Mathcad - krata3t

Statyka kratownicy stalowej o 3 różnych przekrojach prętów obciążonej temperaturą
ORIGIN := 1 - Ustawienie sposobu numeracji wierszy i kolumn macierzy
E
:= 69GPa - Moduł Younga aluminium
α t := 5 ⋅ 10 − 5 - Współczynnik rozszerzalności cieplnej aluminium
A1 := π ⋅ 4 ⋅ ( 50 − 4)
mm 2 - Pole powierzchni przekroju elementów 1...3
A2 := π ⋅ 3 ⋅ ( 40 − 3)
mm 2 - Pole powierzchni przekroju elementów 4...8
Parametry pomocnicze:
Lss := 2 - Liczba stopni swobody węzła
Le := 8 - Liczba elementów
Lw := 5 - Liczba węzłów
Lr
:= Lss ⋅ Lw - Liczba równań
K oLr := 0
, Lr
Deklaracja globalnej macierzy sztywności i wypełnienie jej zerami
pT oLr := 0 Deklaracja globalnego wektora obciążeń termicznych i wypełnienie go zerami

Funkcja LBM - Lokuj Blok Macierzy, używana przy agregacji macierzy sztywności i wektora obciążeń termicznych
LBM ( A , B , w , k)
:=
for i ∈ 0 .. rows( B) − 1
for j ∈ 0 .. cols( B) − 1
A w+ i , k+
j ← B 1+ i , 1+
j
A

Współrzędne węzłów kratownicy
X
0
3
5
7
10
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
m
:= Y
0
2
0
3
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
m
:=
Numery węzłów początkowych (Wp) i
końcowych (Wk) elementów
Przyrost temperatury elementów
Przekroje elementów
Wp
1
2
4
1
3
2
2
3
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:= Wk
2
4
5
3
5
3
5
4
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
T
0
0
0
0
0
0
50
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:= A
A1
A1
A1
A2
A2
A2
A2
A2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=

e := 1 .. Le Pętla po wszystkich elementach kratownicy
Rysunek elementów kratownicy pozwala kontrolować poprawność wprowadzonych danych
⎡
X Y
( Wpe )
Ex
⎢
( Wpe )
e := Ey
⎢
e :=
⎢ ⎥ Ex, Ey - współrzędne węzłów elementów kratownicy
X ⎢Y Wke
Wke
Ey 1
⎣
( )
⎤ ⎥
⎥
⎦
4
⎡
⎣
( )
⎤
⎥
⎦
Ey 2
3
Ey 3
Ey 4
2
Ey 5
Ey 6
Ey 7
1
− 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ey 8
− 1
Ex 1 , Ex 2 , Ex 3 , Ex 4 , Ex 5 , Ex 6 , Ex 7 , Ex 8

Macierze sztywności elementów kratownicy
Lx e := X Wke
− X Wpe
Ly e := Y Wke
− Y Wpe
L e := Lx e
( )
( )
( )
( )
( ) 2 + ( Ly e ) 2
1
1
1
1
2
3.000
4.000
1
2
2.000
1.000
1
2
3.606
4.123
Lx
3
4
3.000
= m
Ly
5.000
5 5.000
6 2.000
3
4
-3.000
= m
L
0.000
5 0.000
6 -2.000
=
3
4
5
6
4.243
5.000
5.000
2.828
m
J e :=
⎡
( ) 2
E ⋅ A e Lx
⎢ e
( L e ) 3 ⋅
⎢
Lx e ⋅ Ly e
⎣
Lx e ⋅ Ly e
( Ly e ) 2
⎤
⎥
⎥
⎦
7
7.000
7
-2.000
7
7.280
8
2.000
8
3.000
8
3.606
Mimo, że nie jest to potrzebne w dalczych obliczeniach, można pokazać bloki J macierzy sztywności wszystkich elementów
⎛
7658.5 5105.7
9104.7 2276.2 kN
4700.6
J 1 = ⎜
⋅
J 2 = ⎜
⎟ ⋅
J 3 = ⎜
5105.7 3403.8 m
2276.2 569.0 m
−4700.6
⎝
⎞ ⎟⎠
kN
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
−4700.6
4700.6
⎞
⎟
⎠
⋅
kN
m
⎛
4812.3 0.0
4812.3 0.0 kN
4253.5
J 4 = ⎜
⋅
J 5 = ⎜
⎟ ⋅
J 6 = ⎜
0.0 0.0 m
0.0 0.0 m
−4253.5
⎝
⎞ ⎟⎠
kN
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
−4253.5
4253.5
⎞
⎟
⎠
⋅
kN
m
⎛
3055.7 −873.0
2053.4
J 7 = ⎜
⋅
J 8 = ⎜
−873.0 249.4 m
3080.1
⎝
⎞ ⎟⎠
kN
⎛
⎝
3080.1
4620.1
⎞
⎟
⎠
⋅
kN
m

Agregacja, czyli dodawanie bloków macierzy sztywności elementów do macierzy globalnej
n e := Lss⋅ Wp e − 1 k e Lss⋅ Wk e − 1
:=

Globalny wektor sił węzłowych
Rzutowanie siły w węźle 6 na osie globalnego układu współrzędnych
Fx 4 := −6kN⋅ sin ( 32deg)
= −3.180⋅
kN
p
:=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
0
0
0
0
Fx 4
Fy 4
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
p =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-3.180
-5.088
0.000
0.000
⋅ kN
Fy 4 := −6kN⋅ cos ( 32deg)
= −5.088⋅
kN

- siły węzłowe wywołane temperaturą w elemencie "e"
t e :=
α t ⋅ T e
⋅
E ⋅ A e
L e
⎛
⎜
⎜
⎝
Lx e
Ly e
⎞
⎟
⎟
⎠
Agregacja wektora obciążeń termicznych pT (metodą podobną do stosowanej w agregacji macierzy sztywności)
pT :=
LBM ( pT o , t e , n e , 1 ) − LBM pT o , t e , k e ,
∑ ( ( 1)
)
e
pT T =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0.000 0.000 57.839 -16.525 0.000 0.000 0.000 0.000 -57.839 16.525
⋅ kN

Kopiowanie Macierzy K i wektora p przed modyfikacją uwzględniającą warunki brzegowe
K o := K p o := p − pT
Uwzględnienie warunków brzegowych
Lwb := 5 - liczba warunków brzegowych
s
⎛
⎜
1
⎜
2
⎟
:= - globalne numery przemieszczeń węzłów
⎜ 9 blokowanych na podporach
⎜
⎝
10
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
i := 1 .. Lr j := 1 .. rows( s)
K osj
, i
K oi
, sj
:= 0 zerowanie wierszy
:= 0 zerowanie kolumn
K osj
, s j
:=
1 kN
m
wstawianie jedności na przekątną
macierzy sztywności
p o
( sj )
:= 0 zerowanie wartości w wektorze "prawej strony"

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
K o =
5
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 24072.3 2255.3 -4253.5 4253.5 -9104.7 -2276.2 0.0 0.0
0.0 0.0 2255.3 8475.8 4253.5 -4253.5 -2276.2 -569.0 0.0 0.0
0.0 0.0 -4253.5 4253.5 15931.5 -1173.5 -2053.4 -3080.1 0.0 0.0
6
7
8
9
10
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
4253.5
-9104.7
-2276.2
0.0
0.0
-4253.5
-2276.2
-569.0
0.0
0.0
-1173.5
-2053.4
-3080.1
0.0
0.0
8873.6
-3080.1
-4620.1
0.0
0.0
-3080.1
15858.6
655.6
0.0
0.0
-4620.1
655.6
9889.7
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
1.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
1.0
⋅
kN
m
K o ⋅ 1
m
kN
= 7.548 × 10 23 - wyznacznik macierzy K o jest zawsze większy od zera, |K o |> 0
T
p
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
o =
1 0.000 0.000 -57.839 16.525 0.000 0.000 -3.180 -5.088 0.000 0.000
⋅ kN

( )
Rozwiązanie układu równań: u := lsolve K o , p o
u - wektor przemieszczeń węzłowych
u T =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0.0000 0.0000 -4.9655 6.7195 -2.9459 4.7396 -1.5530 0.1290 0.0000 0.0000
⋅ mm
Rysunek przemieszczeń kratownicy pozwala kontrolować poprawność otrzymanych wyników
skala := 100
⎡
u
( 2 ⋅ Wpe −1)
Dx e := Ex e + skala⋅
⎢ ⎥
Dy
⎢
e := Ey e + skala⋅
u 2 ⋅ Wke −1
⎣
( )
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎣
u
( 2 ⋅ Wpe )
u
( 2 ⋅ Wke )
⎤
⎥
⎥
⎦

4
Ey 1
Ey 2
Ey 3
Ey 4
3
Ey 5
Ey 6
Ey 7
Ey 8
2
Dy 1
Dy 2
Dy 3
Dy 4
1
Dy 5
Dy 6
Dy 7
− 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Dy 8
− 1
Ex 1 , Ex 2 , Ex 3 , Ex 4 , Ex 5 , Ex 6 , Ex 7 , Ex 8 , Dx 1 , Dx 2 , Dx 3 , Dx 4 , Dx 5 , Dx 6 , Dx 7 , Dx 8

Obliczenie reakcji podpór
r
:=
K ⋅ u
− p + pT
r T =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 17.897 2.480 -0.000 -0.000 -0.000 0.000 0.000 -0.000 -14.717 2.608
⋅ kN
Obliczenie sił wewnętrznych
N e :=
E ⋅ A e
( L e ) 2 ⋅ ⎡ u 2 ⋅ Wke
− u
⎣ −1
2 ⋅ Wpe −1
( ) ⋅ Lx e
+ ( u 2 ⋅ Wke
− u 2 ⋅ Wpe ) ⋅ Ly e
⎤
⎦
−
α t ⋅ T e
⋅ E ⋅ A e
30
N =
1
2
3
4
5
6
7
8
1
-4.471
16.562
11.181
-14.176
14.176
24.058
-38.273
-20.445
⋅ kN
N e
kN
20
10
0
− 10
− 20
− 30
− 40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
e

Obliczenie naprężeń
σ e :=
( ) ⋅ Lx e
E
( L e ) 2 ⋅ ⎡ u 2 ⋅ Wke
− u
⎣ −1
2 ⋅ Wpe −1
+ ( u 2 ⋅ Wke
− u 2 ⋅ Wpe ) ⋅ Ly e
⎤
⎦
−
α t ⋅ T e
⋅ E
80
1
60
σ =
1
2
3
4
5
6
7
8
-7.735
28.652
19.343
-40.653
40.653
68.990
-109.753
-58.630
⋅ MPa
σ e
MPa
40
20
0
− 20
− 40
− 60
− 80
− 100
− 120
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
e