabela.
W oknie dialogowym w polu: Kolumnowa komórka wejściowa wpisać
Wierszowa komórka wejściowa wpisać a następnie kliknąć OK.
Wyniki tych czynności są przedstawione na rysunku 2.16. Można sprawdzić, że wartości
otrzymane dla stopy równej 5% zgadzają się z wartościami otrzymanymi wcześniej,
widocznymi na rysunku 2.14.
Rysunek 2.16.
Tabela danych
zawierająca
czynniki dyskontowe
dla różnych
stóp procentowych
i okresów
o różnej długości
Tabele danych nadają się przede wszystkim do przeprowadzania analiz typu „co jeśli”
w niezwykle prosty sposób. Dobrą wiadomością jest to, że tabele automatycznie uwzględniają
zmiany wprowadzone w modelu. Jest jeszcze druga, zła wiadomość: jeśli w arkuszu
znajduje się większa liczba tabel z danymi, ich ciągłe przeliczanie może znacznie
zmniejszyć szybkość, z jaką będą uwzględniane zmiany polegające na dodawaniu
nowych pozycji lub modyfikacji wartości już obecnych w arkuszu. Z tego właśnie powodu
możliwe jest wyłączenie automatycznego przeliczaznia tabel.
Konstruując tabele danych, należy pamiętać o kilku rzezczach:
Obecnie Excel wymaga, by komórki wejściowe tabeli danyzch znajdowały się
w tym samym arkuszu co tabela.

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 37
Komórki tabeli danych zawierają formuły tablicowe, czyzli mają one
na przykład postać , gdzie C5 i C7 są komórkami
wejściowymi. Z tego względu nie istnieje możliwość edzytowania pojedynczej
formuły znajdującej się w tabeli.
W celu przebudowania lub rozszerzenia tabeli danych nazleży zaznaczyć
wszystkie komórki zawierające formułę , a następnie z menu
Edycja wybrać pozycję Wyczyść wszystko lub nacisnąć Delete.
Każda zmiana wartości wejściowych lub wartości zmiennzych spowoduje
ponowne przeliczenie tabeli danych, chyba że wyłączonaz zostanie domyślna
metoda automatycznego przeliczania.
W przypadku dużych modeli, w których przeliczanie tabeli po każdorazowej zmianie
zabiera dużo czasu, może zajść konieczność wyłączenia opcji automatycznego przeliczania
tabel danych. W tym celu należy:
z menu wybrać pozycję Narzędzia oraz Opcje,
wybrać zakładkę Przeliczanie, po czym zaznaczyć Automatyczne
z wyjątkiem tabel.
Po wyłączeniu automatycznego przeliczania wszystkie tabele będą ponownie przeliczane
po naciśnięciu klawisza F9.
Jeśli znasz już formułę Blacka-Scholesa wyceny opcji, możesz utrwalić wiedzę na temat
tabel danych, konstruując trzy tabele proponowane w arkuszu BSTabD. Dzięki nim
możliwe będzie przeanalizowanie wrażliwości wartości opcji zakupu z formuły Blacka-
Scholesa na zmiany bieżącej ceny akcji S oraz na zmiany wartości innych zmiennych
wejściowych.
2.8. Wykresy XY
W Excelu można tworzyć wykresy różnych typów, lecz dla celów matematycznych,
naukowych i finansowych zaleca się stosowanie wykreszu XY (Punktowego). Tam,
gdzie nie spowoduje to dwuznaczności, będziemy o tym wykresie mówić po prostu
jako o wykresie XY. Ważną rzeczą jest to, że na wykresie XY obie osie, czyli X i Y,
są skalowane liczbowo. We wszystkich pozostałych wykresach posiadających dwie osie
(w tym w wykresie liniowym) skalowane liczbowo są tylko osie pionowe, natomiast na
osiach X wyświetlane są etykiety.
By utworzyć wykres XY, korzysta się z Kreatora wykresów, który przeprowadza użytkownika
przez cztery kroki noszące nazwy Typ wykresu, Źródło danych, Opcje wykresu
oraz Położenie wykresu. Zakładając, że niemal za każdym razem będziemy tworzyć
wykres XY osadzony w arkuszu, najważniejszym spośród tych czterech kroków będzie
krok drugi — Źródło danych. Kolejne kroki przedstawimy, opierając się na wartościach
z tabeli danych z jedną zmienną wejściową opisaną w zpunkcie 2.7.1 i przedstawioną
na rysunku 2.14. Wartości z tabeli danych, które chcemy zamieścić na wykresie,

38 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
znajdują się w arkuszu KapitalTabD w komórkach z zakresu C17:E26. Kolumna C zawiera
wartości x, a na wykresie mają znaleźć się odpowiadające im wartości z kolumn
D i E. Po zaznaczeniu danych, które chcemy zobaczyć na wykresie, należy wykonać
następujące czynności:
1. Na głównym pasku narzędzi kliknąć przycisk Kreator wykresów
(wyglądający jak miniaturowy wykres). W oknie dialogowzym pierwszego
kroku (widocznym na rysunku 2.17) należy wybrać Typ wykresu — w naszym
przypadku będzie to XY (Punktowy) — oraz jego podtyp: wygładzony
liniowy bez znaczników. Następnie należy kliknąć przyzcisk Naciśnij
i przytrzymaj, aby zobaczyć przykład. Jeśli przykład jest prawidłowy,
przechodzimy dalej, klikając przycisk Dalej.
Rysunek 2.17.
Okno dialogowe,
w którym określa się
typ wykresu
Przycisk
Kreator
wykresów
2. W oknie dialogowym kroku 2. upewnij się, że na zakładcze Zakres danych
widnieje prawidłowy Zakres danych — zauważ, że Excel zintepretuje ten blok
danych jako serię trzech kolumn. Następnie kliknij zakzładkę Serie, na której
zdefiniowane będą wartości X i Y dla nazwy Serie1. Kliknij pole Nazwa
i wprowadź nazwę dla aktywnej serii — w tym celu możzesz zaznaczyć
komórkę arkusza lub wpisać ją ręcznie (np. ). Rysunek 2.18
przedstawia to okno dialogowe na chwilę przed zmianzą nazwy Serie2
na , czyli zawartość komórki E15. Kliknij przycisk Dalej,
by kontynuować.
3. W oknie dialogowym kroku 3. ustaw opcje wykresu: tytułz, linie siatki,
pokazywanie (lub nie) legendy itd. Do naszego wykresu zwystarczy dodać
tytuły i wyłączyć wyświetlanie linii siatki, jak pokzazano to na rysunku 2.19.
Kliknij przycisk Dalej, by kontynuować.
4. W oknie dialogowym kroku 4. należy określić Położenie wykresu. Wykres
może zostać utworzony w postaci obiektu w arkuszu (wyzkresu osadzonego)
lub w oddzielnym arkuszu. Zwykle lepiej jest tworzyć zwykresy osadzone
pozwalające obserwować efekty zmian w danych, jak ma zto miejsce
na rysunku 2.20.

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 39
Rysunek 2.18.
Okno dialogowe,
w którym definiuje
się wartości X i Y
danych źródłowych
Rysunek 2.19.
Okno dialogowe,
w którym ustawia się
Opcje wykresu
Rysunek 2.20.
Okno dialogowe,
w którym definiuje się
Położenie wykresu
Aby uzyskać bardziej profesjonalny efekt, we wstępnej wersji wykresu przedstawionego
na rysunku 2.21 należałoby wprowadzić pewne kosmetyczne zmiany, przede
wszystkim korzystając z poleceń Formatuj obszar kreślenia i ustawiając Obszar na
Brak, formatując osie poprzez wywołanie polecenia Formatuj osie i analogicznie Formatuj
tytuł wykresu oraz Formatuj legendę. Często zmian wymagają również skale osi,
rozmiar czcionki w tytułach itd. oraz rozmiar samego wykresu. Czasami będziemy
chcieli, by linie obrazujące serie danych zawierały oznaczenie poszczególnych punktów

40 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
Rysunek 2.21.
Wstępna wersja
wykresu
utworzona przez
Kreator wykresów
(można to osiągnąć, wracając do serii danych i zmieniając formatowanie). Odpowiednio
modyfikując wstępną wersję wykresu, można otrzymać wersję lepiej wykończoną, taką
jak widoczna na części rysunku 2.14.
2.9. Udostępnianie analizy danych
i Solvera
Excel posiada również pewne dodatkowe moduły dostępne po zainstalowaniu pełnej
wersji, których może brakować, jeśli wybrany został sposób instalacji oszczędzający
przestrzeń na dysku. Będziemy korzystać zarówno z Solvera, jak i z procedury Regresja
dostępnej w Analysis ToolPak, warto więc sprawdzić w menu Narzędzia, czy oba
te narzędzia są dostępne. Na rysunku 2.22 zaznaczone są opcje udostępniające Solvera
oraz Analizę danych. Jeśli któregoś z tych narzędzi nie ma w menu Narzędzia, kliknij
pozycję Dodatki (w tym samym menu). Upewnij się, że zaznaczone są opcje Analysis
ToolPak, Analysis ToolPak — VBA oraz Solver, tak jak przedstawia to rysunek 2.22,
a następnie kliknij przycisk OK. Powinno to spowodować, że Solver i Analiza danych
pojawią się w menu Narzędzia.
Korzystanie z Solvera najlepiej można wyjaśnić na przykładzie problemu optymalizacji,
dlatego zajmiemy się nim w punkcie 6.5 części „Zaawansowane modele akcji”, w którym
za jego pomocą będziemy szukać optymalnych wag portfezla.
Zanim przejdziemy do analizy regresji z wykorzystaniem funkcji i Analysis ToolPak,
opiszemy pokrótce nazwy zakresów przydatne do zaznaczania i odwoływania się do
dużych zakresów danych.
2.10. Stosowanie nazw zakresów
Rysunek 2.23 przedstawia początkowe wartości stóp zwrotu z AkcjaA oraz Indeks,
obecnych w arkuszu Beta w skoroszycie ZMFExcel. W następnym punkcie przeprowadzimy
analizę regresji stóp zwrotu z akcji względem stóp zwrotu z indeksu, aby

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 41
Rysunek 2.22.
Menu Narzędzia
zawierające
Analizę danych
i Solvera oraz
okno dialogowe
Dodatki
Rysunek 2.23.
Zakres danych
posiadający nazwę,
przycisk Wklej nazwy
oraz okno dialogowe
Definiuj nazwy
Przycisk Wklej nazwy
sprawdzić, czy istnieje między nimi jakaś zależność. W trakcie definiowania procedur
obliczeniowych pomocne okaże się nadanie „nazw” zakresom komórek zawierających
dane, na przykład dla zakresu danych B5:B64 oraz dla stóp zwrotu
z indeksu z komórek C5:C65.
Po zaznaczeniu zakresu komórek, któremu chcemy nadać nazwę, możemy wpisać ją
w polu nazwy widocznym po lewej stronie zaraz pod głównym paskiem menu, pokazanym
na rysunku 2.23. Od tego momentu nazwa AkcjaA będzie dołączona do zakresu
komórek B5:B64 z arkusza Beta. Inną metodą nadania nazwy zaznaczonemu zakresowi
komórek jest wybranie z menu pozycji Wstaw/Nazwa/Definiuj, a następnie wpisanie

42 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
nazwy w wywołanym oknie dialogowym (również przedstawionym na rysunku
2.23). Od tej chwili możliwe będzie zaznaczanie lub odwoływanie się do komórek
zawierających stopy zwrotu przez podanie nazwy zakresu, na przykład przez wybieranie
pozycji AkcjaA z pola nazw, a także stosowanie ich w funkcjach przy użyciu przycisku
Wklej nazwy.
2.11. Regresja
Zakładamy, że czytelnikowi nieobca jest prosta analiza regresji (z dwiema zmiennymi),
którą będziemy przeprowadzać w części książki dotyczącej akcji. W tym punkcie pokażemy,
w jaki sposób można zastosować Excela do wykonania niezbędnych w trakcie tej
analizy obliczeń. W rzeczywistości analizę regresji można przeprowadzać na kilka sposobów,
a główna linia podziału przebiega między zastosowaniem funkcji Excela a procedurą
Regresja z Analysis ToolPak. Oba sposoby przedstawimy na przykładzie prostej
analizy regresji między stopami zwrotu z akcji i indeksu znajdującymi się na arkuszu
Beta skoroszytu ZMFExcel: najpierw zastosujemy funkcje Excela, a następnie posłużymy
się procedurą Regresja narzędzia Analiza danych. Jeśli te funkcje i procedury nie
są znane czytelnikowi, można przetestować ich działanzie w arkuszu Beta.
Excel udostępnia funkcje dla najczęściej wymaganych statystyk regresji. Na rysunku
2.24 widoczne są funkcje oraz , z których składa się równanie regresji,
a także dwie miary dopasowania, to jest współczynnik R 2 oraz odchylenie standardowe
reszt (funkcja od „regresja błąd standardowy”). W poprzednim punkcie
nadaliśmy zakresom danych nazwy, a więc teraz możemy dołączyć je do okna Wklej
funkcje, klikając przycisk Wklej nazwy. Funkcje te mają charakter dynamiczny, to znaczy
zwracane przez nie wyniki mogą się zmieniać w momencie modyfikacji danych (należących
do zakresów AkcjaA lub Indeks).
Rysunek 2.24.
Funkcje Excela
do analizy regresji,
znajdujące się
w arkuszu Beta
Oprócz pojedynczych funkcji dostępna jest również funkcja tablicowa , która
na podstawie dwóch kolumn wejściowych ze stopami zwrotu zwraca tablicę zawierającą
podstawowe parametry regresji. Należy pamiętać, by przed wstawieniem funkcji
zaznaczyć odpowiednio duży obszar komórek, w których znajdą się wyniki
jej działania. Dla regresji prostej zwykle wystarczy zaznaczyć obszar o wielkości dwóch
kolumn i pięciu wierszy. Rysunek 2.25 przedstawia formularz Argumenty funkcji, na
którym zdefiniowano funkcję , zaznaczając uprzednio dla
danych wyjściowych zakres komórek F40:G44. Pole Stała pozostało puste, a wartość
wpisana w polu Statystyka zapewnia, że zwrócona zostanie pełna tablica wyników
statystycznych.

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 43
Rysunek 2.25.
Definiowanie
funkcji tablicowej
REGLINP
w formularzu
Argumenty funkcji
Na rysunku 2.26 przedstawiono tablicę wyjściową wraz z opisem jej pól. Oprócz nachylenia
i odciętej (nazwanych w arkuszu odpowiednio Beta i Alfa) zwraca również
standardowe wartości błędów oraz podstawową analizęz wariancji.
Rysunek 2.26.
Tablica wyjściowa
funkcji REGLINP
wywołanej na danych
dotyczących stóp
zwrotu, znajdujących
się w arkuszu Beta
Zajmijmy się teraz procedurą Regresja wchodzącą w skład Analysis ToolPak. Aby ją
zdefiniować, wybierz z menu pozycję Narzędzia, potem Analiza danych i Regresja —
pojawi się wówczas okno dialogowe przedstawione na rysunku 2.27. Również w tym
przypadku odwołania do zakresów wejściowych X i Y można zdefiniować, zaznaczając
zakresy komórek lub, jeśli zakresy te zostały nazwane, wklejając ich nazwy. Zwykle
wygodniej jest wskazać lewą górną komórkę zakresu wyjściowego niż zostawiać opcję
domyślną (czyli zapisanie danych wyjściowych w nowym zarkuszu).
Rysunek 2.27.
Definiowanie
parametrów
obliczeniowych
i wyjściowych
procedury Regresja
z Analysis ToolPak

44 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
Wyniki działania procedury przedstawiono na rysunku 2.28: odcięta i nachylenie linii
regresji znajdują się odpowiednio w komórkach F23 i F24, a miary dopasowania, czyli
współczynnik R 2 oraz błąd standardowy (odchylenie standardowe reszt), widnieją
w komórkach F12 i F13. Dane wyjściowe mają charakter statyczny, to znaczy tablica
ta jest zrzutem liczb, które nie są w żaden sposób połączone z danymi początkowymi.
Wprowadzenie zmian w danych wejściowych nie spowoduje zmiany wyników analizy
— konieczne jest ręczne jej ponowienie.
Rysunek 2.28. Wyniki działania procedury Regresja z pakietu Analysigs ToolPak, znajdujące się
w arkuszu Beta
Aby statyczności wyników procedury Regresja przeciwstawić dynamiczne wyniki
działania funkcji, załóżmy, że stopę zwrotu z indeksu w czwartym miesiącu poprawiono
na (zamiast dotychczasowej wartości –0,08 w komórce C8). Zmiana tej wartości
spowoduje natychmiastową zmianę wyników działania funkcji w komórkach F31:F34
i F40:G44, dzięki czemu wartość współczynnika (po sformatowaniu wyników)
obniży się z 0,4755 do 0,3260. Natomiast w celu odpowiedniego uaktualnienia
wyników Regresji z Analysis ToolPak należałoby tę procedurę uruchomić jzeszcze raz.
Statyczny charakter danych wyjściowych generowanych przez procedury Analysis
ToolPak sprawia, że są one mniej przydatne do przeprowadzania obliczeń niż odpowiadające
im funkcje Excela. Większość z tych procedur napisano w starym makrojęzyku
XLM, obecnym w Excelu w wersji 4. Co gorsza, w przeciwieństwie do większości
funkcji Excela włączenie tych procedur do funkcji VBA zdefiniowanych przez użytkownika
jest zadaniem skomplikowanym.
2.12. Narzędzie Szukaj wyniku
Szukaj wyniku to kolejna statyczna procedura Excela. Narzędzie generuje rozwiązanie
dopasowujące formułę obecną w komórce do liczbowej wartości docelowej. Na przykład
na rysunku 2.29 widać rozbieżność między ceną rynkową (w komórce G8) a ceną Blacka-
Scholesa (w komórce G4) opcji zakupu na akcję. (Wartość wyznaczona na podstawie

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 45
Rysunek 2.29.
Formuła
na obliczenie ceny
Blacka-Scholesa
opcji zakupu
oraz cena rynkowa
na arkuszu BSTabD
formuły Blacka-Scholesa jest uzależniona od zmienności ceny akcji i zawsze uwzględnia
szacunkową zmienność w przyszłości.) Załóżmy, że chcemy znaleźć taki zakres zmienności,
dla którego obie ceny będą równe, albo równoważznie: dla którego różnica między
obiema cenami (w komórce G9) będzie wynosić zero. Do rozwiązania tego problemu
idealnie nadaje się procedura Szukaj wyniku.
Aby zastosować procedurę Szukaj wyniku w arkuszu BSTabD, z menu wybierz pozycję
Narzędzia, a następnie Szukaj wyniku. W polach wpisz wartości widoczne na rysunku
2.30 i kliknij OK. Rozwiązanie wygenerowane przez Szukaj wyniku przedstawiono na
rysunku 2.31: aby cena opcji obliczona na podstawie formuły Blacka-Scholesa była
równa cenie rynkowej, zmienność musi być równa 23%.
Rysunek 2.30.
Ustawienia procedury
Szukaj wyniku
obliczającej zmienność
(C9), dla której
wartość BS jest równa
cenie rynkowej
Rysunek 2.31.
Wygenerowana przez
procedurę Szukaj
wyniku wartość
zmienności, dla której
różnica (w komórce
G9) jest równa zero
Procedura Szukaj wyniku rozpoczyna swe działanie od „odgadniętej” wartości początkowej,
a następnie realizując algorytm iteracyjny, przybliża się do rozwiązania. Faktyczną
wartością początkową jest wartość z komórki wskazanej w polu Zmieniając komórkę
— w tym przypadku jest to zmienność o wartości 20%. Znajdując rozwiązanie problemu,
procedura Szukaj wyniku pozwala na różnicowanie wartości w tylko jednej komórce
wejściowej, podczas gdy Solver (który poznamy w rozdziale 6.) uwzględnia zmienność
kilku komórek wejściowych.
Aby utrwalić swą wiedzę, stosując w arkuszu BSTabD procedurę Szukaj wyniku, znajdź
wartość zmienności, dla której cena rynkowa będzie rózwna 9.

46 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
2.13. Algebra macierzy
i związane z nią funkcje
W algebrze powszechnie stosuje się zapis macierzowy, ponieważ pozwala on na wyrażanie
w zwartej formie układów podobnie zdefiniowanych równań. Zaskakujące może
być to, że działania na macierzach bardzo przypominają zwykłe działania algebraiczne,
jedynie mnożenie macierzy jest nieco bardziej skomplikowane. Excel posiada zbiór
przydatnych funkcji macierzowych znajdujących się w kategorii Matematyczne, których
pełne zrozumienie wymaga przyswojenia sobie podstawowych wiadomości na temat
funkcjonowania macierzy. W następnych punktach objaśnimy zasady zapisu macierzowego
oraz przybliżymy operacje transpozycji, dodawania, mnożenia i odwracania macierzy.
Przykłady ilustrujące te operacje pochodzą z arkusza MacDef, z pliku ZMFExcel.
Czytelnicy posiadający gruntowną wiedzę na temat macierzy mogą od razu przejść do
podsumowania funkcji macierzowych (punkt 2.13.7).
2.13.1. Wprowadzenie do teorii macierzy
W algebrze prostokątne tablice liczb nazywa się macierzami. Pojedyncza kolumna
macierzy to tak zwany wektor kolumnowy i, analogicznie, pojedynczy wiersz macierzy
to wektor wierszowy. W Excelu prostokątne bloki komórek nazywa się tablicami.
Wszystkie przedstawione poniżej bloki liczb można trazktować jako macierze:
2 [ 6 7 ]
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣4⎦
⎡− 3
⎢
⎢
2
⎢⎣
7
2
20
9
7 ⎤
19
⎥
⎥
21⎥⎦
⎡− 3
⎢
⎢
2
⎢ 7
⎢
⎣ 0
2
20
9
13
7 ⎤
19
⎥
⎥
21⎥
⎥
3 ⎦
gdzie nawiasy | | są standardowym zapisem. Jeśli nazwiemy te macierze odpowiednio
jako x, y, A i B, x będzie wektorem kolumnowym, a y wektorem wierszowym. Macierz
A składa się z trzech wierszy i trzech kolumn, jest więc macierzą kwadratową. B nie
jest natomiast macierzą kwadratową, ponieważ posiada cztery wiersze i trzy kolumny
— jest to więc macierz o wymiarach 4 na 3. Liczba wierszy, r, i kolumn, c, wyznacza
wymiar macierzy, zapisywany czasami w postaci (r×c). Na przykład jeśli:
⎡
x =
2 ⎤
⎢ ⎥ oraz y = [ 6 7 ]
⎣4
⎦
wówczas x jest macierzą o wymiarze (2×1), a y ma wymiar (1×2).
2.13.2. Transpozycja macierzy
Transpozycja macierzy polega na przekształceniu wierszy w kolumny i odwrotnie.
W wyniku transpozycji wektora kolumnowego x otrzymamy więc wektor wierszowy
i oznaczymy go jako x T . We fragmencie arkusza kalkulacyjnego przedstawionego na
rysunku 2.32 widnieją wektory powstałe w wyniku transpozycji wektora kolumnowego
x i wektora wierszowego y.

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 47
Rysunek 2.32.
Operacje
na macierzach
wykonane w arkuszu
MacDef
Funkcja zastosowana względem komórek tablicy zwróci jej transpozycję.
Na przykład w wyniku transpozycji wektora x o wymiarze 2 na 1 zapisanego w komórkach
C4:C5 powstanie wektor o wymiarze (1×2). Aby zastosować funkcję ,
zaznacz zakres komórek I4:J4 i wpisz formułę:
a następnie naciśnij jednocześnie klawisze Ctrl+Shift+Enter. Wynik tej operacji przedstawia
rysunek 2.32.
2.13.3. Dodawanie macierzy
Dodawanie dwóch macierzy sprowadza się do dodania odpowiadających sobie pozycji
tych macierzy. Aby działanie to było możliwe, dodawane do siebie macierze muszą
mieć ten sam wymiar. Macierzy x i y nie można więc do siebie dodać, natomiast x i y T
mają ten sam wymiar 2 na 1, a więc można przeprowadzić na nich dodawanie. Wynikiem
tego działania będzie:
x + y T =
⎡2 ⎤ ⎡6 ⎤ ⎡ 8 ⎤
⎢ ⎥ +
⎣4
⎢ ⎥ =
⎦ ⎣7
⎢ ⎥ ⎦ ⎣11
⎦
= z (na przykład)
Aby pomnożyć wektor y przez, powiedzmy, 10, należy pomnożyć każdą jego pozycję
przez 10. Zatem:
10y = 10 ∗ [ 6 7]
= [ 60 70]
Ten sam wynik otrzymamy, dodając y do siebie 10 razy.
2.13.4. Mnożenie macierzy
Aby możliwe było mnożenie dwóch macierzy, muszą one mieć wspólne wymiary, to
znaczy liczba kolumn jednej macierzy musi być równa liczbie wierszy drugiej. W skrócie
mówi się o tym jako o „zgodności wymiarów”. Aby móc obliczyć iloczyn xy, kolumny
macierzy x muszą odpowiadać wierszom macierzy y, czyli mnożąc (2×1) razy (1×2)
otrzymamy na wyjściu macierz (2×2).
Na rysunku 2.32 elementy iloczynu xy widocznego w komórkach C10:D11 zostały
obliczone następująco:

48 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
2 ∗ [ 7]
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣4⎦
⎡2
∗ 6 2 ∗ 7⎤
⎡12
14⎤
6 = ⎢ ⎥ =
⎣4
∗ 6 4 ∗ 7
⎢ ⎥ ⎦ ⎣24
28 ⎦
to znaczy element w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie iloczynu xy jest wynikiem
mnożenia poszczególnych elementów z pierwszego wiersza macierzy x przez elementy
z pierwszej kolumny macierzy y itd.
Natomiast iloczyn xy będzie miał wymiar (1×2) razy (2×1) równy (1×1), czyli będzie
posiadał tylko jeden element. Element iloczynu xy znajdującego się w komórce C13
obliczany jest następująco:
⎡ ⎤
6 ∗ ⎢ ⎥
⎣4
⎦
[ 7]
2 = [ 6 ∗ 2 + 7 ∗ 4 ] = [ 40]
Na przykładzie uzyskanych wyników widać, że w przypadku operacji na macierzach xy
nie jest tożsame z yx. Kolejność mnożenia ma więc znaczenie.
Funkcja tablicowa zwraca iloczyn dwóch macierzy nazwanych
i . Aby wyznaczyć elementy iloczynu macierzy xy, mającego wymiar (2×2),
zaznacz zakres o wymiarze 2 na 2 komórki (C10:D11) i wpisz lub, korzystając z przycisku
Wstaw funkcję, zdefiniuj na formularzu funkcji wyrażenie:
pamiętając przy tym, by na zakończenie nacisnąć klawizsze Ctrl+Shift+Enter.
Jeśli zakresy C4:C5 i C7:D7 będą nosić odpowiednio nazwy x i y, wówczas wystarczy
wpisać formułę o prostszej postaci:
Rozważmy jeszcze dwie tablice:
C =
⎡12
⎢
⎣ 3
4 ⎤
13
⎥ ⎦
oraz D =
⎡16
⎢
⎣ 5
19
12
− 2⎤
14
⎥ ⎦
Macierz C ma wymiar (2×2), a wymiarem D jest (2×3), a zatem — ponieważ liczba
kolumn macierzy C jest równa liczbie wierszy macierzy D — można obliczyć iloczyn
CD o wymiarze (2×3):
⎡ ( 12 ∗16
+ 4 ∗5
) ( 12 ∗19
+ 4 ∗12
) ( −12
∗ 2 + 4 ∗14
)
CD =
( ) ( ) ( ) ⎥ ⎤
⎢
⎣ 3∗16
+ 13∗5
3∗19
+ 13∗12
− 3∗
2 + 13∗14
⎦
⎡212
276 32 ⎤
= ⎢
⎥
⎣113
213 176 ⎦
Z drugiej jednak strony niemożliwe jest wyznaczenie iloczynu DC ze względu na
niezgodność wymiarów (liczba kolumn macierzy D jest różna od liczby wierszy w macierzy
C). Ogólnie mówiąc, mnożenie macierzy nie jest przemienne, dlatego zazwyczaj
CD ≠ DC, tak jak w tym przypadku.
=

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 49
Jeśli C i D są nazwami odpowiednio tablic o wymiarze 2 na 2 i 2 na 3, wówczas formuła:
wygeneruje elementy tablicy będącej ich iloczynem o wzymiarach 2 na 3.
2.13.5. Odwracanie macierzy
Macierz kwadratową I, w której wszystkie elementy na przekątnej mają wartość 1,
a wszystkie pozostałe elementy mają wartość 0, nazywamy macierzą jednostkową.
Zatem:
I =
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
⎢
⎢...
⎢
⎣0
0
1
0
...
0
0
0
1
...
0
...
...
...
...
...
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
... ⎥
1⎥
⎦
jest macierzą jednostkową
Załóżmy, że D jest macierzą o wymiarach (2×3), którą zastosowaliśmy wcześniej, a I
jest macierzą jednostkową o wymiarach (2×2). Wówczas:
ID =
⎡1
⎢
⎣0
0⎤
1
⎥ ⎦
∗
⎡16
⎢
⎣ 5
19
12
− 2⎤
14
⎥ ⎦
⎡16
19 − 2⎤
= ⎢ ⎥
⎣ 5 12 14 ⎦
= D
Mnożenie dowolnej macierzy przez macierz jednostkową o właściwych wymiarach
nie ma wpływu na macierz początkową (i przez to jest tożsama z pomnożeniem tej
macierzy przez 1).
Załóżmy teraz, że A jest macierzą kwadratową o wymiarze n, czyli ma wymiary n na n.
Macierz kwadratową A –1 (również mającą wymiar n) nazywamy macierzą odwrotną do
macierzy A, jeśli:
A –1 A = AA –1 = I
Na przykład jeśli:
A =
⎡− 3
⎢
⎢
2
⎢⎣
7
2
20
9
7 ⎤
19
⎥
⎥
21⎥⎦
to A –1 =
⎡−
0,175
⎢
⎢
− 0,064
⎢⎣
0,086
− 0,015
0,079
− 0,029
0,072 ⎤
− 0,050
⎥
⎥
0,045 ⎥⎦
oraz
AA –1 = I =
⎡1
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
1
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦

50 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
Rysunek 2.33.
Odwracanie
macierzy
wykonane
w arkuszu
MacDef
Wyznaczanie macierzy odwrotnej do danej może się okazać zadaniem bardzo czasochłonnym.
Na szczęście znajdzie ją za nas funkcja . Na przykład, aby znaleźć
macierz odwrotną do macierzy A widocznej we fragmencie arkusza na rysunku 2.33,
zaznacz zakres I17:K19 o wymiarach 3 na 3 komórki, a następznie wpisz formułę tablicową:
Możesz się przekonać, że wynikiem jest rzeczywiście macierz odwrotna — wystarczy
wykonać mnożenie macierzy AA –1 .
2.13.6. Rozwiązywanie układów równoważnych
równań liniowych
Macierze odwrotne są stosowane między innymi w trakcie rozwiązywania układów
równań, takich jak poniższy:
−3x1
+ 2x2
+ 7x3
= 20
2x
+ 20x
+ 19x
= − 5
1
2 3
7x
+ 9x
+ 21x
= 0
1
2
3
Układ ten można zapisać w postaci macierzy, jako Ax = b, gdzie:
A =
⎡− 3
⎢
⎢
2
⎢⎣
7
2
20
9
7 ⎤
19
⎥
⎥
21⎥⎦
b =
⎡20⎤
⎢ ⎥
⎢
− 5
⎥
⎢⎣
0 ⎥⎦
oraz x =
⎡x1
⎤
⎢ ⎥
⎢
x2
⎥
⎢⎣
x ⎥
3 ⎦
Rozwiązanie uzyskuje się, mnożąc lewostronnie obie strony równania przez macierz
odwrotną do A:
A –1 Ax = A –1 b, wówczas Ix = A –1 b, czyli x = A –1 b
Widoczny na rysunku 2.33 wektor x będący rozwiązaniem tego równania uzyskano
dzięki wstawieniu w zakresie komórek I21:I23 funkcji mnozżenia macierzy w postaci:
Nie każdy układ równań liniowych może mieć rozwiązanie, a w niektórych przypadkach
może on mieć wiele rozwiązań. Układ Ax = b posiada tylko jedno rozwiązanie,
jeśli macierz A jest kwadratowa i istnieje macierz do niej odwrotna A –1 . Wówczas
rozwiązanie jest wyznaczane równaniem x = A –1 b.

Rozdział 2. ♦ Zaawansowane funkcje i procedury Excela 51
2.13.7. Podsumowanie funkcji macierzowych
w Excelu
Podsumowując, Excel posiada funkcje służące do transponowania macierzy, mnożenia
macierzy oraz do odwracania macierzy kwadratowych. Sąz to następujące funkcje:
zwraca transpozycję tablicy
zwraca iloczyn dwóch tablic
zwraca macierz odwrotną do tablicy
Każda z tych funkcji zwraca w wyniku tablicę, której rozmiar należy ocenić z wyprzedzeniem.
Po zaznaczeniu zakresu komórek o odpowiednim rozmiarze należy wpisać
formułę (lub uzyskać ją, naciskając przycisk Wstaw funkcję, i zdefiniować na formularzu
formuły). Zostanie ona wprowadzona do komórek z zaznaczonego obszaru po naciśnięciu
kombinacji klawiszy Ctrl+Shift+Enter (a nie tylko Enter). Jeśli operacja się nie
powiedzie, pozostaw zaznaczenie zakresu komórek wyjściowych, naciśnij klawisz edycji
(F2), wyedytuj formułę, jeśli jest to konieczne, po czym znów naciśnij Ctrl+Shift+Enter.
Aby utrwalić swoje umiejętności, wykonaj ćwiczenia na zmacierzach w arkuszu MacĆwicz.
Funkcje macierzowe będziemy często stosować w części „Zaawansowane modele akcji”
książki — zarówno do obliczeń w arkuszach, jak i jako części funkcji VBA zdefiniowanych
przez użytkownika.
Podsumowanie
Excel posiada bogaty zbiór funkcji i procedur. Są wśród nich funkcje matematyczne,
statystyczne i wyszukiwania, a także często stosowane procedury służące na przykład
do konstruowania tabel danych czy prezentowania wynizków na wykresach XY.
Dostęp do funkcji uzyskuje się, klikając przycisk Wstaw funkcję, a jej parametry wejściowe
definiuje się w formularzu funkcji. Stosowanie nazw zakresów znacznie ułatwia
wskazywanie zakresów komórek, zwłaszcza w sytuacji gdy zakresy osiągają znaczne
rozmiary. Nazwy zakresów również mogą być stosowane wz formularzu funkcji.
Mechanizmy znajdujące się na pasku narzędzi Inspekcja formuł, w szczególności Śledź
poprzedniki, Śledź zależności i Usuń wszystkie strzałki, stanowią nieocenioną pomoc
w trakcie analizowania formuł wpisanych w komórkach.
Warto bliżej poznać funkcje Excela, ponieważ bez truduz można je dołączać do funkcji
zdefiniowanych przez użytkownika, zmniejszając tym samym ilość kodu VBA, jaką
trzeba napisać.
Szczególną uwagę należy zachować, stosując funkcje tablicowe. Dobrze jest z wyprzedzeniem
określić rozmiar zakresu komórek wynikowych, odpowiedni dla tablicy z wynikami.
Po zaznaczeniu właściwego zakresu komórek należy wstawić do niego formułę,
naciskając kombinację klawiszy Ctrl+Shift+Enter.

52 Część I ♦ Zaawansowane modelowanie w Excelu
Funkcje wbudowane cechują się zmiennością, co oznacza, że ich wynik zmienia się
wraz ze zmianami wprowadzanymi w ich danych wejściowych. W przeciwieństwie do
nich procedury, takie jak Szukaj wyniku czy Solver z pakietu Analysis ToolPak, mają
charakter statystyczny — ich wynikiem jest „zrzut danych” niemający żadnego połączenia
z danymi początkowymi. Z tego powodu w przypadku zmiany danych wejściowych
procedury te należy uruchomić ponownie.