تصميم الدرس

تعريف
أنشطة
- استعمال التمثيلات الوسيطية لحل مسائل الاستقامية أو
التلاقي
أو انتماء أربع نقط إلى نفس
المستوي .
الدرس
تمارين و
مشكلات
– 10 المستقيمات و المستويات في الفضاء
1
الكفاءات المستهدفة
2
3
- الانتقال من التمثيل الوسيطي إلى المعادلة الديكارتية و العكس
4
.
- الانتقال من جملة
معادلت ين لمستقيم إلى التمثيل الوسيطي
5
.
- تحديد الوضع النسبي لمستويين أو لمستقيمين
6
.
- تحديد الوضع النسبي لمستقيم و مستو
.
- تعيين تقاطع مستويين،‏ مستقيمين،‏ مستقيم و مستو
.
تصميم الدرس
الحلول

تعريف :
أنظر جيدا و تخيل نفسك أنك تصعد على هذا السلم ...
هل أنت فعلا تصعد ؟!‏

J ,
. BC و J منتصف ] AD I [ وجوه ] [
ABCD
رباعي . منتصف
} G الجملة مرجع 2) ; (D {(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 1) ; هي
النشاط
برهن أن النقط
I , G في
استقامية .
أنشطة :
A
G
I
الحل
نبرهن أن النقط J , I , G في
استقامية .
D
B
J
{(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 1) ; (D ; 2) }
uuur uuur uuur uuur r
إذن 2GA + GB
وعليه
+ GC + 2GD = 0
: :
uur uur uur uur uur uur uur uur r
2( GI + IA ) + GJ + JB + GJ + JC + 2 ( GI + ID ) = 0
uur uur uur uur uur uur r
4GI + 2GJ + 2( IA + ID ) + ( JB + JC ) = 0
uur uur r
وعليه : IA
لكن = منتصف + ID
0 [ AD ] I
uur uur r
وعليه : JB
وكذلك = منتصف + JC
0 ( BC ] J
uur uur r uur uur r
: ومنه = 0 2GJ 2GJ + GJ = 0 4GI +
C
لدينا : G مرجح الجملة
G إذن } هي مرجح الجملة {
G ومنه ) نقطة من المستقيم (
(I ; 2) ; (J ; 1)
أي أن :
I J
أي أن النقط J , I , G في
استقامية .

1
,
2
,..., a a حيث
:
a
n
:
الدرس :
( 1 مميزات المرجح :
( 1 ) تعريف :
A
1, A
2
,..., A
n
a1 + a
2
+...+ a
n
¹ 0
uuur uuur uuur r
GA 1+ GA 2+...+ GA n = 0
مرجح النقط
تذكير
مرفقة بالمعاملات
a a a
هي النقطة الوحيدة G التي تحقق
.
1 2 n
{( A
1
, a1) ; ( A
2
, a2 ) ; . . . ; ( A
n
, a
n )}
uur uur r
IA فإن + IB = 0
G تسمى أيضا مركز المسافات المتناسبة للجملة :
{(A , 1) ; (B , 1) }
uuur uuur uuur r
أي GA
+ GB+GC = 0 ABC
(A , 1) ; (B , 1) ; (C , 1)
: 1 مثال
إذا كان ] منتصف القطعة [
AB
I
ومنه I مرجح الجملة
: 2 مثال
فإن G مرجح الجملة } {
إذا كان G مركز ثقل المثلث
a1 + a
2
+...+ a
n
= 0
A , a , A , a ,..., A , a
ملاحظة :
{( 1 1) ( 2 2 ) ( n n )}
كان : إذا
فإن الجملة :
مرجحا . لا تقبل
{( A
1, a1 ) , ( A
2, a2) ,..., ( A
n,
a
n )}
: 1 مبرهنة
( 1 إذا كانت G مرجح الجملة
) ( : لدينا
uuuur uuuur uuuur uuuur
a MA + a MA + . . . + a MA = a + a +...+ a MG
( n )
{( A , a ) ; ( B , b ) ; ( C , g )}
( a + b ¹ 0 ) .{( A , a ) ; ( B , b )}
( K , a + b ) ; ( C , g )
1 1 2 2 n n 1 2
فإنه من أجل كل نقطة M من
المستوي أو الفضاء
{ }
( 2 إذا كان H مرجح الجملة
وكان K مرجح الجملة
فإن H مرجح الجملة

وكان G مرجح
الجم لة
r r
إذا كان المستوي منسوب إلى معلم (
O ; i , j )
ملاحظة :
: بحيث
{( A 1, a1 ) , ( A
2, a2) ,..., ( A
n,
a
n )}
( x ) ( x ) ( x ) ( x )
A ; y , A ; y ,..., A ; y , G ; y
1 1 1 2 2 2 n n n G G
: 1 ( ينتج
uuur uuur uuur uuur
a OA + a OA +...+ a OA = a + a +...+ a OG
( )
1 1 2 2 n n 1 2 n
فحسب المبرهنة )
وهذا بوضع M = O ومنه
:
uuur uuur uuur
uuur a1OA 1+ a2OA 2 +...+ a
n
OA
OG =
a + a + . . . + a
1 2 n
ì a1x1 + a2x2 + . . . + a
nx
n
x
G
=
ï a1 + a
2
+ . . . + a
n
í
ï a1y 1
+ a2y 2
+ . . . + a
ny
n
y
G
=
ï î a1 + a2 + . . . + a
n
An ( Z
n ) ; . . . ; A2 ( Z
2 ) ; A1 ( Z
1) ; G( Z
G )
n
وعليه :
وفي المستوى المركب :
a Z + a Z + . . . + a Z
Z
G
=
a + a + . . . + a
r r
1 1 2 2 n n
1 2 n
من أجل :
نعتبر
لدينا :
: مثال
في المستوى المركب المزود بمعلم متعامد متجانس (
O ; i , j )
Z =- 3 + i , Z =- 4 i , Z = 2+
3 i
3 2 1
النقط , , ABC
لواحقها : التي
على
احسب لاحقة النقطة } مرجح الجملة {
(A , 2) ; (B , ­1) ; (C , 1)
.
G
الترتيب .

: ملاحظة
لكي نبرهن أن ثلاث نقط على استقامية يكفي أن نبرهن أن إحداهما هي مرجح
الأخريتي . ن
. بالمثلث ABC
: ملاحظة
: الحل
uuur uuur uuur
2GA ­ GB + GC = 0
uuur uuur uuur
2Z uuur 2OA ­ OB + OC
OG =
ولدينا
: ومنه
1­ Z
2+Z
3
Z
G
=
:
2 ­ 1 + 1
2 ­ 1 + 1
1 11
2(2 + 3i) + 4i ­ 3 + i
:
Z
G
= +
:
Z
G
=
إذن
2 2 i 2
مبرهنة
.
a b ¹
b a
النقطة G تحقق
ومنه
b a
(A , a) ; (B , b )
: 2
لتكن A و B نقطتان متمايزتان و
و
مجموعة مراجح الجملة } {
عددان حقيقيان حيث +
0
و
·
جح {
} الجملة ) b (A , a) ; (B ,
هي المستقيم (AB)
كاملا .
¡ الحقيقية
مر ا مجموعة ·
وتكون من نفس الإشارة هي القطعة ] [
عندما تمسح
b كل الأعداد و a
AB
الحقيقية ¡
عندما تمسح
كل الأعداد
.
a, b,
g
: 3 مبرهنة
لتكن A,B,C ثلاث نقط متمايزة مثنى مثنى و ليست في استقامية و
ثلاث أعداد حقيقية
a, b,
g
حيث + +
a b g ¹
. 0
مجموعة مراجح الجملة } {
) g (A , a) ; (B , b ) ; (C , عندما تمسح
·
كل الأعداد الحقيقية ¡
هي كل المستوى (ABC)
مجموعة مراجح الجملة } {
) g (A , a) ; (B , b ) ; (C , عندما
تمسح , ,
a b g كل الأعداد الحقيقية ¡ و تكون من نفس الإشارة هي الجزء من المستوي المحدد
·
لكي نبرهن أن أربعة نقط من نفس المستوى يكفي أن نبرهن أن إحداهن مرجح النقط الأخرى.‏

: البرهان
هذه الجملة تسمى
تمثي لا وسيطيا للمستقيم (D) .
:
r r r
o ; i , j , k
( التمثيل الوسيطي لمستقيم و
لمستو
فيما يلي الفضاء منسوب إلى معلم (
)
2
. لتكن
r
وشعاع توجيهه ; )u
a b ; c )
: مبرهنة
( a مستقيم يشمل النقطة
b (D) g ) A ; ;
M( x ; y ; z)
أ - التمثيل الوسيطي لمستقيم :
الفضاء . نقطة من
M تكون (D) نقطة من M إذا وفقط إذا حققت إحداثيي
ì x = at + a
ï
í y = bt + b
ï
î z = ct + g
العلاقات التالية :
حيث t عدد
حقيقي .
النقطة ; )M هي نقطة من المستقيم (D) إذا وفقط إذا وجد عدد
x y ; z)
uuuur r
حقيقي = بحيث : AM
tu t
ì x = at + a
ï
í y = bt + b
ï
î z = ct + g
ومنه نحصل على :
من تساوي إحداثيات شعاعين
: تعريف
ì x = at + a
ï
í y = bt + b
ï
î z = ct + g
A( a ; النقطة b ; g )
الجملة
تسمى تمثيلا وسيطيا للمستقيم (D) الذي يشمل
r
u( a ; b ; c )
و العدد الحقيقي t هو وسيط.‏
و شعاع توجيهه

: 1 مثال
: الحل
نقطة تكون
أكتب تمثيلا وسيطيا للمستقيم (D) الذي يشمل النقطة (­4 ; 3 ; ­1)A
و شعاع توجيهه
r
u(4 ; ­1 . ; 3)
إذا كان :
من الفضاء نقطة من (D) إذا وفقط
t
M( x ; y ; z)
uuuur r
Î ¡ , AM = tu
ì x + 1 = 4t
ï
í y ­ 3 = ­t
ï
î z + 4 = 3t
ì x = 4t ­ 1
ï
í y = ­t + 3
حيث :
ï
î z = 3t ­ 4
ومنه
و منه التمثيل الوسيطي للمستقيم (D) هو :
حقيقي . t وسيط
ì
ï
í
ï
î
x = ­t + 5
y = 4t ­ 1
1
z = t + 5
2
مثال : 2
ماذا تمثل الجملة :
A(5 ; ­1 ; 5)
( D )
الحل :
هذه الجملة تمثل تمثيلا وسيطيا للمستقيم
توجيهه
الذي يشمل النقطة
و شعاع
r æ 1 ö
uç ­1 ; 4 ; ÷
è 2 ø

( a1
) بحيث b g
A ; ;
r r
A ; u , v
r
u a ¢ ; b ¢ ; c ¢
M نقطة من المستوى (P) المزود بمعلم ) (
و
و ) (
r
u a ; b ; c
مبرهنة :
( )
إذا وفقط إذا كانت إحداثياها ) (
تحقق الجملة :
حيث t و ¢t حقيقيان .
x ; y ; z
ì x = at + a¢ t ¢ + a
ï
í y = bt + b¢ t ¢ + b
ï
î z = ct + c¢ t ¢ + g
ب - التمثي :
لمست و ل الوسيطي
) x تكون (
M ; y ; z
uuuur r ur
بحيث : AM
= tu + t¢ u ¢
ì x = at + a¢ t ¢ + a
ï
í y = bt + b¢ t ¢ + b
ï
î z = ct + c¢ t ¢ + g
البرها ن :
نقطة من المستوى (P) إذا وفقط إذا وجد عددان
حقيقيان t و ¢t
ومن تساوي احداثيات
شعا عين نجد :
: تعريف
ì x = at + a¢ t ¢ + a
ï
í y = bt + b¢ t ¢ + b
ï
î z = ct + c¢ t ¢ + g
A ( a ; b الذي يشمل النقطة ; g ) (p)
r
t¢ و t و v(a ¢ ; b ¢ ; c ¢ )
نقول أن الجملة
تشكل تمثيلا وسيطيا للمستوى
و
r
و شعاعي توجيهه u(a ; b
; c)
حقيقيين . وسيطين
أكتب تمثيلا وسيطيا ­3 بالنقطة ; 1)A و بالشعاعين
للمستوى المعين (P) 4) ;
r r
v(3 ; 2 ; 1) u(2 ; ­1 ; 5)
مثال :
و

جميعا . معدومة
إذا كان أحد الأعداد a,b,c معدوما فإن بسطه يكون معدوما
أيضا.‏
r r
A ; u , v
r r
u و v الشعاعان
غير مرتبطين خطيا وعليه (
)
(P) M من الفضاء نقطة من ) إذا وفقط إذا حققت إحداثياتها (
معلم للمستوي (P) . تكون النقطة
x ; y ; z
: الجملة
ì x = 2t + 3t ¢ + 1
ï
í y = ­t + 2t ¢ ­ 3
ï
î z = 5t + t ¢ + 4
ومنه :
ì x ­ 1 = 2t + 3t ¢
ï
í y + 3 = ­t + 2t ¢
ï
î z ­ 4 = 5t + t ¢
الحل :
و هو يشكل تمثيلا وسيطيا للمستوي (P) .
3
( التمثيل الديكارتي لمستقيم :
r
u a ; b ; c
( )
: مبرهنة
(P) ) النقطة A ( a ; b ; g مستقيم يشمل
وشعاع توجيهه
. إذا كانت
x ­ a y­ b z ­ g
= =
a b c
:
الأعداد a,b,c غير معدومة جميعا فإن نقطة M من الفضاء تنتمي إلى (D) إذا حققت
إحداثياته ا ما يلي
ì x = at + a
ï
í y = bt + b
ï
î z = ct + g
x ­ a y ­ b z ­ g
= = = t
a b c
ومنه :
البرهان :
التمثيل الوسيطي للمستقيم (D) هو
ì x ­ a = at
ï
í y ­ b = bt
ï
î z ­ g = ct
وعليه :
x ­ a y ­ z ­
= b =
g
a b c
r
u a ; b ; c A a ; b ; g
تعريف :
العبارة
و شعاع توجيهه ) (
تسمى تمثيلا ديكارتيا للمستقيم (D) الذي يشمل النقطة
وهذا إذا كانت الأعداد a
و c غير و b
( )

غير مرتبطان
خطيا .
: ملاحظة
اكتب تمثيلا ديكارتيا للمستقيم (D) الذي يشمل النقطة ) (
; 4 3 ; ­1 A وشعاع توج يهه
r
u 3 ; 2 ; 4
مثال :
( )
x + 1 y ­ 3 z ­ 4
= =
3 2 4
الحل :
( 4 التقا
التمثيل الديكارتي للمستقيم (D)
هو :
طع و التوازي في الفضاء لمستويين :
و (P ) : a +b y +c
¢ ¢ x ¢ ¢ z+d ¢ = 0
ur
n ¢ (a ¢ ;b ¢ ;c ¢ )
: مبرهنة
(P ¢ ) : و حيث (P)
(P) : a x + by + cz + d = 0
(P ¢ ) و (P)
a ¢ = ka
نعتبر المستويان
يتوازى
و
إذا وفقط إذا وجد عدد حقيق k غير معدوم بحيث :
و
r
إذا وافقط إذا كان
n(a;b;c) الشعاعان
b = kb¢
c ¢ = kc
: البرهان
(P ¢ ) و (P)
.
ur r
n ¢ = kn
c ¢ = ka
b ¢ = kb
خطيا . مرتبطان
a ¢ = ka
أي إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي k بحيث
و
يتوازى
: 1 مثال
(P) : 2 x ­ y + 4z ­ 5 : = 0
(P ¢ ) : 4 x ­ 2y + 8z = 0
r
n ¢ (4 ; ­2 ; 8) و n(2 ; ­1 ; 4)
ليكن المستويان
و
متوازيان لأن شعاعيهما الناظميان
خطيا . مرتبطان
(P) : x ­ y + 3z + 4 = 0
(P ¢ ) : 3 x + y ­ 4 z+ 2 = 0
r
r
ين ; n(1
n ¢ (3 ; 1 ; ­4) ­1 ; 3)
مثال : 2
: المستويان
و
و و
وعليه :
غير متوازيان لأن الشعاع
و
المستقيم في الفضاء ليس له معادلة ديكارتية بل له تمثيل
ديكارت ي كما سبق.‏

.
.
.
.
.
.
.
.
.
تمارين و
مشكلات :
التمرين 1
حيث a,b,c,d
ì x = 0
ï
í y = 0
ï
î z = a
هو :
r
(O ; k)
( التمثي
1 ل الوسيطي للمستقيم
( 2 التمثيلان الآتيان هما لنفس المستقيم
ìx
= 2 l + 2 ì x = 2 l ­ 1
ï
ï
íy = l ; í y = l + 2
ïz = ­ ï
î l î z = ­ l
a x + by + cz + d = 0
( المعادلة الديكارتية لمستقيم في الفضاء تكون من الشكل :
a x + by + cz + d = 0
3
( 4 كل معادلة من الشكل :
ضع العلامة √ أمام كل جملة صحيحة و العلامة × أمام كل جملة
. خاطئ ة
.
ì x = 2 l ­ 1
ï
í y = u + 2
ï
î z = l
ì x ­ y + 4 = 0
í
î 2 x + y ­ 4z + 5 = 0
أعداد حقيقية هي معادلة لمستو
( 5 التمثيل الوسيطي الآتي : هو لمستو
( 6 الجملة الآتية تمثل مستقيما :
في الفضاء هي معادلة
لمستقيم
هي معادلة مستو في
ا لفضاء المنسوب
.
r
n(4; ­1 ; 0)
x ­ y + 4 = 0
4 x ­ y + 5 = 0
( 7 المعادلة
( المعدلة
8
لمعلم متعامد متجانس حيث شعاعه الناظمي

.
.
استقامية . في
uuur uuur r
2CA ­ 4CB = 0
{(A ; 1) , (B ; ­2) , (c ; 3) }
وكانت
فإن G مرجح
الجملة
D
uuur
CA =
{(A ; 1) ; (B ; ­2) }
- 1 uuur
CD
2
( 9 النقط A,B,C حيث :
( إذا كانت G مرجح
الجملة
الجمل ة K مرجح
.
{(K ; ­1) ; (C ; 3) }
10
التمرين . 2
عين قيمة العدد الحقيقي x بحيث تكون النقطة C حيث
:
A المرفقتان على ا
لترتيب
و
الترتيب . على
مرجح النقطتان
uuuur 2 uuur 3 uuur
AM = AB .
+ AC
5 5
بالمعاملين x ­ 1 و x
التمرين . 3
ABC مثلث قائم في M . A نقطة
حيث :
بين أن M مرجح للنقطتين C , B المرفقتين بالمعاملين
a و b حيث يطلب تعيينهما
. استنتج أن
. (BC) نقطة من M
نعتبر النقطتان 2) ; ­3 ; A(1 B(­2 ; 1 ; 4) ,
التمرين . 4
اكتب تمثيلا وسيطيا للمستقيم
(AB)
استنتج أن (AB) هو تقاطع مستويين يطلب تعيينهما
. بمعادلتيهما
. 5
- 1
- 2
التمرين
في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد متجانس تعطى النقط
:
A(­4 ; 2 ; 1) ,B(­1 ; 5 ; 1) ,C(­1 ; ­2 ; 1) , D(0 ; 1 ; 3)
هل
قط A,B,C في استقامي
؟ ة
الن
اكتب تمثيلا وسيطيا للمستوى الذي يشمل النقط
A,B,C
هل (ABC) نقطة من المستوى
؟
D
اكتب تمثيلا وسيطيا للمستوي
(DAB)
- 1
- 2
- 3
4
.
-

- اكتب التمثيل الوسيطي للمستوي (P) الذي يشمل L ويحتوي
على
المستقيم (ST) ثم استنتج
معادلته .
ì x = l + m ­ 1
ï
í y = ­2 l + m
ï
î z = l ­ 3 m + 2
¢
التمرين . 6
إليك التمثيل الوسيطي لمستو (P) :
- اكتب تمثيلا وسيطيا للمستوى P)
) الذي يشمل النقطة
. (P) ويوازي A(­1 ; 2 ; 5)
التمرين . 7
3) إليك النقط ; 1 ; S(­2 L(1 ; ­1 ; 3) , T(1 ; 2 ; ­3) ,
1
1
2
- اكتب تمثيلا وسيطيا للمستقيم (ST) .
إليك التمثيلين الوسيطيين للمستوى (P) و المستقيم (D)
التمرين . 8
ìx
= l¢
ì x = ­1 + l ­ m
ï
ï
(D) : íy = ­2 l¢
+ 1 (P) : í y = 2 ­ l + m
ïz = ­ ï
î l¢
î z = l ­ 2 m
عين نقط تقاطع (P) و (D)
.
التمرين . 9
تعطى النقط ­1) B(­1 , 1 , C(0 , ­1 , 1) ;
; A(1 , 1 , ­1)
r
u(2 ; ­1 ; 1) و الشعاع D(­1 , 0 , 1) ;
r
. u
( اكتب تمثيلا وس ) D (
يطيا للمستقيم
1
الذي يشمل A ويوازي
( 2 اكتب المعادلة الديكارتية للمستوى (BCD) .
( 3 عين نقط تقاطع ) D ( و (BCD)
.

مستقيمان معرفان بتمثيلهما
الوسيطيان في معلم متعامد
ومتجانس
10 التمرين .
(D ¢ ) و (D)
r r r
(O ; i , j , k)
ì x = l + 1 ì x = 3 l ¢ + 3
ï
ï
(D) : íy = 2 l ­ 2 (D ¢ ) : í y = ­ l ¢ ­ 5
ïz = ­ + 3 ï
î l
î z = l ¢ + 5
(D ¢ . و أن بين - ) متقاطعان (D) 1
. ¢
- عين معادلة ديكارتية للمستوي (P) الذي يشمل (D) و ) D)
( D )
( D )
2
التمرين
إليك
المستقيم (D) و المستقيم
. 11
: حيث
ì x = t ì x = ­ l + 1
ï
ï
: íy = t ­ 1 (D) : í y = 2 l
ïz = ­t ï
î
î z = l + 1
. a D
( )
( D ) و (D)
A نقطة من
فاصلتها
يتقاطعان . لا
من مستويين
مختلفين .
الذي يشمل المستقيم (D)
( D ) و (D)
معادلة للمستوى (
P a )
a
- 1 بين أن
- 2 بين أن
- 3 عين بدلالة
( p a )
( p a )
- 4 هل يمكن تعيين a
بحيث يكون
مارا من O
a
و النقطة . A
- 5 هل يمكن تعيين
بحيث يكون
موازيا محور الفواصل.‏

التمرين . 12
ليكن ABCDEFGH
مكعب
و (AE)
وليكن المستوي
(P) الذي
: معادلته = 0 5 + z 2 x + 6y ­
- اكتب تمثيلا وسيطيا لكل من المستقيمات (AB) و
(AD)
1
- 2 عين تمثيلا وسيطيا للمستوي (BCG)
.
.(P)
- عين نقط تقاطع (BCG)
و
التمرين
عين مجموعة النقط ; M(x (P) و لتقاطع ) P)
¢
y ; المستويين z)
(P ¢ ) : x + 2y ­ 3z = 0 , (p) : x ­ y + z ­ 4 = 0
x + y + z ­ 4 .-
= 0
C(1 ; 1 ; 0) , B(0 ; 1 ; 1) , A(1 ; 0 ; . 1)
¢ .
(P ¢ ) و (P)
. 13
3
: حيث
14 .
(P)
التمرين
: مستو معادلته
ب تمثيلا وسيطيا للمستوى ) P)
) ¢ P) مستو يشمل النقط
- 1 اكت
2
.
- عين نقط تقاطع

التمرين . 1
. √
( 5
.
×
( 4
.
×
( 3
.
×
( 2
√
( 1
√
10
√
9
√
8
.
×
( 7
√
6
الحلول :
.
(
(
(
(
و – 1 x على الترتيب فإن :
uuur uuur r
2CA + CD = 0
uuuur uuur uuur
5AM = 2AB + 3AC
x المرفقتين بالمعاملين D
2
uuur 1 uuur
CA = ­ CD
2
x
A
uuur uuur r
لدينا
x . CA + ( x ­ 1) CD = 0
وعليه : 2 = x .
وبما أن C مرجح النقطتان
ì x = 2
í
î x ­ 1 = 1
ومنه
التمرين . 3
- تبيان أن M مرجح C , B
.
1
2 3
لدينا :
AM = أي : AB + AC
uuuur
5
uuur
5
uuur r
5AM - 2 AB - 3 AC = 0
uuuur uuur uuuur uuuur uuuur r
­5MA - 2 ( MB ­ MA ) ­ 3 ( MC - MA ) = 0
uuuur uuur uuuur uuuur uuuur r
­5MA - 2 MB + 2 MA ­ 3 MC
uuur
+ 3MA
uuur
=
r
0
­2MB ­ 3MC = 0
2 MB + 3 MC =
و C B المرفقتان بالمعاملين 2 و 3
ومنه : 0
إذن M مرجح النقطتان
.
وعليه = 2 a و = 3 b
نعلم أنه إذا كانت M مرجح B
و C فإن M نقطة من .(BC)

و AC
M(x ; y ; لتكن z)
uuuur
l عدد
uuur
AB (­3 ; 4 . ; 2)
uuur
l
التمرين . 4
( 1 التمثيل الوسيطي للمستقيم (AB) :
نقطة من الفضاء
. تكون M نقطة من (AB) إذا وفقط إذا كان : AB AM
= حيث
ì x = ­3 l + 1
ï
í y = 4 l ­ 3
ï
î z = 2 l + 2
ì x ­ 1 = ­3 l
ï
í y + 3 = 4 l
ï
î z ­ 2 = 2 l
حقي : قي وعليه
( 2 تبيان أن (AB) هو تقاطع مستويين :
أي أن :
ì x = ­3 l + 1 . . . (1)
ï
لدينا :
í y = 4 l ­ 3 . . . (2)
ï
î z = 2 l + 2 . . . (3)
­1
= l 2 وبالتعويض ) في
( نجد :
( : 1 من ) 1) ( x ­
3
- 4
وعليه
3y
= ­4( x ­1) ­ 9 y = ( x ­ 1) ­ 3
:
3
­ 2
وبالتعويض في
3 : (
z = ( x ­ 1) + 2
إذن : 0 = 5 – 4x 3y +
)
3
= 0 8 – 2x : 3y + ومنه
ì 4 x + 3 y ­ 5 = 0
í
î 4x
+ 3y
- 8 = 0
ومنه + 8 ­2x 3y =
وبالتالي :
AB
2x + 3y – 8 = .
0
A ,B , C
و
ن استقامية النقط
4x + 3y ­ 5 0 =
التمر . 5 ين
- 1 البحث ع
:
uuur
uuur
0) ; 3 لدينا : ; (3 AB AC (3 , ­4 ; 0) ,
uuur uuur
AC AB و
وهي الجملة المكونة من تقاطع مستويين معادلتيهما :
غير متناسبة ومنه الشعاعان
ليس
نلاحظ أن إحداثيات
- 2 التمثيل الوسيطي للمستوي (P)
لهما نفس الحام
ل فهما غير متوازيان و بالتالي النقط A , B , C ليست في استقامية .
:

للمستوي
uuur
uuur
بما أن , B ) A , ليست في إستقامية فهي تكون معلما : (
A , AB , AC
C
uuuur uuur uuur
AM = l AB + m AC
(P). أي
(ABC)
من ; y : أجل نقطة (P) M(x من لدينا
كل z) ;
x + 4 = 3l + 3 m
ì x = 3l + 3m
­ 4 ì
ï
: أي í y ­ 2 = 3 l
ï
í y 3 ­ 4 2
­ : = l m +
4 m ومنه
ï z 1
ï
î =
î z ­ 1 = 0
3
ì x = 3 l + 3 m ­ 4
ï
+ 2 : لدينا = 3 l ­ 4 m وعليه : y í
ï
î z = 1
- البحث عن كون D تنتمي إلى (ABC) :
مستحيل . وهذا
ì 0 = 3 l + 3 m ­ 4
ï
í 1 = 3 l ­ 4 m + 2
ï
î 3 = 1
إذا كانت D تنتمي إلى (ABC) فإن :
uuur
DB و
uuur
DA
(ABC)
ومنه D ليست نقطة من (ABC)
.
- التمثيل الوسيطي للمستوي (DAB)
.
4
بما أن D
لا تنتمي إلى المستوي
فإن
ليس لهما نفس الحامل ومنه
معلم للمستوي
.(DAB)
uuur
uuur
( D ; DA , DB )
M(x ; y ; حيث z) نقطة من (DAB) لتكن M
uuuur uuur uuur
لدينا AM : = a DA + b DB
uuur
uuur
DB(­1 ; 4 ; ­2) , DA(­4 ; 1 ; ­2)

المستوي (P) يحتوي على ثلاث نقط هي T , S , L
ì x = ­4 a ­ b - 4
ï
í y = a + 4b
+ 2
ï
î z = ­2 a ­ 2 b + 1
إذن :
ì x + 4 = ­4a
­ b
ï
í y ­ 2 = a + 4 b
ï
î z ­1 = ­2a
­ 2 b
و هو التمثيل الوسيطي للمستوي (DAB)
وعليه :
¢ ( يكون من الشكل :
هو التمثيل الوسيطي للمستوي p
( ¢ )
( : ¢
التمثيل الوسيطي للمستوي ) p
يوازي (P) فإن التمثيل الوسيطي للمستوي ) p
التمرين . 6
) ¢ ( بما أن p
ì x = l + m + x
0
ï
í y = ­2 l + m + y
0
ï
î z = l ­ 3 m + z
0
لكن ) تنتمي إلى ¢ p (
A ومنه :
ì x = l + m - 1
ï
í y = ­2 l + m + 2
ï
î z = l ­ 3 m + 5
التم . 7 رين
- 1 كتابة معادلة (P) :
.
LT (0; 3 ; ­ 6)
معلم للمستوي
.(P)
.
,
LS (­3; 2 ; 0)
LS
uur uuur
L , LS , LT
( )
الشعاعان
وعليه
و LT ليس لهما نفس الحامل
uuur uur uuur
LM = a LS + b LT
من أجل كل نقطة z) M(x ; y ;
م ن (D) لدينا :

ì x = ­ 3 a + 1
ï
í y = 2 a + 3 b ­ 1
ï
î z = ­ 6 b + 3
أي :
ì x ­ 1 = ­ 3 a
ï
í y + 1 = 2 a + 3 b
ï
î z ­ 3 = ­ 6 b
وعليه :
b بقيمتيهما
a
1
. بتعويض = b
6
ì x = ­ 3 a + 1 . . . (1)
ï
í y = 2 a + 3 b ­ 1 . . . (2)
ï
î z = ­ 6 b + 3 . . . (3)
1
z) (3 ­ ( : 3 و من
من
a = : ( (1 ­ ) ) x ) 1
3
æ 1 1 ö æ 1 1 ö
استنتاج المعادلة
الديكارتي . ة
و
4 x +
( : في
y 2 ­ 3 = ç نجد x ÷ + ç ­ z ÷ ­ 1 ) 2
è 3 3 ø è 2 6 ø
2 2 3 1
1 أي ­ : z y = ­ x + ­
3 3 2 2
2 1 2 3
= 0 ومنه : 1 + ­ ­ z x + y +
3 2 3 2
6y + 3z ­ 7 2 1 7
x + y +
0 إذن :
أي
=
z ­ : = 0
6
3 2 6
وعليه معادلة المستوي هي :
4x + 6y + 3z – 7 = 0
- 2 الوسيطي (ST) التمثيل للمستقيم :
uur
لتكن ; M(x نقطة (ST)
:
لدينا ; (3 ST y ; z)
.
­6) ; 1 من أي
uuur
uuur uur
SM ( x + 2 , y ­ 1 , حيث : z ­ 3) SM = l ST
ì x = 3l
- 2 ì x + 2 = 3 l
ï
ï
: أي í y ­ 1
í y = l + 1
l ومنه : =
ï
î z = ­6l
+ 3 ï
î z ­ 3 = ­ 6 l
وهو
تمثيل الوسيطي للمستقيم
(DT)
ال

تعيين نقط تقاطع (D) و ) (
: D
ì l ¢ = ­1 + l ­ m
ï
í ­2 l ¢ + 1 = 2 ­ l + m
ï
î ­ l ¢ = l ­ 2 m
(1) . . . ì l¢
­ l + m + 1 = 0
ï
(2) . . . í -2 l ¢ + l ­ m ­ 1 = 0
(3) . . . ï
î ­ l¢
­ l + 2 m = 0
l¢ = 0 ­ l¢ = 0
ì ­ l + m + 1 = 0
í
î ­ l + 2 m = 0
m = 1 : ومنه -m + 1 = 0
z = 0 , y = 1 , x = 0 l = 2
التمرين . 8
نحل الجملة :
ومنه
وعليه :
) ( نجد : 2 ( و ) 1 بجمع
و عليه :
بالطرح نجد :
ومنه نقطة التقاطع هي : ; 1 ; I(0
0)
التمرين . 9
( D : )
) إذا و ( D
( 1 التمثيل الوسيطي للمستقيم
لتكن ; y M(x ; من
(z نقطة الفضاء
uuuur r
فقط إذا كان :
AM = l u
ì x = 2 l + 1
ï
í y = ­ l + 1
ï
î z = l ­ 1
ì x ­ 1 = 2 l
ï
í y ­ 1 = : أي ­ l
ï
î z + 1 = l
D
( )
تكون M من المستقيم
وعليه :
(BCD) 2 المعادلة للمستوى :
( الديكارتية
ax + by + gz + d = 0
وهو التمثيل الوسيطي للمستقيم
و عليه :
أي أن :
وهي من الشكل :

ì ­ a + b ­g­ d = 0 . . . (1)
ï
í b g d نقط منه فإن : (2) . . . 0 = + + ­
بما أن B , C , D
ï
î ­ a + g + d = 0. . . (3)
نجد : + ­
a 2 : ومنه a = 2 d
بجمع )
( و ) d
= ( 0 2 1
( نجد :
­ b : ومنه b = a
بطرح )
( من ) +
a = 0 2 3
­2 + 2 ­ :
d d g + d = 0 1 b = 2 d
) في بالتعويض
: g = d
x
.
2 +2 :
dx dy + dz
+ d = 0
2 + 2y +z + 1 = 0 : ومنه d (2 x + 2y + z + 1)
وعليه
إذن معادلة المستوي
هي
إذن :
( نجد
أي :
هي (BCD)
معادلة .
- تعيين نقط
( D )
3 تقاطع و (BCD) :
ì x = 2 l + 1
ï
í y = ­ l + 1
ï
î 2 x + 2y + z + 1 = 0
وعليه : 2(­ + 1) + 2(2
l l + 1) + l ­ 1 + 1 = 0
­4
وعليه
: أي = l
3 l + 4 = 0
: 3
­4 ­7 4 7 ­8 ­5
إذن = : y z = ­ 1 = ,
+1 = , x = +1 =
3 3 3 3 3 3
æ ­5 7 ­7 ö
J ç ; ; ÷
è 3 3 3 ø
نحل الجملة :
ومنه نقطة التقاطع هي :

متقاطعان . نحل الجملة :
التمرين . 10
( تبيان أن (D) و ) (D
¢
1
ì l = 3 l ¢ + 2
ì l + 1 = 3 l ¢ + 3
ï
ï
í 2 l ­ 2 = ­ l
: ¢
وعليه
í 6 l¢ + 4 ­ 2 = ­ l ¢ ­ 5
­ 5
ï ­3 ­ 2 + 3 = + 5 ï
î l¢ l ¢ î ­ l + 3 = l ¢ + 5
ì x = 0
ì l = 3 l ¢ + 2
ï
ì l ¢ = ­1 ï
: أي
وعليه : 7 : í í ومنه
í y = ­4
l ¢ = ­7
ï
î l = ­1 ï
î z = 4
î ­4 l ¢ = 4
(D) و ) ¢ إذن w(0 ; ­4 ; 4) (D النقطة في يتقاطعان
r
n
شعاع ناظمي للمستوي (P)
فإن
عمودي على شعاعي توجيهي و ) D)
(D)
حيث
هما هاذين
الشعاعين .
g = ­7 a
(D ) و : ¢ المستوي يشمل (D) (P) 2 -
r
وعليه إذا
كان ) g n( a ; b ;
¢
v(3 r
; ­1 ; 1) , u(1 r
r r r
; r
2 ; ­1) n . v و = 0 n :
= 0 u . : وعليه
ì a + 2 b ­ g = 0
: í إذن
î 3 a ­ b + g = 0
: وعليه b
a ­ 8 a ­ g = 0
= ­4 a : أي
g = ­7 , b = ­4
= 1 a بوضع
بالجمع نجد : = + 4
a b 0
ومنه :
x ­ 4 y ­ 7z + d = 0
0 + 16 ­ 28 + d = 0
x ­ 4y­ 7z +12 = 0
نجد :
ومنه معادلة المستوي هي من الشكل :
إذن : 12 = d
وبما أن w تنتمي إلى هذا المستوي فإن :
ومنه معادلة المستوي هي :

( D ) و (D)
التمرين . 11
- 1 نبين أن
l
=
­2
3
ì a = ­ l + 1 . . . (1)
ï
í a ­ 1 = 2 l . . . (2)
ï
î ­ a = l + 1 . . . (3)
نحل الجملة :
يتقاطعان . لا
+ 1 l = 3 ­1 ومنه
) ( نجد : 3 ( و ) 2 بجمع
ì
ï a
ï
í a
ï
ï
ï a
î
=
=
=
5
3
1
­
3
1
­ 3
ì
ï a =
ï
í a
ï
­ 1
ï
ï ­ a
î
=
5
3
بالتعويض في كل المعادلات نجد :
تناقض . و هذا
v
; (1;
1) هو ­ 1 . الشعاعان
( D ) و (D)
) D وشعاع توجيه (
إذن :
v
u (­1
=
1
3
­ 4
3
( D ) و (D)
- نبين
أن (D) 2 و ) D (
; 2 ; 1)
r r
v u و
ومنه
شعاع توجيه (D) هو
يتقاطعان . لا
من مستويين مختلفين :
ليس لهما نفس الحامل لأن إحداثياتهم ليست متناسبة وكذلك المستقيمان
: A( a ; a ­ 1 ; ­ a ) ومنه a
متوازيان غير
من مستويين مختلفين و ) D (
.
ومنه (D)
:
(p )
a
- 3 تعيين معادلة
A نقط ) D ة من (
لتكن
نقطة من ; حيث ; 0 B(1
1) . (D) B
r
u (­1 ; 2 ; 1)
(p
a
علم )
(p :
a
)
uuur r uuur
BA a ­ 1 ; a ­ 1 ; ­ a ­ 1 , B ; u ; BA
uuuur r uuur
BM = lu + m BA فإن : (p
a
)
شعاع توجيه (D) هو
( ) ( )
بما أن
من
يشمل (D) و (A) فإن
يقبل كم
ومنه من أجل كل نقطة (z M(x ; y
(1) . . . ì x ­ 1 = ­ l + m ( a ­ 1)
ï
(2) . . . í y ­ 0 = 2 l + m ( a ­ 1)
(3) . . . ï
îz
­ 1 = l ­ m ( a + 1)
وعليه :
.
فاصلتها

x ­ 1 ­ y = ­ 3 l
نجد من : ( ) ( ) بطرح
بجمع : ) (
) ( و نجد
1 2
1
(
3
­ y ­ 1)
m 3 1
l = ­ x
x ­ 1 + z ­ 1 = ­2
1
m = ­ ( x + z ­ 2)
2
بالتعويض في
) ( نجد : 1
1 1
x ­ 1 = ( x ­ y ­ 1) ­ ( x + z ­ 2) ( a ­ 1)
3 2
6 ( x ­ 1) = 2( x ­ y ­ 1) ­ 3( x + z ­ 2) ( a ­ 1)
6 x ­ 6 = 2 x ­ 2y ­ 2 ­ 3( a ­ 1) x ­ 3( a ­ 1)z + 6( a ­ 1)
4 x + (3) ( a ­ 1) x + 2y + 3( a ­ 1)z + 2 ­ 6 a + 6 ­ 6 = 0
(3 a + 1) x + 2y + 3( a ­ 1)z + 2 ­ 6 a = 0
by + cz
(O r إذا كا ;
i
(p
a
. )
1
a =
3
(p )
a
a
ومنه
ومنه
وعليه :
- 4 تعيين
وهي معادلة ديكارتية للمستوي
بحيث يمر
من المبدأ :
موازيا لحامل محور الفواصل )
نت معادلته من الشكل :
1
a = ­
3
وعليه :
= a 2 ­ 6 وعليه :
(p )
a
3 a + 1 =
0
أي 0
- 5 يكون
+ d = 0
: ومنه
التمرين . 12
( 1 التمثيلات :
الوسيطية
ì x = 0 ì x = 0 ì x = l
ï ï ï
(AE) : íy = 0 , (AD) : íy = l , (AB) : í y = 0
ïz ïz 0 ï
î = l î = î z = 0
2
BF(0 ; 0 ; 1) ,
( التمثيل الوسيطي للمستوي (BCG)
:
المستوي 0) يشمل النقطة ; 0 ; B(1
(BCG)
BC (0;
1 ;
و الشعاعين (0

M
( x;
y;
معلم لهذا المستوي وعليه من أجل كل نقطة ) z
من
ì x ­ 1 = 0
ï
í y = l
ï
î z = m
ومنه (
B , BC , BF )
uuur uuur uur
BM = l BC + MBF
: (BCG)
إذن التمثيل الوسيطي للمستوي (BCG) هو :
( 3 تعيين نقط تقاطع (P) و (BCG) :
ì 2 x + 6y ­ z + 5 = 0
ï x = 1
í
ï y = l
ï
î z = m
ن حل الجملة :
(O , v
i
0 وعليه : = 5 + z 2 + 6y –
6y – z + 7=0
وهي معادلة مستو يوازي حامل محور الفواصل )
وعليه :
.
ì x ­ y + z ­ 4 = 0 . . . (1)
í
î x + 2y ­ 3z = 0 . . . (2)
4 4
y = z ­
3 3
­3y + 4z – 4 = 0
التمرين . 13
الجملة : نحل
أي
) ( نجد ( 1 من ) 2 بطرح
1
y (4z : =
4) ­ ومنه
3
4 4
( نجد :
= + + - في z z ­ 4 0 ) x
بالتعويض
1
3 3
: وعليه = 0 12 3 x ­ 4z + 4 + 3z ­
1
x = z + 8
3
إذن : 0 = 8 3x ­ z ­ وبالتالي :

ì 1
ï x = t + 8
3
ï 4 4
í y = t ­
ï 3 3
ï z = t
ï
î
r æ
u ç
è
z = t نجد :
1 4
; ; 1
3 3
بوضع
ì 1
ï x = z + 8
3
ï 4 4
y
: í =
­ z وعليه
ï 3 3
ï z = z
ï
î
( p ¢ )
æ ­ 4 ö
I ç 8 , , 0 ÷
è 3 ø
ومنه يتقاطع
(P) و
وفق المستقيم الذي يشمل
النقطة
÷ و شعاع توجيهه
. التمرين 14
- الوسيطي
( p ¢
) 1 للمستوي : التمثيل
uuur uuur uuur
uuur
و ; 1 ; AB(­1 AC AB AC(0 ; 1 ; ­1) ,
0)
uuur uuur
( p ¢ معلم للمستوي ) A , AB , AC
uuuur uuur uuur
AM = a AB + b
z) ; فإن : y AC ( P ¢ ) M(x ; من
ì x = ­ a + 1 ì x ­ 1 = ­ a
ï
ï
أي : ­ y í
í y = a + b
0 = a + : وعليه b
ï
ï
î z = ­ b + 1 î z ­ 1 = ­ b
( ¢ .
وعليه الشعاعان
ليس لهما
ö
ø
نفس الحامل ومنه ) (
من أجل كل نقطة
وهو التمثيل الوسيطي للمستوي ) P
) : ¢ ( و P
- 2 تعيين نقط تقاطع (P)

ì ­ x + y + z ­ 4 = 0 . . . (1)
ï
x = ­ a + 1 . . . (2)
í
ï y = a + b . . . (3)
ï î z = ­ b + 1 . . . (4)
( فنجد : 1 ( بقيمها في
4 من )
3 و
نعوض كل من 2 و
( و ) y ( و ) z
x )
­ (­ a + 1) + ( a + b ) ­ b + 1 ­ 4 = 0
2 a - 4 =
إذن :
0 2 a ­ 1 + b ­ b + 1 ­ 4
: أي
= 0
ì x = ­2 + 1
ï
وعليه : + 2 = y í
β a = 2
ومنه :
ï
î z = ­β + 1
ì x = o . b ­ 1 ì x = ­1
ï
ï
إذن : y í y = b + 2 í
= 2 + b
ï z = ­ + 1 ï
î b
î z = ­ b + 1
يشمل النقط 1) ; 2 ; C(­1 وشعاع توجيهه
( D . )
نحل الجملة :
وهي التمثيل الوسيطي لمستقيم
أي
( D )
r
u(0 ; 1 ; ­1)
(P ¢ ) و (P)
يتقاطعان وفق
إذن :