rama i kratownica - Instytut Konstrukcji Budowlanych

POLITECHNIKA POZNAŃSKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI
Projekt wykonał:
Krzysztof Wójtowicz
Konsultacje:
dr inż. Przemysław Litewka
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych
metodą sił.
Rama
25kN
I2
I2
I1
I1
I1
4
6kN/m
I2
I2
4 4
[m]
I 1 - I 240 =4250 cm 4
I=I 2 - I 220 =3060 cm 4
E=205GPa
α t =1,2*10 -5 o C -1
I 1 =1,39*I2

Układ podstawowy
25kN
X1
X2
X2
X1
4
X3
6kN/m
4
X3
4
[m]
Warunki kinematycznej zgodności układu rzeczywistego z układem podstawowym
⎧∆u
= ul
+ u p = 0 ⎧X1δ11
+ X 2δ12
+ X 3δ13
+ ∆1P
= 0
⎪
⎪
⎨∆v
= vl
+ v p = 0 ⇒ ⎨X1δ
21 + X 2δ
22 + X 3δ
23 + ∆2P
= 0
⎪
⎪
⎩
∆ϕ = ϕd
+ ϕ g = 0 ⎩X1δ
31 + X 2δ32
+ X 3δ33
+ ∆3P
= 0
Stan „p”
25kN
I2
I2
I1
I1
I1
4
6kN/m
a
I2
4 I2 4
Va=11,5kN
[m]
b Hb=25kN
Vb=36,5kN
∑
∑
8 * V
V
b
X :
M
a
b
H
b
: - V
= 100 + 192
= 36,5kN
= 25kN
b
*8 + 25 * 4 + 6 *8 * 4
∑
8V
V
a
M
a
b
: V
z
= 192 −100
= 11,5kN
*8 + 25* 4 − 6*8* 4 = 0

Wykres momentów w stanie „p”
Mp [kNm]
100
100
98
Stan X 1 =1 Wykres momentów w stanie X 1
I2
1=X1
1=X1
I2
I1
I1
I1
4
M1 [m]
Va=0
I2
4
I2
4
Vb=0
4
Hb=0
4
4
4
Stan X 2 =1 Wykres momentów w stanie X 2
I2
X2=1
I2
4
X2=1
4
I1
I1
I1
4
M2 [m]
Va=0
I2
4
I2
4
Vb=0
Hb=0
4
4

Stan X 3 =1 Wykres momentów w stanie X 3
I2
I2
I1 I1 I1
4
M3 [-]
Va=0
I2
X3=1
1=X3
I2
4 4
Vb=0
Hb=0
1
1
1
1
δ
=
δ
12 = δ21
= ∫
55,02
EI
2
13 = δ31
= ∫
5,33
= − −
EI *1,39
2
δ23 = δ32
= 0
δ
11
158,7
=
EI
δ
=
δ
=
22
2
M1*M2
EI
1
dx = ( *4*4*4)*
2
1
EI
EI*[ δ ] = (m*m*m) + (m*m*m) = m
M1* M3
dx = -
EI
16
EI
2
1
(
2
19,83
= −
EI
2
1
2
* 4 * 4 * *1) *
3
M1* M1 1 2
= ∫ dx = 2( * 4 * 4 * * 4) *
EI 2 3
88,71
EI
33
= ∫
2
M2 * M2
EI
EI *[ δ ] =
1
EI
1
1
+ ( *4*4*4)*
2
1
EI
1
−
3
1
EI
(4 * 4 *1) *
2
-(m * m) - (m * m)
+ (4 *8* 4) *
EI *[δ ] = (m * m * m) + (m * m * m) = m
dx =
1 2
2 * ( * 4 * 4 * * 4) *
2 3
M3* M3 1 2
= ∫ dx = 2( *1* 4 * *1) *
EI 2 3
5,92
EI
2
1
EI
2
1
EI
EI *[ δ ] = (m * m * m) + (m * m * m) = m
1
EI
EI * [δ ] = (m) + (m) = m
1
+
3
2
(4 * 4 * 4) *
+ (1* 4 *1) *
1
EI
2
32
= +
EI *1,39
1
EI
2
=
2
= m
2
2
42,67
= +
EI *1,39
1
EI
3
1
=
2
128
EI
42,67
+
EI EI
2,67
= +
EI *1,39
2
4
EI
2
2
2
32
EI
=
2
64
=
*1,39
=

Mp * M1
2
1 2 1 1
2 6 *8
∆1P
= ∫ dx = −(
*100 * 4 * * 4) * − ( *100 *8* 4 + *
EI 2 3 EI1
2
3 8
533,33 2624 3007,69
= − − = −
EI 2 *1,39 EI 2 EI 2
kN 2
3
EI *[∆ ] = (kNm * m * m) − (kNm * m * m + * m * m * m) = kNm
m
1
*8* 4) *
EI 2
=
∆ 2P = ∫
1
[
2
2
* 4 * 4(
3
Mp * M2
EI
1
1
dx = −(
*100 * 4 * 4) * −
2
EI1
2
1 2 6 * 4 1 1
*100 + * 98) + * * 4 * * 4]*
3 3 8 2 EI2
800 858,67
= − −
EI2
*1,39 EI2
1434,21
= −
EI2
kN 2
EI *[ ∆ ] = (kNm * m * m) − [m * m(kNm + kNm) + * m * m * m] = kNm
m
3
∆3P
= ∫
Mp * M3
dx =
EI
1
(
2
* 98 * 4 *1 +
2
2 6 * 4
*
3 8
kN 2
EI *[ ∆ ] = (kNm * m + * m * m) = kNm
m
2
* 4 *1) *
1
EI
2
=
228
EI
2
Ms= M1+M2+M3
Sprawdzenie globalne współczynników
4
4
M s [kNm ]
8
8
1
4
3
3
3
∫
MsMs
dx =
EI
3
3
∑∑
i= 1 k=
1
323,71
=
EI
MsMs 1 2 1
∫ dx = [ *4*4*( *4 + *8) +
EI 2 3 3
1 2 1 2
+ [ *4*4* *4 + *4*4*( *4 +
2 3 2 3
δ
ik
1
*8*4*(
2
1
*8)
3
+
1 2
*4 + *8) +
3 3
2
*8 +
3
1
*8*4*(
2
1
*1*4*
2
1
*4)
3
2 1 2
*1+
*3*4* *3]*
3 2 3 EI
1 323,69
+ 3*4*3]* =
EI EI
1
*1,39
+

Sprawdzenie wierszowe współczynników
4
Ms
M1 [m]
8
1
4
3
3
3
4
4
4
4
Ms * M1
193,89
∫ dx = δ11
+ δ12
+ δ13
=
EI
EI
Ms * M1 1
2 1 2
∫ dx = [ * 4 * 4 * (4 + * 4) + * 4 * 4 * * 3) *
EI 2
3 2 3 EI
1
1 193,89
[4 * 4 * (4 + * 4) + 4 * 4 * 3]* =
2
EI EI
1
*1,39
Sprawdzenie kolumnowe współczynników
+
4
4
8
Ms [kNm]
8
1
4
3
3
3
100
100
Mp [kNm]
98
∫
∫
Ms*Mp
4213,9
dx = ∆1P
+ ∆ 2P + ∆3P
= −
EI
EI
Ms*Mp 1 2
1 1 2 1 1
dx = − *100*4*( *4 + 4)* −[
*100*4*( *4 + 4) + *98*4*( *4 + 4) +
EI 2 3 EI*1.39 2 3 2 2
2
*
3
6*4
8
2
1
*4*( *4 + 4) +
2
1
*98*4*3
2
+
2
*
3
6*4
8
2
1 4213,9
*4*6]* = −
EI EI

Obliczenie nadliczbowych
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
+
−
=
−
+
=
−
−
+
2
2
2
3
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
3
2
2
2
1
*EI
0 |
EI
228
)
EI
5,92
*(
X
)
EI
19,83
*(
X
*EI
0 |
EI
1434,2
)
EI
88,71
*(
X
)
EI
55,02
*(
X
*EI
0 |
EI
3007,7
)
EI
19,83
*(
X
)
EI
55,02
*(
X
)
EI
158,7
*(
X
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= −
+
−
=
+
=
−
+
228
5,92*X
19,83*X
1434,2
88,71*X
55,02*X
3007,7
19,83X
55,02*X
158,7*X
3
1
2
1
3
2
1
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
kNm
X
kN
X
kN
X
39,51
1,72
23,29
3
2
1
[m]
4
4
4
39,51=X3
39,51=X3
X2=1,72
X1=23,29
X1=23,29
25kN
11,5
36,5
25
6kN/m
Wykres momentów dla układu rzeczywistego
39,51 53,64
53,64
4,84
44,35
0,04
0,04
6,84
6,84
M[kNm]

Kontrola kinematyczna
Do kontroli kinematycznej (zgodnie z twierdzeniem redukcyjnym) przyjmujemy nowy
układ podstawowy i obliczamy przemieszczenie kątowe w punkcie „b”, które po
wyliczeniu powinno wynieść „0”
4
M o
Va=0
4 4
1
b
1
Vb=0
H b=0
1 1
1
1
1 2 1 2
*1*4* *53,64 *1*4* *39,51
ϕ =
2 3
−
2 3
+
EI*1,39 EI*1,39
51,45 − 37,9 + 107,28 − 88,7 − 32 0,13
=
= ≈ 0
EI
EI
0,13
*100%
107,28
= 0,12%
−
1* ϕ
= ∑∫
M *M
dx = 0
EI
1
*53,64 4*1* *44,35
− 2 −
EI
EI
1
4*1*
2
Wykresy sił normalnych i poprzecznych dla układu rzeczywistego
o
2
2 6*4
* *4*1
3 8
=
EI
-23,29 -23,29
-
+
N[kN]
-1,72
-13,41
-
-
-13,41
-1,72
-
1,71
+
13,22
T[kN]
-1,72
+
9,88
+
13,41
-1,71
-
-1,72
-
-1,71
-11,59 -11,59
1,71
+
-
-10,78
9,88
-
13,41
-12,5
-36,5

Dla miejsca zerowego siły poprzecznej znajdujemy wartość max. momentów.
T(x) = −6x
+ 13,22 = 0 ⇒ x = 2,2m
M(x) = -6x
M(2,2) = 14,52kNm
2
+ 13,22x − 0,04
6,84
6,84
M[kNm]
53,64
0,04
0,04
39,51 53,64
4,84
14,52
44,35

Obciążenie zmianą temperatury
tm=+25°C
+20°C
I2
I2
+20°C
I1
+15°C
I1
+15°C
I1
4
+20°C
I2
4
K
-5°C
4
I2
[m]
I1- I 240 =4250 cm 4
I2- I 220 =3060 cm 4 Układ podstawowy
X2
X1
X2 X1
+20°C
+20°C
+15°C
+15°C
4
+20°C
a
Va
4
X3
X3
-5°C
4
[m]
b
Vb
Hb
Warunki kinematycznej zgodności układu rzeczywistego z układem podstawowym
⎧∆u
= ul
+ u p = 0 ⎧X1δ11
+ X 2δ12
+ X 3δ13
+ ∆1P
= 0
⎪
⎪
⎨∆v
= vl
+ v p = 0 ⇒ ⎨X1δ
21 + X 2δ
22 + X 3δ
23 + ∆2P
= 0
⎪
⎪
⎩
∆ϕ = ϕd
+ ϕ g = 0 ⎩X1δ
31 + X 2δ32
+ X 3δ33
+ ∆3P
= 0
tm=+25°C
to= -7,5°C
+20°C
|∆t|=5°C
+20°C
to= -7,5°C |∆ t|=5°C
+15°C
to= -10°C |∆t|=0
+15°C
to= -7,5°C |∆t|=5°C
4
+20°C
to= -20°C |∆t|=20°C
4
-5°C
4
[m]

Stan X 1 =1 Wykres sił normalnych w stanie X 1
1=X1
1=X1
-1
-
-
-1 -1
-1
4
N1[-]
Va=0
4
4
Hb=0
Vb=0
1
+
1 1
+
1
Stan X 2 =1 Wykres sił normalnych w stanie X 2
X2=1
1
-1
X2=1
4
+
N2[-]
-
Va=0
4
4
Vb=0
H b=0
1
-1
Stan X 3 =1 Wykres sił normalnych w stanie X 3
4
N3[1/m]
+
0,25 0,25
Va=0
X3=1
1=X3
4 4
Vb=0
Hb=0
-0,25
-
-0,25

Do obliczenia sił nadliczbowych od obciążeń spowodowanych zmianą temperatury został
przyjęty układ podstawowy identyczny jak w przypadku obliczeń od obciążeń zewnętrznych,
dlatego współczynniki δ 11 , δ
22,
δ33,
δ12,
δ13,
δ 23 nie zmieniają swej wartości. Obliczamy tylko
przemieszczenia po kierunku X1,X2,X3 ( ∆ 1 P , ∆2P
, ∆3P
) spowodowane zmianą temperatury.
−
−
∆t
∆iP
= ∑∫ N α t t odx
+ Miα
t dx
i
∑∫
h
1
*4*4*5
−5
4*8*20
∆
2
1P = 1,2*10 [( −1*(
−7,5)*8
+ 1*( −20)*8)
+ ( − *2 + )] = 0,02971[m]
0,24 0,22
1 1
*4*4*5 *4*4*20
−5
2 2
4*4*5
∆2P = 1,2*10 [(1*4*( −7,5)
+ ( −1)*4*(
−10))
+ ( − +
− )] = 0,00267 [m]
0,22 0,22 0,24
1
*1*4*5
−5
2 1*4*20
∆3P=
1,2*10 [(0,25*4*( −7,5)
+ ( −0,25)*4*(
−20)
+ ( − )] = −0,00371[-]
0,24 0,22
2
6 kN
−8
4
2
EI=EI 2 = 205GPa *3060cm = 205*10 *3060*10 m = 6273kNm
2
m
⎧
⎪X
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
1
2
2
Obliczenia nadliczbowych
158,7 55,02 19,83
*( ) + X 2 *( ) − X3
*( ) + 0,02971 = 0 | *EI
EI2
EI2
EI2
55,02 88,71
X1
*( ) + X 2 *( ) + 0,00267 = 0 | *EI2
EI2
EI2
19,83 5,92
− X1
*( ) + X3
*( ) − 0,00371 = 0 | *EI2
EI EI
⎧X1
*(158,7) + X 2 *(55,02) − X3
*(19,83) + 0,02971*6273 = 0
⎪
⎨ X1
*(55,02) + X 2 *(88,71) + 0,00267*6273 = 0
⎪
⎩ − X1
*(19,83) + X3
*(5,92) − 0,00371*6273 = 0
⎧158,7*X1
+ 55,02*X 2 −19,83X3
= -186,371
⎪
⎨ 55,02*X1
+ 88,71*X 2 = −16,75
⎪
⎩ −19,83*X1
+ 5,92*X3
= 23,273
⎧ X1 = −1,686 kN
⎪
⎨ X 2 = 0,857 kN
⎪
⎩X3
= −1,715 kNm
2

X1=1,686
X1=1,686
X2=0,857
X2=0,857
4
X3=1,715
Hb=0
Va=0
4
X3=1,715
4
[m]
Vb=0
Wykres momentów od zmiany temperatury
3,428
3,428
M[kNm]
3,316
3,316
5,029
6,744
1,715
5,029
5,029
Kontrola kinematyczna
Do kontroli kinematycznej (zgodnie z twierdzeniem redukcyjnym) przyjmujemy nowy
układ podstawowy i obliczamy wzajemne przemieszczenie kątowe w punkcie „a”, które po
obliczeniu powinno wynieść „0”
4
M
1
a
1
Va=0
4 4
Hb=0
Vb=0
1 1
1 1

-0,25
-
N[1/m]
-0,25
0,25
+
0,25
3,428
Wykres momentów od zmiany temperatury
3,428
M[kNm]
3,316
3,316
5,029
6,744
1,715
5,029
5,029
ϕ = [
1
2
20
1*4*
0,22
*1*4*( −
−
1* ϕ =
2
*3,316
3
+
_
M *M
EI
1
*3,428)
3
∑∫
dx +
−
∑∫
1
*1*4*
2
_
M αt
∆t
h
dx +
2
*1,715]*
3
∑∫
1
6273*1,39
(3,316 + 6,744)
+ ( −0,25)*4*(
−7,5)
+ 0,25*4*( −20)]
+ [ −
2
_
Nαttodx
= 0
−5
1 5
+ 1,2*10 *[ − *1*4* +
2 0,24
1
*4*1]
6273
Wykresy sił normalnych oraz poprzecznych spowodowanych zmianą temperatury
−7
= −9,778*10
rad ≈ 0
0,857
1,686
+
1,686
1,257
+
-0,857
1,257
1,686
-0,857
-
-0,857
-0,429
-1,275
+
N[kN] -
+
T[kN]
-
-
0,857
-1,686 -1,686
-1,257 -1,257
-
-
-0,857
1,686
0,857
+
0,857
-0,429
-1,275

Przemieszczenie pionowe punktu K od temperatury
Przyjmujemy dowolny układ podstawowy ( zgodnie z twierdzeniem redukcyjnym) i
obliczamy przemieszczenie w pkt. K
I2
I2
I1
I1
I1
4
M[m]
V a = 0 ,5
I2
K I2
4 1 4
H b = 0
V b = 0 ,5
2
Wykres momentów od zmiany temperatury
3,428
3,428
M[kNm]
3,316
3,316
5,029
6,744
1,715
5,029
5,029
δ
t
= [
1
2
2
* 2* 4*( *6,744 +
3
1
*3,316)
3
+
1
2
* 2* 4*5,029]*
1
EI
−
1 20
( * 2* 4* *1,2*10
2 0,22
−5
) * 2 = −0,004092[m]
Przemieszczenie pionowe punktu K od obciążenia zewnętrznego
Do obliczenia przemieszczenia od sił zewnętrznych posłużymy się tym samym układem
podstawowym, co powyżej.
6,84
6,84
M[kNm]
53,64
0,04
0,04
39,51
14,52
4,84
53,64
44,35
δ = [
P
1
2
1
* 2* 4*( *0,04 +
3
2
2 6* 4
+ *
3 8
1
* 4*
2
* 2]*
1
EI
2
3
* 4,84) +
= 0,01972[m]
2
2 6* 4
*
3 8
1
* 4*
2
* 2 +
1 2
* 2* 4*(
2 3
* 44,35 −
1
*53,64)
3
+

Kratownica
G − 1EA D -1EA K -1,5EA S -1,5EA α = 45 sinα
= cosα
= 0, 707
o
20 kN
30 kN
1 2 3 4
7
5,66
α=45°
5
6
α=45°
8
9 10
α=45°
11 12
α=45°
13
4
14 15 16 17
4x4
SSN=2
Układ podstawowy
20 kN
30 kN
X2
A
B
X2
4
C
4x4
X1
Warunki kinematycznej zgodności układu rzeczywistego z układem podstawowym
⎧Vc
= 0 ⎧δ11X1+
δ12X2
+ ∆1P
= 0
⎨ ⇒ ⎨
⎩∆AB
= 0 ⎩δ21X1+
δ22X2
+ ∆2P
= 0

Stan „P”
20 kN 30 kN
1 2 3 4
5 6 9
8
10
11
12 13
4
45°
14 15 16 17
4x4
*w przypadku, gdy pręt 7 nie jest obciążony siłą X2 wartość siły normalnej w tym pręcie wynosi „0” i nie
uwzględniamy tego pręta na rysunku
Np [kN]
140
90
60
30
70,72
30 30 30
42,433
42,433
42,433
90
60
30
Stan X 1 =1
1 2 3 4
X1=1
7
5 6
7
8 9
11
X1=1
10
12
13
4
14 15 16 17
4x4

0,707
N1 [-]
0,707
1
1
0,707
0,707
Stan X 2 =1
1 2 3 4
5
6
8
9
10
11
12 13
4
14 15 16 17
4x4
X2=1
N2 [-]
3 2 1
1,414
1
1,414
1 1
1,414
2 1

Tabela z obliczeniami współczynników δ 11,δ22,δ12
= δ21,∆1P
, ∆2P
, zestawienie sił
normalnych dla układu rzeczywistego w poszczególnych prętach oraz kontrola kinematyczna.
*kreska w tabeli oznacza wartość równą „0”
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Lp.
L (N1N1)L (N2N2)L (N1N2)L (N1Np)L (N2Np)L N(H)[-] dla N*N(H)*L
Np [kN] N1 [-] N2 [-]
N [kN]
EA EA EA EA EA EA H1=1 EA
1 4 140 0 -3 - 36,000 - - -1680,000 4,319 0,999 17,259
2 4 90 0,707 -2 1,999 16,000 -5,656 254,520 -720,000 8,584 0,666 22,867
3 4 60 0 -1 - 4,000 - - -240,000 14,773 0,333 19,678
4 4 30 0 0 - - - - - 30,000 0 -
5 3,8 -70,721 0 1,414 - 7,544 - - -377,331 -6,770 -0,471 12,032
6 2,7 30 0,707 -1 1,333 2,667 -1,885 56,560 -80,000 -6,189 0,333 -5,496
7 3,8 0 -1 0 3,773 - - - - -12,783 0 -
8 3,8 -42,433 -1 1,414 3,773 7,544 -5,335 160,114 -226,401 8,735 -0,471 -15,524
9 2,7 30 0,707 -1 1,333 2,667 -1,885 56,560 -80,000 -6,189 0,333 -5,496
10 3,8 -42,433 0 1,414 - 7,544 - - -226,401 21,518 -0,471 -38,243
11 2,7 30 0 -1 - 2,667 - - -80,000 -15,227 0,333 -13,522
12 3,8 -42,433 0 0 - - - - - -42,433 0 -
13 2,7 0 0 0 - - - - - 0,000 0 -
14 4 -90 0 2 - 16,000 - - -720,000 0,454 -0,666 -1,209
15 4 -60 0,707 1 1,999 4,000 2,828 -169,680 -240,000 -5,735 -0,333 7,640
16 4 -30 0 0 - - - - - -30,000 0 -
17 4 0 0 0 - - - - - 0,000 0 -
δ=
14,211 106,633 -11,934 358,074 -4670,133 -0,016
EA EA EA EA EA EA
*kolumna 1 zawiera zestawienie numeracji prętów
* w kolumnie 2 dla prętów o sztywności EA (1-4 oraz 14-17) została podana długość prętów
natomiast dla prętów o sztywności 1,5EA (5-13) długość prętów została podzielona przez 1,5 w celu
ujednolicenia sztywności.
*Kolumna 3-5 zawiera zestawienie sił normalnych dal poszczególnych stanów
*Ostatni wiersz kolumn 6-10 zawiera obliczone współczynniki δ 11,δ22,δ12
= δ21,∆1P
, ∆2P
N N
N N
obliczone ze wzoru δ
i ⋅ k
L ; ∆
i ⋅ P
ik = ∑ ⋅ iP = ∑ ⋅L
EA
EA
*Kolumna 11 zawiera zestawienie sił normalnych dla układu rzeczywistego
*Kolumna 12 zestawienie sił normalnych N(H) powstałych od siły H1=1 (patrz poniżej „Kontrola
kinematyczna”)
*Wiersz ostatni kolumny 13 – przemieszczenie punktu A (patrz poniżej „Kontrola kinematyczna”)
Po podstawieniu wartości z tabeli do równań kinematycznej zgodności otrzymujemy
⎧14,211
11,934 358,074
⎪
X1−
X2 + = 0
EA EA EA
⎨
⎪ 11,934 106,633 4670,133
− X1+
X2 − = 0
⎩ EA EA EA
| *EA
| *EA
⎧14,211X1−11,934X2
= −358,074
⎧X1
= 12,783 kN
⎨
⇒ ⎨
⎩−11,934X1+
106,633X2 = 4670,133 ⎩X2
= 45,227 kN
Obliczenia sił normalnych w kratownicy zostały przedstawione w tabeli powyżej (kol.11)
Do obliczenia sił posłużono się zasadą superpozycji korzystając ze wzoru:
= Np + X ⋅ N1 + X N2
N 1 2 ⋅

Wykres sił normalnych dla układu rzeczywistego
20 kN
N[kN]
30 kN
4,319
8,584
14,733
30
6,770
6,189
8,735
6,189
21,518
15,227
42,433
12,783
0,454
5,735
30
X2=45,227
Kontrola kinematyczna
Przyjmujemy nowy układ podstawowy (zgodnie z tw. redukcyjnym).
20 kN 30 kN
H1
A
1 2 3 4
X1
7
6
8
5
7
X1
4x4
9
11
10
12 13
14 15 16 17
4
Obliczamy przemieszczenie po kierunku H(A) , które w naszym przypadku powinno
wynieść „0”
δ A
= 0

Stan H1=1
1 2 3 4
5
6
8
9
10 11
12 13
H1=1 A
14 15 16 17
0,333 kN
Wykres sił normalnych od H1=1
N(H) [-]
0,999
0,666
0,333
0,471
0,333
0,471
0,333
0,471
0,333
A
0,666
0,333
Zgodnie z zasada pracy wirtualnej oraz twierdzeniem redukcyjnym nasze przemieszczenie
obliczamy ze wzoru;
N ⋅ N(H)
δ A = ∑ ⋅L
EA
Obliczenia zamieszczono w tabelce powyżej.
0,016
Wartość obliczonego przemieszczenia wynosi δ A = − , co stanowi błąd rzędu 0,04%,
EA
zatem możemy przyjąć, że nasze przemieszczenie jest równe „0”