Przykładowe zadania z matematyki

ZADANIA EGZAMINACYJNE Z MATEMATYKI
dla kandydatów na studia w Politechnice Lubelskiej
na kierunku: INYNIERIA RODOWISKA
1. Promie kuli zwikszono 3-krotnie. Ile razy zwikszyła si jej objto.
2. Znale długo przektnych równoległoboku zbudowanego na wektorach
a = 5m
+ 2n,
b = m − 3n
jeeli wiadomo, e m = 2 2,
= 3
3. Rozwi nierówno: 2 x − 5 < 4.
4. Zbada monotoniczno funkcji f ( x) sin x ⋅ cos x,
π π
= x ∈ − ,
4 4 .
π
m = .
4
n oraz kt ( , n)
1
5. Cen v pewnego produktu zwikszono o v , a nastpnie t now cen zmniejszono o
3
25%. Ile wynosi cena tego produktu po obu zmianach
6. Rozwiza układ równa
2log
x − log y = log9
y−x
1
10
= .
100
7. Oblicz, bez uycia kalkulatora, warto wyraenia
8. Co to jest schemat Bernoulliego
cos
4 4
15
o o
− sin
15 .
Rzucamy trzykrotnie szecienn kostk do gry. Jakie jest prawdopodobiestwo, e dwa
razy wypadnie szóstka
9. Dla jakiej wartoci parametru k wielomian
jest podzielny przez dwumian x-1
10. Okreli dziedzin funkcji f ( x)
w
3 2
( x) = x − x + kx + 3
=
− x +
1
2 + x
11. Pole koła opisanego na kwadracie wynosi π . Oblicz pole koła wpisanego w ten kwadrat.
12. Dla jakich wartoci parametru
róne pierwiastki rzeczywiste
.
0,
π
2
m ∈ równanie x sin m + x + cos m = 0 ma dwa
2

2
13. Napisz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji y = 2x
− x , która jest
równoległa do osi Ox.
2 2
14. Obliczy długo ciciwy okrgu x + y − 6x
−16
= 0 zawartej w prostej
x − 2 y + 2 = 0.
x
x
15. Rozwi równanie: 2 = 3⋅
2 + 4.
x x x
16. Rozwiza równanie 6 + 3 = 3⋅
6 .
17. Uzasadnij, e okrgi
s zewntrznie styczne.
2 2
2 2
x + y = 9 oraz x + y − 6x
+ 8y
+ 21 = 0
18. Zbada monotoniczno cigu o wyrazie ogólnym
19. Wyznacz x, dla którego cig
jest cigiem arytmetycznym.
n
a n
= .
2 n +1
a 1
= log 2
x,
a 2
= log 2
( x + 4),
a = 3
4
20. Wykaza, korzystajc z definicji, e funkcja f ( x) , ∈ ( − ∞,1)
swej dziedzinie.
21. Oblicz bez uycia kalkulatora
x
= x −1
x jest malejca w
22. Naszkicuj wykres funkcji
3
3
−2
⋅3
log
3
2
π
f ( x) = − ( x − )
x − x
2
,
cos
2
,
x − π ,
gdy
gdy
gdy
x < 0
0 ≤ x ≤ π
x > π
23. Oblicz obwód kwadratu wpisanego w okrg o równaniu
x
2
2
+ y − 4x
+ 6y
+ 11 = 0.
24. Znale współrzdne wierzchołków trójkta ABC majc dane współrzdne rodków
jego boków K ( 1,1 ), ( 2,3),
2
25. Oblicz lim( n − n − 5n
).
n→∞
M ( −1,4 )
N .

26. Znale funkcj odwrotn do funkcji
27. Rozwiza równanie:
28. Rozwiza równanie
f
( x)
x,
2
x
,
gdy
gdy
− sin x = sin 2x.
x ≤ 0
x > 0
7
⋅ 2
= 4
x−2 3x
x+
1
29. Napisz równanie stycznej do krzywej y = 2 x cos x + 3 w punkcie o odcitej x = 0.
30. Dla jakiej wartoci parametru k wektory a = 3 p + kq
oraz b = − p + 2q
s
prostopadłe, jeeli p = 5,
= 3,
q kt ( p , q) = π.
31. Czy wród 600 osób musz si znale osoby o jednakowych inicjałach (przyjmujemy,
e alfabet ma 24 litery)
32. Dana jest funkcja
.
2
3
o
g( x) =
x
−1
0
2x
− 4
dla
dla
dla
Czy ta funkcja jest cigła Sporzd jej wykres.
33. Rozwi nierówno:
x ≤ 0
0 < x < 2
x ≥ 2
34. Obliczy ( sin 3x
⋅ ctg5x)
lim
x→
0
.
2
x + 3x
+ 2
2
x − 4
≤ 1.
35. Michał jedzie samochodem do pracy 20 minut, a Anna rowerem 30 minut t sam tras.
Po jakim czasie Michał dogoni Ann, jeeli wyjechał z domu 5 minut po niej
36. W cigu arytmetycznym a
1
= 5,
r = −2.
Oblicz sum wyrazów od dziesitego do
dwudziestego (włcznie).
37. Szecian o krawdzi długoci a przecito płaszczyzn, do której nale dokładnie trzy
jego wierzchołki. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
38. Wyznacz dziedzin funkcji
2
( x) = log 1−
log ( x − 5 + 6)
h
2 1
x .
2

39. Dla jakich wartoci parametru a wektory = [ 2,
−1],
40. Wykaza, e funkcja f ( x)
41. Wska liczb naturaln n, dla której
42. Rozwiza układ równa
u v = [ a 1+
a]
x − x
= nie ma granicy w punkcie x
o
= 0.
2x
5 ⋅5
3
⋅ 5
5
⋅...
⋅ 5
2n−1
= 5
log
x + log y = log16
log x − log y = log 4
43. Wyznacz dziedzin funkcji y log
x 2
( 4 − x).
44. Rozwiza równanie
45. Rozwi nierówno
=
−
64
2
( log 5 + 2) log x 1
x
sin t
lim
t→
0 2t
5
=
≤ cos x.
.
, s prostopadłe
46. Z półkola utworzono pobocznic stoka. Znale kt rozwarcia tego stoka.
47. Rozwinicie powierzchni bocznej walca jest kwadratem. Oblicz stosunek objtoci tego
walca do objtoci kuli, której promie jest równy promieniowi podstawy walca.
48. Obliczy prawdopodobiestwo, e suma oczek przy rzucie trzema kostkami jest równa
17.
49. Dane s okrgi:
2 2
x + y − 4x
+ 6y
+ 12 = 0 oraz ( x + 2) + ( y − 5) = 10.
Napisz równanie symetralnej odcinka łczcego rodki tych okrgów.
50. Zbada monotoniczno funkcji
f
( x) sin x + cos x
51. Narysuj wykres funkcji y = x − 2 − x + 3.
= .
52. Poda ilustracj geometryczn zbiorów A \ B i A ∩ B , gdzie
A =
B =
2
{( x,
y)
: x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ y + 1 ≥ x }
{( x,
y) : x ∈ R ∧ y ∈ ( − ∞,1
}.
53. Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długoci 1 cm i 4 cm wiedzc, e
trapez ten mona opisa na okrgu.
2
54. Znale ekstrema funkcji ( x) = x − 4 + 2
h .
2
2

55. Rzucamy dwukrotnie kostk do gry. Oblicz prawdopodobiestwo zdarzenia A
polegajcego na tym, e suma wyrzuconych oczek spełnia nierówno
x + 1 < 0.
9 − x
56. Wyznacz dziedzin funkcji
x
x → y = log
1
.
2
x −1
2
3 2
57. Wykres funkcji f ( x) = x − x + bx + c
6 przechodzi przez punkt P(2,-2).
Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie P wynosi -3. Wyznacz
najmniejsz i najwiksz warto funkcji w przedziale < −1 ,3 > .
58. Znale objto stoka wiedzc, e jego powierzchnia boczna po rozwiniciu jest
półkolem o promieniu r .
59. Znajd okres funkcji f ( x) sin x
= π , x ∈ R.
1 5
60. Rozwiza równanie + = 3.
1+ log x 3 − log x
61. Z liczb 1,2,...,100 wybrano losowo jedn liczb, a nastpnie z pozostałych wybrano
drug. Oblicz prawdopodobiestwo, e za drugim razem wybrano liczb podzieln
przez 5.
1 2
3
62. Wykonaj wykres funkcji f ( x) = x − 6x
+ 8x.
3
63. Ile pierwiastków ma równanie x − 3x −1
= 0,
x ∈ R.
64. Napisa równanie okrgu przechodzcego przez punkty ( 3,0),
ley na prostej x − y − 2 = 0.
65. Oblicz lim( x
2 + 2002 + x).
x→∞
3
A B ( −1,2 )
, którego rodek
2
66. Dla jakich wartoci parametru m nierówno + ( m + 2) x + 8m
+ 1 > 0
spełniona dla kadego
x ∈ R
x jest
67. Na bokach AB, BC i CA trójkta ABC obrano punkty K, L i M tak, e czworokt
AKLM jest rombem. Oblicz długo boku tego rombu, jeeli AB = 9, CA = 1.
68. Znale punkt na krzywej o równaniu y = x
3 − x , w którym styczna jest równoległa do
osi
0 x .
69. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji ( x)
2x
f = w punkcie (1,1).
x 2 + 3

70. Poda i uzasadni zaleno miary łukowej od miary stopniowej kta.
71. Ile liczb całkowitych spełnia nierówno
x + 2 + 2 x − 2 − x −10
≤ 0.
72. Wymie wszystkie wielociany foremne.
73. Oblicz reszt z dzielenia wielomianu x 3 + 7x
2 − x − 10 przez x
2 − 4.
74. Wyznaczy przedziały, w których funkcja ( x) = sin 2 x + 2 cos x + 2π
f jest rosnca.
75. W trójkcie ABC dane s boki AB = 4, BC = 7,
CA = 3.
Oblicz miar kta przy
wierzchołku A.
76. Wyznaczy zbiór wartoci funkcji
2
x + 1
y = .
2
x + x − 2
77. Na siedmiu klockach wyrzebiono litery A, A, A, B, B, R, R. Bawic si nimi dziecko
układa je w rzd. Oblicz prawdopodobiestwo, e przypadkowo złoy ono słowo
„BARBARA”.
78. Rozwiza równanie 6cos
x + sin x − 5 = 0 .
2
79. Czy funkcja okrelona wzorem ( x) x x ,
f = x ∈ R,
jest róniczkowalna
3 2
80. Znale punkt na wykresie funkcji f ( x) = 2x
− 3x
− 48x
+ 11
prostopadła do prostej x + 24 y − 7 = 0 .
2
81. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji ( ) ( ) 6
f
x
, w którym styczna jest
= x + 3 − x w punkcie (1,1).
82. Górna podstawa trapezu jest o 40% krótsza od dolnej podstawy i pole trapezu wynosi
112 cm 2 . Oblicz pole trójkta dobudowanego do trapezu przez przedłuenie boków
nierównoległych trapezu.
1 2002
83. Oblicz lim x + .
x→−∞
2 4
x x
84. Nakreli zbiór ( x y)
85. Czy funkcja okrelona wzorem
x
{ : 2 = 4 ∨ log 3 = y}
,
3
.
f
( x)
=
1
2
x
x
dla
dla
x ≠ 0
x = 0
jest cigła
86. Wyprowadzi wzór na pole n-kta foremnego opisanego na okrgu o promieniu R .
87. Dla jakiej wartoci parametru b równanie

ma rozwizanie
88. Rozwiza równanie
2
3sin
2 2
= b −
2
x
1+
x
1
x x = cos sin x,
gdy x ∈ 0,2π
.
2 2
1 1
S .
2 4x
89. Narysuj wykres funkcji ( x) = x + + + ...
90. Naszkicowa wykres funkcji
( x) = x −1 −1
h .
91. Wybierz najwiksz sporód liczb: sin 1 o , sin 101 o , sin 201 o .
2
92. Dla jakich m ∈ R nierówno x + mx − m > 0 nie ma rozwiza
93. Rozwi równanie x + 2 + 7x
+ 5 = 6x
+ 3.
94. Rzucamy dwoma kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobiestwo tego, e suma oczek
bdzie podzielna przez 3.
95. Dla jakich wartoci x cig
a
n
x
=
x
+ 4
n
jest zbieny
96. Wyprowadzi równanie stycznej do okrgu
k : x = r
, .
2 2 2
+ y w punkcie ( xo
yo
) ∈ k
97. Poda zaleno miary łukowej od miary stopniowej kta.
= 2 x .
2
98. Wyznaczy przedziały monotonicznoci funkcji f ( x) x −
99. Obliczy sin 4 x – cos 4 x, jeeli cos 2x = 0,6.
2
100. Dla jakiego parametru m prosta x + y − m = 0 i okrg x + y = 1 maj dwa punkty
wspólne
101. Narysowa zbiór ( x y)
x
{ , : 2 = 4 ∨ log3 3 = y}.
3
102. Znale okres funkcji y = 1+ 2sin x .
2
103. Odległo punktu P(1,2) od prostej x + y = m wynosi 2. Obliczy m.
3
3
104. Majc dane sin x + cos x = a , obliczy warto wyraenia sin x + cos x . Dla jakich
wartoci parametru a zadanie ma rozwizanie
105. Dla jakich wartoci m ∈ R prawdziwa jest implikacja

106. Dana jest funkcja f ( x) .
3 1
log 2
8 = m sin π = .
4 2
x + 2
= Rozwiza równanie
x
107. Obliczy y’(0), jeeli y = - sin 2x + cos 2 x.
108. Dla jakich m ∈ ( 3,5)
zbiór ( , y)
109. Nakreli krzyw y = log ( x 2).
2 2
{ : x + y < m ∧ xy ≥ 2}
1
−
2
1 x
f =
x f
2
'( 1) .
x jest pusty
3x
2 − 8x
=
x −1
110. Napisa równania asymptot wykresu funkcji danej wzorem f ( x) .
111. Czy funkcja
jest cigła w R
112. Dany jest układ równa
f
( x)
0
=
sin x
x
gdy
gdy
ax
+ by = c
dx
+ ey = f .
Omów metody rozwizywania takiego układu.
x = 0
x ≠ 0
113. Znajd najwiksz warto funkcji f ( x) = 2sin
x + 3cos x,
x ∈ R.
114. Wyznaczy kt pomidzy wektorami a i b , jeli długoci wektorów
a + b oraz
a − b s takie same.
115. Czy funkcja
g
( x)
spełnia warunek 0 ≤ ( x) ≤ 1
g
2
x ,
=
( 2 − x)
2
,
gdy
gdy
0 < x < 1
1 ≤ x < 2
2
116. Sporzdzi wykres funkcji y = x − x − 2 + 3.
117. Czy zbiór punktów płaszczyzny, których współrzdne spełniaj nierównoci
x ≤ y ≤ x + 3 i − y ≤ x ≤ −y
+1 jest zbiorem wypukłym
π
3
3x
2
118. Obliczy f '( π ) − f , jeli f ( x) = cos + .
119. Ile punktów wspólnych z osi Ox ma wykres funkcji ( x) = x + 1 + x −1
−1
x
2
f

x x
= x − 2
120. Dana jest funkcja f ( x) . Obliczy f '( −1)
i '( 1)
121. Rozwiza w zalenoci od parametru a układ równa
x + ay = 1
.
2
ax
+ y = a
f .
1 2
3
122. Dla jakiej wartoci parametru m funkcja ( x) = x − mx + 8
f ma ekstremum
3
123. Dla jakiej wartoci a wielomian x 3 + 3x
2 + ax + 2 jest podzielny przez x −1.
2 2
124. Poda warunek na to, aby okrg o równaniu x + y + 2x
+ 2by
+ c = 0 był styczny do
osi
0 x .
1
= f
x
2
125. Czy funkcja f ( x) = ( log x) + 1, x > 0,
spełnia warunek ( )
126. W zalenoci od parametru a rozwiza równanie 3 x = x − a .
3
127. Zbada parzysto funkcji h ( x) = x + 3x
− 2.
128. Dla jakich wartoci parametru m istnieje dla kadego rzeczywistego x logarytm
log
1
m
7
2
( 2 − 3) x + ( 6 − m) x + ( m − 9)
log
129. Ile pierwiastków ma równanie 10 x
x = 10, x > 0
130. Rozwiza nierówno
2
2
− x + 3
< 4
x
.
131. Z dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu o boku długoci a zakrelono koła,
kade o promieniu długoci a. Oblicz pole czci wspólnej tych kół.
132. Obliczy sum S = a5 + a6
+ ... + a10
wyrazów cigu geometrycznego, w którym
a = cos 2
1
π
3
oraz π
q = log
6
.
3 tg
133. Czy funkcja dana wzorem ( x)
5x
+ 2 1
f = , x ≠ − jest rosnca
2x
+ 1 2
134. Obliczy objto czworocianu foremnego o boku a .
135. Obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia, e trzy losowo wybrane wierzchołki szecianu
wyznaczaj trójkt równoboczny.
3 2
136. Znale takie a , aby funkcja ( x) = x − ax + 5x
− 2
minimum w punkcie x = 5 .
f
x
f , gdzie x ∈ R , osigała
137. Gospodyni kupiła litr octu 10%. Ile wody powinna dola, aby otrzyma roztwór 6%

n
138. Rozwiza równanie 6
2 = .
n −
2
139. Czy równanie 4 sin x cos x = 2 + tg x ma pierwiastki
140. Rozwiza równanie 2cos
2 x − 3cos x = 2 .
141. Czy odcinek AB, A(1,1), ( −1, 3)
2 2
B ley w kole x + y ≤ 4.
142. Długo przektnej prostopadłocianu o podstawie kwadratowej wynosi c . Jak
najwiksz warto moe osign suma długoci wszystkich krawdzi
143. Rozwiza nierówno ( x −1)( x − 2) ( x − 3) ≥ 0.
2
144. W koło o promieniu r wpisa trójkt równoramienny o najwikszym polu.
145. Czy proste 3 x + 2y
− 5 = 0, 2x
+ 3y
− 5 = 0, x + y − 2 = 0 przecinaj si w jednym
punkcie
1
146. Rozwiza nierówno: log 2
sin x < − ,
2
x ∈ ( 0, π ).
147. Zbada liczb pierwiastków równania
2
x − 4x
+ 3 = a,
w zalenoci od a.
148. Rozwiza równanie sin x + cos x = 1.
149. Rozwiza równanie 1+
x = 2x.
π
tg
x
2
150. Obliczy lim
.
x→
0 πx
151. W szeciokcie foremnym o polu równym S połczono rodki kolejnych boków.
Obliczy pole powstałego w ten sposób szeciokta.
152. Rozwiza równanie log
4
log3
log
2
x = 0 .
153. Czy trójkt o wierzchołkach A(1,1), B(2,3), C(5,-1) jest prostoktny
154. Sporzd wykres funkcji ( ) 2
y = sin x + cos x .
155. W równoległoboku ABCD dane s AB = [ −1,4],
C(2,-3) oraz rodek symetrii
równoległoboku S(1,2). Wyznacz współrzdne pozostałych wierzchołków
równoległoboku ABCD.
2
156. Zbada róniczkowalno funkcji ( x) = x − 2x
+ 1
3
f .
2
x + 3x
= x −1
157. Znajd asymptoty wykresu funkcji f ( x) .
2
158. Czy funkcja f ( x) x x − x ,
= x ∈ R , jest róniczkowalna w punkcie 0

2
159. Dane s funkcje: ( x) = 2x
+ 1 i g( x) = −2x
− 2x
+ 1.
wspólnych punktów wykresu funkcji f i g.
f Wyznacz współrzdne
160. Rozwiza równanie f '( x) + 2 f ( x) = 2cos
x , gdzie f ( x) sin x + cos x
161. Wyznacz zbiór wartoci funkcji f ( x) = ( x − 2) 2 −1.
162. Dla jakiej wartoci parametru m rozwizanie układu
= i x ∈ R .
jest takie, e
2x
+ y − m = 0
x
+ 2y
−1
= 0
x = tgα
i y = ctgα
.
163. Dany jest cig arytmetyczny (a n ), w którym: a 1 = 2, a 2 = 7. Który wyraz cigu (a n )
jest równy 497
164. Wyznaczy wymiary walca wpisanego w kul o promieniu R tak, aby jego objto
była maksymalna.
165. Wyznacz pity wyraz cigu okrelonego wzorem
a1
= 1
a n 1
= 2a
+ n
oraz oblicz sum piciu pocztkowych wyrazów tego cigu.
166. W kul o promieniu R wpisano ostrosłup prawidłowy trójktny. Dla jakich wymiarów
ostrosłupa jego objto jest najwiksza
167. Odcinek A’B’ jest obrazem odcinka AB o kocach A(2,-1), B(3,3) w jednokładnoci
o skali k = -2 i rodku w punkcie (0,0). Oblicz stosunek długoci odcinka AB do
długoci odcinka A’B’.
168. Obwód prostokta wynosi 2 p . Jaka powinna by długo jednego z boków prostokta,
aby objto bryły otrzymanej przez obrót tego prostokta dookoła drugiego boku była
najwiksz
169. Trójkt ABC ma boki o długociach 3,4,6. Zbadaj, czy ten trójkt jest ostroktny,
prostoktny czy rozwartoktny
170. Rozwiza równanie sin 7x = cos5x
.
171. Czy 0,8 m 2 papieru wystarczy na oklejenie pudełka bez przykrywki w kształcie
prostopadłocianu o wymiarach 3 dm, 4 dm, 5 dm
172. Jakich przekształce trzeba dokona, aby z wykresu funkcji
2
y = x otrzyma wykres
2
+
funkcji = 2( x −1) 5
y .

173. Długoci ssiednich boków równoległoboku s równe 5 i 8. Kt pomidzy nimi
wynosi 60 o . Oblicz długoci przektnych rownoległoboku.
174. Dla jakich wartoci c wektory a = [ 2,3]
i b = [ c 1+
c]
równoległe
3 2
175. Dla jakich wartoci parametru a funkcja ( x) = x − ax + 3x
+ 1
2 3
176. Rozwiza nierówno log x − > 4
16
x
.
, s prostopadłe, a dla jakich
f jest rosnca
2 2
2
177. Dane jest równanie x + y − 4x
− 6y
+ m − 4m
+ 11 = 0.
Wyznacz te wartoci
m ∈ R, dla których to równanie jest równaniem okrgu.
178. Rozwiza nierówno
x − x
2
2 3
> .
3 2
179. Zbiór A jest zbiorem tych wartoci parametru m, dla których funkcja
( x) = ( m −1) x
2 + x + m + 1
f ma dwa róne miejsca zerowe. Zbiór B jest zbiorem
rozwiza nierównoci 2m + 1 ≥ 3.
Wyznacz ( A ∪ B)'
.
180. Dla jakiej wartoci a wykres funkcji
45 o
x
y = przecina o odcitych pod ktem
x + a
181. Rozwiza równanie
2
sin x
2
cos x
2 = 1+
2 .
182. Pole figury ograniczonej okrgiem opisanym na szeciokcie foremnym i brzegiem
szeciokta jest równe 2π
− 3 3
cos x−1
183. Rozwiza nierówno ( 0,2) ≤ 1.
184. Sporzd wykres funkcji f ( x) sin x
. Oblicz długo okrgu.
= , x ∈ R .
2
185. W jakim układzie logarytmów log x
100 jest o wikszy od log x 25
3
x x
186. Rozwiza równanie sin + cos = 2 sin x .
2 2
187. Znale najwiksz i najmniejsz warto funkcji f ( x) = x
4 − 2x
2 + 5, x ∈< −2,2
> .
188. Czy istnieje x ∈ R , dla którego układ
ma nieskoczenie wiele rozwiza
x + ay = 1
2
ax
+ y = a

189. Nakreli wykres funkcji ( x)
x + 5
f = . x −1
190. Dla jakiej liczby naturalnej n liczba
191. Obliczy
sin 5x
lim .
x cos x
x→0 ⋅
15n
+ 9
5n
+ 7
jest liczb naturaln
192. W walcu umieszczono czworocian foremny o boku a w ten sposób, e podstawa tego
czworocianu jest wpisana w podstaw walca, a czwarty jego wierzchołek ley na
drugiej podstawie walca. Oblicz pole powierzchni bocznej walca, gdy
193. Na wykresie funkcji ( x) sin x + sin x , x ∈< 0,3 >
funkcja nie ma pochodnej.
a = 4 2 .
f = π zaznaczy punkty, w których ta
194. W kwadracie ABCD dany jest wierzchołek A ( 1,0 ) i wektor AC = [ 4,2]
równania boków kwadratu.
195. Zamieni na ułamek zwykły 3,(17).
. Znale
196. W jakiej odległoci od rodka kuli o promieniu 1 naley przeci j płaszczyzn, aby
stosunek powierzchni kuli do pola przekroju wyniósł
197. Zbada monotoniczno cigu o wyrazie ogólnym
16 .
3
n
a n
= .
2 n + 5
198. Jaki prostokt o obwodzie 36cm ma najkrótsz przektn
199. Dana jest funkcja f ( x)
x + 2
= .Rozwiza równanie
x
1
f =
x
200. Czy istnieje wielokt, który ma tyle samo boków co przektnych
2
x
.
f '(1)