Mechanika Budowli - Instytut Konstrukcji Budowlanych

Politechnika Poznańska
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
Mechanika Budowli
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń – wersja komputerowa
Bartosz Jusik
Grupa IV MBP

Dla układu przedstawionego na rysunku obliczyć rozkład sił wewnętrznych.
Poprawność obliczeń sprawdzić wykonując kontrolę statyczną i kinematyczną.
1. Dane:
E = 205000
MPa
Pręty „1” – I 220 :
2
A = 39,
cm
1
6
1
, 0
I = 3060 cm
Pręty „2” – I 260 :
2
A = 53,
cm
2
4
2
, 0
I = 5740 cm
4
4
EA 811800 kN
= 1
1
, 0
EI = 6273 kNm
EA 1094700 kN
= 2
2
, 0
EI = 11767 kNm
2
2
2. Oznaczenie prętów układu i określenie liczby niewiadomych (SGN):
2

3. Macierze sztywności dla poszczególnych prętów:
K
e
= T
T
~
K T
e
K
e
- macierz sztywności elementu dla układu globalnego
K ~
e
- macierz sztywności elementu dla układu lokalnego
T - macierz transformacji
⎡ cos α sin α 0⎤
⎡C
0 ⎤
T =
⎥
⎢ ⎥ C =
⎢
⎣ 0 C⎦
⎢
− sin α cos α 0
⎥
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
α - kąt między osią x układu globalnego a osią ~ x układu
lokalnego
3.1. Pręt 1-2 – pręt obustronnie utwierdzony
A = 39 cm
1
, 6
1
, 0
I = 3060 cm
2
4
EA 811800 kN
α = −45
= o
1
2
1
6273,
0 kNm l = 4, 243
EI =
m
191343,1 0 0 -191343,1 0 0
0 985,7 2091 0 -985,7 2091
~ =
-191343,1 0 0 191343,1 0 0
0 -985,7 -2091 0 985,7 -2091
0 2091 2957,1 0 -2091 5914,2
K
e
T
=
0,707107 -0,707107 0 0 0 0
0,707107 0,707107 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0,707107 -0,707107 0
0 0 0 0,707107 0,707107 0
0 0 0 0 0 1
K
e
=
96164 -95179 1478,6 -96164 95179 1478,6
-95179 96164 1478,6 95179 -96164 1478,6
1478,6 1478,6 5914,2 -1478,6 -1478,6 2957,1
-96164 95179 -1478,6 96164 -95179 -1478,6
95179 -96164 -1478,6 -95179 96164 -1478,6
1478,6 1478,6 2957,1 -1478,6 -1478,6 5914,2
3

3.2. Pręt 2-3 – pręt obustronnie utwierdzony
A = 39 cm
1
, 6
1
, 0
I = 3060 cm
2
4
EA 811800 kN
α = 90
= o
1
2
1
6273,
0 kNm l = 3, 0
EI =
m
270600 0 0 -270600 0 0
0 2788 4182 0 -2788 4182
~ =
-270600 0 0 270600 0 0
0 -2788 -4182 0 2788 -4182
0 4182 4182 0 -4182 8364
K
e
T
=
0 1 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 1
K
e
=
2788 0 -4182 -2788 0 -4182
0 270600 0 0 -270600 0
-4182 0 8364 4182 0 4182
-2788 0 4182 2788 0 4182
0 -270600 0 0 270600 0
-4182 0 4182 4182 0 8364
3.3. Pręt 2-4 – pręt obustronnie utwierdzony
A = 53 cm
2
, 4
2
, 0
I = 5740 cm
2
4
EA 1094700 kN
α = 0
= o
2
2
EI
2
= 11767,
0 kNm l = 4, 0 m
układ lokalny pręta pokrywa się z układem globalnym konstrukcji – macierz
sztywności nie wymaga transformacji
4

273675 0 0 -273675 0 0
0 2206,31 4412,63 0 -2206,31 4412,63
K ~ e
= K e
=
-273675 0 0 273675 0 0
0 -2206,31 -4412,63 0 2206,31 -4412,63
0 4412,63 5883,5 0 -4412,63 11767
3.4. Pręt 4-5 – pręt z przegubem na prawym końcu
A = 39 cm
1
, 6
1
, 0
I = 3060 cm
2
4
EA 811800 kN
α = 90
= o
1
2
1
6273,
0 kNm l = 3, 0
EI =
m
270600 0 0 -270600 0 0
0 697 2091 0 -697 0
~ =
-270600 0 0 270600 0 0
0 -697 -2091 0 697 0
0 0 0 0 0 0
K
e
T
=
0 1 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 1
K
e
=
697 0 -2091 -697 0 0
0 270600 0 0 -270600 0
-2091 0 6273 2091 0 0
-697 0 2091 697 0 0
0 -270600 0 0 270600 0
0 0 0 0 0 0
5

4. Macierz sztywności dla całego układu w układzie globalnym:
TABELA POWIĄZAŃ:
Nr pręta: 1 2 3 4 5 5
1-2 1 2 3 4 5 6
2-3 4 5 6 7 8 9
2-4 4 5 6 10 11 12
4-5 10 11 12 13 14 15
Macierz sztywności całego układu po agregacji - K :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 96164 -95179 1478,6 -96164 95179 1478,6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 -95179 96164 1478,6 95179 -96164 1478,6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 1478,6 1478,6 5914,2 -1478,6 -1478,6 2957,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 -96164 95179 -1478,6 372627 -95179 -5660,6 -2788 0 -4182 -273675 0 0 0 0 0
5 95179 -96164 -1478,6 -95179 368971 2934,1 0 -270600 0 0 -2206,3 4412,6 0 0 0
6 1478,6 1478,6 2957,1 -5660,6 2934,1 26045,2 4182 0 4182 0 -4412,6 5883,5 0 0 0
7 0 0 0 -2788 0 4182 2788 0 4182 0 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 -270600 0 0 270600 0 0 0 0 0 0 0
9 0 0 0 -4182 0 4182 4182 0 8364 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 -273675 0 0 0 0 0 274372 0 -2091 -697 0 0
11 0 0 0 0 -2206,3 -4412,6 0 0 0 0 272806 -4412,6 0 -270600 0
12 0 0 0 0 4412,6 5883,5 0 0 0 -2091 -4412,6 18040 2091 0 0
13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -697 0 2091 697 0 0
14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -270600 0 0 270600 0
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
pręt 1-2 pręt 2-3 pręt 2-4 pręt 4-5

5. Obliczenie wektora sił P:
P = P
w
−
0
R
P - wektor zewnętrznych sił węzłowych układu
w
0
R - wektor sił przywęzłowych układu od obciąŜenia
przęsłowego
Obliczenie wektorów sił przywęzłowych dla poszczególnych prętów w układach lokalnych:
~
R 0 = 0
e
R e
PRĘT 1-2: PRĘT 2-3: PRĘT 4-5:
0
0
0
0
0
~ 0 = 0 0
~
=
R
e
R e
=
R 0 = 0
e
R =
0
e
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
PRĘT 2-4:
układ lokalny pręta pokrywa się z układem
globalnym konstrukcji – wektor sił przywęzłowych
nie wymaga transformacji
0 0
ql
−
2
-12
2
ql
~ 0 = 0 −
R
e
R e
= 12 =
-8
0 0
ql
−
2
-12
2
ql
12
8

Wektor sił P:
P
w
= P − R0
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
20 0 20
0 -12 12
0 -8 8
0
0
0
0 - 0 = 0
0 0 0
0 0 0
0 -12 12
3 8 -5
0 0 0
0 0 0
0 0 0
6. Obliczenie wektora przemieszczeń węzłowych układu q:
K q =
P
q = K
P
q - wektor przemieszczeń węzłowych układu
K - macierz sztywności układu
P - wektor sił
−1
Po uwzględnieniu warunków podparcia (wykreślenie wierszy oraz kolumn nr 1, 2, 3, 7,
8, 9, 13, 14 oraz redukcji kąta obrotu przy przegubie (nr 15) otrzymuje się układ
równań w postaci (pozostają niewiadome nr 4, 5, 6, 10, 11, 12):
372627 -95179 -5660,6 -273675 0 0
20
-95179 368971 2934,1 0 -2206,3 4413 q
5 12
-5660,6 2934,1 26045,2 0 -4412,6 5883,5 q
6
8
⋅
=
-273675 0 0 274372 0 -2091 q
10 0
0 -2206,3 -4412,6 0 272806 -4412,6 q
11 12
0 4412,6 5883,5 -2091 -4412,6 18040 q
12 -5
Rozwiązując układ równań otrzymuje się wektor przemieszczeń węzłowych układu:
q
4
q =
q
4
5
0,00033318
q 0,00011993
q
6
0,00046626
=
q 0,00032922
10
q 0,00004588
11
q -0,000409181
12
8

Wektory przemieszczeń globalnych dla poszczególnych prętów:
q
e
=
PRĘT 1-2: PRĘT 2-3: PRĘT 2-4: PRĘT 4-5:
0
0
0
0,00033318
0,00011993
0,00046626
q
e
=
0,00033318
0,00011993
0,00046626
0
0
0
q
e
=
0,00033318
0,00011993
0,00046626
0,00032922
0,00004588
-0,000409181
q
e
=
0,00032922
0,00004588
-0,000409181
0
0
1*
Wektory przemieszczeń lokalnych dla poszczególnych prętów:
q~
= T ⋅
e
q e
q ~ - wektor przemieszczeń lokalnych danego pręta
e
q
e
- wektor przemieszczeń globalnych danego pręta
T - macierz transformacji
q ~
e
=
PRĘT 1-2: PRĘT 2-3: PRĘT 2-4: PRĘT 4-5:
0
0
0
0,000150791
0,000320397
0,000466265
q ~
e
=
0,00011993
-0,00033318
0,000466265
0
0
0
q ~
e
=
0,00033318
0,00011993
0,00046626
0,00032922
0,00004588
-0,000409181
q ~
e
=
0,00004588
-0,00032922
-0,000409181
0
0
1*
*W wektorze przemieszczeń globalnych i lokalnych w pręcie 4-5 występuje niewiadoma
powstała w wyniku redukcji statycznej dla tego pręta. PoniewaŜ nie wpływa ona na
dalsze obliczenia moŜna w tym miejscu wpisać dowolną liczbę aby umoŜliwić dalsze
obliczenia w programach kalkulacyjnych. Tu wpisano liczbę 1.
9

7. Obliczenie wektorów sił węzłowych dla poszczególnych prętów:
~ ~
R = K ⋅ q~
+
e
e
e
~
R 0
e
R ~ e
- wektor sił przywęzłowych
K ~
e
- macierz sztywności elementu
q ~ e
- wektor przemieszczeń węzłów elementu
~
R 0
e
- wektor sił przywęzłowych od obciąŜenia przęsłowego
q ~
e
=
PRĘT 1-2: PRĘT 2-3: PRĘT 2-4: PRĘT 4-5:
-28,853
0,659
0,709
28,853
-0,659
2,088
q ~
e
=
32,453
1,1021
2,506
-32,453
-1,021
0,557
q ~
e
=
1,085
-11,585
-4,594
-1,085
-12,415
6,255
q ~
e
=
12,415
-1,085
-3,255
-12,415
1,085
0
8. Wykresy sił wewnętrznych:
Na podstawie wektorów sił węzłowych dla poszczególnych prętów sporządzono
rysunki wykresów sił wewnętrznych.
[kN]
[kN]
10

6,59
[kNm]
11

9. Sprawdzenie otrzymanych wyników:
9.1. Kontrola statyczna
Schemat obciąŜeń i reakcji w układzie:
∑
∑
X = 20 − 19,936 + 1,021 − 1,085 = 0 kN
Y = 6 ⋅ 4,0 + 20,868 − 32,453 − 12,415 = 0 kN
∑
M A
= 3 + 0,709 + 0,557 + 20 ⋅1,5
− 20,868 ⋅ 5 + 19,936 ⋅1,5
+
+ 32,453 ⋅ 2 − 1,021 ⋅1,5
− 12,415 ⋅ 2 + 1,085 ⋅1,5
= 0,002 kNm
≈ 0
12

9.2. Kontrola kinematyczna
1
V
n
n
M M
0
N N
dx
dx
EI
EA
n
M - moment zginający w stanie rzeczywistym
M - moment zginający w stanie wirtualnym
⋅
0
= ∑∫ + ∑∫
0
n
N - siła normalna w stanie rzeczywistym
N - siła normalna w stanie wirtualnym
0
EA = 1
811800 kN
EA 1,348
EA 1094700 kN
2
= ⋅
1
=
2
EI = 6273,
kNm
EI = 1,876
⋅ EI = 11767, kNm
1
0
2 1
0
2
1 ⋅V
=
+
1
6273
1
1,876
⎡
1
2
⎢
0,557 ⋅ 3 ⋅ 0,5 ⋅ ⋅ 3 − 2,506 ⋅ 3⋅
0,5 ⋅ ⋅ 3 +
⎣
3
3
2
⎛
2 6 ⋅ 4
⎜ − 6,255 ⋅ 4 ⋅ 0,5 ⋅ 3 − 4,594 ⋅ 4 ⋅ 0,5 ⋅ 3 + ⋅
⎝
3 8
− 3,255 ⋅ 3 ⋅ 0,5 ⋅
2
3
⎤
⋅ 3⎥
+
⎦
1
1094700
[ −1,085
⋅ 4 ⋅1]
⎞
⋅ 4 ⋅ 3
⎟ −
⎠
1 ⋅V
= 4,29035 ⋅10
−6
− 3,96598 ⋅10
−6
= 3,2437 ⋅10
−7
= 0,0000003244
m ≈ 0
13