Zastosowanie teorii grup w chemii kwantowej - Wydział Chemii UJ

parzystość i nieparzystość względem tych osi. Gdy dana grupa punktowa zawiera
reprezentacje trójwymiarowe to oznaczamy je literą T. Gdy w cząsteczce istnieje środek
symetrii to parzystość/nieparzystość względem tej operacji symetrii oznaczamy dolnymi
indeksami g/u. Gdy w cząsteczce istnieje płaszczyzna prostopadła względem osi głównej to
symbole „prim” i „bis” oznaczają parzystość i nieparzystość względem tej płaszczyzny.
Elementy symetrii w tabeli charakterów są zebrane w klasy, stąd tylko trzy kolumny.
Pamiętaj, że charaktery macierzowych reprezentacji operatorów symetrii należących do tej
samej klasy są sobie równe. Dwie ostatnie kolumny w tej tabeli określają jak transformuje się
wektor translacji (x, y, z) i rotacji (R x , R y , R z ) oraz formy kwadratowe. Składowa z-owa
wektora translacji transformuje się jak reprezentacja pełno symetryczna A 1 . Pozostałe dwie
składowe transformują się jak reprezentacja dwuwymiarowa E. Zostało to pokazane na
początku tego rozdziału.
Aby ustalić jak transformuje się wektor biegunowy R wystarczy rozpatrzyć wektor
momentu pędu
l = r × p . (14)
W tym celu, należy sprawdzić jak transformują się składowe:
lˆ
x
lˆ
y
lˆ
z
⎛ ∂ ∂ ⎞
= −i⎜
y − z ⎟
⎝ ∂z
∂y
⎠
⎛ ∂ ∂ ⎞
= −i⎜
z − x ⎟
⎝ ∂x
∂z
⎠
⎛ ∂ ∂ ⎞
= −i⎜
x − y ⎟
⎝ ∂y
∂x
⎠
, (15)
w wyniku działania kolejnych operacji symetrii. Równania 4-9 określają transformację
składowych wektora położenia r i można je bezpośrednio wykorzystać. Dla pochodnych
cząstkowych należy się oprzeć na poniższych relacjach:
∂ ∂x
=
∂x'
∂x'
∂ ∂x
=
∂y'
∂y'
∂ ∂x
=
∂z'
∂z'
∂ ∂y
+
∂x
∂x'
∂ ∂y
+
∂x
∂y'
∂ ∂y
+
∂x
∂z'
∂ ∂z
∂
+
∂y
∂x'
∂z
∂ ∂z
∂
+
∂y
∂y'
∂z
∂ ∂z
∂
+
∂y
∂z'
∂z
. (16)
Użycie tych wzorów zademonstrujemy na przykładzie składowej z-owej momentu pędu.
Związek pomiędzy operatorem l z przed dokonaniem transformacji a operatorem l z'
po
transformacji dla kolejnych elementów symetrii jest następujący:
E lˆ
⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞
: z i x'
y'
i x y lˆ
' = − ⎜ − ⎟ = − ⎜
− ⎟ = z
(17)
⎝ ∂y'
∂x'
⎠ ⎝ ∂y
∂x
⎠