Niezmienniki relatywistyczne i ich wykorzystanie w opisie ... - Sage

var(’E1,E2,E3,c,B1,B2,B3’)
F = matrix(4,[0,-E1/c,-E2/c,-E3/c,E1/c,0,-B3,B2,E2/c,B3,0,-B1,E3/c,-B2,B1,0])
g = matrix(4,[1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1])
show(F)
show(g)
F µν =
⎛
⎜
⎝
0 − E1
c
− E2
c
− E3
c
E 1
c
0 −B 3 B 2
E 2
c
B 3 0 −B 1
E 3
c
−B 2 B 1 0
⎞
⎟
⎠ , g µν =
oraz tensor F o składowych kowariantnych
FT =g*F*g
show(FT)
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
⎞
⎟
⎠ (23)
F µν = g µα g νβ F αβ =
⎛
⎜
⎝
E 1 E 2 E 3
c c c
0
− E1
c
0 −B 3 B 2
− E2
c
B 3 0 −B 1
− E3
c
−B 2 B 1 0
⎞
⎟
⎠ . (24)
Zauważając, że N 1 jest po prostu śledem iloczynu tensora F µν i transpozycji
tensora F µν , który jest antysymetryczny, dostajemy
inv1 = (-F*FT).trace()
show(inv1)
Ñ 1 = 2 B 2 1 + 2 B 2 2 + 2 B 2 3 − 2 E2 1
c 2 − 2 E2 2
c 2 − 2 E2 3
c 2 . (25)
By dostać drugi z niezmienników zdefiniujmy w sagu tensor Levi-Civity o
wskaźnikach kontrawariantnych:
def eps(i1,i2,i3,i4):
if i1==i2 or i1==i3 or i1==i4 or i2==i3 or i2==i4 or i3==i4:
return 0
else:
if (i1==0 and i2==1 and i3==2 and i4==3) or (i1==0 and i2==2 and i3==3 and i4==1) or
return 1
else:
return -1
i pomnóżmy go przez tensor F µν by otrzymać drugi z niezmienników
8