Dynamika - wersja komputerowa 18 - Instytut Konstrukcji Budowlanych

PROJEKT NR 1 – DYNAMIKA RAM - WERSJA KOMPUTEROWA 21.10.05
POLITECHNIKA POZNAŃSKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI
BUDOWLANYCH
ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI 1
PROJEKT NR 1-DYNAMIKA RAM- WERSJA KOMPUTEROWA
Dla układu przedstawionego na rysunku 1.1 obliczyć częstość drgań własnych oraz narysować pierwsze trzy
postacie drgań własnych.
300 kg
0,4
1 2
0,4
K=1/8 EA1
3
3
3 4
Rys.1.1 Schemat konstrukcji
Dane geometryczne i materiałowe:
Nr pręta Rodzaj przekroju A I L M
Dane elementu:
m=300 kg
A=0,16 [m 2 ]
- - [m 2 ] [m 4 ] [m] [kg /m]
1 I 220 0,00396 0,00003060 3,00 31,10
2 I 220 0,00396 0,00003060 4,00 31,10
3 I 180 0,00279 0,00001450 3,00 21,90
I O =I x I y = 0,43 ⋅0,4
12
0,4 ⋅0,43
=0,00427 [m 4 ]
12
I m =⋅I o = m A ⋅I o= 300
0,16 ⋅0,00427=8,0
Wyznaczenie wartości częstości drgań własnych sprowadza się do rozwiązania równania ruchu w postaci:
[ K ]⋅[q][C ]⋅[ ˙q][M ]⋅[ ¨q]=[ Pt]
Równanie ruchu drgań własnych nietłumionych można przedstawić w prostszej postaci:
[ K ]⋅[q][M ]⋅[ ¨q]=[0]
Rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja w postaci:
q=q o ⋅sint
Tomasz Terlecki gr.3KBI 1/10

PROJEKT NR 1 – DYNAMIKA RAM - WERSJA KOMPUTEROWA 21.10.05
Ostatecznie równanie można przedstawić w postaci:
[ K ]−[M ]⋅q o =0
gdzie: = 2
Przyjęcie układu globalnego oraz lokalnego dla poszczególnych prętów oraz numeracja przemieszczeń węzłowych:
x
y
q 3 q q 6 1
q 4
q
x~
x~ y~
7
y~
y~ x ~ q 8
q 2
q 5
q 9
q 10
q 12
q 11
Rys 1.2 Przyjęcie układów lokalnych oraz przemieszczeń węzłowych
Łatwo zauważyć, że dla tak przyjętego układu globalnego transformacje macierzy sztywności oraz macierzy mas
transformacji należy dokonać tylko dla pręta nr 3. Kąt pomiędzy układem globalnym a układem lokalnym dla tego
pręta wynosi =−90 0 .
W zadaniu wygodnie jest przyjąć redukcję statyczną prętów dlatego pręt nr 1 potraktuję jako pręt z przegubem na
lewym końcu. Pozostałe pręty są obustronnie utwierdzone.
Macierze sztywności
Pręt nr 1 z przegubem na lewym końcu:
[
EAl 2 0 0 −EAl 2 ]
0 0
0 3 EI 0 0 −3 EI 3 EIl
[K e
]= 1 0 0 0 0 0 0
l 3 −EAl 2 0 0 EAl 2 0 0
0 −3 EI 0 0 3 EI −3 EIl
0 3 EIl 0 0 −3 EIl 3 EIl 2
Pręt nr 2 oraz 3 obustronnie utwierdzony:
[
EAl 2 0 0 −EAl 2 ]
0 0
0 12 EI 6 EIl 0 −12 EI 6 EIl
[K e
]= 1 0 6 EIl 4 EIl 2 0 −6 EIl 2 EIl 2
l 3 −EAl 2 0 0 EAl 2 0 0
0 −12 EI −6 EIl 0 12 EI −6 EIl
0 6 EIl 2 EIl 2 0 −6 EIl 4 EIl 2
Tomasz Terlecki gr.3KBI 2/10

PROJEKT NR 1 – DYNAMIKA RAM - WERSJA KOMPUTEROWA 21.10.05
Po podstawieniu wartości do macierzy otrzymamy:
Pręt nr 1: macierz sztywności w układzie lokalnym jest identyczna z macierzą sztywności w układzie globalnym
[K 1 ]=[ K 1 ]
270600000 0 0 -270600000 0 0
0 697000 0 0 -697000 2091000
0 0 0 0 0 0
-270600000 0 0 270600000 0 0
0 -697000 0 0 697000 -2091000
0 2091000 0 0 -2091000 6273000
Pręt nr 2: macierz sztywności w układzie lokalnym jest identyczna z macierzą sztywności w układzie globalnym
[K 2 ]=[ K 2 ]
202950000 0 0 -202950000 0 0
0 1176187,5 2352375 0 -1176187,5 2352375
0 2352375 6273000 0 -2352375 3136500
-202950000 0 0 202950000 0 0
0 -1176187,5 -2352375 0 1176187,5 -2352375
0 2352375 3136500 0 -2352375 6273000
Pręt nr 3: macierz sztywności w układzie lokalnym
[K 3 ]
190650000 0 0 -190650000 0 0
0 1321111,11 1981666,67 0 -1321111,11 1981666,67
0 1981666,67 3963333,33 0 -1981666,67 1981666,67
-190650000 0 0 190650000 0 0
0 -1321111,11 -1981666,67 0 1321111,11 -1981666,67
0 1981666,67 1981666,67 0 -1981666,67 3963333,33
Transformacja do układu globalnego wg zależności:
=[
[ K e ]=[T ] T ⋅[K e ]⋅[T ]
gdzie macierz transformacji jest w postaci:
cos sin 0 0 0 0
1]
−sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
T
0 0 0 cos sin 0
0 0 0 −sin cos 0
0 0 0 0 0
Zatem po transformacji (dla =90 ) otrzymamy:
[ K 3 ]
1321111,11 0 -1981666,67 -1321111,11 0 -1981666,67
0 190650000 0 0 -190650000 0
-1981666,67 0 3963333,33 1981666,67 0 1981666,67
-1321111,11 0 1981666,67 1321111,11 0 1981666,67
0 -190650000 0 0 190650000 0
-1981666,67 0 1981666,67 1981666,67 0 3963333,33
Tomasz Terlecki gr.3KBI 3/10

PROJEKT NR 1 – DYNAMIKA RAM - WERSJA KOMPUTEROWA 21.10.05
Pręt nr 1 z przegubem na lewym końcu:
Macierze mas
⋅[140 0 0 70 0 0
]
0 99 0 0 58,5 −16,5 l
[M e
]= ⋅l 0 0 0 0 0 0
420 70 0 0 140 0 0
0 58,5 0 0 204 −36 l
0 −16,5 l 0 0 −36 l 8l 2
Pręt nr 2 oraz 3 obustronnie utwierdzony:
[140 0 0 70 0 0
]
0 156 22 l 0 54 −13 l
[M e
]= ⋅l 0 22 l 4 l 2 0 13 l −3 l 2
420 70 0 0 140 0 0
0 54 13 l 0 156 −22l
0 −13l −3 l 2 0 −22 l 4 l 2
Po podstawieniu wartości do macierzy otrzymamy:
Pręt nr 1: macierz mas w układzie lokalnym jest równa macierzy mas w układzie globalnym
⋅l
420 = 31,1⋅3
420 =0,22 [M 1 ]=[M 1 ]
31,1 0 0 15,55 0 0
0 21,99 0 0 13 -11
0 0 0 0 0 0
15,55 0 0 31,1 0 0
0 13 0 0 45,32 -23,99
0 -11 0 0 -23,99 15,99
Pręt nr 2: macierz mas w układzie lokalnym jest równa macierzy mas w układzie globalnym
⋅l
420 = 31,1⋅4
420 =0,3 [M 2 ]=[M 2 ]
41,47 0 0 20,73 0 0
0 46,21 26,06 0 15,99 -15,4
0 26,06 18,96 0 15,4 -14,22
20,73 0 0 41,47 0 0
0 15,99 15,4 0 46,21 -26,06
0 -15,4 -14,22 0 -26,06 18,96
Tomasz Terlecki gr.3KBI 4/10

PROJEKT NR 1 – DYNAMIKA RAM - WERSJA KOMPUTEROWA 21.10.05
Pręt nr 3: macierz mas w układzie lokalnym
[M 3 ]
21,9 0 0 10,95 0 0
0 24,4 10,32 0 8,45 -6,1
0 10,32 5,63 0 6,1 -4,22
10,95 0 0 21,9 0 0
0 8,45 6,1 0 24,4 -10,32
0 -6,1 -4,22 0 -10,32 5,63
Transformacja do układu globalnego wg zależności:
=[
[M e ]=[T ] T ⋅[M e ]⋅[T ]
gdzie macierz transformacji jest w postaci:
cos sin 0 0 0 0
1]
−sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
T
0 0 0 cos sin 0
0 0 0 −sin cos 0
0 0 0 0 0
Zatem po transformacji (dla =90 ) otrzymamy:
[M 3 ]
24,4 0 -10,32 8,45 0 6,1
0 21,9 0 0 10,95 0
-10,32 0 5,63 -6,1 0 -4,22
8,45 0 -6,1 24,4 0 10,32
0 10,95 0 0 21,9 0
6,1 0 -4,22 10,32 0 5,63
Następnym krokiem będzie utworzenie tabeli powiązań pomocnej do agregacji macierzy sztywności oraz macierzy
mas.
numer przemieszczenia
Nr preta 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 4 5 6 7 8 9
3 7 8 9 10 11 12
Podczas agregacji macierzy sztywności należy pamiętać o uwzględnieniu współczynnika k podpory sprężystej po
kierunku przemieszczenia q 5 . Przy agregacji macierzy mas natomiast należy uwzględnić dodatkowe wartości
(masę elementu po kierunku przemieszczenia q 7 i g 8 oraz wartość I m po kierunku q 9 .
Agregację macierzy sztywności oraz macierzy mas pokazano schematycznie na rysunkach 1.3 oraz 1.4.
Tomasz Terlecki gr.3KBI 5/10

PROJEKT NR 1 – DYNAMIKA RAM - WERSJA KOMPUTEROWA 21.10.05
Schemat agregacji macierzy sztywności
- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5 K
6
7
8
9
10
11
12
Schemat agregacji macierzy mas
- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
5
6
7 +m
8 +m
9 I m
10
11
12
Pręt nr 1
Pręt nr 2
Pręt nr 3
Po wykonaniu agregacji należy uwzględnić warunki brzegowe. Można zatem napisać:
q 2 =q 10 =q 11 =q 12 =0
oraz uwzględniając redukcję pręta nr 1:
q 1 ≠0
Otrzymujemy ostatecznie macierze 7x7
Macierz sztywności:
270600000 -270600000 0 0 0 0 0
-270600000 473550000 0 0 -202950000 0 0
0 0 73366937,50000 261375 0 -1176187,5 2352375
0 0 261375 12546000 0 -2352375 3136500
0 -202950000 0 0 204271111,11 0 -1981666,67
0 0 -1176187,5 -2352375 0 191826187,5 -2352375
0 0 2352375 3136500 -1981666,67 -2352375 10236333,33
Tomasz Terlecki gr.3KBI 6/10

PROJEKT NR 1 – DYNAMIKA RAM - WERSJA KOMPUTEROWA 21.10.05
Macierz mas:
31,1 15,55 0 0 0 0 0
15,55 72,57 0 0 20,73 0 0
0 0 91,52 2,07 0 15,99 -15,4
0 0 2,07 34,95 0 15,4 -14,22
0 20,73 0 0 365,87 0 -10,32
0 0 15,99 15,4 0 368,11 -26,06
0 0 -15,4 -14,22 -10,32 -26,06 32,59
Podstawiając macierze do równania [ K ]−[M ]⋅q o =0 możemy wyznaczyć wartości własne oraz wektory
własne. Rozwiązując powyższe równanie w programie „upw” otrzymano następujące wyniki:
Wektory własne:
-
- [rad 2 / s 2 ] [rad / s]
1 1670,470 40,87
2 161610,000 402,01
3 557627,000 746,74
4 617705,000 785,94
5 1095710,000 1046,76
6 2031320,000 1425,24
7 20375300,000 4513,9
Wektor nr 1 Wektor nr 2 Wektor nr 3 Wektor nr 4 Wektor nr 5 Wektor nr 6 Wektor nr 7
-0,9471650 -0,0021386 0,0041349 -0,0216296 -0,0430655 1,0000000 -1,0000000
-0,9468930 -0,0020795 0,0037497 -0,0194052 -0,0354125 0,6864150 0,6180620
0,0062869 -0,0453563 0,2083620 0,5306280 -0,6634130 -0,0569118 -0,0038386
0,0501193 -0,4299380 -0,9035240 -1,1707800 -0,6743220 -0,1071100 -0,0093746
-0,9456810 -0,0018241 0,0021873 -0,0104690 -0,0069416 -0,3196040 -0,0540016
-0,0017506 -0,0243698 0,7719160 -0,1627000 -0,0043407 -0,0093992 -0,0011738
-0,1998750 0,5233680 0,2130360 -1,0048300 -1,0032300 -0,2123870 -0,0242089
W celu narysowania postaci drgań odpowiadające trzem pierwszym częstością drgań własnych posłużymy się
funkcjami kształtu:
Pręt z przegubem na lewym końcu
Pręt obustronnie utwierdzony
N 1 x=1− x l
N 2 x=1− 3
2 ⋅x l x l 3
-
N 1 x=1− x l
N 2 x=1−3 ⋅ x l 2
2 ⋅ x l 3
N 3 x=x⋅[1−2 ⋅ x l x l 2]
N 4 x= x l
N 5 x= 3
2 ⋅x l − x l 3
N 4 x= x l
N 5 x=3 ⋅ x l 2
−2 ⋅ x l 3
N 6 x=x⋅[ −1
2 1
2 ⋅ x 2
l ] N 6 x=x⋅[ −x x 2]
l l
Tomasz Terlecki gr.3KBI 7/10

PROJEKT NR 1 – DYNAMIKA RAM - WERSJA KOMPUTEROWA 21.10.05
W celu dokładniejszego opisu przemieszczeń na długości pręta wartości funkcji kształtu obliczono również dla 3
dodatkowych punktów leżących na tym pręcie.
ux=q 1 ⋅N 1 xq 4 ⋅N 4 x
ux=q 2 ⋅N 2 xq 3 ⋅N 3 xq 5 ⋅N 5 xq 6 ⋅N 6 x
Pierwsza postać drgań
Przemieszczenia węzłowe dla prętów w układzie lokalnym, wartości funkcji kształtu oraz wartości przemieszczeń
przedstawiono w tabeli:
Pręt 1
X q N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 U [m] V [m]
0 -0,9471650 1,0000000 1,0000000 - 0,0000000 0,0000000 0,0000000 -0,9471650 0,0000000
0,75 0,0000000 0,7500000 0,6328125 - 0,2500000 0,3671875 -0,3515625 -0,9470970 -0,0153116
1,5 - 0,5000000 0,3125000 - 0,5000000 0,6875000 -0,5625000 -0,9470290 -0,0238699
2,25 -0,9468930 0,2500000 0,0859375 - 0,7500000 0,9140625 -0,4921875 -0,9469610 -0,0189215
3 0,0062869 0,0000000 0,0000000 - 1,0000000 1,0000000 0,0000000 -0,9468930 0,0062869
0,0501193
Pręt 2
X q N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 U [m] V [m]
0 -0,9468930 1 1 0 0 0 0 -0,9468930 0,0062869
1 0,0062869 0,75 0,84 0,56 0,25 0,16 -0,19 -0,9465900 0,0706997
2 0,0501193 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 -0,5 -0,9462870 0,1272653
3 -0,9456810 0,25 0,16 0,19 0,75 0,84 -0,56 -0,9459840 0,1213323
4 -0,0017506 0 0 0 1 1 0 -0,9456810 -0,0017506
-0,1998750
Pręt 3
X q N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 U [m] V [m]
0 -0,0017506 1 1 0 0 0 0 -0,0017506 0,9456810
0,75 0,9456810 0,75 0,84 0,42 0,25 0,16 -0,14 -0,0013129 0,713596
1,5 -0,1998750 0,5 0,5 0,38 0,5 0,5 -0,38 -0,0008753 0,3978874
2,25 0,0000000 0,25 0,16 0,14 0,75 0,84 -0,42 -0,0004376 0,1196552
3 0,0000000 0 0 0 1 1 0 0,0000000 0,0000000
0,0000000
Tomasz Terlecki gr.3KBI 8/10

PROJEKT NR 1 – DYNAMIKA RAM - WERSJA KOMPUTEROWA 21.10.05
Druga postać drgań
Przemieszczenia węzłowe dla prętów w układzie lokalnym, wartości funkcji kształtu oraz wartości przemieszczeń
przedstawiono w tabeli:
Pręt 1
X
q N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6
U [m] V [m]
0 -0,0021386 1,0000000 1,0000000 - 0,0000000 0,0000000 0,0000000 -0,0021386 0,0000000
0,75 0,0000000 0,7500000 0,6328125 - 0,2500000 0,3671875 -0,3515625 -0,0021238 0,1344958
1,5 - 0,5000000 0,3125000 - 0,5000000 0,6875000 -0,5625000 -0,0021090 0,2106577
2,25 -0,0020795 0,2500000 0,0859375 - 0,7500000 0,9140625 -0,4921875 -0,0020943 0,1701516
3 -0,0453563 0,0000000 0,0000000 - 1,0000000 1,0000000 0,0000000 -0,0020795 -0,0453563
-0,4299380
Pręt 2
X
q N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6
U [m] V [m]
0 -0,0020795 1 1 0 0 0 0 -0,0020795 -0,0453563
1 -0,0453563 0,75 0,84 0,56 0,25 0,16 -0,19 -0,0020157 -0,3820488
2 -0,4299380 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 -0,5 -0,0019518 -0,5115161
3 -0,0018241 0,25 0,16 0,19 0,75 0,84 -0,56 -0,0018879 -0,4026568
4 -0,0243698 0 0 0 1 1 0 -0,0018241 -0,0243698
0,5233680
Pręt 3
X
q N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6
U [m] V [m]
0 -0,0243698 1 1 0 0 0 0 -0,0243698 0,0018241
0,75 0,0018241 0,75 0,84 0,42 0,25 0,16 -0,14 -0,0182774 0,2223349
1,5 0,5233680 0,5 0,5 0,38 0,5 0,5 -0,38 -0,0121849 0,1971750
2,25 0,0000000 0,25 0,16 0,14 0,75 0,84 -0,42 -0,0060925 0,0738836
3 0,0000000 0 0 0 1 1 0 0,0000000 0,0000000
0,0000000
Tomasz Terlecki gr.3KBI 9/10

PROJEKT NR 1 – DYNAMIKA RAM - WERSJA KOMPUTEROWA 21.10.05
Trzecia postać drgań
Przemieszczenia węzłowe dla prętów w układzie lokalnym, wartości funkcji kształtu oraz wartości przemieszczeń
przedstawiono w tabeli:
Pret 1
X
q N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6
U [m] V [m]
0 0,0041349 1,0000000 1,0000000 - 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0041349 0,0000000
0,75 0,0000000 0,7500000 0,6328125 - 0,2500000 0,3671875 -0,3515625 0,0040386 0,3941531
1,5 - 0,5000000 0,3125000 - 0,5000000 0,6875000 -0,5625000 0,0039423 0,6514811
2,25 0,0037497 0,2500000 0,0859375 - 0,7500000 0,9140625 -0,4921875 0,0038460 0,6351591
3 0,2083620 0,0000000 0,0000000 - 1,0000000 1,0000000 0,0000000 0,0037497 0,2083620
-0,9035240
Pret 2
X
q N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6
U [m] V [m]
0 0,0037497 1 1 0 0 0 0 0,0037497 0,2083620
1 0,2083620 0,75 0,84 0,56 0,25 0,16 -0,19 0,0033591 -0,2517592
2 -0,9035240 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 -0,5 0,0029685 -0,0681410
3 0,0021873 0,25 0,16 0,19 0,75 0,84 -0,56 0,0025779 0,3946172
4 0,7719160 0 0 0 1 1 0 0,0021873 0,7719160
0,2130360
Pret 3
X
q N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6
U [m] V [m]
0 0,7719160 1 1 0 0 0 0 0,7719160 -0,0021873
0,75 -0,0021873 0,75 0,84 0,42 0,25 0,16 -0,14 0,5789370 0,0880291
1,5 0,2130360 0,5 0,5 0,38 0,5 0,5 -0,38 0,3859580 0,0787949
2,25 0,0000000 0,25 0,16 0,14 0,75 0,84 -0,42 0,1929790 0,0296164
3 0,0000000 0 0 0 1 1 0 0,0000000 0,0000000
0,0000000
Tomasz Terlecki gr.3KBI 10/10