4.3.6 Vzorce pro dvojnásobný úhel π π π π

Nápad: Vlevo je téměř celý vzorec pro sin 2x (s dvojnásobným argumentem) ⇒ zkusíme
vzorec zkompletovat a tak získat nerovnici s jedinou goniometrickou funkcí.
4sin 2x cos 2x > 1 / : 2
1
2sin 2x cos 2x >
2
1
sin 4x >
2
Substituce: a = 4x
1
sin a >
2
1 π
5
Základní řešení rovnice sin a = : a1 = + k ⋅ 2π
, a2
= π + k ⋅ 2π
.
2 6
6
1
a 1
a 2
-1
⎛ π 7 ⎞
Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ⎜ ; π ⎟ , hodnoty se opakují s periodou
⎝ 6 6 ⎠
⎛ π 7 ⎞
2π ⇒ K = ∪ ⎜ ; π ⎟
k∈Z
⎝ 6 6 ⎠
.
Návrat k původní proměnné: (přepočítáme meze a periodu intervalů)
π
5
a1 = 4x1
= + k ⋅ 2π
a2 = 4x2
= π + k ⋅ 2π
6
6
π
5
4x1
= + k ⋅ 2 π / : 4
4x2
= π + k ⋅ 2 π / : 4
6
6
π π
5
x1
= + k ⋅
x2
= π + k ⋅
π
24 2
24 2
⎛ 5
K π k π ; k
π ⎞
= ∪ ⎜ + ⋅ π + ⋅ ⎟
k∈Z
⎝ 24 2 24 2 ⎠
Př. 19: Vyřeš nerovnici
cos
x − sin x ≤ .
2
2 2 3
Na první pohled jasné řešení: cos x ( 1 cos x)
− − ≤ .
2
2 2 3
8