4.3.6 Vzorce pro dvojnásobný úhel π π π π

π
• Pravá strana: tg x ⇒ x ≠ + kπ
, nesmíme dělit nulou 1+ tg x ≠ 0 ⇒ tg x ≠ − 1 ⇒
2
π
x ≠ − + kπ
4
⎧π
3 ⎫
⇒ x ∈ R − ∪ ⎨ + k ⋅ π ; π + k ⋅π
⎬
k∈Z
⎩ 2 4 ⎭
sin x
2 2
1−
cos 2x cos x − sin x 1−
tg x
= = = cos x
1+ sin 2x 1+ 2sin x cos x 1+
tg x sin x
1+
cos x
cos x − sin x
( cos x − sin x)( sin x + cos x)
= cos x
2 2
sin x + cos x + 2sin x cos x cos x + sin x
cos x
( cos x − sin x)( sin x + cos x)
cos x − sin x
=
sin x + cos x cos x + sin x
( ) 2
cos x − sin x cos x − sin x
=
cos x + sin x cos x + sin x
Př. 11: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je.
a) ( sin cos ) 2
2
sin 2x + 2cos xsin
x
x + x − sin 2x
b)
2cos x + cos 2x
+ 1
a) ( ) 2
x ∈ R
sin x + cos x − sin 2x
( ) 2 2 2 2 2
sin x + cos x − sin 2x = sin x + 2sin x cos x + cos x − 2sin x cos x = sin x + cos x = 1
2
sin 2x + 2cos xsin
x
b)
2cos x + cos 2x
+ 1
Zlomek ⇒ nesmíme dělit nulou ⇒ výraz je příliš složitý, počkáme na stav po úpravách.
2 2
sin 2x + 2cos x sin x 2sin x cos x + 2cos xsin
x 2sin x cos x( 1+
cos x)
= = =
2 2 2 2 2
2cos x + cos 2x + 1 2cos x + cos x − sin x + cos x + sin x 2cos x + 2cos x
2sin x cos x( 1+
cos x)
= = sin x
2cos x 1+
cos x
( )
Čitatel zlomku před krácením: 2cos x( 1 cos x)
+ ⇒
π
• cos x ≠ 0 ⇒ x ≠ + kπ
2
• 1+ cos x ≠ 0 ⇒ cos x ≠ − 1 ⇒ x ≠ π + k ⋅ 2π
⎧π
⎫
⇒ x ∈ R − ∪ ⎨ + k ⋅ π ; π + k ⋅2π
⎬
k∈Z
⎩ 2
⎭
4