4.3.6 Vzorce pro dvojnásobný úhel π π π π

K
1
⎧ π ⎫
= ⎨ + k ⋅π
⎬
k∈Z
⎩12
⎭
∪ K
2
⎧ 5 ⎫
= ∪ ⎨ π + k ⋅π
⎬
k∈Z
⎩12
⎭
⎧ 1 5 ⎫
K = ∪ ⎨ π + k ⋅ π;
π + k ⋅π
⎬
k∈Z
⎩12 12 ⎭
Př. 15: Vyřeš rovnici cos 2x
+ cos x = 0 .
Problém: Uvnitř každého cosinu je jiné číslo ⇒ použijeme vzorec pro cos 2x a pak
dořešíme.
cos 2x
+ cos x = 0
2 2
cos x − sin x + cos x = 0
2 2
cos x − 1− cos x + cos x = 0
( )
2
2cos x + cos x − 1 = 0
Substituce:
2
2y
+ y − 1 = 0
y = cos x
( )
2
2
− b ± b − ac − 1± 1 − 4⋅ 2⋅ −1
− ±
4 1 3
y1,2
= = =
2a
2⋅
2 4
−1−
3
− 1+
3 1
y1
= = − 1
y2
= =
4
4 2
Návrat k původní proměnné:
y1 = cos x1
= − 1
1
y2 = cos x2
= ⇒ třetinové úhly v kladné
K1 = ∪ { π + k ⋅2π
}
2
k∈Z
polorovině osy x
π
5
x2 = + k ⋅ 2π
, x3
= π + k ⋅ 2π
3
3
⎧π
5 ⎫
K2
= ∪ ⎨ + k ⋅ 2 π ; π + k ⋅ 2π
⎬
k∈Z
⎩ 3 3 ⎭
⎧ π 5 ⎫
K = ∪ ⎨π + k ⋅ 2 π; + k ⋅ 2 π; π + k ⋅ 2π
⎬
k∈Z
⎩ 3 3 ⎭
Př. 16: Vyřeš rovnici
2
sin 6x
2cos 3x
0
+ = .
Problém: Uvnitř obou funkcí je jiné číslo, navíc obě čísla jsou poměrně velká (nemáme na ně
vzorce) ⇒ substituce.
Substituce: y = 3x
2
sin 2y
2cos y 0
+ = ⇒ teď můžeme použít vzorec sin 2y = 2sin y cos y .
2
2sin y cos y + 2cos y = 0 / : 2
2
sin y cos y + cos y = 0
( )
cos y sin y + cos y = 0 ⇒ součinový tvar.
cos y = 0
sin y + cos y = 0
π
sin y = − cos y / : cos y v této větvi cos y ≠ 0
y1
= + k ⋅ π
2
6