Teorija naprezanja i deformacija

Teorija naprezanja
i deformacija
11. dio
Tenzor naprezanja
• 3D - Prostorno stanje naprezanja
puni” tenzor:3 2 = 9 podataka
Dokaz za 2D - ravninsko stanje naprezanja
Σ M M = 0
dx
dy
( τxy
dy ⋅1)
⋅ 2 - ( τ yx dx ⋅1)
⋅ 2 = 0
2
2
/ : dx dy
τ
xy
= τ
yx
σ
ij
=
σ
τ
τ
x
yx
zx
τ
σ
τ
xy
y
zy
τ
τ
1
σ
xz
yz
3
5
z
• 3D – Prostorno stanje naprezanja
• 2D – Ravninsko stanje naprezanja
• 1D – Jednoosno stanje naprezanja
Simetri nost tenzora naprezanja
σ gl =
σ = τ
σ
0
0
ij
1
0
σ
0
σ
τ
2
x
yx
zx
τ
σ
τ
xy
y
zy
τ
τ
σ
xz
yz
z
Zakon o jednakosti
posmi nih naprezanja:
τ
τ
τ
yx
zx
zy
Glavna naprezanja
0
0
σ
3
= τ
= τ
= τ
xy
xz
yz
6 podataka
Nema posmi nih naprezanja !!
2
4
6
1

Prva invarijanta naprezanja
σ + σ + σ = σ + σ + σ = konst.
x
y
z
1
2D - Ravninsko stanje naprezanja:
σ x
σ y
τ xy
Glavna naprezanja: σ 1 i σ 2 i njihov smjer ϕ:
σ x + σ y σ x −σ
y
σ 1,
2 = ±
+ τ
2 2
2τ
xy
tg2ϕ
=
σ −σ
x
y
2
2
xy
Glavna naprezanja i njihov smjer
2
3
B (σ y ;τ yx )
7
9
A (σ x ;τ xy )
C (σ 1 ;0)
D (σ 2;0)
11
Mohrove kružnice naprezanja 3D
Glavna naprezanja i njihov smjer
Najve e posmi no naprezanje
H (σ s ;τ maks )
8
10
2
1
2
σ − σ
σx
+ σ y
σs
=
τmaks
= r =
12
2
2

Mohrove kružnice tipi nih stanja
naprezanja
1. Jednoosno naprezanje:
a) vla no σ x > 0
b) tla no σ x < 0
2. Izotropno naprezanje σ y = σ x
3. isto smicanje τ xy
Glavna naprezanja:
σ 1 = σ x
σ 2 = 0
A (σ x ;0)
B (0;0)
1. b) Jednoosno tla no naprezanje
13
15
17
1. a) Jednoosno vla no naprezanje
Glavna naprezanja:
σ 1 = 0
σ 2 = - σ x
A ( - σ x ;0)
B (0;0)
Maksimalno
posmi no
naprezanja:
14
τ maks = τ C= r = σ 1/2
16
18
3

A ( - σ x ;0)
B ( - σ y ;0)
Maksimalno
posmi no
naprezanje
τ maks= τ C
19
2. b) Izotropno
sabijanje
21
3. b)
Smicanje
τ < 0
xy
(uvijanje)
A (0; -τ xy)
B (0; τ yx )
Glavna naprezanja:
σ 1= τ xy
σ 2= - τ xy
23
A (σ x ;0)
B (σ y ;0)
2.a) Izotropno
rastezanje
20
3. a)
Smicanje
τ > 0
xy
A (0; τ xy )
B (0; τ yx )
Glavna naprezanja:
σ 1 = τ xy
σ 2 = - τ xy
1D- Jednoosno stanje naprezanja
N
N
22
A = b ⋅ h
24
4

5
25
1
0
0
σ
=
σ
=
=
=
⋅
+
−
=
Σ
x
x
A
N
p
A
p
N
F
N
26
27
Ovisnost naprezanja o presjeku
Presjek C - C
N
28
ϕ
ϕ
cos
cos
A
A
h
b
A
=
⋅
=
N
29
ϕ
σ
=
ϕ
⋅
=
=
=
⋅
+
−
=
Σ
cos
cos
A
N
A
N
p
A
p
N
F
x
x
0
0
N
30

2
σ = p ⋅ cosϕ
= σ x ⋅ cos ϕ
2
σ = σ ⋅ cos ϕ
1
τ = p ⋅ sinϕ
= σ x ⋅ cosϕ
⋅sin
ϕ
σ1
τ = ⋅ sin 2ϕ
2
Sile u presjeku nosa a
Dinama sila: - glavni vektor sila P
- vektor glavnog momenta
Sile u presjeku nosa a
Dinama sila: - glavni vektor sila P
- vektor glavnog momenta
M t
y
z
= M ⋅ i + M ⋅ j + M ⋅ k
31
M
33
35
M
Mohrova kružnica naprezanja
σ =
τ =
σ
τ
ϕ
ϕ
= σ ⋅cos
1
2
ϕ
1
= σ1
⋅sin
2ϕ
2
Sile u presjeku nosa a
Dinama sila: - glavni vektor sila P
- vektor glavnog momenta
P y z
= N ⋅ i + T ⋅ j + T ⋅ k
Veze izme u unutrašnjih sila i
komponenata tenzora naprezanja
32
M
34
36
6

Tenzor naprezanja
Normala ravnine presjeka podudara s osi x
σ
ij
=
σ
τ
τ
x
yx
zx
τ
σ
τ
xy
y
zy
τ
τ
σ
xz
yz
z
Posmi no naprezanje
dT
τ = dT = τ ⋅ dA
dA
Normalno naprezanje
dN
σ x = dN = σ x ⋅ dA
dA
Naprezanja: σx ; τxy τxz 37
38
Posmi no naprezanje
dT
τ = dT = τ ⋅ dA
dA
Popre ne sile
T = dT = τ ⋅ dA
y
y
A A
xy
Normalno naprezanje
dN
σ x = dN = σ x ⋅ dA
dA
Uzdužna sila N
= = x ⋅ dA
dN N σ
A A
Momenti savijanja M y i M z
M = z ⋅σ
⋅ dA
Tz = dTz
= τ xz ⋅ dA
39
40
A A
Moment uvijanja - torzije
( y ⋅τ
⋅ dA − z ⋅ ⋅ dA)
M = M =
τ
t
x
A
xz
xy
41
y
A
M = − y ⋅σ
⋅ dA
z
A
x
x
Deformacije
42
7

1. Duljinska (normalna) deformacija ε
2. Kutna (posmi na) deformacija γ
3. Obujamska deformacija Θ
Simetri nost tenzora deformacija
ε
xy
• 6 podataka
ε =
ij
= ε
ε
x
1
γ
2
1
γ
2
yx
zx
yx
1
= γ
2
1
γ
2
ε
y
1
γ
2
xy
zy
xy
1
γ
2
1
γ
2
ε
z
xz
yz
43
45
A1B
1 − AB
ε AB = lim = ε x
B→
A AB
ε
AC
A1C
1 − AC
= lim = ε
C→
A AC
y
47
ε =
ij
ε
ε
ε
ε
x
yx
zx
Tenzor deformacija
– tenzor drugog reda
ε
ε
ε
xy
y
zy
ε
ε
ε
xz
yz
z
=
ε
x
1
γ
2
1
γ
2
3 2 = 9 podataka+mjerna jedinica
yx
zx
1
γ
2
ε
y
1
γ
2
1. Duljinska deformacija ε
∆l
lim
l l
= →0
• Kutna
deformacija
π
γ BAC = lim
− ∠ B1A1C1
= γ
2
B→
A
C → A
xy
xy
zy
1
γ
2
1
γ
2
ε
z
xz
yz
44
46
48
8

2. Kutna deformacija γ
ili posmi na deformacija
Ravinsko stanje deformacija
ε z= ε zx = ε zy = 0
49
51
Predznaci deformacija
Glavne deformacije (γ = 0)
ε 1 = ?
ε 2 = ?
ϕ 0 = 0
53 54
50
52
9

Mohrova kružnica deformacija
ε
1,
2
Glavne deformacije
ε x + ε y ε x − ε y 1
= ±
+ γ xy
2 2 2
1
⋅ γ xy γ xy
tg2ϕ
= 2
0 =
ε x − ε y ε x − ε y
2
γ xy
tg2ϕ
0 =
ε − ε
x
y
3. Obujamska deformacija
relativna promjena elementarnog obujma
2
2
55
57
59
Θ
ε
ε
ε
3. Obujamska deformacija
relativna promjena elementarnog obujma
∆a
lim
a a
x =
→0
∆b
lim
b b
y =
→0
∆c
lim
c c
z =
→0
56
58
60
Θ
10

∆V
= lim
V V
Θ →0
Θ
sr
Θ =
3. Obujamska deformacija
∆a
∆b
∆c
≈ + +
a b c
∆V
lim ≈ ε + ε + ε
V →0 V
x
y
z
Θ
61
3. Obujamska deformacija
Θ = ε
+ ε + ε = ε + ε + ε = konst.
x
y
z
1
2
3
62
11