Zastosowanie teorii grup w chemii kwantowej - Wydział Chemii UJ

Rysunek 1 Fizycznie nieodróżnialne stany cząsteczki NH 3 otrzymane w wyniku działania operatorów E , C3
,
2
C
3
, σ
1
, σ
2
i σ
3
. Numeracja atomów wodoru wprowadzono dla celów poglądowych.
W oparciu o rys. 1 można wygenerować tabelę „mnożenia” grupowego:
E
E
E
C
3
C
3
2
C
3
2
C
3
C
3
C
3
2
C σ
1
σ
2
σ
3
3
2
C σ
1
σ
2
σ
3
3
2
C E σ
2
σ
3
σ
1
3
E
σ
1
σ
1
σ
3
σ
2
σ
2
σ
2
σ
1 3
σ
3
σ
3
σ
2
σ
1
C σ
3 3
σ
1
σ
2
E
σ 2
C
3
C
3
C
3
E
2
C
3
2
C
3
C
3
E
(1)
Łatwo zauważyć, że w każdym rzędzie i każdej kolumnie tabeli mnożenia grupowego
znajdują się wszystkie operacje symetrii. Innymi słowy zbiór operacji symetrii tworzy grupę.
Do określenia grupy nie musimy znać wszystkich elementów symetrii. Istnieje bowiem
minimalny zbiór (generatory grupy), który pozwoli otrzymać pozostałe elementy symetrii. W
grupie, którą rozważamy są to C
3
i σ
1
. ( C3
C 3
= C 2 3
, C3
σ 1
= σ
2
, σ
1
σ
1
= E , …).
Zgodnie z definicją zbiór G={A, B, …} złożony z g elementów, w którym zdefiniowane jest
działanie grupowe zwane „mnożeniem”, tworzy grupę jeżeli:
i. Spełniona jest relacja zamknięcia, tzn. dla każdej uporządkowanej pary elementów
grupy A i B istnieje element C należący do G, taki że C = A B.
ii. Spełniona jest prawo łączności, tzn. jeżeli A, B, C należą do G to (AB)C = A(BC).
iii. Istnieje element jednostkowy (tożsamościowy), który jest przemienny ze wszystkimi
elementami grupy AE = EA = A.
iv. Istnieje element odwrotny do dowolnego elementu grupy. R jest elementem
odwrotnym do A jeżeli: RA = AR = E, zwykle przyjmujemy oznaczenie R = A -1 .