Vježbe - Slucajni procesi I. dio

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesVježbe - Slučajni procesiI. dio

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesUvodDefinicija 1.Slučajni proces {X t , t ∈ T } je familija slučajnih varijabli na istomvjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P), pri čemu je t element parametarskogskupa ili skupa indeksa T ⊆ R.Napomena 1.Skup vrijednosti koje može poprimiti svaka slučajna varijabla X t naziva seskup stanja slučajnog procesa {X t , t ∈ T } i označava sa S, S ⊆ R.Elemente skupa S nazivamo stanjima slučajnog procesa {X t , t ∈ T }. Sobzirom na skup S, razlikujemo sljedeće kategorije slučajnih procesa:ako je S diskretan skup, govorimo o slučajnom procesu sa diskretnimskupom stanja,ako S nije diskretan skup, npr. ako je S = R ili je S interval realnihbrojeva, govorimo o slučajnom procesu sa neprekidnim skupomstanja.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesNapomena 2.Elementi skupa indeksa T ⊆ R najčešće se interpretiraju kao vremenskitrenuci. S obzirom na skup indeksa T , razlikujemo sljedeće kategorijeslučajnih procesa:ako je T diskretan skup, npr. T = Z, T = N ili T = N 0 , govorimo oslučajnom procesu u diskretnom vremenu,ako T nije diskretan skup, npr. ako je T = [a, b〉,−∞ < a < b ≤ ∞, ili T = R, govorimo o slučajnom procesu uneprekidnom vremenu.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesNapomena 3.Slučajni proces X = {X t , t ∈ T } sa skupom stanja S ⊆ R definiran navjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P) možemo shvatiti kao funkciju dvijuvarijabli:X : T × Ω → S.Ako fiksiramo t ∈ T , tada promatramo funkcijuω ↦→ X t (ω) = X (ω, t),definiranu na Ω, tj. slučajnu varijablu na Ω koja opisuje realizacijuslučajnog procesa u fiksiranom trenutku t.Ako fiksiramo ω ∈ Ω, tada promatramo funkcijut ↦→ X t (ω) = X (ω, t)definiranu na skupu indeksa T koja opisuje evoluciju procesa tijekomvremena za fiksirani ω ∈ Ω.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesDefinicija 2.Funkciju koja za fiksirani ω ∈ Ω svakom elementu t ∈ T pridružujerealizaciju X t (ω) nazivamo trajektorijom (engl. sample path) slučajnogprocesa {X t , t ∈ T }.Definicija 3.Konačnodimenzionalne distribucije slučajnog procesa {X t , t ∈ T } sudistribucije konačnodimenzionalnih slučajnih vektora (X t1 , . . . , X tn ), zasve moguće izbore t 1 , . . . , t n ∈ T i svaki n ∈ N.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadaciZadatak 1.Neka su X 1 , X 2 , . . . međusobno nezavisne Bernoullijeve slučajne varijable,tj.( ) 0 1X t =, p ∈ 〈0, 1〉, ∀t ∈ N.1 − p pFamilija {X t , t ∈ N} zove se Bernoullijev proces.a) Odredite skup stanja i skup indeksa Bernoullijevog procesa.b) Simulirajte i skicirajte jednu trajektoriju Bernoullijevog procesa.c) Odredite vjerojatnost pojavljivanja dijela trajektorije koju stesimulirali u zadatku b).

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 2.Neka su Z 1 , Z 2 , . . . nezavisne jednako distribuirane slučajne varijable sdistribucijom( ) −1 1Z t =, p ∈ 〈0, 1〉, ∀t ∈ N.1 − p pAko slučajne varijable X 0 , X 1 , . . . definiramo saX 0 = 0, X t =t∑Z i , t ∈ N,tada je familija slučajnih varijabli {X t , t ∈ N 0 } slučajni proces kojegzovemo jednostavna slučajna šetnja.a) Odredite skup stanja i skup indeksa jednostavne slučajne šetnje.b) Simulirajte i skicirajte jednu trajektoriju simetrične jednostavneslučajne šetnje (p = 1/2).c) Odredite jednodimenzionalnu distribuciju jednostavne slučajnešetnje, tj. odredite P(X t = k), k ∈ Z.i=1

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 3.Neka je {X t , t ∈ N 0 } jednostavna slučajna šetnja. Slučajni proces{X τ , τ ∈ T } je familija slučajnih varijabli X τ definiranih na sljedeći način:X τ = X t , τ ∈ [t, t + 1〉.a) Odredite skup stanja i skup indeksa slučajnog procesa {X τ , τ ∈ T }.b) Koristeći trajektoriju jednostavne slučajne šetnje simuliranu uzadatku 2. b) skicirajte trajektoriju slučajnog procesa {X τ , τ ∈ T }.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 4.Promotrimo slučajni proces {X t , t ∈ T } = {Y cos (kt), t ≥ 0} gdje jek ∈ R, a Y uniformna slučajna varijabla na intervalu 〈0, 1〉.a) Odredite skup stanja i skup indeksa slučajnog procesa {X t , t ∈ T }.b) Odredite jednodimenzionalnu distribuciju slučajnog procesaslučajnog procesa {X t , t ∈ T }.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesFunkcije izvodnice vjerojatnostiDefinicija 4.Neka je X diskretna slučajna varijabla s vrijednostima u skupu N 0 i nekaje njen zakon razdiobe zadan na sljedeći način:p k = P(X = k), k ∈ N 0 .Funkcija izvodnica vjerojatnosti slučajne varijable X je funkcija Gdefinirana saG X (s) = E [ s X ] ∞∑= s k p kza one s ∈ R za koje je E [ |s X | ] =k=0∞∑|s k |p k < ∞.k=0

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesNapomena 4.∞∑Budući je p k = 1 zaključujemo da za |s| ≤ 1 red iz prethodnek=0definicije apsolutno konvergira. Specijalno, vrijedi sljedeće:G X (0) = p 0 = P(X = 0),∑G X (1) = ∞ 1 k ∑p k = ∞ p k = 1.Napomena 5.k=0k=0Zbog apsolutne konvergencije red∞∑s k p k za |s| ≤ 1 možemo deriviratik=0član po član proizvoljno mnogo puta. Time dobivamo:G (k)X∞ (s) = ∑n(n − 1) · · · (n − k + 1)p n s n−k .n=kUvrštavanjem s = 0 u gornju k-tu derivaciju slijedi:p k = 1 k! · G (k) (0).

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesTeorem 1.Neka je X slučajna varijabla s funkcijom izvodnicom vjerojatnosti G X (s).Tada vrijedi:E[X ] = G ′ X (1),E[X (X − 1) . . . (X − k + 1)] = G (k)X (1).Var(X ) = G ′′X (1) + E[X ] − (E[X ])2 .Teorem 2.Neka su X 1 , . . . , X n nezavisne slučajne varijable koje poprimajunenegativne cjelobrojne vrijednosti te neka je S n =G Sn (s) =n∏G Xk (s).k=1n ∑k=1X k . Tada vrijedi:

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesTeorem 3.Neka su ∀n ∈ N cjelobrojne slučajne varijable Z, X 1 , . . . , X n nezavisne ineka su X k , k ∈ N jednako distribuirane. Stavimo:S 0 = 0, S Z = X 1 + X 2 + . . . + X Z =Z∑X k .k=1Tada vrijedi:G SZ (s) = G Z [G X1 (s)].

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesJednostavni proces granjanja (Galton-Watsonov proces)Populacija nekih jedinki započinje u trenutku n = 0 i sastoji se odjedne jedinke koju nazivamo predak - dakle, predak čini nultugeneraciju promatrane populacije.U trenutku n = 1 predak rađa neki broj potomaka, a sam nestaje izpopulacije - broj potomaka koji čine prvu generaciju promatranepopulacije modeliramo distribucijomZ ∼( 0 1 2 . . .p 0 p 1 p 2 . . .U trenutku n ∈ N svaka jedinka iz (n − 1)-ve generacije rađa nekibroj potomaka koji modeliramo distribucijom Z - svi potomci svihjedinki iz (n − 1)-ve generacije čine n-tu generaciju promatranepopulacije.).

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesFormalno, neka su {Z n,j , n ∈ N, j ∈ N} nezavisne jednakodistribuirane po distribuciji Z - broj potomaka j-te jedinke nastale u(n − 1)-oj generacijiAko sa X n , n ∈ N 0 , označimo slučajnu varijablu kojom je modeliranbroj jedinki koje čine n-tu generaciju promatrane populacije, onda je(X n , n ∈ N 0 ) slučajni proces sa skupom stanja S = N 0 i skupomindeksa T = N 0 - jednostavan proces grananja iliGalton-Watsonov proces, pri čemu je:X 0 = 1X 1 = Z 1,1X 2 =∑X1∑X 3 = X2.X n =..Z 2,kk=1Z 3,kk=1X∑n−1Z n,kk=1

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesNapomena 6.Neka je (X n , n ∈ N 0 ) jednostavan proces grananja te neka je G(s)funkcija izvodnica vjerojatnosti slučajne varijable X 1 , a G n (s) funkcijaizvodnica vjerojatnosti slučajne varijable X n , n ∈ {2, 3, . . .}. Tada vrijedi:G n (s) = G n−1 (G(s)) = G(G n−1 (s)).

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadaciZadatak 5.U jednostavnom procesu grananja slučajnom varijablom X n , n ∈ N,modeliran je broj jedinki u n-toj generaciji promatrane populacije. Nekaje E[X 1 ] = µ, µ ∈ R, te neka je Var(X 1 ) = σ 2 , σ 2 > 0. Pokažite da jeE[X n ] = µ n te da je⎧⎨ σ 2 (µ n − 1)µ n−1, µ ≠ 1Var(X n ) = µ − 1.⎩nσ 2 , µ = 1

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 6.Neka je u Bernoullijevom pokusu vjerojatnost realizacije uspjeha jednakap, p ∈ 〈0, 1〉. Slučajna varijabla X kojom je modeliran broj neuspjehaprije prvog pojavljivanja uspjeha pri nezavisnom ponavljanjuBernoullijevog pokusa je geometrijska slučajna varijabla s parametrom p izadana je zakonom razdiobePokažite da jeP(X = k) = (1 − p) k p, k ∈ N 0 .G X (s) =p1 − s(1 − p)funkcija izvodnica vjerojatnosti ove slučajne varijable.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 7.Pretpostavimo da u jednostavnom procesu grananja slučajna varijabla X 1ima geometrijsku distribuciju s parametrom p = 1 2. Pokažite da u tomslučaju promatrana populacija gotovo sigurno izumire, tj. da je( ∞)⋃P {X n = 0} = 1.n=1

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesEkvivalentna definicija:Definicija 6.Slučajni proces {X t , t ≥ 0} naziva se standardno Brownovo gibanje iliWienerov proces ako vrijedi:(i) {X t } je Gaussov proces,(ii) EX s = 0, ∀s i EX s X t = min{s, t},(iii) g.s., trajektorije t ↦→ X t su neprekidne.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesTrajektorija Brownovog gibanjaX t−0.5 0.0 0.5 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadaciZadatak 8.Pokažite da nezavisnost prirasta i svojstvo X t ∼ N (0, t) povlačistacionarnost prirasta, tj.X t+s − X td= Xs .

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 9.Slučajni proces čije su sve konačnodimenzionalne distribucijevišedimenzionalne Gaussove distribucije naziva se Gaussov proces.Pokažite da je Brownovo gibanje Gaussov proces.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 10.Provjerite je li geometrijsko Brownovo gibanje(e µt+σXt , t ≥ 0), µ ∈ R, σ < 0,Gaussov proces.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesPoissonov procesDefinicija 7.Slučajni proces {N t , t ≥ 0} je Poissonov proces s intenzitetom λ > 0 akovrijedi:(i) N 0 = 0,(ii) proces {N t , t ≥ 0} ima nezavisne priraste,(iii) broj događaja u bilo kojem intervalu duljine t modeliran je slučajnomvarijablom N t koja ima Poissonovu distribuciju s očekivanjem λt, tj.za sve s, t > 0 vrijedi:P(N s+t − N s = n) = e−λt (λt)n, n ∈ N 0 .n!

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesNapomena 8.Vrijednost slučajne varijable N t interpretiramo kao broj realizacijapromatranog događaja u svakom vremenskom intervalu duljine t (npr.broj klijenata banke koji su stali u red od početka promatranja pa sve dotrenutka t). Uočimo da treće svojstvo iz definicije znači da Poissonovproces ima stacionarne priraste.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesTrajektorija Poissonovog procesa λ = 2N t0 5 10 15 20●●●●●●●●●●●●●●●●0 1 2 3 4 5 6 7t

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesDefinicija 8.f (h)Ako je lim = 0, tada kažemo da je f (h) = o(h) za h → 0.h→0 hDefinicija 9.Slučajni proces {N t , t ≥ 0} je Poissonov proces s intenzitetom λ > 0 akovrijedi:(i) N 0 = 0,(ii) proces {N t , t ≥ 0} ima nezavisne i stacionarne priraste,(iii) P(N t ≥ 2) = o(t), t → 0,(iv) P(N t = 1) = λt + o(t), t → 0.Napomena 9.Ove dvije definicije Poissonovog procesa su ekvivalentne (pogledatipredavanja).

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadaciZadatak 11 (Međudolazna vremena).Neka je {N t , t ≥ 0} Poissonov proces s intenzitetom λ > 0. Promotrimoslučajni proces {X n , n ∈ N}, tj. niz slučajnih varijabli kojima modeliramovrijeme proteklo između (n − 1)-ve i n-te realizacije promatranogdogađaja. Pokažite da su slučajne varijable X n nezavisne ieksponencijalno distribuirane s parametrom λ.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 12 (Dolazna vremena).Slučajnom varijablomS n =n∑X i , i ∈ N,i=1modelirano je vrijeme čekanja do n-te realizacije promatranog događaja.Pokažite da slučajna varijabla S n ima gamma distribuciju s parametriman ∈ N i λ > 0, tj. da jef Sn (t) =λnΓ(n) e−λt t n−1 1 (0,∞) (t).

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 13.Pretpostavimo da ulazak inozemnih turista u zemlju u zračnoj lucimožemo modelirati Poissonovim procesom s dnevnim intenzitetom λ = 5.a) Odredito očekivano vrijeme čekanja (u danima) do ulaska desetogturista u zemlju.b) Izračunajte vjerojatnost da vremenski interval između ulaska desetogi jedanaestog turista u zemlju bude dulji od jednog dana.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 14.Pretpostavimo da dolazak klijenata u banku možemo modeliratiPoissonovim procesom {N(t), t ≥ 0} s intenzitetom λ > 0. Neka je pritome vjerojatnost da je klijent žena jednaka p ∈ 〈0, 1〉, a vjerojatnost daje klijent muškarac jednaka (1 − p). S N (1)t označimo slučajnu varijablukojom je modeliran broj žena, a s N (2)t slučajnu varijablu kojom jemodeliran broj muškaraca koji su ušli u banku do trenutka t. Brojklijenata u banci u trenutku t > 0 modeliran je slučajnom varijablomN t = N (1)t + N (2)t . Pokažite da su {N (1)t , t ≥ 0} i {N (2)t , t ≥ 0} nezavisniPoissonovi procesi s intenzitetima λ (1) = λp i λ (2) = λ(1 − p), redom.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 15.Broj imigranata u neku razvijenu zemlju na tjednoj bazi možemomodelirati Poissonovim procesom {N t , t ≥ 0} s intenzitetom λ = 10.Poznato je da je vjerojatnost da je imigrant mlađi od 20 godina jednaka1/12. Odredite vjerojatnost da tijekom 28-dnevnog razdoblja upromatranu zemlju ne imigrira nitko mlađi od dvadeset godina.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesSloženi Poissonov procesDefinicija 10.Složeni Poissonov proces je slučajni proces {X t , t ≥ 0} gdje je∑N tX t = Y i , t ≥ 0,i=1gdje je {N t , t ≥ 0} Poissonov proces s intenzitetom λ > 0, a{Y n , n ∈ N} familija nezavisnih jednako distribuiranih slučajnih varijablinezavisna od Poissonovog procesa {N t , t ≥ 0}.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesTrajektorija složenog Poissonovog procesa λ = 2N t−10 −5 0 5 10●●●●●●●●●●●●●●●●0 1 2 3 4 5 6 7tSkokovi diskretna uniformna na −2,−1,1,2

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 16.Pretpostavimo da migracije cijelih obitelji u određeno područje na tjednojbazi možemo modelirati Poissonovim procesom s intenzitetom λ = 2.Neka je broj članova svake obitelji modeliran nezavisnim slučajnimvarijablama s distribucijom( 1 2 3 41/6 1/3 1/3 1/6Odredite očekivanje slučajne varijable kojom je modeliran broj migranatau promatrano područje na kraju petotjednog razdoblja.).

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesNehomogeni Poissonov procesDefinicija 11.Slučajni proces {N t , t ≥ 0} je nehomogeni Poissonov proces s funkcijomintenziteta λ(t), t ≥ 0 ako vrijedi:(i) N 0 = 0,(ii) proces {N t , t ≥ 0} ima nezavisne priraste,(iii) za 0 ≤ s < t jeNapomena 10.(∫ t)N t − N s ∼ P λ(u)du .sAko je λ(t) = λ onda dobijemo standardni (homogeni) Poissonov proces.Nehomogeni Poissonov proces nema stacionarne priraste.

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 17.Trgovina se otvara ujutro u 8 sati i zatvara u 17 sati. Od 8 do 11 kupcidolaze u prosjeku s intenzitetom koji linearno raste od 5 kupaca po satuu 8 ujutro do 20 kupaca po satu u 11 sati. Od 11 do 13 sati intenzitet jekonstantan i jednak 20 kupaca po satu. Od 13 do 17 sati intenzitetlinearno pada i u 17 sati je jednak 12 kupaca po satu. Pretpostavimo daje broj kupaca u disjunktnim vremenskim periodima nezavisan.a) Kolika je vjerojatnost da nema kupaca od 8:30 do 9:30?b) Koji je očekivani broj kupaca u periodu od 10 do 12 sati?

Uvod Jednostavni proces grananja Brownovo gibanje Poissonov procesZadatak 18.Igrate sljedeću igru: loptice ispadaju iz kutije po Poissonovom procesu s intezitetom 6loptica po minuti i tako sve do kraja pete minute (5 : 00) kada igra završava. Cilj igreje pogoditi koja je loptica posljednja na osnovu jednog pokušaja. Preciznije, utrenutku kad loptica ispadne iz kutije možete reći "Posljednja!" ili šutjeti. Za trajanjaigre imate pravo samo jednom reći "Posljednja!". Ako nakon toga više ne ispadne nitijedna loptica, pobijedili ste. Ako nakon toga ispadne još loptica, izgubili ste. Ako igraistekne i niste ni jednom rekli "Posljednja!", onda ste izgubili.Strategija je sljedeća: reći ćete "Posljednja!" u trenutku kad iz kutije ispadne prvaloptica nakon trenutka s.(a) Odredite vjerojatnost pobjede u igri ako je s = 4 : 30.(b) Odredite s tako da vjerojatnost uspjeha bude maksimalna i odredite tuvjerojatnost.(c) Ako je prva loptica ispala iz kutije u 15-toj sekundi, kolika je vjerojatnost da drugane ispadne do 35-te sekunde.(d) Ako pretpostavimo da loptice mogu biti crvene i crne, te da su crvene dvostrukovjerojatnije, definirajte slučajni proces koji broji crvene loptice i odreditevjerojatnost da u prvoj minuti ne ispadne niti jedna crvena loptica.(e) Opet pretpostavimo da su loptice crvene i crne, te da su crvene dvostrukovjerojatnije. Neka su dodatno na lopticama ispisane vrijednosti 1, 2, 3, svi jednakovjerojatni. Crne loptice nose duple bodova od ispisane vrijednosti. Odredite proceskoji broji bodove i izračunajte očekivani broj bodova u 5 minuta.