Lokalizacija svojstvenih vrijednosti kvadratne matrice - Odjel za ...

Lokalizacija svojstvenih vrijednosti 1
Lokalizacija svojstvenih vrijednosti kvadratne matrice
1 Uvod
Linearni operator A u različitim bazama ima različite matrične prikaze. Ako su A i B takve dvije
matrice istog linearnog operatora A, onda postoji (vidi primjerice [8]) regularna matrica P , takva da je
B = P AP −1 . Za matrice A, B u tom slučaju kažemo da su slične. Lako se vidi da vrijedi
Teorem 1 Slične matrice imaju iste svojstvene vrijednosti.
Dokaz. Neka su A i B dvije slične matrice i neka je P takva regularna matrica da vrijedi B = P AP −1 .
Korištenjem Binet-Cauchiyjevog teorema (vidi [7], [8]) dobivamo
det(B − λI) = det(P AP −1 − λI) = det ( P (A − λI)P −1)
= det P det(A − λI) det P −1
= det(A − λI),
što znači da su svojstveni polinomi, pa onda i svojstvene vrijednosti, matrica A i B jednaki.
Ovaj teorem ukazuje nam da bi u cilju pronalaženja svojstvenih vrijednosti neke matrice A bilo korisno
pronaći njoj sličnu, ali jednostavniju matricu. Tako primjerice, od ranije znamo da je za simetričnu
matricu A moguće pronaći dijagonalnu matricu D i ortogonalnu matrcu V , tako da je A = V DV T
(primijetite da je V −1 = V T ). Općenitija tvrdnja iskazana je u poznatom Schurovom teoremu (vidi [5])
Teorem 2 (Schurov teorem.) Svaka kvadatna matrica unitarno je slična gornjoj trokutastoj matrici.
Ova tvrdnja znači da za svaku kvadratnu matricu A postoji unitarna matrica 1 U, tako da je A =
URU ∗ , gdje je R gornje trokutasta matrica. Kako za unitarnu matricu U specijalno vrijedi U −1 = U ∗ ,
slijedi
Korolar 1 Svaka kvadratna matrica slična je gornjoj trokutastoj matrici.
Specijalno za hermitske matrice 2 vrijedi
Korolar 2 Svaka hermitska matrica unitarno je slična dijagonalnoj matrici.
Naime, prema Teoremu 2 postoji unitarna matrica U takva da je matrica UAU ∗ gornja trokutasta.
Primijetite da je (UAU ∗ ) ∗ donja trokutasta matrica i da vrijedi
(UAU ∗ ) ∗ = U ∗∗ A ∗ U ∗ = UAU ∗ .
Zato je matrica UAU ∗ istovremeno i donja i gornja trokutasta, dakle ona je dijagonalna matrica.
Sljedeći teorem daje eksplicitne formule pomoću kojih možemo lokalizirati svojstvene vrijednosti
kvadratne matrice u kompleksnoj Gaussovoj ravnini.
1 Kažemo da je matrica U unitarna, ako vrijedi U ∗ U = UU ∗ = I, gdje je u ∗ ij = u ji
2 Kažemo da je matrica A hermitska ako vrijedi A ∗ = A, odnosno a ij = aji

2 Lokalizacija svojstvenih vrijednosti
Teorem 3 (Gershgorinov teorem) Spektar σ(A) kvadratne matrice A ∈ C n×n sadržan je u uniji krugova
⎧
⎫
n⋃
⎨
n∑ ⎬
K i , K i =
⎩ z ∈ C : |z − a ii| ≤ |a ij |
(1)
⎭
i=1
Dokaz. Neka je λ ∈ σ(A) a x odgovarajući svojstveni vektor, takav da je ‖x‖ ∞ = 1. Neka je pri tome
i indeks one komponenta vektora x za koju je |x i | = 1. Kako je (Ax) i
= λx i , vrijedi
λx i =
n∑
a ij x j =⇒ (λ − a ii )x i =
j=1
j≠i
n∑
a ij x j .
Koristeći nejednakost trokuta i činjenicu da je 1 = ‖x‖ ∞ = |x i | ≥ |x j |, j = 1, . . . , n, dobivamo
∣
∣ n∑ ∣∣∣∣∣ n∑
n∑
|(λ − a ii )x i | = |λ − a ii | · |x i | = |λ − a ii | = ∣ a ij x j ≤ |a ij ||x j | ≤ |a ij |.
∣
Dakle, λ ∈ K i .
Primjedba 1 Ako Teorem 3 primijenimo na matricu A T dolazimo do sljedećeg rezultata:
j≠i
j≠i
j≠i
j≠i
Spektar σ(A) kvadratne matrice A ∈ C n×n sadržan je u uniji krugova
⎧
⎫
n⋃
⎨
n∑ ⎬
K j, ′ K j ′ =
⎩ z ∈ C : |z − a jj| ≤ |a ij |
⎭
i=1
i≠j
(2)
I krugovi K ′ j takoder su Gershgorinovi krugovi. Primijetite da su krugovi K i definirani s (1) pomoću
redova, a krugovi K j ′ definirani s (2) pomoću stupaca matrice A. Zato vrijedi
( n
) (
⋃ ⋂ n
)
⋃
σ(A) ⊂ K i
i=1
i=1
Zadatak 1 Izradite Mathematica-modul koji će učitati kvadratnu matricu A, nacrtati i žuto obojati skup
( ⋃ K i ), te nacrtati i zeleno obojati skup (⋃ K j) ′ .
Zadatak 2 (Hadamardov teorem) Metodom kontradikcije dokažite da ako za kvadratnu matricu A ∈ C n×n
vrijedi
|a ii | >
onda je det A ≠ 0.
K ′ j
n∑
|a ij |, ∀i = 1, . . . , n,
j≠i
Zadatak 3 Dokažite Gershgorinov teorem primjenom Hadamardovog teorema.
Zadatak 4 Primjenom Gershgorinovog teorema dokažite Perronov teorem:
Za svojstvene vrijednosti λ i , i = 1, . . . , n kvadratne matrice A ∈ C n×n vrijede nejednakosti:
|λ i | ≤ min{R, T }, i = 1, . . . , n,
gdje je
R = max R i ,
i
T = max T j , R i =
j
n∑
|a ij |, T j =
j=1
n∑
|a ij |.
i=1

Lokalizacija svojstvenih vrijednosti 3
Literatura
[1] D. Butković, Kompleksni konačno dimenzionalni vektorski prostori, Odjel za matematiku,
Sveučilište u Osijeku, Osijek, 2004
[2] S. H. Friedberg, A. J. Insel, L. E. Spence, Linear algebra, Prentice Hall, New Jersey, 1997.
[3] K. Janich, Linear Algebra, Springer-Verlag, Berlin, 1994.
[4] A. G. Kurox, Kurs vysxei algebry, Nauka, Moskva, 1968.
[5] D. Kincaid,W. Cheney, Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, New York, 1996.
[6] H. Kraljević, Vektorski prostori, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, 2005
[7] S. Kurepa, Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb, 1985.
[8] S. Kurepa, Konačno dimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967.
[9] R. Plato, Concise Numerical Mathematics, American Mathematical Society, Providence, 2003.
[10] W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, Numerical Recipes, Cambridge
University Press, Cambridge, 1989.
[11] A. A. Samarskii, Vvedenie v qislennye metody, Nauka, Moskva, 1982.