Pomoćni materijali za drugi kolokvij

Sveučilište J.J. Strossmayera u OsijekuGradevinski fakultetPOMOĆNI MATERIJALI ZA DRUGI KOLOKVIJ IZ PRIMIJENJENE STATISTIKEProcjena nepoznatih parametara pouzdanim intervalimaProcjena očekivanja slučajne varijable pouzdanim intervalom[x n − z γσ √n , x n + z γσ √n]x n — aritmetička sredina uzorka,σ — standardna devijacija slučajne varijable,z γ — broj za koji vrijedi da je P {|Z| ≤ z γ } = γ,Z — standardna normalna slučajna varijabla.Procjena vjerojatnosti realizacije slučajne varijable pouzdanim intervalom[√ √ ]ˆpˆq ˆpˆqˆp − z γn , ˆp + z γnˆp — relativna frekvencija jedinice (uspjeha) u uzorku,ˆq — relativna frekvencija nula (neuspjeha) u uzorku, ˆq = 1 − ˆp,z γ — broj za koji vrijedi P {|Z| ≤ z γ } = γ,Z — standardna normalna slučajna varijabla.

Statistički testovi - zaključivanje o jednoj varijabliTestiranje hipoteza o očekivanju za velike uzorkeNul-hipoteza:Test statistika:H 0 : µ = µ 0ẑ = x n − µ 0σ/ √ nOvdje je n dimenzija uzorka, x n aritmetička sredina uzorka, a σ standardna devijacija.Vrijednost ẑ je realizacija test statistike Z ′ koja u slučaju velikih uzoraka i u uvjetimaistinitosti nul-hipoteze ima približno standardnu normalnu distribuciju.Testiranje hipoteza o očekivanju za male uzorkeNul-hipoteza:Test statistika:H 0 : µ = µ 0̂t = x n − µ 0s n / √ nOvdje je n dimenzija uzorka, x n aritmetička sredina uzorka, a s n standardna devijacijauzorka. Vrijednost ̂t je realizacija test statistike T ′ koja u uvjetima istinitosti nul-hipotezeima Studentovu distribuciju s (n−1) stupnjeva slobode (oznaka za broj stupnjeva slobodeu Statistici je df, od. eng. degrees of freedom).Testiranje hipoteza o vjerojatnosti za velike uzorkeNul-hipoteza:Test statistika:H 0 : p = p 0ẑ = ˆp − p 0√p 0(1−p 0)nOvdje je n dimenzija uzorka, a ˆp relativna frekvencija realizacija dogadaja od interesa (tj.”uspjeha”). Vrijednost ẑ je realizacija test statistike Z ′ koja u slučaju velikih uzoraka iu uvjetima istinitosti nul-hipoteze ima približno standardnu normalnu distribuciju.

Statistički testovi - zaključivanje o dvije varijableUsporedba očekivanja - veliki nevezani uzorciNul-hipoteza:Test statistika:H 0 : µ 1 − µ 2 = 0ẑ = x n 1− x√n2σ 2 1n 1+ σ2 2n 2Ovdje su n 1 i n 2 dimenzije uzoraka iz nevezanih tretmana, x n1 i x n2 su redom aritmetičkesredine uzoraka dimenzija n 1 i n 2 , a σ 1 i σ 2 poznate standardne devijacije uzoraka.Vrijednost ẑ je realizacija test statistike Z ′ koja u slučaju velikih uzoraka i u uvjetimaistinitosti nul-hipoteze ima približno standardnu normalnu distribuciju.Usporedba očekivanja - mali nevezani uzorciNul-hipoteza:Test statistika:H 0 : µ 1 − µ 2 = 0̂t =x n 1− x√n21s pn 1+ 1 n 2s 2 p = (n 1 − 1)s 2 n 1+ (n 2 − 1)s 2 n 2n 1 + n 2 − 2Ovdje su n 1 i n 2 dimenzije uzoraka iz nevezanih tretmana, x n1 i x n2 su redom aritmetičkesredine uzoraka dimenzija n 1 i n 2 , a s n1 i s n2 procjene standardnih devijacija σ 1 i σ 2u pojedinim tretmanima. Vrijednost ̂t je realizacija test statistike T ′ koja u uvjetimaistinitosti nul-hipoteze ima približno Studentovu t-distribuciju s (n 1 + n 2 − 2) stupnjevaslobode.Usporedba varijanci - F-testNul-hipoteza:Test statistika:H 0 : σ 2 1 = σ 2 2̂v = s2 n 1s 2 n 2Ovdje su s 2 1 i s 2 2 procjene varijanci σ 2 1 i σ 2 2. Vrijednost ̂v je realizacija test statistike Vkoja u uvjetima istinitosti nul-hipoteze ima F distribuciju s (n 1 − 1) i (n 2 − 1) stupnjevaslobode.

Usporedba proporcija u velikim uzorcimaNul-hipoteza:Test statistika:H 0 : p 1 − p 2 = 0ˆp 1 − ˆp 2ẑ = √ˆp(1 − ˆp)( 1 n 1+ 1 n 2)ˆp = n 1 ˆp 1 + n 2 ˆp 2n 1 + n 2Ovdje su n 1 i n 2 dimenzije uzoraka iz dviju promatranih populacija, a ˆp 1 i ˆp 2 proporcijerealizacija dogadaja od interesa u prvom i drugom uzorku, redom. Vrijednost ẑ je realizacijatest statistike Z ′ koja u slučaju velikih uzoraka i u uvjetima istinitosti nul-hipotezeima približno standardnu normalnu distribuciju.