III. Primjene trigonometrije

1
2

3 Primjene trigonometrije
3.1 Trigonometrija pravokutnog trokuta
C
b
a
A
α
c
β
B
Trigonometrijske funkcije šiljastih kutova pravokutnog trokuta definirane su na sljedeći
način:
sin(α) =
cos(α) =
tg(α) =
ctg(α) =
Očigledno vrijede sljedeće jednakosti:
nasuprotna kateta
hipotenuza
priležeća kateta
hipotenuza
= a c ,
= b c ,
nasuprotna kateta
priležeća kateta = a b ,
priležeća kateta
nasuprotna kateta = b a .
tgα = sin α
cos α ,
cos α
ctgα =
sin α , ctgα = 1
tgα .
Zadatak 1. Izračunajte duljine stranica i kutove pravokutnog trokuta ako je zadano:
1. a = 84cm, b = 13cm
2. a = 132cm, c = 157cm
3. a = 12cm, α = 23 ◦ 57 ′′
4. b = 15cm, β = 42 ◦ 30 ′
5. P = 60cm 2 , α = 28 ◦ 4 ′ 21 ′′
6. P = 180cm 2 , c = 41cm

7. a = 24cm, v = 6.72cm
8. a + b = 73cm, α = 31 ◦ 53 ′ 27 ′′
9. O = 120cm, α = 30 ◦
Zadatak 2. Omjer kateta pravokutnog trokuta je 3 : 4, a visina 19.2cm. Izračunajte
duljine stranica i kutove tog trokuta.
Zadatak 3. U pravokutnom trokutu je a : c = 3 : 5. Ortogonalna projekcija katete a na
hipotenuzu iznosi 36cm. Kolike su stranice i kutovi tog trokuta?
Zadatak 4. Visina pravokutnog trokuta dijeli trokut na dva dijela kojima se površine
odnose kao 1 : 4. Koliki su kutovi tog trokuta?
Zadatak 5. Kut nasuprot osnovice jednakokračnog trokuta jednak je α, a visina spuštena
na krak ima duljinu v. Koliki su polumjeri R i r, tom trokutu opisane i upisane kružnice?
Zadatak 6. Simetrala pravog kuta pravokutnog trokuta dijeli hipotenuzu na dijelove čije
su duljine u omjeru 2 : 3. Koliki su kutovi tog trokuta?
Zadatak 7. Izračunajte površinu pravokutnika kojemu je dijagonala d, a šiljasti kut
medu dijagonalama je ϕ.
Zadatak 8. Krakovi trapeza su b = 33cm i d = 56cm. Ako se oni produlje, sijeku se pod
pravim kutom. Koliki su kutovi trapeza?

3.2 Trigonometrija kosokutnog trokuta
γ
C
b
a
A
α
c
β
B
Kosinusov poučak:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α,
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β,
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ.
Sinusov poučak:
a
sin α =
b
sin β =
c
sin γ
= 2R,
R - polumjer trokutu opisane kružnice.
Tangensov poučak:
P (ABC) = 1 2 ab sin γ = 1 2 ac sin β = 1 abc
bc sin α =
2 4R .
a + b tg α + β
a − b = 2 b + c tg β + γ
tg α − β ,
b − c = 2
tg β − γ ,
2
2
Zadatak 9. Dokažite tangensov poučak.
c + a tg γ + α
c − a = 2
tg γ − α .
2
Zadatak 10. Ako su a, b i c duljine stranica trokuta i ako je s = (a + b + c)/2 poluopseg
dokažite da je površina P tog trokuta dana Heronovom formulom:
P = √ s(s − a)(s − b)(s − c).
Zadatak 11. Dokažite da je duljina t a težišnice povučene iz vrha A trokuta dana sa
t a =
2√ 1 2(b2 + c 2 ) − a 2 .
Pomoću ovog rezultata dokažite da je
t a = 1 b2 + c
2√ 2 + 2bc · cos α.

Zadatak 12. Neka duljine stranica trokuta zadovoljavaju jednakost:
Dokažite da je tada β = 60 ◦ .
1
a + b + 1
b + c = 3
a + b + c .
Zadatak 13. Ako za površinu trokuta vrijedi jednakost P = 1 4 (b2 + c 2 − a 2 ), dokažite da
je α = 45 ◦ .
Zadatak 14. Dokažite da vrijedi:
(b 2 + c 2 − a 2 )tgα + (a 2 + c 2 − b 2 )tgβ + (a 2 + b 2 − c 2 )tgγ = 12P.
Zadatak 15. Dvije stranice trokuta imaju duljine 9cm i 15cm. Duljina težišnice koja
pripada većoj od njih iznosi 12cm. Izračunajte duljinu treće stranice trokuta.
Zadatak 16. Oko trokuta kojemu su duljine stranica a = 15cm, b = 20cm, c = 7cm
opisana je kružnica. Izračunajte površinu onog odsječka kružnice kojem je stranica a
tetiva.
Zadatak 17. Opseg trokuta iznosi 20cm, a dva su mu kuta α = 41.6 ◦ i β = 69.5 ◦ .
Izračunajte duljine stranica tog trokuta.
Zadatak 18. Izračunajte stranice i kutove trokuta ako je zadano da je a = 10cm, β = 30 ◦
i polumjer tom trokutu opisane kružnice R = 6cm.
Zadatak 19. Izračunajte kutove trokuta ako je α : β = 1 : 2 i a : b = 1 : √ 3.
Zadatak 20. Duljine osnovica trapeza su a = 8cm i c = 4cm, a kutovi uz veću osnovicu
su α = 80 ◦ i β = 44 ◦ . Koliki su krakovi tog trapeza?
Zadatak 21. Zadanom točkom A kružnice polumjera r povučen je promjer AB. Točkom
A povučene su tetive AC i AD takve da su one s različite strane pravca AB i s njime
zatvaraju kutove α i β. Odredite duljinu tetive CD.