4.3.6 Vzorce pro dvojnásobný úhel π π π π

4.3.6 Vzorce pro dvojnásobný úhel
Předpoklady: 4305
Začneme příkladem.
Př. 1: Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro sin 2x .
( )
sin 2x = sin x + x = sin x cos x + cos xsin x = 2sin x cos x
Př. 2: Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro cos 2x .
( )
2 2
cos 2x = cos x + x = cos x cos x − sin xsin x = cos x − sin x
Př. 3: Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro tg 2x .
tg x + tg x 2 tg x
tg 2x = tg ( x + x) = =
2
1−
tg x tg x 1−
tg x
Tím jsme získali druhou skupinu vzorců:
Vzorce pro dvojnásobný úhel:
• sin 2x = 2sin x cos x
2 2
• cos 2x = cos x − sin x
2 tg x
• tg 2x
=
2
1 − tg x
Př. 4:
Otestuj vzorec pro sin 2x výpočtem sin 60° z hodnot goniometrických funkcí pro
úhel 30° .
1 3 3
sin 60° = sin ( 2⋅ 30° ) = 2sin 30° cos30° = 2⋅ ⋅ = 2 2 2
Př. 5:
Otestuj vzorec pro cos 2x , pomocí výpočtu cos 2
π z hodnot goniometrických funkcí
pro úhel 4
π .
2 2
π ⎛ π ⎞ 2 π 2 π ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
cos = cos⎜ 2⋅ ⎟ = cos − sin = − = 0
2 ⎝ 4 ⎠ 4 4 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1

Př. 6: Vyjádři cos3x pomocí sin x a cos x .
2 2
( ) ( ) ( )
cos3x = cos 2x + x = cos 2x cos x − sin 2xsin x = cos x − sin x cos x − 2sin x cos x sin x =
3 2 2 3 2
= cos x − sin x cos x − 2sin x cos x = cos x − 3sin x cos x
Př. 7: Vyjádři sin 3x pomocí sin x a cos x .
2 2
( ) ( )
sin 3x = sin 2x + x = sin 2x cos x + cos 2x sin x = 2sin x cos x cos x + cos x − sin x sin x =
= 2sin cos + sin cos − sin = 3sin cos − sin
2 2 3 2 3
x x x x x x x x
Postřeh:
Ve vzorcích pro sin 2x a cos 2x tvoří pravou stranu členy dávající druhé mocniny
goniometrických funkcí, ve vzorcích pro sin 3x a cos3x jsou na pravé straně třetí mocniny.
Zřejmě je v tom nějaká zákonitost. Více později.
Př. 8: Urči hodnoty goniometrických funkcí sin 2x , cos 2x , tg 2x , sin 4x a cos 4x ,
2 ⎛ π ⎞
jestliže platí sin x = a x ∈ ⎜ ; π ⎟
3 ⎝ 2 ⎠ .
Abychom mohli použít vzorce pro dvojnásobný úhel, musíme znát hodnotu sin x i cos x ⇒
2 2
nejdříve určíme cos x : sin x + cos x = 1.
2 2
cos x = 1−
sin x
2 ⎛ 2 ⎞ 4 5 5
cos x = 1− sin x = 1− ⎜ ⎟ = 1− = =
⎝ 3 ⎠ 9 9 3
⎛ π ⎞
V intervalu ⎜ ; π ⎟ je cos 0
⎝ 2 ⎠ x < ⇒ 5
cos x = − .
3
2 ⎛ 5 ⎞ 4 5
sin 2x = 2sin x cos x = 2⋅ ⋅ 3 ⎜
− = − 3 ⎟
⎝ ⎠ 9
2
2 2
⎛
2 2 5 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 5 4 1
cos 2x = cos x − sin x = ⎜
− 3 ⎟
− ⎜ ⎟ = − =
⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠ 9 9 9
4 5
−
sin 2x
tg 2x
= = 9 = − 4 5
cos 2x
1
9
Hodnoty sin 4x a cos 4x určíme podle již určených hodnot sin 2x a cos 2x .
⎛ 4 5 ⎞ 1 8 5
sin 4x = sin 2( 2x)
= 2sin 2x cos 2x
= 2⋅ ⎜
− = −
9 ⎟
⎝ ⎠ 9 81
2
2 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 5 ⎞ 1 80 79
cos 4x = cos 2( 2x)
= cos 2x − sin 2x
= ⎜ ⎟ − − = − = −
⎝ 9 ⎠
⎜ 9 ⎟
⎝ ⎠ 81 81 81
2

Př. 9:
Petáková:
strana 45, cvičení 49 c)
strana 45, cvičení 50 a)
strana 46, cvičení 51 a), c)
Př. 10: Urči definiční obor výrazů v rovnosti a dokaž její platnost.
2
sin 2x
a) 1− cos 2x
= 2sin x
b)
tg x
1+
cos 2x =
cos 2x
1−
tg x
c) =
1+ sin 2x
1+
tg x
2
a) 1− cos 2x
= 2sin x
x ∈ R
2 2 2
1− cos x − sin x = 2sin x
( )
2 2 2
1− cos x + sin x = 2sin x
2 2 2
sin x + sin x = 2sin x
2 2
2sin x = 2sin x
sin 2x
b)
tg x
1+
cos 2x =
• Levá strana: zlomek ⇒ nesmíme dělit nulou ⇒ 1+ cos 2x
≠ 0 ⇒ cos 2x ≠ − 1 ⇒
π
2x
≠ π + k ⋅ 2π
⇒ x ≠ + kπ
2
π
• Pravá strana: tg x ⇒ x ≠ + kπ
2
⎧π
⎫
⇒ x ∈ R − ∪ ⎨ + k ⋅π
⎬
k∈Z
⎩ 2 ⎭
sin 2 x 2sin cos sin
= x x =
x
2 2
1+ cos 2x 1+ cos x − sin x cos x
2sin x cos x sin
=
x
2 2
1− sin x + cos x cos x
2sin x cos x 2sin cos sin
= x x =
x
2 2 2
cos x + cos x 2cos x cos x
sin x sin x
=
cos x cos x
c)
cos 2x
1−
tg x
=
1+ sin 2x
1+
tg x
• Levá strana: zlomek ⇒ nesmíme dělit nulou ⇒ 1+ sin 2x
≠ 0 ⇒ sin 2x ≠ − 1 ⇒
3
3
2x
≠ π + k ⋅ 2π
⇒ x ≠ π + kπ
2
4
3

π
• Pravá strana: tg x ⇒ x ≠ + kπ
, nesmíme dělit nulou 1+ tg x ≠ 0 ⇒ tg x ≠ − 1 ⇒
2
π
x ≠ − + kπ
4
⎧π
3 ⎫
⇒ x ∈ R − ∪ ⎨ + k ⋅ π ; π + k ⋅π
⎬
k∈Z
⎩ 2 4 ⎭
sin x
2 2
1−
cos 2x cos x − sin x 1−
tg x
= = = cos x
1+ sin 2x 1+ 2sin x cos x 1+
tg x sin x
1+
cos x
cos x − sin x
( cos x − sin x)( sin x + cos x)
= cos x
2 2
sin x + cos x + 2sin x cos x cos x + sin x
cos x
( cos x − sin x)( sin x + cos x)
cos x − sin x
=
sin x + cos x cos x + sin x
( ) 2
cos x − sin x cos x − sin x
=
cos x + sin x cos x + sin x
Př. 11: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je.
a) ( sin cos ) 2
2
sin 2x + 2cos xsin
x
x + x − sin 2x
b)
2cos x + cos 2x
+ 1
a) ( ) 2
x ∈ R
sin x + cos x − sin 2x
( ) 2 2 2 2 2
sin x + cos x − sin 2x = sin x + 2sin x cos x + cos x − 2sin x cos x = sin x + cos x = 1
2
sin 2x + 2cos xsin
x
b)
2cos x + cos 2x
+ 1
Zlomek ⇒ nesmíme dělit nulou ⇒ výraz je příliš složitý, počkáme na stav po úpravách.
2 2
sin 2x + 2cos x sin x 2sin x cos x + 2cos xsin
x 2sin x cos x( 1+
cos x)
= = =
2 2 2 2 2
2cos x + cos 2x + 1 2cos x + cos x − sin x + cos x + sin x 2cos x + 2cos x
2sin x cos x( 1+
cos x)
= = sin x
2cos x 1+
cos x
( )
Čitatel zlomku před krácením: 2cos x( 1 cos x)
+ ⇒
π
• cos x ≠ 0 ⇒ x ≠ + kπ
2
• 1+ cos x ≠ 0 ⇒ cos x ≠ − 1 ⇒ x ≠ π + k ⋅ 2π
⎧π
⎫
⇒ x ∈ R − ∪ ⎨ + k ⋅ π ; π + k ⋅2π
⎬
k∈Z
⎩ 2
⎭
4

Př. 12: Petáková:
strana 46, cvičení 52 e), j), k), t), z)
strana 46, cvičení 53 d), g), l)
Př. 13: Vyřeš rovnici sin x − sin 2x
= 0 .
Problém: Uvnitř každého sinu je jiné číslo ⇒ použijeme vzorec pro sin 2x a pak dořešíme.
sin x − sin 2x
= 0
sin x − 2sin x cos x = 0
sin x 1− 2cos x = 0
( )
Součinový tvar:
sin x = 0
K = + k ⋅π
∪
1
0
k∈Z
{ }
⎧ 1 5 ⎫
K = ∪ ⎨k ⋅ π; π + k ⋅ 2 π; π + k ⋅ 2π
⎬
k∈Z
⎩ 3 3 ⎭
( x)
1− 2cos = 0
2cos x = 1
1
cos x =
2
⎧1 5 ⎫
K2
= ∪ ⎨ π + k ⋅ 2 π; π + k ⋅2π
⎬
k∈Z
⎩3 3 ⎭
Př. 14: Vyřeš rovnici
1
sin x cos x = .
4
Problém: Na levé straně součin sin x a cos x , vpravo není nula ⇒ nejde na součinový tvar.
Nápad: Vlevo je téměř celý vzorec pro sin 2x ⇒ zkusíme vzorec zkompletovat a tak získat
rovnici s jedinou goniometrickou funkcí.
1
sin x cos x = / ⋅ 2
4
1
2sin x cos x = (použijeme 2sin x cos x = sin 2x
)
2
1
sin 2x =
2
Substituce: a = 2x
1
sin a =
2
π
5
a1 = + k ⋅ 2π
a2
= π + k ⋅ 2π
6
6
Návrat k původní proměnné:
π
5
2x1 = a1
= + k ⋅ 2π
2x2 = a2
= π + k ⋅ 2π
6
6
π
5
2x1
= + k ⋅ 2 π / : 2
2x2
= π + k ⋅ 2 π / : 2
6
6
π
5
x1
= + k ⋅ π
x2
= π + k ⋅ π
12
12
5

K
1
⎧ π ⎫
= ⎨ + k ⋅π
⎬
k∈Z
⎩12
⎭
∪ K
2
⎧ 5 ⎫
= ∪ ⎨ π + k ⋅π
⎬
k∈Z
⎩12
⎭
⎧ 1 5 ⎫
K = ∪ ⎨ π + k ⋅ π;
π + k ⋅π
⎬
k∈Z
⎩12 12 ⎭
Př. 15: Vyřeš rovnici cos 2x
+ cos x = 0 .
Problém: Uvnitř každého cosinu je jiné číslo ⇒ použijeme vzorec pro cos 2x a pak
dořešíme.
cos 2x
+ cos x = 0
2 2
cos x − sin x + cos x = 0
2 2
cos x − 1− cos x + cos x = 0
( )
2
2cos x + cos x − 1 = 0
Substituce:
2
2y
+ y − 1 = 0
y = cos x
( )
2
2
− b ± b − ac − 1± 1 − 4⋅ 2⋅ −1
− ±
4 1 3
y1,2
= = =
2a
2⋅
2 4
−1−
3
− 1+
3 1
y1
= = − 1
y2
= =
4
4 2
Návrat k původní proměnné:
y1 = cos x1
= − 1
1
y2 = cos x2
= ⇒ třetinové úhly v kladné
K1 = ∪ { π + k ⋅2π
}
2
k∈Z
polorovině osy x
π
5
x2 = + k ⋅ 2π
, x3
= π + k ⋅ 2π
3
3
⎧π
5 ⎫
K2
= ∪ ⎨ + k ⋅ 2 π ; π + k ⋅ 2π
⎬
k∈Z
⎩ 3 3 ⎭
⎧ π 5 ⎫
K = ∪ ⎨π + k ⋅ 2 π; + k ⋅ 2 π; π + k ⋅ 2π
⎬
k∈Z
⎩ 3 3 ⎭
Př. 16: Vyřeš rovnici
2
sin 6x
2cos 3x
0
+ = .
Problém: Uvnitř obou funkcí je jiné číslo, navíc obě čísla jsou poměrně velká (nemáme na ně
vzorce) ⇒ substituce.
Substituce: y = 3x
2
sin 2y
2cos y 0
+ = ⇒ teď můžeme použít vzorec sin 2y = 2sin y cos y .
2
2sin y cos y + 2cos y = 0 / : 2
2
sin y cos y + cos y = 0
( )
cos y sin y + cos y = 0 ⇒ součinový tvar.
cos y = 0
sin y + cos y = 0
π
sin y = − cos y / : cos y v této větvi cos y ≠ 0
y1
= + k ⋅ π
2
6

Návrat k původní proměnné:
π
y1 = 3x1
= + k ⋅ π
2
π
3 x1
= + k ⋅ π / :3
2
π π
x1
= + k ⋅
6 3
⎧
K π k π ;
π k
π ⎫
= ∪ ⎨ + ⋅ + ⋅ ⎬
k∈Z
⎩ 6 3 4 3 ⎭
sin y
tg y 1
cos y = = −
3
y2
= π + k ⋅ π
4
3
y2 = 3x2
= π + k ⋅ π
4
3
3 x2
= π + k ⋅ π / : 3
4
π π
x2
= + k ⋅
4 3
Př. 17: Vyřeš rovnici tg x + cotg x = 4cos 2x
.
Problém: Různé funkce, různé výrazy uvnitř funkcí ⇒ přepíšeme tg x a cotg x pomocí
sin x a cos x .
sin x cos x
+ = 4cos 2x
cos x sin x
2 2
sin x + cos x
= 4cos 2x
cos xsin
x
1
= 4cos 2x
(jmenovatel zlomku připomíná sin 2 2sin cos
cos xsin
x x = x x )
1 = 2cos 2x ⋅ 2sin x cos x
1 = 2cos 2x
⋅ sin 2x
(vzorec sin 2x = 2sin x cos x použijeme ještě jednou)
1 = sin 4x
Substituce: a = 4x
sin a = 1
π
a = + k ⋅ 2π
2
Návrat k původní proměnné:
π
a = 4x = + k ⋅ 2π
2
π
4x
= + k ⋅ 2 π / : 4
2
π π
x = + k ⋅
8 2
⎧π
π ⎫
K = ∪ ⎨ + k ⋅ ⎬
k∈Z
⎩ 8 2 ⎭
Př. 18: Vyřeš nerovnici 4sin 2x cos 2x > 1.
Problém: Na pravé straně není nula ⇒ nemůžeme řešit jako nerovnici v součinovém tvaru.
7

Nápad: Vlevo je téměř celý vzorec pro sin 2x (s dvojnásobným argumentem) ⇒ zkusíme
vzorec zkompletovat a tak získat nerovnici s jedinou goniometrickou funkcí.
4sin 2x cos 2x > 1 / : 2
1
2sin 2x cos 2x >
2
1
sin 4x >
2
Substituce: a = 4x
1
sin a >
2
1 π
5
Základní řešení rovnice sin a = : a1 = + k ⋅ 2π
, a2
= π + k ⋅ 2π
.
2 6
6
1
a 1
a 2
-1
⎛ π 7 ⎞
Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ⎜ ; π ⎟ , hodnoty se opakují s periodou
⎝ 6 6 ⎠
⎛ π 7 ⎞
2π ⇒ K = ∪ ⎜ ; π ⎟
k∈Z
⎝ 6 6 ⎠
.
Návrat k původní proměnné: (přepočítáme meze a periodu intervalů)
π
5
a1 = 4x1
= + k ⋅ 2π
a2 = 4x2
= π + k ⋅ 2π
6
6
π
5
4x1
= + k ⋅ 2 π / : 4
4x2
= π + k ⋅ 2 π / : 4
6
6
π π
5
x1
= + k ⋅
x2
= π + k ⋅
π
24 2
24 2
⎛ 5
K π k π ; k
π ⎞
= ∪ ⎜ + ⋅ π + ⋅ ⎟
k∈Z
⎝ 24 2 24 2 ⎠
Př. 19: Vyřeš nerovnici
cos
x − sin x ≤ .
2
2 2 3
Na první pohled jasné řešení: cos x ( 1 cos x)
− − ≤ .
2
2 2 3
8

2cos x ≤ 1+ ⇒ problém číslo na pravé straně po odmocnění nebude patřit mezi
2
tabulkové hodnoty ⇒ budeme muset používat arccos ⇒ zkusíme se vrátit k původnímu
2 3
zadání: cos x − sin x ≤ .
2
2 2
Nápad: Levá strana tvoří vzorec cos 2x = cos x − sin x .
2 2 3
3
cos 2x ≤ ⇒ trivialitka.
2
Substituce: a = 2x
.
3
cos a ≤
2
3 π
11
Základní řešení rovnice cos a = : a1 = + k ⋅ 2π
, a2
= π + k ⋅ 2π
(šestinové úhly
2 6
6
v kladné polorovině x).
1
a 1
a 2
-1
⎛ π 11 ⎞
Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ⎜ ; π ⎟ , hodnoty se opakují s periodou
⎝ 6 6 ⎠
⎛ π 11 ⎞
2π ⇒ K = ∪ ⎜ ; π ⎟
k∈Z
⎝ 6 6 ⎠
.
Návrat k původní proměnné: (přepočítáme meze a periodu intervalů)
π
11
a1 = 2x1
= + k ⋅ 2π
a2 = 2x2
= π + k ⋅ 2π
6
6
π
11
2x1
= + k ⋅ 2 π / : 2
2x2
= π + k ⋅ 2 π / : 2
6
6
π
11
x1
= + k ⋅ π
x2
= π + k ⋅ π
12
12
⎛ π 11 ⎞
K = ∪ ⎜ + k ⋅ π;
π + k ⋅π
⎟
k∈Z
⎝12 12 ⎠
Př. 20: Nakresli graf funkce y = sin x cos x .
Problém: Funkce vznikla jako součin dvou goniometrických funkcí ⇒ museli bychom
nakreslit oba grafy a „násobit“ je mezi sebou.
9

Postřeh: Předpis funkce připomíná vzorec sin 2x = 2sin x cos x , funkci y = sin 2x
bych
nakreslil snadno.
1 1
1
y = sin x cos x = 2sin x cos x = sin 2x
⇒ kreslíme graf funkce y = sin 2 x .
2 2
2
Platí: y = 1 sin ( 2x) =
1 f ( 2x)
2 2
Zvolíme x .
Vypočteme 2x .
y = f 2x = sin 2x
.
Nakreslíme funkci ( ) ( )
= 1 = 1 .
2 2
Nakreslíme funkci y f ( 2x) sin ( 2x)
1
-1
Př. 21: Petáková:
strana 53, cvičení 13 d)
strana 53, cvičení 14 a), d)
strana 53, cvičení 15 a), d), g)
strana 53, cvičení 16 c)
strana 54, cvičení 17 d), f), g)
strana 54, cvičení 18 a)
strana 54, cvičení 19 d)
Shrnutí:
10