Statyka kratownicy stalowej o 3 różnych przekrojach prętów

Statyka kratownicy stalowej o 3 różnych przekrojach prętów
E 2.08 10 8 [kPa] - Moduł Younga stali
A1 5 10 4 [m 2 ] - Pole powierzchni przekroju pasa górnego, elementy 1, 2, 3
A2 4 10 4 [m 2 ] - Pole powierzchni przekroju pasa dolnego, elementy 4, 5
A3 2 10 4 [m 2 ] - Pole powierzchni przekroju krzyżulców, elementy 6, 7
Parametry pomocnicze:
Le 7 - Liczba elementów Lw 5 - Liczba węzłów Lss 2 - Liczba stopni swobody węzła
Lr Lss Lw - Liczba równań
K Lr Lr 0 Deklaracja globalnej macierzy sztywności

Współrzędne węzłów kratownicy
X
0
4
5
9
Y
0
3
0
2
A
A1
A2
A3
Przekroje elementów
10
0
1
1
Numery węzłów początkowych (Wp)
i końcowych (Wk) wszystkich elementów
Np
1
2
Numery przekrojów elementów
1
2
4
2
4
5
2
3
3
Wp
1
Wk
3
3
5
2
3
3
4

e 1 Le Pętla po wszystkich elementach kratownicy
Rysunek elementów kratownicy pozwala kontrolować poprawność wprowadzonych danych
Ex e
X Wpe
X Wke
Ey e
Y Wpe
Y Wke
4
Ey 1
Ey 2
Ey 3
Ey 4
Ey 5
Ey 6
3
2
1
Ey 7
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 Ex 6 Ex 7
1

Macierze sztywności elementów kratownicy
Lx e X Wke
X Wpe
Lx T ( 4 5 1 5 5 1 4 )
Ly e Y Wke
Y Wpe
Ly T ( 3 1 2 0 0 3 2 )
L e Lx e
2
Ly e
2
L T ( 5.000 5.099 2.236 5.000 5.000 3.162 4.472 )
J e
E A Npe
L e
3
Lx e
2
Lx e Ly e
Lx e Ly e
Ly e
2
Mimo, że nie jest to potrzebne w dalczych obliczeniach, można
pokazać bloki J macierzy sztywności wszystkich elementów
J 1
1.331 10 4
9.984 10 3 9.984 10 3
7.488 10 3 J 2
1.961 10 4
3.922 10 3
3.922 10 3 784.465
9.302 10 3 1.86 10 4
1.664 10 4
J 3 J 4
1.86 10 4 3.721 10 4 0
0
0
J 5
1.664 10 4
0
0
0
J 6
1.316 10 3
3.947 10 3 3.947 10 3
1.184 10 4 J 7
7.442 10 3
3.721 10 3 1.86 10 3
3.721 10 3

Agregacja, czyli dodawanie bloków macierzy sztywności elementów do macierzy globalnej
i 1 Lss j 1 Lss
Blok górny lewy, wiersz w:=Lss*Wp e +i-2, kolumna k:=Lss*Wp e +j-2
K Lss Wpe 2 i
Lss Wp e 2 j
K Lss Wpe 2 i
Lss Wp e 2 j
J e i
j
Blok górny prawy, wiersz w:=Lss*Wp e +i-2, kolumna k:=Lss*Wk e +j-2
K Lss Wpe 2 i
Lss Wk e 2 j
K Lss Wpe 2 i
Lss Wk e 2 j
J e i
j
Blok dolny lewy, wiersz w:=Lss*Wk e +i-2, kolumna k:=Lss*Wp e +j-2
K Lss Wke 2 i
Lss Wp e 2 j
K Lss Wke 2 i
Lss Wp e 2 j
J e i
j
Blok dolny prawy, wiersz w:=Lss*Wk e +i-2, kolumna k:=Lss*Wk e +j-2
K Lss Wke 2 i
Lss Wk e 2 j
K Lss Wke 2 i
Lss Wk e 2 j
J e i
j

Globalna macierz sztywności K bez uwzględnienia warunków brzegowych jest osobliwa tzn. |K|=0
K
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.995·104
9.984·103
-1.331·104
-9.984·103
-1.664·104
0 0 0 0 0
9.984·103
7.488·103
-9.984·103
-7.488·103
0 0 0 0 0 0
-1.331·104
-9.984·103
3.424·104
2.115·103
-1.316·103
3.947·103
-1.961·104
3.922·103
0 0
-9.984·103
-7.488·103
2.115·103
2.011·104
3.947·103
-1.184·104
3.922·103
-784.465 0 0
-1.664·104
0 -1.316·103
3.947·103
4.204·104
-225.705 -7.442·103
-3.721·103
-1.664·104
0
0 0 3.947·103
-1.184·104
-225.705 1.37·104
-3.721·103
-1.86·103
0 0
0 0 -1.961·104
3.922·103
-7.442·103
-3.721·103
3.636·104
-1.881·104
-9.302·103
1.86·104
0 0 3.922·103
-784.465 -3.721·103
-1.86·103
-1.881·104
3.985·104
1.86·104
-3.721·104
0 0 0 0 -1.664·104
0 -9.302·103
1.86·104
2.594·104
-1.86·104
0 0 0 0 0 0 1.86·104
-3.721·104
-1.86·104
3.721·104
K 0
Zamiast zera wyznacznik może być "bardzo małą" liczbą ze wzgledu
na niedostateczną dokładność wyrazów macierzy sztywności

Globalny wektor sił węzłowych
p
0
5
0
0
0
0
Fx 4 6 sin π 35
180
Fy 4 6 cos π 35
180
3.441 Rzytowanie siły w węźle 4 na osie
globalnego układu współrzędnych
4.915
Fx 4
Fy 4
p T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 -5 0 0 0 0 -3.441 -4.915 0 0
0
0

Kopiowanie Macierzy K i wektora p przed modyfikacją uwzględniającą warunki brzegowe
K o K p o p
Uwzględnienie warunków brzegowych
węzeł Nr 1: stopień swobody s1 i s2, węzeł Nr 5: stopieńswobody s3 i s4
s1 1 s2 2 s3 9 s4 10
i 1 Lr
K os1 i
0 K os2 i
0 K os3 i
0 K os4 i
0
K oi s1
0 K oi s2
0 K oi s3
0 K oi s4
0
K os1 s1
1 K os2 s2
1
p os1 0 p os2 0
K os3 s3
1 K os4 s4
1
p os3 0 p os4 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
0
0
0
0
3.424·104
2.115·103
2.115·103
2.011·104
-1.316·103
3.947·103
3.947·103
-1.184·104
-1.961·104
3
3
5
6
7
8
9
10
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
3.922·10 0 0
3.922·10 -784.465 0 0
0 0 -1.316·103
3.947·103
4.204·104
-225.705 -7.442·103
-3.721·103
0 0
0 0 3.947·103
-1.184·104
-225.705 1.37·104
-3.721·103
-1.86·103
0 0
0 0 -1.961·104
3.922·103
-7.442·103
-3.721·103
3.636·104
-1.881·104
0 0
0 0 3.922·103
-784.465 -3.721·103
-1.86·103
-1.881·104
3.985·104
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
p o
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 0 0 0 0 0 -3.441 -4.915 0 0
K o 8.723 10 25 - wyznacznik macierzy K o >0
Rozwiązanie układu równań:
u lsolve K o p o - wektor przemieszczeń węzłowych
u T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 0 -2.022·10-4
1.12·10-4
-1.123·10-4
6.756·10-6
-3.912·10-4
-2.96·10-4
0 0
Rysunek przemieszczeń kratownicy pozwala kontrolować poprawność otrzymanych wyników
skala 1000
Dx e Ex e skala
u 2 Wpe 1
Dy e Ey e skala
u 2 Wpe
u 2 Wke 1
u 2 Wke

4
Ey 1
Ey 2
Ey 3
Ey 4
3
Ey 5
Ey 6
Ey 7
2
Dy 1
Dy 2
Dy 3
Dy 4
1
Dy 5
Dy 6
Dy 7
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ex 1 Ex 2 Ex 3 Ex 4 Ex 5 Ex 6 Ex 7 Dx 1 Dx 2 Dx 3 Dx 4 Dx 5 Dx 6 Dx 7
1

Obliczenie reakcji podpór
r K u p
r T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3.441 6.18 0 0 0 0 0 1.776·10-15
4.25·10-4
3.735
Obliczenie sił wewnętrznych
E A Npe
N e
L e
2
u 2 Wke 1 u 2 Wp e 1 Lx e u 2 Wke
u 2 Wpe
Ly e
1
3
1
2
-1.966
-2.148
2
N
3
4
-4.176
-1.868
1
5
6
1.868
1.688
0
7
-3.58
N e
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
e