Niezmienniki relatywistyczne i ich wykorzystanie w opisie ... - Sage

• Jeżeli pola E i B nie są prostopadłe w jakimś wybranym układzie odniesienia
(N 2 ≠ 0) to można znaleźć układ odniesienia, w którym są one
równoległe (lub antyrównoległe)
Dwa pierwsze wnioski w oczywisty sposób wynikają z postaci niezmienników,
choć bez wiedzy że N 1 i N 2 są niezmiennikami ich pokazanie nie jest proste. By
wykazać punkt trzy zauważmy, że by istniał układ odniesienia, w którym pola
E i B są równoległe (lub antyrównoległe) powinno zachodzić
N 1 = B 2 − E 2 /c 2 , N 2 = (−)BE , (30)
gdzie E = |E| i B = |B| są długościami wektorów E i B. Znak minus pojawia
się gdy niezmiennik N 2 jest ujemny. Wtedy pola E i B są antyrównoległe. Możliwość
znalezienia takiego układu wymaga by układ równań (30) miał zawsze
rozwiązania dodatnie (E i B są długościami wektorów), niezależnie od wielkości
niezmienników N 1 i N 2 . Rozwiążmy te równania korzystając z sage’a
rr1 = N1 == BB^2 -EE^2/c^2
rr2 = N2 == BB*EE
rr3 = N2 == -BB*EE
rozwiazania1 = solve([rr1,rr2],EE,BB)
rozwiazania2 = solve([rr1,rr3],EE,BB)
show(rozwiazania1[0])
show(rozwiazania1[1])
show(rozwiazania2[0])
show(rozwiazania2[1])
gdzie rozwiązaliśmy osobno układ równań dla przypadku N 2 dodatniego
⎡
⎣EE = − 1 √
√
−N 1 c
2
2 + N1 2c2 + 4 N2 2c√ 2, BB = −
⎡
⎡
⎣EE = 1 2
√
i N 2 ujemnego
⎣EE = − 1 2
√
−N 1 c 2 +
−N 1 c 2 +
√
N 2 1 c2 + 4 N 2 2 c√ 2, BB =
√
N 2 1 c2 + 4 N 2 2 c√ 2, BB =
⎡
⎣EE = 1 √
√
−N 1 c
2
2 + N1 2c2 + 4 N2 2c√ 2, BB = −
√
2N2
√
−N 1 c + √ N1 2c2 + 4 N2
2
√
2N2
√
−N 1 c + √ N 2 1 c2 + 4 N 2 2
√
2N2
√
−N 1 c + √ N1 2c2 + 4 N2
2
√
2N2
√
−N 1 c + √ N 2 1 c2 + 4 N 2 2
√ c
⎤
⎦
√ c
⎤
⎦ (31)
√ c
⎤
⎦
√ c
⎤
⎦ . (32)
10