prezentacija

Vježbe 15
Vježbe 15

Monotonost, lokalni ekstremi i derivacija
7. Odredite intervale monotonosti i lokalne ekstreme sljedećih
funkcija
a) f (x) = x 3 − 2x 2
e x .
b) f (x) = 2 sin x + cos 2x, x ∈ [0, 2π].
c) f (x) = x 2/3 (2 − x).
d) f (x) = 1 − ln x .
2x
e) f (x) = x 2
x + 1 .
f) f (x) = x 2 − x − 1
x 2 + 1
na segmentu [−2, 0].
Vježbe 15

Monotonost, lokalni ekstremi i derivacija
7. Odredite intervale monotonosti i lokalne ekstreme sljedećih
funkcija
a) f (x) = x 3 − 2x 2
e x .
b) f (x) = 2 sin x + cos 2x, x ∈ [0, 2π].
c) f (x) = x 2/3 (2 − x).
d) f (x) = 1 − ln x .
2x
e) f (x) = x 2
x + 1 .
f) f (x) = x 2 − x − 1
x 2 + 1
na segmentu [−2, 0].
Vježbe 15

Monotonost, lokalni ekstremi i derivacija
7. Odredite intervale monotonosti i lokalne ekstreme sljedećih
funkcija
a) f (x) = x 3 − 2x 2
e x .
b) f (x) = 2 sin x + cos 2x, x ∈ [0, 2π].
c) f (x) = x 2/3 (2 − x).
d) f (x) = 1 − ln x .
2x
e) f (x) = x 2
x + 1 .
f) f (x) = x 2 − x − 1
x 2 + 1
na segmentu [−2, 0].
Vježbe 15

Monotonost, lokalni ekstremi i derivacija
7. Odredite intervale monotonosti i lokalne ekstreme sljedećih
funkcija
a) f (x) = x 3 − 2x 2
e x .
b) f (x) = 2 sin x + cos 2x, x ∈ [0, 2π].
c) f (x) = x 2/3 (2 − x).
d) f (x) = 1 − ln x .
2x
e) f (x) = x 2
x + 1 .
f) f (x) = x 2 − x − 1
x 2 + 1
na segmentu [−2, 0].
Vježbe 15

Monotonost, lokalni ekstremi i derivacija
7. Odredite intervale monotonosti i lokalne ekstreme sljedećih
funkcija
a) f (x) = x 3 − 2x 2
e x .
b) f (x) = 2 sin x + cos 2x, x ∈ [0, 2π].
c) f (x) = x 2/3 (2 − x).
d) f (x) = 1 − ln x .
2x
e) f (x) = x 2
x + 1 .
f) f (x) = x 2 − x − 1
x 2 + 1
na segmentu [−2, 0].
Vježbe 15

Monotonost, lokalni ekstremi i derivacija
7. Odredite intervale monotonosti i lokalne ekstreme sljedećih
funkcija
a) f (x) = x 3 − 2x 2
e x .
b) f (x) = 2 sin x + cos 2x, x ∈ [0, 2π].
c) f (x) = x 2/3 (2 − x).
d) f (x) = 1 − ln x .
2x
e) f (x) = x 2
x + 1 .
f) f (x) = x 2 − x − 1
x 2 + 1
na segmentu [−2, 0].
Vježbe 15

Lokalni ekstremi i derivacija
8. Rastavite broj 10 na dva pribrojnika tako da njihov umnožak
bude najveći.
9. Izmedu svih pravokutnika zadanog opsega 2s, odredite onaj s
najvećom površinom.
10. Odredite stranice pravokutnika maksimalnog opsega koji se
može upisati u polukrug polumjera R.
11. U trokutu ABC kut kod vrha A iznosi 30 ◦ , a zbroj duljina
stranica koje zatvaraju taj kut je 100cm. Kolika mora biti
duljina stranice AB da bi površina trokuta ABC bila najveća?
Vježbe 15

Lokalni ekstremi i derivacija
8. Rastavite broj 10 na dva pribrojnika tako da njihov umnožak
bude najveći.
9. Izmedu svih pravokutnika zadanog opsega 2s, odredite onaj s
najvećom površinom.
10. Odredite stranice pravokutnika maksimalnog opsega koji se
može upisati u polukrug polumjera R.
11. U trokutu ABC kut kod vrha A iznosi 30 ◦ , a zbroj duljina
stranica koje zatvaraju taj kut je 100cm. Kolika mora biti
duljina stranice AB da bi površina trokuta ABC bila najveća?
Vježbe 15

Lokalni ekstremi i derivacija
8. Rastavite broj 10 na dva pribrojnika tako da njihov umnožak
bude najveći.
9. Izmedu svih pravokutnika zadanog opsega 2s, odredite onaj s
najvećom površinom.
10. Odredite stranice pravokutnika maksimalnog opsega koji se
može upisati u polukrug polumjera R.
11. U trokutu ABC kut kod vrha A iznosi 30 ◦ , a zbroj duljina
stranica koje zatvaraju taj kut je 100cm. Kolika mora biti
duljina stranice AB da bi površina trokuta ABC bila najveća?
Vježbe 15

Lokalni ekstremi i derivacija
8. Rastavite broj 10 na dva pribrojnika tako da njihov umnožak
bude najveći.
9. Izmedu svih pravokutnika zadanog opsega 2s, odredite onaj s
najvećom površinom.
10. Odredite stranice pravokutnika maksimalnog opsega koji se
može upisati u polukrug polumjera R.
11. U trokutu ABC kut kod vrha A iznosi 30 ◦ , a zbroj duljina
stranica koje zatvaraju taj kut je 100cm. Kolika mora biti
duljina stranice AB da bi površina trokuta ABC bila najveća?
Vježbe 15

Konveksnost, konkavnost i derivacija
Ponovimo
Funkcija f : Ω → R, Ω ⊆ R je konveksna [konkavna] na intervalu
I ⊆ Ω ako za sve x 1 , x 2 ∈ I vrijedi
( )
x1 + x 2
f
≤ f (x ( )
1) + f (x 2 ) x1 + x 2
[f
≥ f (x 1) + f (x 2 )
].
2
2
2
2
Ako za x 1 ≠ x 2 vrijede stroge nejednakosti kažemo da je funkcija f
strogo konveksna [strogo konkavna].
Vježbe 15

Konveksnost, konkavnost i derivacija
Teorem
Neka je f dva puta derivabilna funkcija na intervalu 〈a, b〉.
a) Funkcija f je konveksna na 〈a, b〉 onda i samo onda ako je
f ′′ (x) ≥ 0 za svaki x ∈ 〈a, b〉.
b) Funkcija f je konkavna na 〈a, b〉 onda i samo onda ako je
f ′′ (x) ≤ 0 za svaki x ∈ 〈a, b〉.
Vježbe 15

Konveksnost, konkavnost i derivacija
Definicija
Neka je f : Ω → R, Ω ⊆ R. Točku c ∈ Ω nazivamo točkom
infleksije funkcije f ako postoji realan broj δ > 0 takav da je f
strogo konveksna na 〈c − δ, c〉 i strogo konkavna na 〈c, c + δ〉 ili da
je f strogo konkavna na 〈c − δ, c〉 i strogo konveksna na 〈c, c + δ〉.
Teorem
Neka je f dva puta derivabilna na intervalu 〈a, b〉. Točka c ∈ 〈a, b〉
je točka infleksije funkcije f onda i samo onda ako funkcija f ′ ima
strogi lokalni ekstrem u c.
Vježbe 15

Konveksnost, konkavnost i derivacija
Definicija
Neka je f : Ω → R, Ω ⊆ R. Točku c ∈ Ω nazivamo točkom
infleksije funkcije f ako postoji realan broj δ > 0 takav da je f
strogo konveksna na 〈c − δ, c〉 i strogo konkavna na 〈c, c + δ〉 ili da
je f strogo konkavna na 〈c − δ, c〉 i strogo konveksna na 〈c, c + δ〉.
Teorem
Neka je f dva puta derivabilna na intervalu 〈a, b〉. Točka c ∈ 〈a, b〉
je točka infleksije funkcije f onda i samo onda ako funkcija f ′ ima
strogi lokalni ekstrem u c.
Vježbe 15

Konveksnost, konkavnost i derivacija
1. Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti te točke
infleksije za sljedeće funkcije
a) f (x) = 1
x − 4 .
b) f (x) = x 2 − x + 1
.
x − 1
c) f (x) = ln(2 − x 2 ).
d) f (x) = x 2 e −x .
e) f (x) = e −x 2 .
f) f (x) = e arctgx .
Vježbe 15

Konveksnost, konkavnost i derivacija
1. Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti te točke
infleksije za sljedeće funkcije
a) f (x) = 1
x − 4 .
b) f (x) = x 2 − x + 1
.
x − 1
c) f (x) = ln(2 − x 2 ).
d) f (x) = x 2 e −x .
e) f (x) = e −x 2 .
f) f (x) = e arctgx .
Vježbe 15

Konveksnost, konkavnost i derivacija
1. Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti te točke
infleksije za sljedeće funkcije
a) f (x) = 1
x − 4 .
b) f (x) = x 2 − x + 1
.
x − 1
c) f (x) = ln(2 − x 2 ).
d) f (x) = x 2 e −x .
e) f (x) = e −x 2 .
f) f (x) = e arctgx .
Vježbe 15

Konveksnost, konkavnost i derivacija
1. Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti te točke
infleksije za sljedeće funkcije
a) f (x) = 1
x − 4 .
b) f (x) = x 2 − x + 1
.
x − 1
c) f (x) = ln(2 − x 2 ).
d) f (x) = x 2 e −x .
e) f (x) = e −x 2 .
f) f (x) = e arctgx .
Vježbe 15

Konveksnost, konkavnost i derivacija
1. Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti te točke
infleksije za sljedeće funkcije
a) f (x) = 1
x − 4 .
b) f (x) = x 2 − x + 1
.
x − 1
c) f (x) = ln(2 − x 2 ).
d) f (x) = x 2 e −x .
e) f (x) = e −x 2 .
f) f (x) = e arctgx .
Vježbe 15

Konveksnost, konkavnost i derivacija
1. Odredite intervale konveksnosti i konkavnosti te točke
infleksije za sljedeće funkcije
a) f (x) = 1
x − 4 .
b) f (x) = x 2 − x + 1
.
x − 1
c) f (x) = ln(2 − x 2 ).
d) f (x) = x 2 e −x .
e) f (x) = e −x 2 .
f) f (x) = e arctgx .
Vježbe 15

Konveksnost, konkavnost i derivacija
2. Dokažite da sve točke infleksije krivulje y = x + 1
x − 1
istom pravcu.
leže na
3
2
1
-10 -5 5 10
-1
Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
Neodredeni oblici
0
0 , ∞
∞ , ∞ − ∞, 0 · ∞, 00 , 1 ∞ , ∞ 0
Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
L’Hospitalovo pravilo
Neka su f i g bilo koje dvije funkcije takve da je
lim f (x) = lim g(x) = 0.
x→a x→a
Ako su ispunjene sljedeće pretpostavke:
(i) postoji realan broj δ > 0 takav da su funkcije f i g derivabilne
u svakoj točki intervala 〈a − δ, a + δ〉, osim možda u točki a,
(ii) g ′ (x) ≠ 0 za svaki x ∈ 〈a − δ, a + δ〉 \ {a}
f ′ (x)
(iii) postoji L = lim
x→a g ′ (x) ,
onda je
f (x)
lim
x→a g(x) = lim f ′ (x)
x→a g ′ (x) . (1)
Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
Primjedba
Pretpostavka lim f (x) = lim g(x) = 0, može se zamijeniti s
x→a x→a
pretpostavkom lim f (x) = lim g(x) = ∞ ili
x→a x→a
lim f (x) = lim g(x) = −∞. Takoder može se uzeti da x
x→a
x→a
konvergira točki a samo slijeva ili samo zdesna. Da bi formula (1)
vrijedila za limes kada x → ∞ [x → −∞] potrebno je pretpostavke
(i) i (ii) zamijeniti s pretpostavkama:
(i’) postoji realan broj M > 0 [m < 0] takav da su funkcije f i g
derivabilne na 〈M, ∞〉 [〈−∞, m〉],
(ii’) g ′ (x) ≠ 0 za svaki x > M [x < m]
Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
1. Izračunajte sljedeće limese
sin 5x
a) lim
x→π sin 2x .
b) lim
x→0
x − x cos x
x − sin x .
e x − e −x − 2x
c) lim
.
x→0 x − sin x
( 1
d) lim
x→0 x − 1 )
e x .
− 1
ln x
e) lim
x→∞ x n .
f) lim
x→∞
a x
x n . Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
1. Izračunajte sljedeće limese
sin 5x
a) lim
x→π sin 2x .
b) lim
x→0
x − x cos x
x − sin x .
e x − e −x − 2x
c) lim
.
x→0 x − sin x
( 1
d) lim
x→0 x − 1 )
e x .
− 1
ln x
e) lim
x→∞ x n .
f) lim
x→∞
a x
x n . Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
1. Izračunajte sljedeće limese
sin 5x
a) lim
x→π sin 2x .
b) lim
x→0
x − x cos x
x − sin x .
e x − e −x − 2x
c) lim
.
x→0 x − sin x
( 1
d) lim
x→0 x − 1 )
e x .
− 1
ln x
e) lim
x→∞ x n .
f) lim
x→∞
a x
x n . Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
1. Izračunajte sljedeće limese
sin 5x
a) lim
x→π sin 2x .
b) lim
x→0
x − x cos x
x − sin x .
e x − e −x − 2x
c) lim
.
x→0 x − sin x
( 1
d) lim
x→0 x − 1 )
e x .
− 1
ln x
e) lim
x→∞ x n .
f) lim
x→∞
a x
x n . Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
1. Izračunajte sljedeće limese
sin 5x
a) lim
x→π sin 2x .
b) lim
x→0
x − x cos x
x − sin x .
e x − e −x − 2x
c) lim
.
x→0 x − sin x
( 1
d) lim
x→0 x − 1 )
e x .
− 1
ln x
e) lim
x→∞ x n .
f) lim
x→∞
a x
x n . Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
1. Izračunajte sljedeće limese
sin 5x
a) lim
x→π sin 2x .
b) lim
x→0
x − x cos x
x − sin x .
e x − e −x − 2x
c) lim
.
x→0 x − sin x
( 1
d) lim
x→0 x − 1 )
e x .
− 1
ln x
e) lim
x→∞ x n .
f) lim
x→∞
a x
x n . Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
g) lim
x→0 + ln sin mx
ln sin nx .
h) lim
x→0 + xe 1 x .
i) lim x ln x.
x→0 +
( ) tgx 1
j) lim .
x→0 + x
k) lim
x→1 + (ln x)x−1 .
1
l) lim (cos x) x 2 .
x→0 +
Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
g) lim
x→0 + ln sin mx
ln sin nx .
h) lim
x→0 + xe 1 x .
i) lim x ln x.
x→0 +
( ) tgx 1
j) lim .
x→0 + x
k) lim
x→1 + (ln x)x−1 .
1
l) lim (cos x) x 2 .
x→0 +
Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
g) lim
x→0 + ln sin mx
ln sin nx .
h) lim
x→0 + xe 1 x .
i) lim x ln x.
x→0 +
( ) tgx 1
j) lim .
x→0 + x
k) lim
x→1 + (ln x)x−1 .
1
l) lim (cos x) x 2 .
x→0 +
Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
g) lim
x→0 + ln sin mx
ln sin nx .
h) lim
x→0 + xe 1 x .
i) lim x ln x.
x→0 +
( ) tgx 1
j) lim .
x→0 + x
k) lim
x→1 + (ln x)x−1 .
1
l) lim (cos x) x 2 .
x→0 +
Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
g) lim
x→0 + ln sin mx
ln sin nx .
h) lim
x→0 + xe 1 x .
i) lim x ln x.
x→0 +
( ) tgx 1
j) lim .
x→0 + x
k) lim
x→1 + (ln x)x−1 .
1
l) lim (cos x) x 2 .
x→0 +
Vježbe 15

L’Hospitalovo pravilo
g) lim
x→0 + ln sin mx
ln sin nx .
h) lim
x→0 + xe 1 x .
i) lim x ln x.
x→0 +
( ) tgx 1
j) lim .
x→0 + x
k) lim
x→1 + (ln x)x−1 .
1
l) lim (cos x) x 2 .
x→0 +
Vježbe 15