Predavanje 12 - Odjel za matematiku

Grafovi
Dr.sc.Snježana Majstorović
Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Hrvatska
Zimski semestar ak.god. 2013/2014.
1 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
Sjetimo se definicije usmjerenog grafa:
Definicija 26.1
Usmjereni graf ili digraf D je uredena trojka (V(D),A(D),ψ D) koja se sastoji
od nepraznog skupa V(D) vrhova, skupa A(D) lukova (ili usmjerenih bridova)
i funkcije incidencije ψ D koja svakom luku a pridružuje uredeni par (ne nužno
različitih) vrhova u,v koje a spaja. Vrh u je početni, a v krajnji vrh od a.
• Svakom digrafu D možemo pridružiti pripadni graf s istim skupom vrhova,
pri čemu svakom luku iz D pridružimo brid s istim krajevima. Obratno,
svakom grafu G možemo pridružiti digraf tako da specificiramo početak i
kraj svakog brida.
Kažemo još da je takav usmjereni graf orijentacija na G.
2 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
• Većina pojmova koji vrijede za grafove, vrijede i za digrafove, ali pritom
moramo paziti na pojmove vezane za orijentaciju jer se oni odnose samo na
digrafove.
Npr. poddigraf digrafa se definira slično kao i podgraf grafa; usmjerena
šetnja, staza, put, ciklus se definiraju slično kao i za grafove, a zovemo ih
redom dišetnja, distaza, itd.
Pri tome moramo ’šetati’ grafom na način kao što bismo vozili
jednosmjernim ulicama:
e
a
d
f
c
h
3 of 17
b
g
abcdea - usmjereni ciklus
hdefgh - nije usmjereni ciklus
- ne postoji usmjereni (d,h)-put

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
• Ako postoji usmjereni (u,v)-put u digrafu D, kažemo da se vrh v može
doseći u D iz vrha u.
• Dva vrha su dipovezana u D ako se svaki može doseći iz onog drugog.
• Digraf D je dipovezan ako su mu svaka dva medusobno različita vrha
dipovezana.
• Za vrh v digrafa D definiramo ulazni stupanj d − D (v) i izlazni stupanj d+ D (v)
kao broj lukova u D s krajem, odnosno početkom v.
Slično definiramo minimalan ulazni stupanj δ − (D) digrafa D, minimalan
izlazni stupanj δ + (D), itd.
✄
✂NAPOMENA:
✁
Primijetimo da digraf D ne mora biti dipovezan iako je njegov pripadni graf
povezan.
4 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
• Za digraf D kažemo da je striktan ako nema petlji i nikoja dva luka s istim
krajevima nemaju istu orijentaciju.
• Matrica susjedstva od D je n×n matrica, n = |V(D)|, A = [a ij], pri čemu
je a ij broj lukova u D s početkom v i i krajem v j.
• Jasno je da vrijedi
∑
d − (v) = ∑
d + (v) = |E(D)|.
v∈V (D)
v∈V (D)
⋄ Ne postoji izravna veza izmedu duljine (veće od jedan) puta i duljine
usmjerenog puta.
5 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
Postoji ’lijepa’ veza izmadu duljina usmjerenih puteva u digrafu i kromatskog
broja digrafa.
(Kromatski broj digrafa D je kromatski broj pripadnog grafa.)
Teorem 26.2
Digraf D sadrži usmjereni put duljine χ(D)−1. Drugim riječima, ako D nema
usmjerenog puta duljine k, tada je χ(D) ≤ k.
Dokaz: Najprije ćemo pretpostaviti da digraf D nema usmjerenih ciklusa. Neka
je l(v) maksimalna duljina usmjerenog puta u D s početkom u v ∈ V(D). Tada
možemo pravilno obojati vrhove pripadnog grafa G tako da vrhu v pridružimo
boju i ako je l(v) = i, 0 ≤ i ≤ k −1.
Kako pokazati da je takvo bojanje doista pravilno k-bojanje od D?
Stoga je (x,y)+P put duljine i+1 s početkom u x pa je l(x) ≥ i+1.
Primijetimo da u tom bojanju svaki put prolazi kroz vrhove koji su različito
obojani.
6 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
Postoji ’lijepa’ veza izmadu duljina usmjerenih puteva u digrafu i kromatskog
broja digrafa.
(Kromatski broj digrafa D je kromatski broj pripadnog grafa.)
Teorem 26.2
Digraf D sadrži usmjereni put duljine χ(D)−1. Drugim riječima, ako D nema
usmjerenog puta duljine k, tada je χ(D) ≤ k.
Dokaz: Pretpostavimo sada da D sadrži usmjerene cikluse. Neka je
A ′ = {e 1,...,e m} najmanji skup bridova čijim odstranjivanjem nestaju svi
usmjereni ciklusi u D. Tada je digraf D ′ = D −A ′ acikličan i ima k-bojanje
kao gore.
Kako D ′ +e i više nije acikličan, on ima ciklus koji prolazi kroz e i,
i ∈ {1,...,m}. Dakle, D ′ sadrži put koji spaja krajeve od e i.
Prema gornjoj primjedbi, krajevi od e i su različito obojani pa je k-bojanje od
D ′ jedno pravilno k-bojanje i od D. Slijedi χ(D) ≤ k.
7 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
Prethodni teorem daje najbolju moguću gornju granicu za duljinu usmjerenog
puta, tj.
Korolar 26.3
Svaki graf G ima orijentaciju D, pri čemu najdulji usmjereni putevi imaju
duljinu χ(G)−1.
Dokaz: Neka je k = χ(G) i (V 1,...,V k ) k-bojanje od G. Tada orijentiramo brid
uv ∈ E(G) tako da dobijemo luk (u,v) ako je u ∈ V i, v ∈ V j, i < j. Očito da u
takvoj orijentaciji usmjereni put ne može sadržavati više od k vrhova jer nikoja
dva vrha takvog puta nemaju istu boju.
8 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
Definicija 26.4
Orijentacija D neusmjerenog grafa G je aciklična ako ne sadrži usmjerene
cikluse.
Teorem 26.5
Neka je G graf s n vrhova. Broj a(G) acikličnih orijentacija od G jednak je
a(G) = (−1) n P(G,−1),
gdje je P(G,t) kromatski polinom od G.
Dokaz: Indukcijom po broju m bridova od G. Znamo da za točkast graf G
vrijedi P(G,t) = t n pa imamo a(G) = 1 = (−1) n (−1) n = (−1) n P(G,−1) pa
tvrdnja vrijedi.
Znamo da P(G,t) zadovoljava rekurziju P(G,t) = P(G−e,t)−P(G·e,t).
Pokazati ćemo da a(G) zadovoljava rekurziju
a(G) = a(G−e)+a(G·e).
9 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
Teorem 26.5
Neka je G graf s n vrhova. Broj a(G) acikličnih orijentacija od G jednak je
a(G) = (−1) n P(G,−1),
gdje je P(G,t) kromatski polinom od G.
Dokaz: Svaka aciklična orijentacija na G daje jednu acikličnu orijentaciju na
G−e. S druge strane, ako je D neka aciklična orijentacija na G−e, e = uv,
tada ju možemo proširiti na acikličnu orijentaciju tako da stavimo e 1 = (u,v)
ili e 2 = (v,u).
Ako D nema usmjerenih (u,v)-puteva, onda možemo odabrati e 2, a ako D
nema usmjerenih (v,u)-puteva, onda biramo e 1.
Primijetimo da ne možemo istovremeno birati i e 1 i e 2 jer je D acikličan.Slijedi
a(G) = a(G−e)+b, gdje je b broj acikličkih orijentacija D od G−e koje smo
proširili s e 1 zajedno sa brojem takvih orijentacija proširenih s e 2.
10 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
Teorem 26.5
Neka je G graf s n vrhova. Broj a(G) acikličnih orijentacija od G jednak je
a(G) = (−1) n P(G,−1),
gdje je P(G,t) kromatski polinom od G.
Dokaz: No, broj acikličkih orijentacija D proširenih u oba smjera jednak je
broju orijentacija koje ne sadrže niti (u,v)-usmjereni put niti (v,u)-usmjereni
put. Slijedi b = a(G·e).
Sada, po pretpostavci indukcije imamo
a(G) = (−1) n P(G−e,−1)+(−1) n−1 P(G·e,−1)
= (−1) n (P(G−e,−1)−P(G·e,−1)) = (−1) n P(G,−1).
11 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
Definicija 26.6
Turnir (eng. tournament) je orijentirani potpun graf.
Primjer 26.7
Postoje 4 neizomorfna turnira sa 4 vrha.
Slijede neka svojstva turnira:
Teorem 26.8
Svaki turnir dopušta usmjereni Hamiltonov put (usmjereni put koji sadrži sve
vrhove).
Dokaz: Znamo da je kromatski broj potpunog grafa K n jednak n pa prema
Teoremu 26.2 turnir s n vrhova sadrži usmjereni put duljine n−1. Takav put
je usmjereni Hamiltonov put.
12 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
Teorem 26.9 (Landau, 1953)
Neka je v vrh turnira T maksimalnog izlaznog stupnja. Tada za svaki vrh
u ∈ V(T) postoji usmjereni najkraći (v,u)-put duljine najviše dva.
Dokaz: Neka je T turnir s n vrhova i neka je v vrh sa maksimalnim izlaznim
stupnjem k. Pretpostavimo da postoji vrh x ∈ V(T) takav da je udaljenost od
v do x najmanje 3. Slijedi da (x,v) ∈ A(T) i (x,u) ∈ A(T) za sve vrhove u za
koje je (v,u) ∈ A(T).
No, skup B = {y : vy ∈ A(T)} je kardinalnosti k, pa je |B ∪{v}| = k +1.
Slijedi da je vrh x izlaznog stupnja k +1 i dobili smo kontradikciju.
13 of 17

26 Usmjereni grafovi ili digrafovi
Teorem 26.10
Turnir je dipovezan ako i samo ako sadrži usmjereni Hamiltonov ciklus.
Dokaz: ⇐ Jasno je da ako turnir sadrži usmjereni Hamiltonov ciklus, onda je
dipovezan.
⇒ Neka je D dipovezan turnir, a C = (v 1,...,v k ) maksimalni diciklus u D
(takav postoji jer aciklični turnir nije dipovezan).
Pretpostavimo da C nije Hamiltonov te neka je u vrh koji nije u C.
Neka je npr. (v 1,u) ∈ A(D). Ako je (u,v 2) ∈ A(D), onda je (v 1,u,v 2,...,v k )
duži diciklus. Stoga (v 2,u) ∈ A(D).
Slično je i (v i,u) ∈ A(D) ∀i = 1,2,...,k.
Neka je U = {u ∈ V(D) : (v 1,u) ∈ A(D)}. Tada je (v i,u) ∈ A(D) ∀u ∈ U kao
gore. Neka je (u,w) ∈ A(D) luk za koji je u ∈ U, w /∈ U (takav postoji jer ima
lukova u A(D−U)). Slijedi w /∈ C pa stoga w /∈ U povlači (w,v 1) ∈ A(D). No,
tada je (u,w,v 1,...,v k ) diciklus duži od C.
14 of 17

27 Digrafovi: primjena na jednosmjerni promet
ulicama
Promotrimo slijedeće grafove:
G
Kako god orijentirali G, ne možemo dobiti dipovezan digraf. Problem je što G
sadrži most.
Graf H možemo orijentirati tako da dobijemo dipovezan digraf.
H
15 of 17

27 Digrafovi: primjena na jednosmjerni promet
ulicama
Teorem 27.1
Graf G dopušta dipovezanu orijentaciju ako i samo ako je G 2-bridno povezan.
Dokaz: ⇒ Neka je D dipovezan graf dobiven nekom orijentacijom od G. Neka
je (u,v) ∈ A(D). Tada postoji usmjereni (v,u)-put u D te je (u,v) sadržan u
ciklusu od G (čak i od D) pa tvrdnja slijedi iz činjenice da brid nije rezni ako i
samo ako je sadržan u ciklusu.
⇐ Neka je G 2-bridno povezan. Tada G sadrži ciklus G 1. Definiramo
induktivno niz G 1,G 2,... povezanih podgrafova od G ovako: Ako G i nije
razapinjujući podgraf od G, neka je v i ∈ V(G−G i). Tada, prema bridnom
analogonu Mengerovog teorema, postoje 2 bridno disjunktna puta P i i Q i od v i
do G i.
Definirajmo G i+1 = G i ∪P i ∪Q i. Budući da je |V(G i+1)| > |V(G i)|, taj niz
mora završiti sa razapinjujućim podgrafom G n od G.
16 of 17

27 Digrafovi: primjena na jednosmjerni promet
ulicama
Teorem 27.1
Graf G dopušta dipovezanu orijentaciju ako i samo ako je G 2-bridno povezan.
Dokaz: ⇐ Raditi ćemo orijentaciju tako da prvo orijentiramo G 1 kao usmjereni
ciklus, put P i orijentiramo kao put s početkom v i, a put Q i kao usmjereni put
s krajem v i. Očito je tada svaki G i, pa onda i G n, orijentiran tako da postaje
dipovezan. Kako je G n razapinjujući podgraf od G, slijedi da i G ima
dipovezanu orijentaciju.
17 of 17