o_19akq3jav1u3u1jopd14lmaj05a.pdf

الھندسة الفضائية ‏:طرائق وأمثلة وتمارين محلولة
2
v = − ⋅u
3
كيف تثبت اإلرتباط الخطي لشعاعين ؟
التحقق أن مركبات الشعاعين متناسبة أو كتابة أحد األشعة بداللة اآلخر
أو
2 4 1
v ⎛
⎜ − , − ,
⎞
⎟
⎝ 3 3 3 ⎠
v = k ⋅u
1
u ⎛
⎜1,2,
−
⎞
⎟
⎝ 2 ⎠
(1)
طريقة :
u = k ⋅v
الشعاعان
و
إثبات استقامية ثالث نقط أو توازي مستقيمين
مرتبطين خطيا ألن
مثال :
تطبيقات :
a ⋅ u + b ⋅ v + c ⋅ w = 0
تثبت أن ثالثة أشعة من نفس المستوي؟
كتابة أحد األشعة بداللة الشعاعين اآلخرين
بحيث
نبين وجود
:
w ( −4,19,18)
( a, b, c ) ≠ ( 0,0,0)
v ( −2,5,4)
(2) كيف
طريقة(‏‎1‎‏)‏ : -
-(2)
: ) 1,2,3 ( u و
2u + 3v − w = 0
: 4 نقط
طريقة
مثال
تطبيق
األشعة
اثبات أن
و
D,C,B,A ھي من نفس المستوي
ھي من نفس المستوي
ألن
⎧x
= 1+
6t
⎪
⎨y
= 2 + t
⎪
⎩z
= − 4 − t
،
t ∈ R
، AM = t ⋅u
⎧x = at + x
⎪
⎨y = bt + y
⎪
⎩z = ct + z
كيف تثبت أن ثالثة أشعة ليست من نفس المستوي ؟
‏(أي تشكل أساسا في الفضاء)‏
⎧u ⋅ v = 0
⎨
⎩u ⋅ w = 0
⎧a + 2b + 3c
= 0
⎨
⎩ − 2a + b + 7c
= 0
A
A
A
AM
=
u
( 0,0,0)
P
au + bv + cw = 0
(3)
طريقة:‏ نبين أن
و
تقبل حال وحيدا
ليست من نفس المستوي ألن الجملة
( 0,0,0)
w →
v →
w
( 1,1,3 )
( 0,0,0)
v ( −2,5,4)
تقبل حال وحيدا
) 1,2,3 ( u و
مثال :
⎧a − 2b + 1c
= 0
⎪
⎨2a + 5b + 1c
= 0
⎪
⎩3a + 4b + 3c
= 0
w , v , u
تطبيق :
األشعة
تشكل أساسا للفضاء
برھان أن 4 نقط ليست من نفس المستوي
كيف تعين شعاعا → u عموديا على شعاعين
و
( a, b,
c )
→
b, u ( a, نبحث عن حل
c )
(4)
طريقة ‏:إذاكان
يختلف عن
معناه
للجملة
( 11, −13,5)
D
=
M
و = 0 w u ⋅
u ⋅ v =
0 :
v ( −2,1,7 ) و w
( 1,2,3 )
⎧a
+ 2b
= −3
=1 c ونحل الجملة ⎨
⎩ − 2a
+ b = − 7
⎛11 −13
⎞
−13
11
u ⎜ , ,1⎟
b = و a =
⎝ 5D
5 ⎠
5 5
مثال :
نأخذ مثال
فنجد
وھكذا يمكن أخذ
‏(‏‎5‎‏)كيف تعين التمثيل الوسيطي لمستقبم معرف بنقطة
وشعاع
أو
( A , u )
∈ D
:
u و مستقيم يشمل نقطةA ( D )
شعاع توجيه له،‏ نفسر تحليليا
معناه
u ( a, b,
c )
( , , )
A x y z
A A A
.
طريقة :
المستقيم الذي يشمل
مثال
D مستقيم يشمل
وشعاع توجيھه
و شعاع توجيھه
له التمثيل الوسيطي
معناه
B
t ⋅u
.
( 2,0,3)
u
( 6,1, −1)
A
( 1, 2, −1)
A
( AB )
( 1,2, −4)
: (1 )
مثال (2) تعيين التمثيل الوسيطي للمستقيم
حيث
و
إعداد الأستاذ:‏ قليل مصطفى
1

ب )
⎧x
= t + 1
⎪
⎨y = − 2t + 2, t ∈ R
⎪
⎩z
= 4t
− 1
AM
= t . AB
ھو شعاع توجيه للمستقيم ) AB (
ومنه
إذن التمثيل الوسيطي للمستقيم ھو
⎧x + y − 2z
= −5 (1)
⎨
⎩2x + y − z = −4 (2)
x = 1−
z : (2) (1)
(1 − z , − 6 + 3 z , z )
( D )
AB
( 1, −2,4)
مثال (3) ليكن المستقيم
جواب من ھذه الجملة وبطرح
حلول ھذه الجملة إذن ھي
المعرف بالجملة
نجد من
وبتعويضھا في
عين نقطة وشعاع توجيه لھذا المستقيم ثم تمثيال وسيطيا له
y = − 6 + 3z
⎧x
= 1−t
⎪
⎨y = − 6 + 3t t ∈ R
⎪
⎩z
= t
(1) نحصل :
u ( −1,3,1)
A (1, −6,0)
:
المستقيم ) D (
إذن يمر من النقطة
و شعاع توجيه له
‏(‏‎6‎‏)كيف تعين المعادلة الديكارتية لمستوي يمر من نقطة A
و
والتمثيل الوسيطي له ھو
P ( A,
u
)
طريقة
u شعاع ناظمي له؟
A M ⋅ u = 0 M ∈ P
:
P = ( A (1,2, −4 ), u (1, −3,2))
مثال :
( x −1) − 3( y − 2) + 2( z + 4) = 0 A M ⋅ u = 0
x − 3y + 2z
+ 13 = 0
تطبيق :
نفسر تحليليا أن
معناه
معناه
ومنه معادلة P ھي
تعيين المستوي الذي يمس الكرة في نقطة
A
C
B
( P )
كيف تعين معادلة ديكارتية لمستو معين بثالث نقط A و B و C
(
(6)
(7)
طريقة
‏(أ)‏ نبين أن النقط ليست على استقامة واحدة
‏(ج)‏ ثم نتبع الطريقة
و
n →
نعين مركبات شعاع ناظمي
السابقة
n ⋅ AC =
0
:
n ⋅ AB =
بحيث 0
(
(
(0,2,4) C تمثل مستويا
)
B (1,3,2)
بين أن النقط (1,0,3) A
و
و
⎛ −1⎞
⎜ ⎟
AC
2
⎜1
⎟
⎝ ⎠
⎛0
⎞
⎜ ⎟
AB
3
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
مثال :
الحل:‏
نعين شعاعا ناظميا
و
الشعاعان غير مرتبطين خطيا
للمستوي
و
النقط ليست على استقامة واحدة
أي
ومنه النقط تشكل مستويا
− a + 2b + c = 0
( ABC ) : 5x + y + 3z
− 14 = 0
A
n ( 13,1,3 )
13x + y + 3z
− 20 = 0
3b و
− c = 0
)
n ⋅ AC =
0
n ⋅ AB =
0
5x + y + 3z + d = 0
:
( ABC )
→
n ( a, b,
c )
( ABC )
إذن (5,1,3) n
ومعادلة
ھي من الشكل
كيف تعين معادلة مستوي يمر من نقطة و علم أساس له؟
وبتعويض إحداثيات إحدى النقط فيھا نجد
v ( P )
u
( u , v )
:
:
(8)
طريقة
مثال
نعين شعاعا ناظميا للمستوي ثم نطبق الطريقة السابقة
و
المستوي الذي يشمل النقطة
اساس له
⎧− a + b + 4c
= 0
⎨
⎩0a − 3b + c = 0
d = −20
n. v = 0
A
( 1, −2,3)
n. u = 0
v
( 0, −3,1)
( P )
( P )
حيث ) −1,1,4 ( u
و
شعاع ناظمي ل
ومنه
و
ومنه
وبحل الجملة نجد
( P )
A ∈
( P ) وبما ان 13x + y + 3z + d = 0
n ( a, b,
c )
ومنه معادلة ) P ( من الشكل
نجد
إذن معادلة
AB و I
كيف تعين معادلة المستوي المحوري لقطعة مستقيمة ] AB [
تعيينI منتصف القطعة[‏ [ AB
؟
ثم تعيين معادلة المستوي الذي يشمل
شعاع ناظمي له
طريقة :
(9)
إعداد الأستاذ:‏ قليل مصطفى
2

B
⎛ −2⎞
⎜ ⎟
AB
4
I
⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
⎛ x −1
⎞
⎜ ⎟
IM
y −1
⎜ z − 4⎟
⎝ ⎠
( 1,1,4 )
،
B
A و(‏‎0,3,6‎ (
لتكن النقطتين 2) −1, 2, (
معناه
لدينا
و
و
IM . AB = 0
x − 2y − 2z
+ 9 = 0
مثال :
( , , ) ∈( )
M x y z P
ومنه معادلة ) P (
ھي
:
B
t
كيف تعين المسقط العمودي لنقطة على مستقيم والمسافة بين نقطة ومستقيم؟ :
3
( D )
(1) :
(10)
طريقة
التمثيل الوسيطي ثم إيجاد
ب
لتعيين المسقط العمودي H للنقطة A على المستقيم
وأخيرا نجد إحداثيات
نكتب إحداثيات النقطة H
بداللة
بواسطة
⎛ −3⎞
⎜ ⎟
AH . u = 0 u
1
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
⎛ 5 24 −13
⎞
H ⎜ , , ⎟
⎝11 11 11 ⎠
A
H
AH . u = 0
⎧x
= 1−
3t
⎪
⎨y
= 2 + t
⎪
⎩z
= − 1 − t
⎧x
H
= 1−
3t
⎪
، ⎨y
H
= 2 + t
⎪
⎩z
H
= −1−t
t
مثال:‏ ) D ( مستقيم تمثيله الوسيطي
تحقق الجملة
و ) 2,1,5− ( A نقطة من الفضاء مسقطھا العمودي على(‏ ( D ھو H
( D )
3−
3t
⎛ ⎞
⎜ ⎟
AH
1+
t
⎜ −6
−t
⎟
⎝ ⎠
ومنه
ومنه
و شعاع توجيه
ھو
وبتعويض ھذه القيمة في التمثيل الوسيطي نجد
و
وھذا يعني
AH
2
t =
11
( D ) والمستقيم A
إحداثيات H
( t ) ( t ) ( t )
−3 3 − 3 + 1+ − −6 − = 0
ولحساب المسافة بين النقطة
نحسب المسافة
حيثH
ھو المسقط العمودي للنقطة
AH =
502
11
:
(2)
المثال السابق
كيف تعين المسقط العمودي لنقطة على مستوي والمسافة بين نقطة ومستوي؟
نعين أوال
( D ) الشعاع الناظمي لھذا المستوي ثم نعين نقطة تقاطع المستقيم u
الذي
( P )
2x − y + 5z
− 8 = 0
u
( P )
( P )
(11)
لتعيين المسقط العمودي للنقطة A على المستوي
uشعاع توجيه له مع المستوي
يشمل A و
A
( P )
تعيين المسقط العمودي H للنقطة −3) 2, ( 1,
على المستوي
ذو المعادلة
( D )
،
u
( 2, −1,5
)
( P )
طريقة:‏ (1)
:
مثال :
حل
الشعاع الناظمي ل
التمثيل الوسيطي ل
ھو
ھو
المستقيم
ذي شعاع التوجيه
تحقق الجملة
والذي يشمل Aعمودي على
ويقطعه في النقطة H
( P )
H ⎛ 38 37 5
⎜ , ,
⎞
⎟
⎝ 15 30 6 ⎠
وإحداثيات H
⎧x
= 1+
2t
⎪
⎨y
= 2 − t ( D )
⎪ ⎩z
= − 3 + 5t
⎧x
H
= 1+
2t
⎪y
H
= 2 −t
: ⎨
⎪z
H
= − 3 + 5t
⎪
⎩2x H
− y
H
+ 5z
H
− 8 = 0
A
(2)
23
t =
30
المسافة بين النقطة
و منه
والمستوي
و بالتالي
ھي المسافة بين النقطتينA و H حيث Hھي المسقط العمودي ل A على المستوي
AH
( P )
( P )
AH =
529
30
من المثال السابق نجد :
يمكن حساب المسافة بين النقطة A
والمستوي
مباشرة باستعمال العالقة
إعداد الأستاذ:‏ قليل مصطفى
ax
A
+ by
A
+ cz
A
+ d
=
2 2 2
a + b + c
مثال :
مالحظة :

كيف نعين المستقيم العمودي على مستقيمين ؟ والمسافة األصغرية بين مستقيمين؟
المستقيم ذي شعاع التوجيه و يشمل A و (′ D (
مستقيم يشمل
AM = α.
u
(12)
و
نفكك الشعاع
نكتب مركبات الشعاع
وبما أن
بداللة
و
. β و α
ومن العالقتين‎0‎ = u MN .
MN
u
طريقة : ) D (
v B شعاع توجيھه .
MN = MA + AB + BN
MN
BN = β.
v
. v و u
MN
و = 0 v MN .
يجب أن يكون عموديا على كل من
يتم تعيين αو β ثم النقطتين M وN ومنه
MN = − α. u + AB + β.
v
BN = β.
v
( D ′)
u ( 2,0,1)
A
) D ( مستقيم
( 0,1, −3)
نقطة من ) D (
مثال :
معرف ب:‏
و
و
و
مستقيم
( D ′)
معرف ب:‏ ) 1,1,0 (
v ( −1,3,1 ) B
،
و N
لتكن M
AM = α.
u
، MN = MA + AB + BN
( −2α −1 − β,3 β, −α − 3+
β ) MN
⎧−4α − 2 − 2β −α − 3 + β = 0 ⎧ ⎪MN . u = 0
⎨
: ⎨
⎩2α + 1+ β + 9β −α − 3 + β = 0 ⎪⎩ MN . v = 0
N ⎛ 5 11 49
M ⎛ − 10 19
⎜
− , ,
− ⎞
⎟ ⎜ ,1,
− ⎞
⎟
⎝ 18 6 18 ⎠ ⎝ 9 18 ⎠
مركبات
نحل الجملة
ھي
نقطة من
فنجد
نفكك الشعاع
وعلما أنه يوجد α و β بحيث
إذن
و
و
يكون لدينا
و منه
MN =
5
6
5
β =
18
:
α =
− 19
18
ومنه
و
وبالتالي المسافة األصغرية بين المستقيمين ھي
(P)
(∆)
x A
(13) كيف تعين تقاطع مستويين ؟
طريقة ‏:إذا
للمستويين
كان المستويان متقاطعين نعين تمثيال وسيطيا لمستقيم التقاطع ) D ‏)بحل جملة المعادلتين
( P ′): 3x − 2y + 11z
− 1 = 0
) P ( و(′‏ ( P وبوضع أحد المجاھيل كوسيط
( P ): 2x − y + 3z
مثال:‏ = 0 4 −
ومنه
و
وتكافئ
كل نقطة مشتركة تحقق :
z
وبوضع = t
نجد
5,13,1) ( u شعاع توجيه له
⎧x
= 5z
+ 7
⎨
⎩y
= 13z
+ 10
⎧2x − y = 4 − 3z
⎨
⎩3x − 2y = 1−11z
وھو التمثيل الوسيطي للمستقيم ) D ( الذي يشمل (7,10,0 ( A
و
( ∆)
⎧2x − y + 3z
− 4 = 0
⎨
⎩3x − 2y + 11z
− 1 = 0
⎧x
= 5t
+ 7
⎪
⎨y
= 13t
+ 10
⎪
⎩z
= t
كيف تعين تقاطع مستوي ومستقيم ؟
معادلة المستوي ) P (
في معادلة
والتمثيل الوسيطي للمستقيم
نحصل على
إذا كنت الجملة تقبل حال وحيدا فإن
يشكالن جملة 4 معادالت بأربعة مجاھيل ‏،فنعوض
A نقطة واحدة ‏)في P )
7 5 3
A ⎛
⎜ , − , −
⎞
⎟
⎝ 8 4 8 ⎠
(∆ ‏)يقطع
3x − 2y + 11z
− 1 = 0
( P )
( ∆)
) P ( معادلته
،t
( P )
⎧x
= 1+
t
⎪
⎨y
= − 1 + 2t
⎪ ⎩z
= 3t
⎧ 1
⎪
t = −
8
⎪
⎪ 7 ⎧x
= 1+
t
x =
⎪ 8 ⎪y
= − 1 + 2t
⎨ ⎨
⎪ −5
⎪z
= 3t
y =
⎪ 4 ⎪
⎩3x − 2y + 11z
− 1 = 0
⎪
−3
⎪ z =
⎩ 8
تمثيله الوسيطي
و
( ∆)
(14)
طريقة :
z , y , x
مثال(‏‎1‎‏)‏ :
نحل الجملة
نجد
وبالتالي
يقطع
في النقطة
إعداد الأستاذ:‏ قليل مصطفى
4

مالحظة إن تقاطع مستوي ومستقيم إما خال إذا كان المستقيم والمستوي متوازيان أو مستقيما إذا كان المستقيم محتوى في المستوي أو نقطة إذا كان
المستقيم يقطع المستوي
0. t = −1
.
5x + y − z + 3 = 0 ‏)معادلته P )
5
⎧x
= t
⎪
⎨y = 1 − 6t t ∈ R
⎪
⎩z = 3 − t
5,1, −1
) D ( تمثيله الوسيطي
:
مثال (2):
و اليوجد حل
شعاع توجيه
و
و
شعاع ناظمي ل
ونالحظ
بالتعويض في معادلة المستوي نجد
ومنه المستقيم يوازي المستوي
.
.
0. t = 0
( P )
:
n. u = 0
( P )
( P )
x + y + z =
n
( )
) P ( معادلته 0
( D )
⎧x
= 1+
t
⎪
⎨y
= − 2 − t
⎪
⎩z
= 1
u − −
( 1, 6, 1)
.
وبالتالي تقاطعھما خال
تمثيله الوسيطي
و
بالتعويض في معادلة
نجد
) P .( إذن المستقيم ) D ‏)محتوى في
مثال(‏‎3‎‏)‏ : ) D (
t ھي حلول لھذه المعادلة و بالتالي كل نقط المستقيم ) (
كيف تعين تقاطع مستقيمين ؟
D
كل قيم
تنتمي الى المستوي
.
(15)
طريقة:‏ نعرف المستقيمين بتمثيليھما الوسيطيين
مثال
و
إذاكانت الجملة من 3 معادالت لمجھولين تقبل حال وحيدا فإن المستقيمين يتقاطعان في نقطة
t ′ = 1
t = −2
( x , y , z ) = ( −1, −5, −6)
⎧1 + t = − 4 + 3t
′
⎪
⎨− 1+ 2t
= 3 −8t
′
⎪
⎩3t
= − 13+
7t
′
D ′ في جملة t ′ = 1
بحل الجملة
نجد
و
( )
D ′ :
⎧x
= − 4 + 3t
′
⎪
⎨y = 3 −8t
′
⎪
⎩z
= − 13 + 7t
′
x , y , z = −1, −5, −6
( )
D :
⎧x
= 1+
t
⎪
⎨y = − 1 + 2t
⎩z
= 3t
:(1)
−2 = t في جملة
( )
( D )
بتعويض
و إذن
نجد
يتقاطعان في نقطة
ونعوض
نجد
( ) ( )
A ( −1, −5, −6)
( D ′)
( D )
⎧x
= − 7 + 7 t '
⎧x
= − 2 + 5t
⎪ ⎪
d
2
: ⎨y = − 3 t ' .. ...
t ' ∈ R d1
: ⎨y = − 1 − t ..... t ∈ R
⎪ ⎩z
= 2t
'
⎪ ⎩z
= 3 + 4t
⎛ 7 ⎞ ⎛5
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
d 1 و
.
u
2
−3
u1
−1
⎜ 2 ⎟ ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧− 7 + 7t
′ = − 2 + 5t
⎧t
′ = 0 ⎪
. ⎨ ⎨− 3t
′ = −1−t
.
⎩t
= − 1 ⎪
⎩2t
′ = 3 + 4t
مثال(‏‎2‎‏)‏
لنفس المستوي
و
و عليه نحل الجملة
شعاعا توجيھھما
نالحظ أنھما غير مرتبطبن خطيا و بالتالي
نجد
d 2 غير متوازيين ، فهما إما متقاطعان أو لا ينتميان
d 2
والنقطة من
،
d 1 من أجل −1 = t ھي −1) −7,0, (
النقطة من
d 1 و
( −7,0,0)
من أجل = 0 ′ t
ھي
إذن المستقيمان
كيف تعين تقاطع كرة مع مستقيم ؟
d 2 ليسا من نفس المستوي.‏
طريقة : لتعيين تقاطع كرة مع مستقيم معرف بتمثيله الوسيطي نعوض في المعادلة الديكارتية للكرة نحصل معادلة من الدرجة الثانية
تقبل حال مضاعفا فالمستقيم مماس للكرة وإذاكانت تقبل حلين فالمستقيم يقطعھا في نقطتين وإذاكانت التقبل حال فالتقاطع خال
و مستقيم تمثيله
كرة معادلتھا
إذا كانت
،
2
6t
+ 2t
= 0
z , y , x
( d )
2 2 2
x y z y z
+ + − 2 + 4 + 4 = 0
z , y , x
:
( s )
⎧x
= 1+
2t
⎪
⎨y
= 1 + t
⎪
⎩z
= − 3 + t
1
. t = − , t = 0
3
−1
t =
3
(16)
مثال :
الوسيطي
ومنه
بتعويض
من أجل
في المعادلة الديكارتية للكرة نجد
z = − 3, y = 1, x نجد = 1 t = 0
−10 2 1
z = , y = , x =
3 3 3
⎛ 1 2 −10
⎞
B ⎜ , , ⎟ A ( 1,1, −3)
⎝ 3 3 3 ⎠
ومن أجل
ومنه
نجد
و
إعداد الأستاذ:‏ قليل مصطفى
) d ‏)يقطع ) s ‏)في نقطتين

ب(‏
كيف تعين تقاطع كرة مع مستوي ؟
التقاطع ھو نقطة
التقاطع ھودائرة نصف قطرھا
OH

تم نشر هذا الملف بواسطة قرص تجربتي
مع الباكالوريا
tajribatybac@gmail.com
facebook.com/tajribaty
jijel.tk/bac