Akustika avte

Oddelek za fiziko
Seminar 4
Akustika flavte
Mihael Gojkoˇsek
Astronomsko-geofizikalna smer
Mentor: dr. Daniel Svenˇsek
22. maj 2009

Kazalo
1 Povzetek 2
2 Kratka zgodovina razvoja flavte 3
3 Kaj se pravzaprav zgodi, ko pihnemo v flavto? 4
4 Akustična impedanca 8
5 Iztočni popravek 10
6 Alikvotni toni in prepihovanje 13
7 ≫Odrezane≪ frekvence 16
8 Frekvenčni odziv flavte 17
9 Literatura 19
Slike
1 Flavta iz Divje babe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Sestavni deli flavte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Prerez flavte pri ustniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Stoječe valovanje v cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Viˇsji harmonski toni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Tonske in registrske luknje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7 Akustična impedanca flavte in klarineta . . . . . . . . . . . . 10
8 Zamaˇsek s krono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
9 Končni popravek pri zamaˇsku . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
10 Alikvotni toni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
11 Frekvenčna analiza zvena note C1 . . . . . . . . . . . . . . . . 15
12 Prepihovanje v različne alikvote . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
13 Odrezane frekvence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 Akustična impedanca za tona A1 in C1 . . . . . . . . . . . . . 17
15 Frekvenčni odziv flavte na tonu C#2 . . . . . . . . . . . . . . 18
1

1 Povzetek
Flavta je eno najstarejˇsih glasbil. Skozi stoletja se je glasbilo izpopolnjevalo
in z Böhmovo revolucijo v razvoju doseglo stopnjo, na kateri je ˇse danes.
Preko preprostega modela stoječega valovanja v odprti cevi lahko razumemo
osnovne principe akustike flavte 1 .
Če pa ˇzelimo rezultate numerično pod-
krepiti, moramo upoˇstevati ˇse vrsto popravkov, s katerimi dopolnimo naˇs
enostaven model. Preko iztočnih popravkov na zgornjem in spodnjem delu
flavte, kriˇzanja prstov in odrezanih frekvenc veliko laˇzje razumemo frekvenčni
odziv akustične impedance flavte. Seveda pa ne moremo mimo alikvotnih
tonov in prepihovanja, ki je zanimivo tako iz fizikalnega kot tudi iz glasbenega
staliˇsča.
1 V svojem seminarju se bom posvetil predvsem obravnavi akustike prečne flavte, zato
naj bralca opomnim, da se beseda flavta povsod nanaˇsa na prečno flavto.
2

2 Kratka zgodovina razvoja flavte
Začetki glasbe segajo daleč v zgodovino. Flavti podobno glasbilo so poznali
ˇze neandertalci. Preprosta piˇsčal, ki so jo naˇsli v jami Divje babe blizu Idrije,
velja za najstarejˇsi glasbeni instrument; njeno starost ocenjujejo na od 43000
do 82000 let [1]. Piˇsčal je izdelana iz kosti mladega jamskega medveda in
ima 4 luknje, ki so poravnane v vrsto in primerno razmaknjene, da bi na
glasbilo lahko zaigrali nekaj tonov diatonične lestvice (do, re, mi . . . ) [2].
Slika 1 prikazuje fotografijo te najdbe. Zapisi o flavtah se pojavljajo tudi v
Bibliji in v stari indijski kulturi in mitologiji. Bolj izpopolnjeni instrumenti
so bili najdeni na Kitajskem, kjer so naˇsli tudi najstarejˇsa primerka panovih
piˇsčali in prečne flavte [3]. V Evropi so panove piˇsčali prvi poznali Grki (7.
stol. pr. Kr.), od njih pa se je to glasbilo razˇsirilo po vsej celini. V srednjem
veku se je na Irskem pojavilo njihovo tradicionalno glasbilo, ≫tin whistle≪ (v
12. stol.), in kljunasta flavta (v 14. stol.). Prva pisna omemba prečne
flavte sega v leto 1285, vendar so takrat to glasbilo poznali le v Franciji in
Nemčiji [3]. V 16. stoletju se je flavta začela pojavljati v komornih zasedbah,
kjer je običajno nadomeˇsčala tenorski glas, temu pa je sledil hiter razvoj
glasbila. Ta razvoj je dosegel vrhunec leta 1871, ko je nemˇski iznajditelj in
glasbenik Theobald Böhm izdal svoje najbolj znano delo ≫Die Flöte und das
Flötenspiel≪ (≫Flavta in igranje flavte≪) [4].
Slika 1: Slika prikazuje koˇsčeno flavto iz jame Divje babe. Na kosti sta lepo
vidni dve luknji, tretja in četrta pa sta odprti do roba piˇsčali. Ta arheoloˇska
najdba predstavlja najstarejˇse glasbilo, ki so ga naˇsli do zdaj [1].
3

Theobald Böhm je celostno prenovil stari model prečne flavte: postopoma
je dodajal nove tipke, s pomočjo katerih je flavta postala kromatično glasbilo
in s tem veliko bolj vsestranska; določil je optimalno obliko cevi, določil
poloˇzaj zamaˇska ter poloˇzaj in obliko ustnika; povečal je luknje v cevi, s čemer
je dal flavti bolj poln in močen zvok, za zapiranje lukenj pa na flavto dodal
tipke; v celoti je razvil kompliciran sistem mehanike, ki flavtistu kar najbolj
olajˇsa delo; izračunal je natančne poloˇzaje lukenj za različne vrste flavt,
da se glasbilo v velikem razponu kljub nekaterim kompromisnim reˇsitvam
čimbolj natančno pribliˇza temperirani uglasitvi in s tem omogoči igranje v
vseh tonalitetah; preučil je različne materiale, njihove prednosti in slabosti
pri uporabi za izdelavo flavt (bil je sploh prvi, ki je izdelal srebrno flavto
- te so danes daleč najpogostejˇse). V svoji knjigi je opisal tudi prijeme
na flavti za igranje različne not, zgradbo mehanizma, ki skrbi za odpiranje
posameznih lukenj, pravilno ravnanje in skrb za glasbilo, tehnike vadenja in
druge zanimivosti [4].
Po Böhmovi revoluciji se flavta do danes ni bistveno spreminjala. Tako
je to danes glasbilo, ki ga sestavljajo trije deli:
- glava, na kateri je ustnik in se na eni strani zaključuje s premičnim
zamaˇskom;
- trup, na katerem je 13 lukenj (10 tonskih in 3 registrske) ter večji del
mehanizma, ki te luknje s pritiski na tipke zapira in odpira;
- noga, na kateri so 3 ali 4 tonske luknje (odvisno ali imamo ≫H-≫ ali
≫C-nogo≪.
Sestavne dele flavte prikazuje slika 2. Boljˇse flavte so ponavadi srebrne (tudi
zlate, platinaste . . . ), cenejˇsi modeli pa so iz raznih zlitin. ˇ Se vedno so kljub
nekaterim pomanjkljivostim zelo priljubljene tudi lesene flavte, ki so bile
daleč najpogostejˇse pred Böhmom.
3 Kaj se pravzaprav zgodi, ko pihnemo v flavto?
Curek zraka potuje iz naˇsih ustnic preko luknje na ustniku. Hitrost curka
je odvisna od zračnega tlaka v ustih, tipično pa se giblje v območju od 20
do 60 metrov na sekundo. Ko curek udari ob reˇzo na drugi strani odprtine,
nastane motnja; ta lahko potuje skozi odprtino v notranjost flavte ali ven iz
nje. Tako kljub enakomernemu curku, s katerim pihamo, dobimo izmenično
spreminjajoč pretok skozi ustnik flavte. Vzrok za tako izmenično odklanjanje
je nihanje v cevi, ki je posledica odboja motnje na spodnjem koncu cevi. Če
se čas prehoda motnje skozi flavto ujema z obratno vrednostjo frekvence
4

Slika 2: Na sliki lahko vidimo glavne dele flavte (glavo, trup in nogo) razstavljene
in sestavljene. Na glavi sta označena ˇse ustnik in krona, pod katero
se skriva zamaˇsek, ki sta zraven lukenj najpomembnejˇsa sestavna dela flavte.
igrane note, bo zrak izmenično tekel v odprtino in iz nje z ravno pravo fazo,
da bo ojačal nihanje v cevi; posledica tega je močan in jasen zvok določene
frekvence [5].
Slika 3: Zrak, ki v curku potuje preko ustnika iz flavtistovih ust, se lahko
usmeri v flavto ali iz nje [5].
Flavta je odprta na obeh koncih. Očitno je, da je odprta na spodnjem
koncu, pri nogi. Če opazujemo nekoga, ki igra flavto, pa lahko opazimo
da s svojimi ustnicami prekrije samo del odprtine ustnika, velik del pa ostane
odprt za zunanji zrak. Tako si lahko torej v najpreprostejˇsem primeru
predstavljamo flavto kot enakomerno debelo odprto cev. Tak pribliˇzek je preprost
za matematično analizo, kasneje pa bomo ta model dopolnili z raznimi
popravki za luknje, končno debelino cevi, zgornji del flavte ipd. Če po cevi
dolˇzine L potuje tlačna motnja (zgoˇsčina molekul zraka), se ta na koncu cevi
5

delno odbije nazaj v cev, delno pa se razˇsiri v prostor. Če motnje ne vzbujamo
(na podoben način kot vzbujamo nihalo s frekvenco, pribliˇzno enako
njegovi lastni frekvenci), ta motnja eksponentno zamre. Zato izgube zaradi
izsevanja v prostor in izgube na stenah nadomestimo z ojačanjem motnje
po vsakem ≫obhodu≪. Moč, ki jo pri pihanju vloˇzimo v vzbujanje nihanja
zračnega stolpca, ravno pokrije prej omenjene izgube. Čas, ki ga motnja
potrebuje za svoje potovanje do konca cevi in nazaj, lahko zapiˇsemo kot
t0 = v
, (1)
2L
kjer v označuje hitrost razˇsirjanja motnje v zraku. Zaradi odboja na odprtem
koncu se v cevi pojavi stoječe nihanje. Dejstvo, da je cev odprta, nam določa
robne pogoje: zračni tlak mora biti ob robovih pribliˇzno enak zunanjemu
zračnemu tlaku p0. Akustični tlak, ki je definiran kot variacija tlaka v zraku
zaradi zvočnih valov pa = p − p0 [5], mora biti enak nič. Takim točkam
rečemo tlačni vozli; ti leˇzijo pribliˇzno pri robu cevi (manjˇsi popravek pozicije
povzroči tako imenovani ”iztočni popravek”). Akustični tlak v cevi je
lahko različen od nič – tam se zato oblikuje hrbet stoječega valovanja. Na
sredini cevi je pri osnovnem nihajnem načinu spreminjanje akustičnega tlaka
največje.
Če opazujemo amplitudo nihanja molekul zraka, je slika ravno
obrnjena – na robu cevi lahko molekule prosto nihajo ven in noter, zato
je tam amplituda nihanja največja. Ravno obratno je na sredini cevi, kjer
tlačna razlika molekule enkrat stiska iz obeh strani, drugič jih na enak način
vleče narazen. Zaradi simetrije te sile molekule v sredini cevi mirujejo [5].
Graf akustičnega tlaka in odmikov v cevi flavte prikazuje slika 4.
Slika 4: Na vrhu slike je označena dolˇzina cevi. Pri stoječem valovanju se
hrbet akustičnega tlaka ujema z vozlom odmika in obratno. Vozli ob koncu
cevi so izmaknjeni nekoliko navzven.
6

Kot smo ˇze ugotovili, je osnovni način stoječega valovanja, ki zadoˇsča
robnim pogojem, en valovni hrbet v cevi z vozloma pri njenih koncih. V
tem primeru je valovna dolˇzina valovanja dvakratnik dolˇzine cevi λ = 2L,
frekvenca zvoka pa zadoˇsča enačbi ν = c/λ (to formulo lahko izpeljemo tudi iz
enačbe (1), če upoˇstevamo, da je ν = 1/t0. Ta frekvenca pripada najniˇzji noti,
ki jo glasbilo lahko zaigra. To pa ni edina nota, ki jo lahko zaigra flavta take
dolˇzine; če pihnemo močneje ali pa zmanjˇsamo reˇzo med ustnicami, povečamo
hitrost curku zraka; rezultat je hitrejˇse potovanje motnje in posledično krajˇsa
valovna dolˇzina, ki ustreza danim robnim pogojem [5]. Takˇsnim nihajnim
načinom pravimo prvi, drugi, tretji . . . viˇsji harmonski ali alikvotni ton
(slika 5). Tem nihajnim načinom se bomo podrobneje posvetili v poglavju o
prepihovanju.
Slika 5: Pod skico flavte so narisani različni nihajni načini, ki zadoˇsčajo
robnim pogojem odprtih koncev cevi. Viˇsji harmonski toni imajo krajˇso
valovno dolˇzino in 2-krat, 3-krat ... viˇsjo frekvenco kot osnovni ton.
Od modela odprte cevi se vrnimo sedaj k flavti, ki ima na svojem trupu
luknje. Če torej vse luknje pokrijemo, osnovno stoječe valovanje pripada
najniˇzji frekvenci, ki jo flavta lahko zaigra – pri flavti s C-nogo je to ton C1.
Nato začnemo postopoma odpirati luknje pri nogi flavte; s tem krajˇsamo
efektivno dolˇzino cevi (tlačni vozel se nahaja pri tisti odprti luknji, ki je
najbliˇzje ustniku) in posledično tudi valovno dolˇzino stoječega valovanja –
na tak način igramo vedno viˇsje note [5]. Pri Böhmovi flavti vsaka odprta
luknjica pomeni pol tona viˇsjo noto. Tem luknjam pravimo tonske luknje.
Poznamo pa ˇse drugo vrsto – registrske luknje. Če odpremo registrsko luknjo,
se v njeni bliˇzini v flavti ustvari vozel akustičnega tlaka. Recimo, da igramo
7

najniˇzji ton, C1, in odpremo registrsko luknjo, ki je točno na polovici flavte.
Vsi sodi viˇsji harmonični toni vključno z osnovnim tonom bodo izginili, ker
imajo na mestu novonastalega vozla sicer hrbte stoječih valov. Nasprotno pa
bodo lihi viˇsji harmonični toni komaj čutili spremembo, saj imajo tudi sicer
tam akustične vozle stoječega valovanja. Rezultat tega bo, da bo 1. alikvotni
ton, C2, zvenel kot osnovni, lihi viˇsji harmonski toni pa kot njegovi alikvoti.
V tem primeru registrska luknja zviˇsa ton za eno oktavo, ker je točno na
polovici dela cevi, v kateri se pojavi stoječe valovanje. Za krajˇso valovno
dolˇzino stoječega valovanja moramo odpreti registrsko luknjo, ki razdeli cev
v drugačnem razmerju. Na primer za noto D3 uporabimo registrsko luknjo
na pribliˇzno tretjini efektivne dolˇzine cevi pri tonu G1. Noto G4 zaigramo
s podobnim prijemom, le da odpremo registrsko luknjo na pribliˇzno četrtini
nihajočega zračnega stolpca. Opazimo lahko, da pri odprtju registrske luknje
na polovici efektivne dolˇzine zazveni prvi viˇsji harmonski ton kot osnovni, če
jo odpremo na tretjini, zazveni drugi, na četrtini tretji itd. Pri nekaterih
notah v tretji oktavi se pri prijemih uporabljajo tonske luknje kot registrske
(npr. D# 3) [5]. Tonske in registrske luknje na trupu flavte prikazuje slika
6.
Slika 6: Na flavti ˇze po velikosti zlahko ločimo tonske in registrske luknje;
registrske luknje so manjˇse in bliˇzje glavi, tonske pa so večje, vendar lahko
včasih tudi te prevzamejo vlogo registrskih lukenj.
4 Akustična impedanca
Za natančnejˇso fizikalno obravnavo flavte moramo uvesti nov pojem: akustično
impedanco. Najpreprosteje jo opiˇsemo kot razmerje akustičnega tlaka (vari-
8

abilni del zračnega tlaka) in zračnega (pre)toka,
Z = p
. (2)
vS
Enota za akustično impedanco je P as/m 3 , ki ji rečemo tudi akustični Ohm
(Ω) [6]. Pri preučevanju glasbil je to razmeroma majhna enota; največkrat
uporabljamo enote MP as/m 3 . Za opis uporabljamo tudi specifično akustično
impedanco, ki je definirana kot razmerje akustičnega tlaka in specifičnega
zračnega toka oz. toka na enoto povrˇsine [7],
z = p
v
= ZS . (3)
Akustična impedanca je frekvenčno odvisna fizikalna količina, ki nam opisuje
lastnost posameznega glasbila. Pri flavti jo merimo pri ustniku, saj nam ta
količina pove, kako bodo flavtistove ustnice in zračni curek iz njih reagirali s
samim glasbilom. Na nek način je to objektivna ocena oz. merljiva lastnost
vsakega glasbila posebej – različne inˇstrumente lahko med sabo primerjamo
neodvisno od tega, kdo jih bo igral. Sama od sebe se ponudi analogija z električno
impedanco. Električni upor je razmerje med napetostjo med dvema
točkama prevodnika in tokom, ki teče po njem.
Če dovolimo, da je napetost
izmenična, pa na tok ne vpliva samo upor prevodnikov, pač pa tudi druge
lastnosti vezja, ki jih skupaj opiˇsemo z električno impedanco. Izmenična
napetost je v fizikalnem smislu veliko bolj zanimiva, saj je tok skozi vezje
odvisen od frekvence, s katero spreminjamo napetost. Seveda ima tudi ta
analogija svoje omejitve – ker je zrak stisljiv, pri opisu z akustično impedanco
ne moremo uporabiti Kirchoffovega zakona o ohranitvi tokov [6]. Podobno
kot pri električni impedanci moramo tudi pri akustični dopustiti, da akustični
tlak in tok zraka ne nihata sočasno. Za to uporabljamo zapis s kompleksnimi
ˇstevili – realna komponenta predstavlja del toka, ki niha v fazi, z imaginarno
komponento pa opiˇsemo nihanje, ki ni v fazi z nihanjem akustičnega
tlaka. Akustična impedanca se zelo razgibana funkcija frekvence – pihala so
namreč zgrajena tako, da pri določenem prijemu ojačajo stoječe valovanje
samo določenih frekvenc. Pri flavti pihamo skozi ustnik, ki je odprtina med
zrakom v flavti in zunanjim zrakom; akustični tlak je zato majhen. Curek,
ki ga pihamo iz ust, potuje na rob ustnika – nihanje zračnega toka v flavti
poskrbi, da se curek usmeri v flavto ali iz nje. Ker imamo majhen akustični
tlak in moˇznost velikega zračnega pretoka, lahko rečemo, da flavta igra pri
minimalni akustični impedanci. Večina drugih pihal ima jezičke – tam je
situacija ravno obratna: zračni tok je majhen, akustični tlak pa velik. Klarinet,
oboa in saksofon igrajo pri maksimalni akustični impedanci [6]. Najlaˇzje
se to vidi po sami obliki pihala; flavta je cev odprta na obeh straneh,
9

glasbila z jezički pa so polodprte cevi - zaprt konec cevi predtavlja veliko
akustično impedanco (slika 7). Več podrobnosti o akustični impedanci flavte
je v poglavju frekvenčni odziv flavte.
Slika 7: Na grafu sta narisani akustični impedanci flavte in klarineta. Klarinet
je polodprta cev, zato igra pri maksimalni vhodni impedanci, flavta pa
pri minimalni [6].
5 Iztočni popravek
Dopolnimo sedaj naˇs preprost model flavte z nekaterimi popravki, za katere
se je izkazalo, da igrajo pomembno vlogo pri natančni določitvi pozicije lukenj
in posledično viˇsine tonov. Kot sem ˇze omenil, vozli akustičnega tlaka pri
stoječem nihanju v cevi ne nastanejo točno na robu cevi, pač pa so nekoliko
izmaknjeni navzven. Temu pojavu rečemo iztočni popravek (angleˇsko end
correction) in igra pomembno vlogo pri vseh cevnih inˇstrumentih. Sam izraz
≫iztočni popravek≪ sem povzel po viru [10]. Njegova fizikalna obravnava je
v sploˇsnem zelo kompleksna, z nekaj poenostavitvami pa lahko pridemo do
uporabnega numeričnega rezultata, ki nam pomaga pri načrtovanju glasbila.
Izkaˇze se, da zrak, ki je blizu konca cevi, vibrira skupaj s tistim v cevi –
to predstavlja dodatno akustično impedanco, ki jo je potrebno upoˇstevati
pri dolˇzini nihajočega zračnega stolpca. Popravek je v sploˇsnem odvisen
od frekvence; za primer prečne flavte, ko je valovna dolˇzina vedno večja
od premera cevi, pa lahko to odvisnost zanemarimo. Akustično impedanco
10

tanke rezine zraka v cevi, ki jo ta predstavlja s svojo maso, lahko opiˇsemo
kot
dZ = iωρ dx
, (4)
S
kjer je ω kroˇzna frekvenca, ρ gostota zraka, S pa prečni presek cevi. Ko
motnja pripotuje do roba cevi, mora zanihati tudi zrak, ki je zunaj flavte.
Ta ima določeno maso in zato tudi svojo impedanco. Pribliˇzno jo lahko
ocenimo z integriranjem polkroˇznih rezin s polmerom r po polprostoru, v
katerega je flavta odprta:
� ∞ iωρdr iωρ
Z = = , (5)
R 2πr2 2πR
kjer smo integrirali od polmera cevi R do neskončnosti. Rezultat je identičen,
kot če bi po enačbi (4) izračunali akustično impedanco zraka v cevi s polmerom
R in dolˇzino R/2. Po tem izračunu torej zrak zunaj cevi vpliva na stoječe valovanje
tako, kot bi bila flavta za R/2 daljˇsa od svoje prave dolˇzine. Račun je
nekoliko nenatančen, saj smo z integracijo začeli ˇsele pri polmeru cevi, zraka
čisto pri koncu flavte pa nismo upoˇstevali. Prava pozicija vozlov je za 61 %
polmera izmaknjena iz cevi. Notranji polmer prečne flavte je 19 milimetrov,
torej je končni popravek ∆L = 0.61 ∗ 19 = 11, 6 milimetra. Z upoˇstevanjem
popravkov dobimo efektivno dolˇzino piˇsčali, ki ustreza frekvenci tona, ki ga
flavtist igra. Flavta je odprta na obeh koncih. Vendar pa zgornji račun velja
le za popravek dolˇzine pri nogi; popravek pri ustniku je odvisen od več spremenljivk.
Zgornji del flavte ali glava ima na majhnem stolpcu okrog odprtine
ustnika nameˇsčeno ploˇsčico, na kateri med igranjem počiva flavtistova spodnja
ustnica. Na eni strani se glava nadaljuje v trup, na drugi strani pa cev
zapira zamaˇsek, katerega pozicija je nastavljiva. Prostornina tega prostora
nad ustnikom, oblika ustnika in notranji profil glave so glavni dejavniki pri
uglaˇsevanju in kvaliteti tona; najpomembnejˇsi od teh treh pa je prav prostor
nad ustnikom. Napačna postavitev zamaˇska lahko razglasi spodnja registra
flavte tudi za pol tona, gledano relativno drugega na drugega [5]. Zamaˇsek,
ki je pritrjen na kroni, prikazuje slika 8.
Zrak, zaprt nad ustnikom, se obnaˇsa pribliˇzno tako kot resonator. Lastna
frekvenca njegovega nihanja je nekje okrog 5 kHz. Pri niˇzjih frekvencah se
obnaˇsa kot ˇzaporedno vezana”akustična impedanca v cevi, vendar njen vpliv
z niˇzanjem frekvence pada. Pravilno postavljen zamaˇsek zato manjˇsa vlogo
frekvenčno odvisnih končnih popravkov, hkrati pa v viˇsini omejuje obseg
flavte. Če zamaˇsek potisnemo daleč v flavto, lahko sicer povečamo obseg
glasbila, vendar pa posledično tudi močno razglasimo oktave. Akustično
impedanco ustnika lahko podobno kot v (4) opiˇsemo z enačbo
Ze = iρω le
11
Se
, (6)

Slika 8: Na sliki je zamaˇsek, ki je pritrjen na kroni flavte. Skrit je v glavi
flavte nad ustnikom. S spreminjanjem njegove lege uravnavamo notranjo
uglasitev flavte.
kjer je ρ gostota zraka, ω kroˇzna frekvenca, le in Se pa akustična dolˇzina
in povrˇsina ustnika. Slednja dva podatka je mogoče izračunati, vendar sta
odvisna od poloˇzaja flavtistovih ustnic pri igranju [8]. Impedanco zraka v
prostoru nad ustnikom opiˇsemo kot
Zc = ρc2
iωV
, (7)
kjer je V prostornina tega prostora, c pa hitrost zvoka v zraku. Če opiˇsemo
karakteristično impedanco cevi flavte s formulo
Z0 = roc
S
, (8)
kjer je S presek cevi, potem kombinacija akustičnih impedanc Ze in Zc opisuje
iztočni popravek pri zgornjem delu flavte. Tega lahko izrazimo kot
∆L = c
ω tan−1
⎛
⎞
leωS
⎝ � �⎠
.
cSe 1–
[4] (9)
leV ω2
c 2 Se
Obnaˇsanje iztočnega popravka je najbolj odvisno od volumna V in frekvence
tona. Frekvenčno odvisnost pri različnih pozicijah zamaˇska prikazuje graf
na sliki 9. Mi si frekvenčne odvisnosti ne ˇzelimo, zato je idealna pozicija
zamaˇska pribliˇzno 17 milimetrov od sredine ustnika – pri taki oddaljenosti
je popravek za frekvence do 2000 Hz skoraj konstanten. Končni popravek
za zgornji del flavte pri taki legi znaˇsa pribliˇzno 42 milimetrov (ob normalni
postavitvi flavtistovih ustnic) [4].
Če seˇstejemo oba končna popravka, do-
bimo rezultat, da je efektivna dolˇzina piˇsčali dobrih 53 milimetrov daljˇsa od
dejanske dolˇzine. Podobno ˇstevilko (51,5 mm) v svoji knjigi omenja ˇze Böhm
[4]. Najpomembnejˇsa posledica omenjenega spreminjanja poloˇzaja zamaˇska
12

v glavi flavte je tako imenovano ≫notranje uglaˇsevanje≪. Zunanje uglaˇsevanje
pomeni uglasitev enega tona (ponavadi komorni ton A) na neko drugo glasbilo
ali na točno določeno frekvenco. Tako uglasitev doseˇzemo s tem, da
glavo flavte nekoliko izvlečemo iz trupa ali jo potisnemo nekoliko globlje
[9]. Notranje uglaˇsevanje pa predstavlja spreminjanje samih intervalov med
toni. Te spremembe so zelo majhne, očitne pa postanejo pri velikih intervalih,
npr. oktavah, kjer mora biti frekvenca viˇsjega tona točno določen
večkratnik frekvence spodnjega tona.
Če je interval med oktavama prevelik,
potem je potrebno zamaˇsek nekoliko izvleči iz cevi, če je premajhen, moramo
zamaˇsek potisniti navznoter. Flavta je zato pihalo z najpreprostejˇsim notranjim
uglaˇsevanjem.
Slika 9: Na grafu lahko vidimo, da je končni popravek pri nizkih frekvencah
neodvisen od poloˇzaja zamaˇska, pri visokih pa se ta popravek kar precej
spreminja. ˇ Stevilka nad krivuljo pove, kako daleč od ustnika mora biti
zamaˇsek, da dobimo ˇzeljeno frekvenčno odvisnost. Pribliˇzno konstantni
popravek k dejanski dolˇzini za vse frekvence dobimo, če zamaˇsek namestimo
17 milimetrov od sredine ustnika [8].
6 Alikvotni toni in prepihovanje
Ko zaigramo noto določene viˇsine, se v cevi flavte pojavi stoječe valovanje,
ki na zgornjem in spodnjem robu zadoˇsča robnim pogojem, ki jih narekuje
odprta cev (akustični tlak je pribliˇzno nič). Tem pogojem pa ne zadoˇsča
13

samo nihanje s točno določeno frekvenco, pač pa je takih nihanj cela vrsta.
Ponavadi v skico cevi nariˇsemo polovico stoječega vala od enega do drugega
odprtega konca cevi; to je osnovna frekvenca. Zraven nje se pojavi ˇse nihanje
s pol krajˇso valovno dolˇzino oz. frekvenco, ki je dvakratnik osnovne (ν1 =
2 ∗ ν0), nihanje s trikratno frekvenco (ν2 = 3 ∗ ν0), ˇstirikratno, petkratno itd.
Toni, ki zvenijo zraven osnovnega, se imenujejo alikvotni ali viˇsji harmonski
toni. Skupaj z osnovnim tonom tvorijo značilen zven glasbila, ki ga včasih
imenujemo tudi ≫barva≪ zvoka. Prvih 15 alikvotnih tonov prikazuje slika 10.
Slika 10: Na sliki so notirane viˇsine prvih 15 viˇsjih harmonskih tonov ali
alikvotov. Razlike v frekvencah alikvotnih tonov so konstantne, frekvenčne
razlike poltonov pa rastejo hkrati s frekvenco (ν0+1/2 − ν0 = ν0(2 1/12 − 1)).
Zato imamo pri viˇsjih alikvotih teˇzave z njihovim zapisom v obliki not.
Osnovni ton je običajno najglasnejˇsi, zato je tudi najbolj sliˇsen, prisotnost
alikvotnih tonov pa je v zvenu ponavadi teˇzko zaznati. Različna zastopanost
posameznih alikvotnih tonov nam omogoča, da ločimo zven različnih glasbil,
čeprav igrajo vsa isti ton. Zastopanost posameznih viˇsjih harmonskih
frekvenc nam razkrije zvenska analiza; napravimo jo s preprosto Fourierovo
transformacijo zvena. Seveda zastopanost posameznih alikvotov tudi pri istem
glasbilu ni vedno enaka, pač pa je odvisna od viˇsine tona in glasnosti
igranja. Za flavto je na primer značilno, da je v nizkih legah pri normalni
glasnosti nekaj prvih alikvotnih tonov celo glasnejˇsih kot je osnovni. Kot
primer lahko na sliki 11 pogledamo spekter najniˇzjega tona, ki ga ˇse lahko
zaigra moderna flavta s C-nogo – to je ton C1.
Če igramo na primer ton C1, pri tem obrnemo flavto nekoliko proti sebi in
pihnemo močneje, se bo oglasil prvi alikvotni ton - eno oktavo viˇsji C2. Ta po-
jav imenujemo prepihovanje.
Če pihnemo ˇse močneje, lahko flavta prepihuje
tudi v viˇsje alikvotne tone. Zanimivo je, da lahko z enako močnim pihanjem
igramo različne viˇsje harmonske tone. Ko namreč igramo nek alikvot,
bo flavta vztrajala v tem nihajnem načinu, četudi bomo spreminjali tlak v
ustih in s tem hitrost curka zraka na ustnik. Če pa ˇzelimo, da se oglasi točno
14

Slika 11: Graf prikazuje spekter zvena moderne flavte s C-nogo, ki igra ton
C1. Amplituda alikvotov sicer v sploˇsnem res pada s frekvenco, vidimo pa
lahko, da je osnovni ton tiˇsji od prvih treh alikvotov.
določen alikvot, moramo pihniti z ravno primerno hitrostjo. Tlak v ustih,
posledično pa hitrost curka in hitrost ˇsirjenja motnje v cevi, je torej odločilni
dejavnik, od katerih je odvisno, kateri alikvotni ton se bo oglasil pri prepihovanju.
Graf na sliki 12 prikazuje meritve priporočenih in ˇse mogočih tlakov
pri prepihovanju orgelske piˇsčali v osnovni in prvih treh viˇsjih harmonskih
frekvencah.
Slika 12: Z omejenimi črtami je na grafu označeno območje tlakov, pri katerih
ˇse lahko poje določen alikovt (ali osnovni ton), s pikico pa je označen
priporočen tlak, s katerim moramo pihniti, da se alikvot sploh oglasi.
15

7 ≫Odrezane≪ frekvence
Ko na flavti odpremo tonsko luknjo, v tistem delu cevi zračni tlak izenačimo
z zunanjim in tako skrajˇsamo efektivno dolˇzino cevi. Seveda je tu odločilnega
pomena velikost luknje; ˇze Böhm je ugotovil, da morajo biti luknje čimvečje,
da dobimo oster, čist in jasen ton. Majhne luknje (na primer registrske) ne
ustavijo potovanja valov po cevi, pač pa v svoji bliˇzini le ustvarijo tlačni vozel.
Drugače je pri tonskih luknjah: tam se odbije večina nizkofrekvenčnih valov,
saj odprta tonska luknja predstavlja neke vrste nizkoimpedančni akustični
kratki stik do zunanjega zraka. Zrak okrog luknje ima svojo maso, torej ima
tudi svojo impedanco; če hoče zračni val iz cevi potovati skozi luknjo, mora
to maso pospeˇsiti. Impedanca zraka v okolice luknje je v primerjavi s steno
flavte zanemarljiva, ni pa nična. Z uporabo Newtonovega zakona lahko za
preprost primer pospeˇsevanja zraka temu pripiˇsemo impedanco
Z = p
vS
= F
v
= imω . (10)
Vidimo, da impedanca naraˇsča z viˇsanjem frekvence - impedanca zraka v
luknji se bliˇza impedanci stene in luknja ima vse manjˇsi vpliv. Zrak v luknji
zato nekoliko odbije val visoke frekvence, saj je luknja na videz bolj zaprta
kot za nizkofrekvenčni val. Pri nekoliko viˇsjih frekvencah se del motnje razˇsiri
tudi za prvo odprto tonsko luknjo, valovi zelo visokih frekvenc pa potujejo
mimo vseh lukenj do konca cevi. Odprte tonske luknje se torej obnaˇsajo kot
frekvenčni filter – valovi nizkih frekvenc se ustavijo, visokofrekvenčni valovi
pa nemoteno potujejo naprej (slika 13).
Slika 13: Slika prikazuje dve različni motnji, prvo nizkofrekvenčno, ki se na
odprti luknji odbije in potuje nazaj proti glavi, in drugo visokofrekvenčno,
ki ne more pospeˇsiti zraka v tonskih luknjah in zato potuje neovirano naprej
po cevi.
Pri Böhmovi flavti je mejna frekvenca nekaj nad 2 kHz. To je najlepˇse
vidno pri spektralni (zvenski) analizi tona A1 (spomnimo se, da flavta igra pri
minimalni akustični impedanci). Prve ˇstiri resonance postajajo z naraˇsčajočo
frekvenco vedno manj izrazite – to je posledica izgub zaradi trenja zraka ob
16

stenah flavte, ki imajo z viˇsanjem frekvence vedno večji pomen. Nad 2 kHz
pa so resonance občutno ˇsibkejˇse – valovi teh frekvenc potujejo mimo odprtih
tonskih lukenj in se delno skozi njih postopoma izsevajo vzdolˇz flavte. Tudi
razmik teh resonanc je nekoliko večji kot je razmik med prvimi resonancami
(slika 14, levo).
Slika 14: Na grafu je obnaˇsanje akustične impedance v odvisnosti od
frekvence. Pri tonu A1 so prvi ˇstirje minimumi ostri in jasni, nad 2 kHz
pa so minimumi zaradi efekta odrezanih frekvenc veliko bolj zabrisani. Ton
C1 igramo s celotno dolˇzino flavte, zato opisani efekt ne pride do izraza.
Minimumi viˇsjih redov zato njihove intenzitete postopoma padajo.
Pri najniˇzji noti, ki jo flavta lahko zaigra (pri C-nogi je to C1, pri H-nogi
pa mali h), na cevi ni nobene odprte tonske luknje, zato efekt odrezanih
frekvenc ne pride do izraza. Na grafu lahko vidimo enakomerno padanje
intenzitete resonanc (slika 14, desno).
Če bi bili viˇsji alikvoti dovolj močni,
bi posledično najniˇzji ton imel precej drugačen zven, kot ostali, kjer ima
omenjen efekt močnejˇsi vpliv. V tem primeru bi morali konec flavte narediti
razˇsirjen v zvon, saj tak zaključek cevi odbija nizke frekvence, prepuˇsča pa
visoke. Take oblike sta na primer oboa in klarinet; mejna frekvenca njune
zvonaste noge mora biti primerljiva z mejno frekvenco opisanega efekta.
8 Frekvenčni odziv flavte
Na koncu poglejmo ˇse obnaˇsanje akustične impedance flavte na ˇsirˇsem frekvenčnem
območju. Za ta namen lahko izberemo prijem na flavti s C-nogo, ki ga
uporabljamo za igranje not C#2 in C#3.
17

Pod 2 kHz je obnaˇsanje akustične impedance pričakovano; podoben odziv
ima preprosta cilindrična cev – močno ojača osnovno frekvenco in njene mnogokratnike.
Nad 2 kHz postanejo resonance komaj ˇse zaznavne, saj je v tem
območju mejna frekvenca; viˇsje frekvence se na odprtih tonskih luknjah več
ne odbijajo. Okrog 5 kHz resonance skorajda izginejo – to je posledica zraka
med ustnikom in zamaˇskom, ki se obnaˇsa kot resonator s pribliˇzno tako lastno
frekvenco.
Če pozorno opazujemo razmik med resonancami, lahko opazimo,
da je ta v območju nizkih frekvenc pričakovan – okrog 600 Hz, kar ustreza
tonu C#2. Pri viˇsjih frekvencah pa se resonance pojavljajo veliko bolj skupaj
– povprečna razdalja med njimi je okrog 260 Hz. To ustreza tonu C1, ki ga
igramo s celotno dolˇzino flavte. Razlog za to so spet odrezane frekvence –
valovi v visokofrekvenčnem območju potujejo mimo odprtih tonskih lukenj,
saj je impedanca zraka v njih prevelika. Odbijejo se ˇsele na koncu cevi in
tako ojačajo nekatere alikvote tona C1. Ker so te frekvence ˇze zelo visoke,
na zven nimajo pomembnega vpliva. Na koncu si lahko ogledamo ˇse sploˇsno
obliko krivulje, ki ima maksimum nekje pri 9 kHz. Tako značilno obliko ji
da nizek stolpič okrog ustnika, na katerem je ploˇsčica za ustnice. Zrak v tem
stolpiču in v njegovi bliˇzini (zaradi končnega popravka) ima svojo akustično
impedanco. Polna črta na grafu prikazuje teoretično obnaˇsanje akustične
impedance take izredno kratke in ˇsiroke cevi.
Slika 15: Na sliki lahko vidimo akustično impedanco flavte na ˇsirokem
frekvenčnem pasu. Lepo so vidni efekti odrezanih frekvenc, dela flavte nad
ustnikom kot resonatorja in impedance zraka v stebričku ustnika.
18

9 Literatura
[1] Matej Zupan, Bone flute
(http://www.matejzupan.com, zajeto 12. maj 2009).
[2] Wikipedia, The Free Encyclopedia: Divje babe flute
(http://en.wikipedia.org/wiki/Divje Babe, zajeto: 12. maj 2009).
[3] Wikipedia, The Free Encyclopedia: Flute
(http://en.wikipedia.org/wiki/Flute).
[4] T. Bœhm, The flute and flute playing (Dover publications, inc., New
York, 1964).
[5] J. Wolfe, Flute acoustics: an introduction
(http://www.phys.unsw.edu.au/jw/fluteacoustics.html, zajeto 12. maj
2009).
[6] J. Wolfe, What is acoustic impedance and why is it important?
(http://www.phys.unsw.edu.au/jw/z.html, zajeto 12. maj 2009).
[7] Wikipedia, The Free Encyclopedia: Acoustic impedance
(http://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic impedance, zajeto: 12. maj
2009).
[8] N. H. Fletcher, T. D. Rossing, The physics of musical instruments
(Springer-Verlag, New York, 1998).
[9] J. Wolfe, Tuning woodwinds
(http://www.phys.unsw.edu.au/jw/tuning.html, zajeto 13. maj 2009).
[10] B. Ravnikar, Osnove glasbene akustike in informatike (DZS, Ljubljana,
2001).
19