Niezmienniki relatywistyczne i ich wykorzystanie w opisie ... - Sage
Niezmienniki relatywistyczne i ich wykorzystanie w opisie ... - Sage
Niezmienniki relatywistyczne i ich wykorzystanie w opisie ... - Sage
- No tags were found...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Niezmienniki</strong> <strong>relatywistyczne</strong> i <strong>ich</strong> <strong>wykorzystanie</strong><br />
w <strong>opisie</strong> zjawisk fizycznych<br />
Henryk Czyż<br />
29 listopada 2011<br />
1 Wprowadzenie<br />
Konstrukcja niezmienników relatywistycznych jako kontrakcji tensorów dowolnego<br />
rzędu pozwala nie tylko na przejrzysty opis zjawisk fizycznych, ale ułatwia<br />
rozwiązanie wielu problemów fizycznych. Weźmy przykład cząstki elementarnej<br />
o masie spoczynkowej m i czteropędzie p<br />
p µ = (E/c, p) , (1)<br />
gdzie E jest energią cząstki p jej pędem a c prędkością światła.<br />
Wiedząc, że p µ jest czterowektorem (kontrawariantnym) możemy skonstuować<br />
odpowiadający mu wektor kowariantny<br />
p µ = g µν p ν = (E/c, −p) . (2)<br />
Gdzie tensor metryczny w przestrzeni Minkowskiego jakiej używamy do opisu<br />
zjawisk fizycznych ma postać<br />
g µν =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
0 −1 0 0<br />
0 0 −1 0<br />
0 0 0 −1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ . (3)<br />
Niezmiennik p 2 ≡ p µ p µ można wyrazić przez masą m cząstki elementarnej<br />
p 2 = m 2 c 2 , (4)<br />
który wyraża związek między energią, pędem i masą cząstki elementarnej<br />
E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 . (5)<br />
1
Związek (4) mówi też, że masa ma taką samą wartość w każdym układzie<br />
odniesienia (nie będziemy w tym wykładzie używać pojęcia masy <strong>relatywistyczne</strong>j<br />
(m r ), której użył Einstein w słynnym wzorze E = m r c 2 ).<br />
Pamiętając o związku prędkości, oznaczonej przez v z energią i pędem cząstki<br />
dostajemy<br />
v = c 2 p E = p<br />
c2 √<br />
p2 c 2 + m 2 c . (6)<br />
4<br />
Widać stąd, że długość prędkości<br />
c|p|<br />
|v| = c√ (7)<br />
p2 c 2 + m 2 c 4<br />
nie może przekroczyć prędkości światła c.<br />
Musimy tu nawiązać do ważnego dla całej fizyki pomiaru prędkości neutrin<br />
lecących z laboratorium CERN w Szwajcarii do laboratorium Gran Sasso<br />
we Włoszech [1]. Wynik pomiaru wykazuje, że neutrina poruszają się szybciej<br />
niż światło. Gdyby ten pomiar został potwierdzony musielibyśmy zmienić wiele<br />
w naszym <strong>opisie</strong> zjawisk fizycznych. Pomiar ten mimo koncepcyjnej prostoty -<br />
mierzymy odległość i czas przelotu neutrin i stąd wyznaczamy <strong>ich</strong> prędkość -<br />
jest jednak bardzo trudny pod wzgędem technicznym i wymagał zastosowania<br />
wielu skomplikowanych technik eksperymentalnych (m. in. konieczna jest bardzo<br />
dokładna synchronizacja zegarów używanych w obydwu laboratoriach). W<br />
związku z tym, by można było uwierzyć w wyniki tego eksperymentu konieczny<br />
jest niezależny pomiar przez inną grupę badawczą.<br />
Najprostszy sposób w jaki można otrzymać prędkości większe od prędkości<br />
światła nie wychodząc poza szczególna teorię względności to dopuszczenie, że<br />
masa cząstki może być liczbą zespoloną (urojoną). Wtedy m 2 < 0 i |v| > c.<br />
Takie koncepcje pojawiły się o wiele wcześniej niż pomiar kolaboracji OPERA,<br />
zaś cząstki o takiej własności nazywamy tachionami. Tego typu rozszerzenie<br />
pojęcia masy prowadzi jednak do poważnych problemów przy konstrukcji teorii<br />
oddziaływania cząstek elementarnych, które do teraz nie zostały pomyślnie<br />
rozwiązane.<br />
2 Rozpad β jąder i hipoteza istnienia neutrina<br />
W oparciu o dane eksperymentalne z rozpadów β jąder, i proste wyliczenia kinematyczne<br />
z użyciem niezmienników realtywistycznych Wolfgang Pauli w roku<br />
1930 zapostulował istnienie cząstki, która została nazwana neutrino. Prześledzimy<br />
tutaj jego tok rozumowania.<br />
Rozpad β jąder to proces<br />
A<br />
ZX → A Z−1 Y + e − + ¯ν e (8)<br />
2
zmiany jednego typu jąder w inne o tej samej liczbie atomowej A i ładunku różnym<br />
o 1. Dodatkowo następuje emisja elektronu i antyneutrina elektronowego.<br />
Tyle wiemy dzisiaj, ale problem polega na tym, że w większości prowadzonych<br />
eksperymentów mierzymy tylko energię elektronu. Neutrino tak słabo oddziaływuje<br />
z materią, że nie jesteśmy go w stanie zarejestrować bez dedykowanych<br />
temu bardzo skomplikowanych urządzeń pomiarowych, które nie istniały w czasach<br />
Pauliego. Nie jesteśmy też w stanie zmierzyć energii powstającego jądra<br />
A<br />
Z−1<br />
Y bo nie wylatuje ono z radioaktywnego źródła, którego używamy. Skąd<br />
więc wiemy, że powstaje tam cząstka unosząca część energii jeśli nie jesteśmy w<br />
stanie tej energii zmierzyć Rozpatrzmy dwa przykłady: pierwszy z rozpadem<br />
cząstki o masie M na dwie cząstki o masach m 1 i m 2 drugi z rozpadem cząstki<br />
o masie M na trzy cząstki o masach m 1 , m 2 i m 3 . Postaramy się zobaczyć,<br />
czy z pomiaru energii dla jednej cząstki w stanie końcowym jesteśmy w stanie<br />
wiedzieć na ile cząstek rozpadła się cząstka o masie M.<br />
Kluczowe do rozwiązania tego problemu jest znalezienie ilości niezależnych<br />
niezmienników, ktore możemy skonstruować w każdym z tych przypadków, bo<br />
cały process możemy opisać używając takiej samej ilości zmiennych. Oznaczmy<br />
czteropędy cząstek uczestniczących w tych procesach przez p (czteropęd cząstki<br />
rozpadającej się) oraz p 1 , p 2 (p 3 ) ( czteropędy cząstek powstających w rozpadzie).<br />
Wykorzystamy tutaj zasadę zachowania czteropędu<br />
dla rozpadu na dwie cząstki oraz<br />
p = p 1 + p 2 (9)<br />
p = p 1 + p 2 + p 3 (10)<br />
dla rozpadu na trzy cząstki.<br />
W pierwszym przypadku z 6-ciu niezmienników (p 2 ,p 2 1,p 2 2,p · p 1 ,p · p 2 ,p 1 · p 2 )<br />
tylko trzy są niezależne, bo z równania (9) możemy otrzymać 3 niezależne<br />
związki między niezmiennikami mnożąc to równanie przez wszystkie (3) dostępne<br />
czteropędy. W przypadku rozpadu na trzy cząstki z 10-ciu niezmienników<br />
6 jest niezależnych bo jesteśmy w stanie dostać tylko cztery niezależne związki<br />
między nimi mnożąc równanie (10) przez wszystkie cztery dostępne czteropędy.<br />
Zatem dla przypadku rozpadu na dwie cząstki wszystkie wielkości kinematyczne<br />
( w tym energie ) powinniśmy być w stanie wyrazić poprzez masy cząstek<br />
uczestniczących w rozpadzie (patrz (4). Zrobimy to poniżej.<br />
Rozpad cząstki na dwie cząstki:<br />
Chcemy wyznaczyć energie dwóch cząstek po rozpadzie przy zadanych masach<br />
cząstki ulegającej rozpadowi (M) i cząstek na jakie się rozpada (m 1 , m 2 ).<br />
W tym celu definiujemy dla każdej z cząstek czterowektor pędu:<br />
P = (E/c, ⃗p)<br />
P 1 = (E 1 /c, ⃗p 1 )<br />
P 2 = (E 2 /c, ⃗p 2 )<br />
oraz korzystamy z zasady zachowania energii:<br />
E = E 1 + E 2<br />
3
i zasady zachowania pędu:<br />
⃗p = ⃗p 1 + ⃗p 2<br />
Ponadto z naszego układu równań możemy od razu wyeliminować jedną ze<br />
zmiennych rozpatrując rozpad w układzie środka masy, gdzie cząstka rozpadająca<br />
się M znajduje się w spoczynku, stąd:<br />
P = (E/c,⃗0)<br />
oraz<br />
⃗0 = ⃗p 1 + ⃗p 2 ⇒ ⃗p 1 = − ⃗p 2<br />
Zdefiniujmy to wszystko w środowisku sage’a: (worksheet rozpad2.sws zawiera<br />
ten przykład)<br />
var("c, M, m1, m2, E, E1, E2, p, p1, p2, P, P1, P2, BB, EE, N1, N2")<br />
Pv = vector([E/c, p])<br />
P1v = vector([E1/c, p1])<br />
P2v = vector([E2/c, p2])<br />
energia = E == E1+E2 #zachowanie energii<br />
ped = p == p1+p2 #zachowanie pędu<br />
p0 = p == 0<br />
#układ środka masy<br />
p2 = (solve(ped, p2)[0]).subs(p0)<br />
show(p2)<br />
p 2 = −p 1 (11)<br />
Korzystając z zależności:<br />
E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4<br />
i z wcześniej zdefiniowanych czterowektorów pędu wyznaczamy niezmienniki<br />
rozpadu:<br />
( ) ( )<br />
P P = g αβ P α P β = P gP T 1 0 E/c<br />
= (E/c,⃗0)<br />
0 −1 ⃗0<br />
( ) E<br />
= (E/c,⃗0) = (E/c)<br />
⃗0<br />
2 = M 2 c 2 (12)<br />
(<br />
P i P i = g αβ Pi α P β i = P i gPi T 1 0<br />
= (E i /c, ⃗p i )<br />
0 −1<br />
= (E i /c, −⃗p i )<br />
) (<br />
Ei /c<br />
⃗p i<br />
)<br />
(<br />
Ei /c<br />
⃗p i<br />
)<br />
= (E i /c) 2 − p 2 i = m 2 i c 2 i = 1, 2 (13)<br />
metryka = matrix(2, 2, [1, 0, 0, -1])<br />
PP = P*P == (Pv*metryka*Pv.column())[0]<br />
PP = PP.subs(p0)<br />
PPa = P*P == M^2*c^2<br />
P1P1 = P1*P1 == (P1v*metryka*P1v.column())[0]<br />
P1P1a = P1*P1 == m1^2*c^2<br />
4
P2P2 = P2*P2 == (P2v*metryka*P2v.column())[0]<br />
P2P2 = P2P2.subs(p2)<br />
P2P2a = P2*P2 == m2^2*c^2<br />
PP1 = P*P1 == (Pv*metryka*P1v.column())[0]<br />
PP1 = PP1.subs(p0)<br />
PP2 = P*P2 == (Pv*metryka*P2v.column())[0]<br />
PP2 = PP2.subs(p0)<br />
P1P2 = P1*P2 == (P1v*metryka*P2v.column())[0]<br />
P1P2 = P1P2.subs(p2)<br />
co pozwala na wyznaczenie związku między energiami<br />
r1 = (energia^2).full_simplify()<br />
show(r1)<br />
E 2 = E 2 1 + 2 E 1 E 2 + E 2 2 (14)<br />
i pamiętając, że całe obliczenia prowadzimy w układzie spoczynkowym cząstki<br />
rozpadającej się<br />
r1 = r1.subs(solve(PP, E)[0])<br />
r1 = r1.subs(solve(PPa, P)[0])<br />
pom = sqrt(r1.rhs()) == sqrt(r1.lhs())<br />
assume(M>0)<br />
pom = pom.full_simplify()<br />
show(pom)<br />
dostajemy<br />
E 1 + E 2 = Mc 2 (15)<br />
Pozostało nam znaleźć drugi związek między energiami E 1 i E 2<br />
r2 = ((P1P1 - P2P2)).full_simplify()<br />
show(r2)<br />
r2 = r2.subs(P1P1a)<br />
r2 = ((r2.subs(P2P2a)).divide_both_sides(1/c^2)).full_simplify()<br />
show(r2)<br />
c 4 m 2 1 − c 4 m 2 2 = E 2 1 − E 2 2 (16)<br />
Rozwiązujemy te równania ((15) i (16)) korzystając z narzędzi sage’a<br />
rozwiazania = solve([pom,r2],E1,E2)<br />
show(rozwiazania)<br />
5
[[<br />
E 1 = M 2 c 2 + c 2 m 2 1 − c 2 m 2 2<br />
, E 2 = M 2 c 2 − c 2 m 2 1 + c 2 m 2 ]]<br />
2<br />
. (17)<br />
2 M<br />
2 M<br />
Z rozwiązań (17) można zobaczyć, że dla naszego przypadku domniemanego<br />
rozpadu jądra na dwie cząstki energia elektronu powinna się wyrażać przez masy<br />
jąder i masę elektronu a zatem powinna przyjmować tylko jedną wartość. W eksperymentach<br />
obserwowano jednak ciągły rozkład energii elektronu a nie jedną<br />
wartość, co pozwala wnioskować, że w procesie rozpadu powstaje więcej niż dwie<br />
cząstki. Już dla trzech cząstek mamy 6 niezależnych wielkości i prócz 4 mas cząstek<br />
możemy wybrać energie dwóch cząstek końcowych jako niezależne zmienne.<br />
Oczywiście mając tylko do dyspozycji informację o rozkładzie energii elektronu<br />
nie wiemy ile dokładnie powstaje cząstek, ale zwykle najprostsze założenia (w<br />
tym przypadku 3 cząstki) sprawdzają sie bardzo dobrze. Pauli mógł oczywiście<br />
przyjąć, tak jak sugerowali inni fizycy, że obserwacja świadczy o niezachowaniu<br />
energii i/lub pędu, bo z n<strong>ich</strong> wynikają wyprowadzone przez nas związki, ale<br />
wtedy pewnie w mojej dyskusji pojawiłoby się inne nazwisko.<br />
Problem na ćwiczenia:<br />
Znaleźć graficznie na płaszczyźnie E 1 − E 2 dopuszczalne wartości obydwu<br />
energii.<br />
Wskazówka: Rozpatrzeć cały proces w układzie spoczynkowym cząstki rozpadającej<br />
się. Rozpatrzeć ograniczenia na energię wynikających ze związków<br />
enerii, pędu i masy oraz zasady zachowania energii. Z zasady zachowania pędu<br />
można znaleźć związek między cosinusem kąta między pędami p 1 i p 2 a energiami:<br />
cos (a) = M 2 c 4 + c 4 m 2 1 + c 4 m 2 2 − c 4 m 2 3 − 2 ( E 1 c 2 + E 2 c 2) M + 2 E 1 E 2<br />
2 √ −c 4 m 2 2 + E2 2√<br />
−c4 m 2 1 + E2 1<br />
(18)<br />
Jeden sposób rozwiązania postawionego problemu znajduje się w worksheetcie<br />
rozpad3.sws, gdzie zakres dopuszczalnych wartości energii znaleziono numerycznie.<br />
3 Konstrukcja funkcji Lagrange’a dla elektrodynamiki<br />
Chcąc znaleźć funkcję Lagrange’a opisującą pole elektromagnetyczne - lagrangian<br />
elektrodynamiki - szukamy jej w postaci niezmienniczej względem grupy<br />
Lorentza. Zajmiemy się tutaj częścią lagrangianu opisującą same pole elektromagnetyczne.<br />
Równania ruchu jakie dostaniemy nie powinny być oczywiście niczym<br />
innym niż równaniami Maxwella, ale zobaczymy poniżej, że bardzo proste<br />
argumenty nie pozwalają na zbudowanie teorii różnej od tej opisywanej równaniami<br />
Maxwella. Do opisu używamy czteropotencjału zbudowanego z potencjału<br />
skalarnego i wektorowego<br />
6
A µ = (φ/c, A) , (19)<br />
który jest zwązany z polami elektrycznym E i magnetycznym B poprzez<br />
B = rot(A) , E = −grad(φ) − ∂A<br />
∂t . (20)<br />
Zauważmy od razu, że dwa z czterech równań Maxwella są spełnione automatycznie:<br />
rotE + ∂B<br />
∂t = 0<br />
divB = 0 . (21)<br />
Zatem używając do opisu czteropotencjału A µ razem ze związkami (20) nie<br />
musimy pamiętać o równaniach (21).<br />
Budując lagrangian oddziaływania pola elektromagnetycznego z ładunkami<br />
używaliśmy tensora pola elektromagnetycznego<br />
F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ . (22)<br />
Razem z tensorem metrycznym g µν i tensorem Levi-Civita ɛ µναβ są to wszystkie<br />
wielkości z których możemy zbudować niezmienniczy relatywistycznie lagrangian<br />
poprzez kontrakcję tensorów i czterowektorów. Wyższych pochodnych<br />
pól niż pierwsze nie używamy do konstrukcji lagrangianu z tak<strong>ich</strong> samych powodów,<br />
dla których wcześniej lagrangian nie zależał od przyśpieszenia. Część<br />
lagrangianu, którą teraz konstruujemy nie może zależeć też w jawny sposób ani<br />
od czteropołożenia ani od czteroprędkości bo wtedy uległyby zmianie równania,<br />
które wyprowadziliśmy wcześniej, opisujące oddziaływanie pola elektromagnetycznego<br />
z prądami. Możliwe niezmienniki to Ñ1 = F µν F µν , Ñ2 = ɛ µναβ F µν F αβ ,<br />
Ñ 3 = A µ A µ i oczywiście każda funkcja tych niezmienników. Jednak gdy chcemy<br />
by w naszej teorii była zasada superpozycji pól, co oznacza liniowe równania<br />
pola nie możemy mieć w lagrangianie wyższych potęg pól niż druga, zostają<br />
więc do dyspozycji tylko te trzy niezmienniki. Uważny czytelnik zauważy, że<br />
mogliśmy jeszcze skonstruować niezależny tensor symetryczny ∂ µ A ν + ∂ ν A µ i<br />
użyć go do konstrukcji niezmienników. Dlaczego go nie używamy i dlaczego wyrzucimy<br />
z dalszych rozważań niezmiennik Ñ3 wyjaśnimy dopiero gdy będziemy<br />
omawiać prawa zachowania. Wyprzedzając fakty powiemy teraz tylko, że gdybyśmy<br />
<strong>ich</strong> użyli do konstrukcji lagrangianu nie mielibyśmy prawa zachowania<br />
ładunku elektrycznego.<br />
Zostały nam zatem niezmienniki Ñ 1 i Ñ 2 . Wyraźmy je na początek poprzez<br />
natężenia pól elektrycznego i magnetycznego. By się nie zanudzić mnożeniem<br />
macierzy zróbmy to w sagu. Zdefiniujmy na początek tensory F i g o składowych<br />
kontrawariantnych<br />
7
var(’E1,E2,E3,c,B1,B2,B3’)<br />
F = matrix(4,[0,-E1/c,-E2/c,-E3/c,E1/c,0,-B3,B2,E2/c,B3,0,-B1,E3/c,-B2,B1,0])<br />
g = matrix(4,[1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1])<br />
show(F)<br />
show(g)<br />
F µν =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 − E1<br />
c<br />
− E2<br />
c<br />
− E3<br />
c<br />
E 1<br />
c<br />
0 −B 3 B 2<br />
E 2<br />
c<br />
B 3 0 −B 1<br />
E 3<br />
c<br />
−B 2 B 1 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ , g µν =<br />
oraz tensor F o składowych kowariantnych<br />
FT =g*F*g<br />
show(FT)<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
0 −1 0 0<br />
0 0 −1 0<br />
0 0 0 −1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ (23)<br />
F µν = g µα g νβ F αβ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
E 1 E 2 E 3<br />
c c c<br />
0<br />
− E1<br />
c<br />
0 −B 3 B 2<br />
− E2<br />
c<br />
B 3 0 −B 1<br />
− E3<br />
c<br />
−B 2 B 1 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ . (24)<br />
Zauważając, że N 1 jest po prostu śledem iloczynu tensora F µν i transpozycji<br />
tensora F µν , który jest antysymetryczny, dostajemy<br />
inv1 = (-F*FT).trace()<br />
show(inv1)<br />
Ñ 1 = 2 B 2 1 + 2 B 2 2 + 2 B 2 3 − 2 E2 1<br />
c 2 − 2 E2 2<br />
c 2 − 2 E2 3<br />
c 2 . (25)<br />
By dostać drugi z niezmienników zdefiniujmy w sagu tensor Levi-Civity o<br />
wskaźnikach kontrawariantnych:<br />
def eps(i1,i2,i3,i4):<br />
if i1==i2 or i1==i3 or i1==i4 or i2==i3 or i2==i4 or i3==i4:<br />
return 0<br />
else:<br />
if (i1==0 and i2==1 and i3==2 and i4==3) or (i1==0 and i2==2 and i3==3 and i4==1) or<br />
return 1<br />
else:<br />
return -1<br />
i pomnóżmy go przez tensor F µν by otrzymać drugi z niezmienników<br />
8
inv2 = 0<br />
for l1 in range(0,4):<br />
for l2 in range(0,4):<br />
for l3 in range(0,4):<br />
for l4 in range(0,4):<br />
inv2=inv2+eps(l1,l2,l3,l4)*FT[l1,l2]*FT[l3,l4]<br />
show(inv2)<br />
Ñ 2 = − 8 B 1E 1<br />
c<br />
− 8 B 2E 2<br />
c<br />
− 8 B 3E 3<br />
c<br />
By nie pisać zbyt wielu stałych przedefiniujmy te niezmienniki<br />
inv1p = inv1/2<br />
inv2p = (-inv2/8*c).full_simplify()<br />
show(inv1p)<br />
show(inv2p)<br />
. (26)<br />
N 1 = B 2 1 + B 2 2 + B 2 3 − E2 1<br />
c 2 − E2 2<br />
c 2 − E2 3<br />
c 2 , N 2 = B 1 E 1 + B 2 E 2 + B 3 E 3 (27)<br />
lub krócej<br />
N 1 = B 2 − E 2 /c 2 , N 2 = B · E . (28)<br />
Zauważmy tutaj, że N 2 można zapisać jako pochodną zupełną<br />
Ñ 2 = ɛ µναβ F µν F αβ<br />
= 4ɛ µναβ [∂ µ A ν ∂ α A β + A ν ∂ µ ∂ α A β ]<br />
= 4∂ µ<br />
[<br />
ɛ µναβ A ν ∂ α A β<br />
]<br />
, (29)<br />
gdzie w drugiej linii dodaliśmy zero (drugi człon w nawiasie). Jak wiadomo<br />
dodanie pochodnej zupełnej do lagrangianu nie zmienia równań ruchu, więc do<br />
zbudowania lagrangianu został nam tylko niezmiennik N 1 . Zajmiemy się tym<br />
później.<br />
Teraz zobaczmy jakie wnioski możemy wyciągnąć z wiedzy, że N 1 i N 2 są<br />
niezmiennikami relatywistycznymi:<br />
• Jeżeli pola E i B są prostopadłe w jakimś wybranym układzie odniesienia<br />
(N 2 = 0) to są prostopadłe w każdym układzie odniesienia<br />
• Jeżeli |E/c| > |B| w jakimś wybranym układzie odniesienia (N 1 < 0) to<br />
jest to prawdziwe w każdym układzie odniesienia<br />
9
• Jeżeli pola E i B nie są prostopadłe w jakimś wybranym układzie odniesienia<br />
(N 2 ≠ 0) to można znaleźć układ odniesienia, w którym są one<br />
równoległe (lub antyrównoległe)<br />
Dwa pierwsze wnioski w oczywisty sposób wynikają z postaci niezmienników,<br />
choć bez wiedzy że N 1 i N 2 są niezmiennikami <strong>ich</strong> pokazanie nie jest proste. By<br />
wykazać punkt trzy zauważmy, że by istniał układ odniesienia, w którym pola<br />
E i B są równoległe (lub antyrównoległe) powinno zachodzić<br />
N 1 = B 2 − E 2 /c 2 , N 2 = (−)BE , (30)<br />
gdzie E = |E| i B = |B| są długościami wektorów E i B. Znak minus pojawia<br />
się gdy niezmiennik N 2 jest ujemny. Wtedy pola E i B są antyrównoległe. Możliwość<br />
znalezienia takiego układu wymaga by układ równań (30) miał zawsze<br />
rozwiązania dodatnie (E i B są długościami wektorów), niezależnie od wielkości<br />
niezmienników N 1 i N 2 . Rozwiążmy te równania korzystając z sage’a<br />
rr1 = N1 == BB^2 -EE^2/c^2<br />
rr2 = N2 == BB*EE<br />
rr3 = N2 == -BB*EE<br />
rozwiazania1 = solve([rr1,rr2],EE,BB)<br />
rozwiazania2 = solve([rr1,rr3],EE,BB)<br />
show(rozwiazania1[0])<br />
show(rozwiazania1[1])<br />
show(rozwiazania2[0])<br />
show(rozwiazania2[1])<br />
gdzie rozwiązaliśmy osobno układ równań dla przypadku N 2 dodatniego<br />
⎡<br />
⎣EE = − 1 √<br />
√<br />
−N 1 c<br />
2<br />
2 + N1 2c2 + 4 N2 2c√ 2, BB = −<br />
⎡<br />
⎡<br />
⎣EE = 1 2<br />
√<br />
i N 2 ujemnego<br />
⎣EE = − 1 2<br />
√<br />
−N 1 c 2 +<br />
−N 1 c 2 +<br />
√<br />
N 2 1 c2 + 4 N 2 2 c√ 2, BB =<br />
√<br />
N 2 1 c2 + 4 N 2 2 c√ 2, BB =<br />
⎡<br />
⎣EE = 1 √<br />
√<br />
−N 1 c<br />
2<br />
2 + N1 2c2 + 4 N2 2c√ 2, BB = −<br />
√<br />
2N2<br />
√<br />
−N 1 c + √ N1 2c2 + 4 N2<br />
2<br />
√<br />
2N2<br />
√<br />
−N 1 c + √ N 2 1 c2 + 4 N 2 2<br />
√<br />
2N2<br />
√<br />
−N 1 c + √ N1 2c2 + 4 N2<br />
2<br />
√<br />
2N2<br />
√<br />
−N 1 c + √ N 2 1 c2 + 4 N 2 2<br />
√ c<br />
⎤<br />
⎦<br />
√ c<br />
⎤<br />
⎦ (31)<br />
√ c<br />
⎤<br />
⎦<br />
√ c<br />
⎤<br />
⎦ . (32)<br />
10
Jak łatwo zauważyć w obydwu przypadkach druga para rozwiązań daje rozwiązania<br />
dodatnie niezależnie od wartości niezmienników N 1 i N 2 . Gdy interesuje<br />
nas rozwiązanie zagadnienia znalezienia toru cząstki naładowanej w polach<br />
magnetycznym i elektrycznym, z wyprowadzonych własności wynika, że można<br />
rozwiązać to zagadnienie tylko dla dwóch przypadków, gdy pola E i B są równoległe<br />
i gdy pola E i B są prostopadłe. W przypadku gdy interesuje nas rozwiązanie<br />
w układzie gdy pola są dowolnie skierowane szukamy najpierw układu<br />
gdzie pola są równoległe i transformujemy znane rozwiązanie dla pól równoległych<br />
do wyjściowego układu. Pamiętając jak skomplikowane było znalezienie<br />
rozwiązania dla pól równoległych możemy sobie wyobrazić, że zaproponowana<br />
metoda będzie prostsza od próby bezpośredniego rozwiązania równań ruchu dla<br />
dowolnie skierowanych pól.<br />
4 Bibliografia<br />
[1] “Measurement of the neutrino velocity with the OPERA detector in the<br />
CNGS beam.” OPERA Collaboration (T. Adam et al.). Sep 2011.; arXiv:1109.4897<br />
11