2. modyfikacje metody eulera

2. MODYFIKACJE METODY EULERA 1 

 

2. MODYFIKACJE METODY EULERA 

Metoda Heun`a 

W metodzie tej zamiast stałej wartości pochodnej obliczonej na początku przedziału, jak to było w 

metodzie Eulera, oblicza się pochodną również na końcu przedziału. Pierwsze oszacowanie wyniku 

nazywamy predyktorem, a następnie korektorem. Metoda ta, dzięki zabiegowi numerycznemu, daje sporą 

zmianę w dokładności wyniku i jest znacznie dokładniejsza niż klasyczna metoda Eulera. 

y 

y 

=f x i 

, y i 

 

0 

=f x i1 

, y i1 

 

= f x , y f x , y 0 

i i i1 i1 

2 

x i x i1 x 

x i 

x i1 

x 

Predyktor wyrażamy stosując metodę Eulera: 

Rys.2.1 Z lewej- predyktor (pierwszy strzał); z prawej- korektor 

dy 

dx 

Wzór (2.2) przedstawia wspomniany predyktor. Oznaczając przez: 

 

 

f x i 

, y i 

(2.1) 

0 

y i1 

= y i 

f x i 

, y i ⋅h (2.2) 

 

' 

0 

i1 

f xi 

1, y i1 

 

y (2.3) 

mamy: 

0 

x 

, y f x 

, y i1 

 

' 

yi 

yi1 

f 

i i 

i1 

y 


2 

2 

y 

i 

Wzór (2.5) opisuje działanie korektora. 

0 

xi 

, yi 

 

f xi1 

, y i 1 

 

h 

f 

yi 

 


1 

2 

Metody Komputerowe – Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa


 

Przykład 2.1: 

Rozwiązać równanie różniczkowe postaci: 

dy 

dx 

2 

x 

3 

12 

x 

2 

20 

x 8,5 

Korzystając ze wzoru na korektor otrzymamy następujący wynik: 

y 

i1 

y 

i 

 

f 

0 

xi 

, yi 

 

f xi1 

, y i 1 

 

h 

2 

Zwróćmy uwagę, że gdy prawa strona równania różniczkowego (2.1) nie jest zależna od y to metoda Heun’a 

jest równoważna wzorowi wyprowadzonemu w poprzednim rozdziale, kiedy podaliśmy jedną z modyfikacji 

metody Eulera. 

Porównanie metod 

y 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 

x 

rozwiązanie Metoda Eulera Metoda Heun`a 

Rys.2.2 Porównanie dokładności rozwiązania metody Eulera i Heun’a dla h=0,5 

Przykład 2.2: 

Rozwiązać równanie różniczkowe postaci: 

w przedziale od x=0 do x=4 

war. początkowy x=0 y=2 

krok całkowania h=1 

Rozwiązanie dokładne: 

y' 

4e 

0,8x 

0,5 

y 



 

y' 

4 

1.3 

0,8x 

0,5x 

0,5x 

e 

e 

e 

dok. 

2 

Do wzoru początkowego podstawiamy warunki brzegowe: 

0 

y' 

0 

4e 

0,5 (2) 

3 

Poniższa zależność opisuje nam pierwszy strzał, który wskazuje rozwiązanie 

Dla punktu x=1 mamy: 

y' 

1 

1 

 

1,31% 

1 

1 

f ( x , y 

y 2 

y 2 

 

3,03% 

i 

0 

i 

3 

4e 

3 

4e 

y 

0 

1 

) 4e 

0,8 (1) 

0,8 (1) 

2 3(1) 

5 

0,8 (1) 

3 

6,402164 

y ' 

4,701082 

3 

y 2 4,70182(1) 

6,701082 

0,5 (5) 

6,402164 

0,5 

(6,701082 

2 

0,5 

(6,275811 

2 

 

 

1 

6,275811 

1 

6,382129 

Dla większej liczby prób błąd zaczyna wyraźnie oscylować wokół jednej wartości. Wtedy możemy przerwać 

obliczenia. Iterację przerywamy gdy, np.: 

y 

n1 

y 

n 

100% 

5% 

Metoda trapezów 

Przy okazji omawiania metody Heun’a warto wspomnieć o metodzie całkowania funkcji metodą 

trapezów. Jest to metoda analogiczna do metody Heun’a polegająca również na przyjęciu średniej wartości 

dwóch po sobie następujących przedziałów, co umożliwia obliczenie pola ograniczonego wykresem. W 

gruncie rzeczy obliczamy pole trapezu, gdyż krzywą między kolejnymi przedziałami zastępujemy prostą. 



 

y 

f x i 

 

f x i1 

 

x i x i 1 x 

Rys 2.3 Interpretacja graficzna metody trapezów 

y 

i1 

yi1 

 

yi 

y 

dy 

dx 

dy 

i1 

i 

 

y 

y 

 

f 

xi1 

xi 

i 

f 

 

f 

 

x i 

, y i 

 

x , y 

xi 

1 

xi 

i 

 

i 

 

dx 

f ( x) 

dx 

( 

1 

xi 

) f ( xi 

2 

) 

h 

x 

i 

f xi 

f xi 

1 

( ) ( 

f x) 

dx 

2 

xi 

1 

( 

) 

h 


Metoda punktu środkowego 

W metodzie punktu środkowego (mid-point method) „kierunek” k jest stały i obliczony w połowie 

przedziału (x i , x i+1 ): 

y 

y 

1 

i 

2 

i1 

y 

y 

i 

i 

f 

 

x , y 

i 

f ( x 

1 

i 

2 

i 

 

, y 

h 

 

2 

1 

i 

2 

) h 




 

y 

=f x i1/2 

, y i1/2 

 

y 

=f x i1/2 

, y i1/2 

 

x i x i1/2 x i1 x 

x i x i1 x 

Rys.2.4 Metoda punktu środkowego 

Metoda ta jest dokładniejsza od metody Eulera a błąd aproksymacji wynosi E a ~ O(h 3 ), błąd globalny E t ~ O 

(h 2 ).Metody Rungego-Kutty można przedstawić za pomocą ogólnego wzoru : 

y 

i1 

y 

i 

h 

- współczynnik nachylenia, gdzie 

1) 

f ( x , y ) 

i 

f ( xi, 

yi 

) f ( x 

2) 

2 

 

3) f 

1 

, 

x y 

1 

i 

i 

2 2 

i 

i1 

, y 

0 

i1 

) 

h 

dla metody Eulera 

dla metody Heun' a 

dla metody punktu srodkowego 

Metoda Rungego-Kutty 

W metodzie Rungego-Kutty (R-K) ogólna postać sposobu całkowania równania różniczkowego ma postać: 

yi 1 

yi 

( xi 

, yi 

, h) 

h 


gdzie jest tzw. funkcją przyrostową. Funkcja ma ogólną postać: 

gdzie: 

a k a k ... a k 1 1 2 2 

n n 




 

k 

k 

k 

 

k 

1 

2 

3 

n 

f ( x , y ) 

i 

f ( x 

i 

f ( x 

i 

f ( x 

i 

 

 

 

i 

p h; 

y 

p 

1 

p h; 

y 

2 

n 1 

i 

i 

h; 

y 

q 

q 

i 

11 

21 

q 

k h) 

1 

k h q 

1 

n1 1, 

1 

22 

2 

k h q 

k h) 

n 1,2 

k h ... q 

2 

n 1, 

n1 

k 

n1 

h) 


p, q są stałymi, a n- wyznacza rząd metody Rungego- Kutty.

2. modyfikacje metody eulera

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?