Z48: Algebra liniowa Zagadnienie: Rozkłady macierzy LU ... - Sage

Z48: Algebra liniowa
Zagadnienie: Rozkłady macierzy LU, RU, SVD
Zadanie: Rozkład QR.
Rozkład QR
Rozkład QR macierzy kwadratowej A polega na tym aby macierz A zapisać
w postaci iloczynu QR, gdzie macierz Q jest macierzą ortogonalną, a R
jest macierzą trójkątną górną. Przypominamy, że macierz Q o wyrazach rzeczywistych
nazywamy ortogonalną, jeżeli spełnia warunek QQ T = I. Macierze
ortogonalne są macierzami izometrii liniowych. Gdy det Q = 1, to Q jest
obrotem, a gdy det Q = −1 można je zapisać jako złożenie obrotu i odbicia
symetrycznego (w R 3 symetrii względem płaszczyzny). W praktyce należy
dobrać ciąg możliwie prostych przekształceń ortogonalnych Q 1 , Q 2 , . . . , Q k
takich , że
Q k Q k−1 . . . Q 1 A
jest macierzą trójkątną górną. W kolejnych przekształceniach tak dobieramy
macierz Q i aby zwiększać ilość zer pod przekątną w stosunku do poprzedniej
macierzy. Rozkład QR można uzyskać stosując różne algorytmy zależne od
wyboru przekształceń Q i . Jeżeli założymy, że macierz A jest nieosobliwa i że
na przekątnej macierzy R są wyrazy dodatnie, to rozkład jest jednoznaczny,
a więc nie zależy od wyboru algorytmu. Podobne przedstawienie można
uzyskać dla macierzy A o wyrazach zespolonych, ale wtedy o macierzy Q
zakładamy, że jest macierzą unitarną.
Metoda Grama-Schmidta
Jeden ze sposobów uzyskania rozkładu QR oparty jest na metodzie ortogonalizacji
Grama-Schmidta używanej tradycyjnie do tworzenia bazy ortogonalnej
startując z dowolnej bazy. Niech A = [a 1 , · · · , a n ]. Definiujemy
rekurencyjnie ciągi (u i ) oraz (y i )
dla k = 2, . . . , n. Wtedy
u 1 = a 1 , y 1 = u 1
‖u 1 ‖ ,
k−1
u k = a k ∑
− 〈y j , a j 〉 y j , y k = u k
‖u k ‖
j=1
k∑
a k = 〈y j , y k 〉y j
j=1
1

dla k = 1, . . . , n oraz A = QR, gdzie Q = [y 1 , · · · , y n ] oraz
⎡
R = ⎢
⎣
〈y 1 , a 1 〉 〈y 1 , a 2 〉 . . . 〈y 1 , a n 〉
0 〈y 2 , a 2 〉 . . . 〈y 2 , a n 〉
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 〈y n , a n 〉
⎤
⎥
⎦ .
2