Metoda sił - rama przestrzenna 1

Politechnika Poznanska
Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii
Środowiska
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Projekt 1 - Rama przestrzenna
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje:
Dr inż. Przemysław Litewka
Projekt wykonał:
Krystian Paczkowski
10kN
Zadany przykład:
6kN/m
b
Dla przedstawionej ramy wyznaczyć wykresy sił
wewnętrznych wywołanych zadanym obciążeniem.
Przyjęto, że rama składa się z prętów stalowych o
przekroju kołowym (G=0.375E, I s =2I).
5kN
a
a=2,5 [m] b=4 [m] c=3 [m] SSN=2
c
c
Układ podstawowy
a
10kN
Do obliczeń poszczególnych współczynników δ ik korzystam z
wzoru:
n ⌠
n ⌠
M ix M
⎮
∑
kx
dz
+
⎮
⎮ EI x
∑
⎮
j = 1 ⌡
j = 1 ⌡
n ⌠
M iy M ky
dz
+
⎮
EI y
∑
⎮
j = 1 ⌡
gdzie I x =I y =I ; GI s =0.375E * 2I= 0.75EI
M i M k
dz
GI s
6kN/m
b
Dobór układu podstawowego:
Równania kanoniczne:
X2
5kN
a
X1
a
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 1P := 0
δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 2P := 0
Wyznaczenie wartości momentów zginających i skręcających
dla stanu X1:
c
Stan X1:
c
2,5
1
4
2,5
1
3
2
1
1
a
4
1
1
4
1
2,5
1 2,5
Wyznaczenie wartości momentów
zginających i skręcających dla stanu X2:
c
4
c
a
Pręt 4: Pręt nr1: Pręt nr2: Pręt nr3:
5
4
Stan X2:
1
3
1
3
1
1
2
1
4
5
4
1 3 1
4
1
1
2.5
3
1 2.5
a
3
a
c
c
1

Politechnika Poznanska
Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii
Środowiska
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Projekt 1 - Rama przestrzenna
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje:
Dr inż. Przemysław Litewka
Projekt wykonał:
Krystian Paczkowski
Stan P:
Wykresy dla stanu X1:
3
+
37.5
Momentów zginających [m]:
10kN
4
1
6kN/m
2.5
3 4
5 2
4 5
5kN
6
Momentów skręcających [m]:
Wyznaczenie wartości momentów zginających i skręcających
dla stanu P:
4
1
2
3 18
25
5 6
+
10
20
5 4 18 5 25 20
36
6
+ 6
36
5
10
5 27 18
36 90
27 18 90 5
20 5
Wykresy dla stanu X2:
20 37.5
Momentów zginających [m]:
90 5
40 37.5
36
2.5 3
Wykresy dla stanu P:
2.5
3
Momentów zginających [kNm]: Momentów skręcających [kNm]:
27
Momentów skręcających [m]:
20
25
20
-
90
20 37.5
90
90
40
+
2

Politechnika Poznanska
Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii
Środowiska
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Projekt 1 - Rama przestrzenna
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje:
Dr inż. Przemysław Litewka
Projekt wykonał:
Krystian Paczkowski
Obliczenia współczynników δik :
1
EJδ 11
2 ⋅ 4 ⋅ 4 2 1
⋅ ⋅ 4
3 2 ⋅ 5 ⋅ 5 2 1
+ ⋅ ⋅ 5
3 2 ⋅ 4 ⋅ 4 2 1
:=
+ ⋅ ⋅ 4 + ⋅ ( 5 ⋅ 4 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 4)
3 0.75
EJδ 11 := 324.333
1
EJδ 12
2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3 1
:=
+ ⋅ ( 4 ⋅ 2.5 ⋅ 3)
0.75
EJδ 12 := 64
1
EJδ 22
2 ⋅ 3 ⋅ 3 2 1
⋅ ⋅ 3
3 2 ⋅ 2.5 ⋅ 2.5 2
1
:=
+ ⋅ ⋅ 2.5 + 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + 2.5 ⋅ 4 ⋅ 2.5 + ⋅ ( 3 ⋅ 2.5 ⋅ 3)
3
0.75
EJδ 22 := 105.208
1
EJδ 1P
2 20 ⋅ 4 −2
⋅
⎛
⎜
3 4 ⎞ 1
2 40 ⋅ 4 −1
+ ⋅
⎛
⎜
3 4 ⎞ 1
25 2.5
2 ⋅ 2
3 2.5 1
+
⎛
⎜ + 3 5 ⎞ 1
37.5 2.5
2 ⋅ ⎛ 2
3 5 1
:=
+ ⎜ + 3 2.5
⎝
⎠
1
0.75 ( 37.5 ⋅ 4 ⋅ 5 − 20 ⋅ 2.5 ⋅ 4)
EJδ 1P := 871.56249999999999999
1
1
EJδ 2P ⋅ ⋅ ( 20 + 40)
⋅ 4 ⋅ ( −3)
+ 90 ⋅ 4 ⋅ −2.5
2
2 ⋅ 2.5 ⋅ 90 ⎛ −2
:=
+
⋅ ⎜ ⋅ 2.5
3
EJδ 2P := −1708.2500000000000000
⎝
⎠
⎝
⎝
⎠
⎞
⎠
1
2 ⋅ 27 ⋅ 3 −2
+
⋅ ⎜ ⋅ 3
3
⎝
⎛
⎝
⎞
⎠
⎞
⎠
+ 1
2.5 25
2 ⋅ ⋅ 2
3 2.5
2 6 ⋅ 3 2
1
+ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 1.5 + ( −20
⋅ 2.5 ⋅ 3)
3 8
0.75
Z czego wynika:
324.333 ⋅ X 1 + 64 ⋅ X 2 := −871.5625
64 ⋅ X 1 + 105.208 ⋅ X 2 := 1708.25
Z czego otrzymujemy:
X 1 := −6.69482
X 2 := 20.3095
[kN]
Korzystając z zasady superpozycji otrzymuję wykresy momentów rzeczywistych:
S n := S p + S 1 ⋅ X 1 + S 2 ⋅ X 2
Wykres momentów zginających:
M[kNm]
Wykres momentów skręcających:
[kNm]
26.779
39.226
20
27
33.929
14.149
+
-
26.779
14.149
4.0259
8.26295
4.0259
+
20.929
39.226
3

Politechnika Poznanska
Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii
Środowiska
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Projekt 1 - Rama przestrzenna
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje:
Dr inż. Przemysław Litewka
Projekt wykonał:
Krystian Paczkowski
Sprawdzenie kinematyczne:
Przyjmuje jako układ wirtualny,układ X1,przykładając w miejscu siły X1 siłę wirtualną równą 1.
1
2 ⋅ 14.149 ⋅ 4 2 1
⋅ ⋅ 4
3 2 ⋅ 20.929 ⋅ 4 1 1
+
⋅ ⋅ 4
3 2 ⋅ 4.0259 ⋅ 2.5 2
3 ⋅ 5 1
1 ⎯ ⋅ δ :=
+
⋅ ⎜ + 3 ⋅ 2.5
1
2 ⋅ 2.5 ⋅ 8.26295
2 1
⋅ ⋅ 2.5
3 2 ⋅ 26.779 ⋅ 4
−2
+
⋅ ⎜ ⋅ 4
3
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
1
2 ⋅ 8.26295 ⋅ 2.5 2.5 2 1
+
⋅ ⎜ ⋅
3
+ 3 ⋅ 5
1
+ ⋅ ( 4.0259 ⋅ 4 ⋅ 5 + 14.149 ⋅ 2.5 ⋅ 4 − 26.779 ⋅ 2.5 ⋅ 4)
0.75
⎞
⎠
1 ⎯ ⋅ δ
:=
1.9666666666666665 ⋅ 10 -2
EJ
[m] Wynik jest bliski zeru zatem obliczenia uznaję za poprawne.
Błąd procentowy wynosi:
1 ⎯ ⋅ δ := 61.06233333333333333 + −61.042666666666666665
1.9666666666666665 ⋅ 10 -2
61.06233333333333333
=
3.221 × 10 − 4
Błąd jest < 0,1% zatem zakładam, że kontrola jest poprawna.
Kontrolne sprawdzenie dla drugiego układu wirtualnego, przyjmuję w miejscu siły X2 siłę
wirtualną równą 1.
1
2 ⋅ 3 ⋅ 33.929 2 2 6 ⋅ 3 2
1
⋅ ⋅ 3 + ⋅ ⋅ 3 ⋅ 1.5
3 3 8
2 ⋅ 2.5 ⋅ 39.226 2
1 ⎯ ⋅ δ :=
+ ⋅ ⋅ ( −2.5)
+ 39.226 ⋅ 4 ⋅ ( −2.5)
3
1
1
⋅ ( 14.149 + 20.929)
⋅ 4 ⋅ 3 + ⋅ ( 14.149 ⋅ 2.5 ⋅ 3)
2
0.75
1 ⎯ ⋅ δ
:=
obliczeń.
1.416666666666667 ⋅ 10 -2
EJ [m] Wynik jest bliski zeru, co jest potwierdzeniem poprawności
Wykres sil Normalnych występujących w ramie:
Wykres sil Tnących występujących w ramie:
15.6905
-
20.31
1.695
1.695
2.31
-
-
+
-
15.69 5
-
-
3.305
18
-
6.695
N[kN]
T[kN]
4