Laboratorium – Metoda Elementów Skończonych - tomasz strek ...

Laboratorium – Metoda 

Elementów Skończonych 

Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL 

Multiphysics 3.4 

Radosław Inczewski, Tomasz Kiwerski 

2013-06-30 

Wydział: ELEKTRYCZNY 

Kierunek: MATEMATYKA (studia stacjonarne II stopnia) 

Rok studiów: I 

Semestr: drugi 

Rok akademicki: 2012/2013 

Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. PP

Projekt z wykorzystaniem programu COMSOL Multiphysics 3.4 

Wstęp. 

COMSOL Multiphysics jest pakietem symulacyjnym, rozwiązującym układy 

nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych przy wykorzystaniu metody elementów 

skończonych w jednym, dwóch lub trzech wymiarach. COMSOL Multiphysics pozwala na 

łatwe badanie, symulowanie i analizowanie złożonych zjawisk zachodzących w 

modelowanym systemie. Jest stosowany w różnych obszarach zastosowań inżynierskich i 

naukowych takich jak elektrotechnika, mechanika, inżynieria chemiczna, geofizyka, 

sterowanie, matematyka stosowana. W badanych systemach można opisywać wiele różnych 

zjawisk fizycznych i modelować je równocześnie, uzyskując wyniki bardzo dokładnie 

odzwierciedlające zachowanie rzeczywistego systemu. COMSOL pozwala również na szybkie 

i wygodne tworzenie modeli, uruchamianie symulacji oraz wizualizację wyników. Program 

pozwala rozwiązywać zagadnienia związane z np. elektromagnetyzmem, akustyką, 

mechaniką płynów (przepływy stacjonarne jak i niestacjonarne), przepływem ciepła, 

naprężeniami (statycznie oraz dynamicznie) czy konwekcją. 

Celem projektu jest zaprojektowanie oraz analiza prostych układów przy użyciu 

programu COMSOL. Dalsza część pracy zawiera analizę przepływu ciepła na uproszczonym 

przykładzie radiatora, analize stanu naprężeń i odkształceń na przykładzie modelu 

dwuteownika oraz analizę przepływu krwi w tętnicy pacjenta ze zmianami miażdżycowymi. 

Każda analiza poprzedzona jest wstępem zawierającym opis zjawiska/doświadczenia jak i 

badanego obiektu (dane materiałowe) oraz krótkim wstępem teoretycznym. 

1


Spis treści 

Wstęp. ................................................................................................................................................................... 1 

1. Analiza stanu naprężeń i odkształceń na przykładzie dwuteownika. ...................................... 3 

1.1. Wstęp teoretyczny i opis modelu. ................................................................................................ 3 

1.2. Implementacja modelu i analiza w programie COMSOL. .................................................... 4 

1.3. Wnioski. .................................................................................................................................................. 5 

2. Analiza przepływu ciepła na podstawie modelu radiatora. ......................................................... 7 

2.1. Wstęp teoretyczny i opis modelu. ................................................................................................ 7 

2.2. Implementacja modelu i analiza w programie COMSOL. .................................................... 9 

2.3. Wnioski. ............................................................................................................................................... 11 

3. Analiza przepływu krwi w tętnicy pacjenta ze zmianami miażdżycowymi. ....................... 12 

3.1. Wstęp teoretyczny i opis modelu. ............................................................................................. 12 

3.2. Implementacja modelu i analiza w programie COMSOL. ................................................. 13 

3.3. Wnioski. ............................................................................................................................................... 16 

2


1. Analiza stanu naprężeń i odkształceń na przykładzie dwuteownika. 

1.1. Wstęp teoretyczny i opis modelu. 

Dwuteownik – element konstrukcyjny o dużej długości i stałym przekroju 

poprzecznym, którego przekrój poprzeczny ma kształt dwóch zetkniętych pionowymi 

kreskami liter 'T' (stąd też jego nazwa). Dwuteowniki wykorzystywane są jako elementy 

nośne w konstrukcjach budowlanych i inżynierskich. 

Rys. 1. Przykładowy dwuteownik z wycięciami zmniejszającymi jego wagę. 

Rys. 2. Przekrój poprzeczny dwuteownika. 

Rys. 3. Przekrój poprzeczny uproszczonego dwuteownika. 

3


Za model przyjmiemy dwuteownik szerokostropowy HEA 320 o długości 1 

wykonany ze stali węglowej klasy St3 ( = 0,22%, = 0,05%, = 0,05%, 

= 0,1%, = 0,35%, = 1,1%, = 0,3%, = 0,3%, = 

0,3%) o współczynnikach zebranych w poniższej tabeli: 

Tabela 1. Dane materiałowe dwuteownika 

parametry h b g s E 

jednostki [mm] [mm] [mm] [mm] [Pa] bezwymiarowa [ ] 

HEA 320 320 310 9 2,25 2 10 0,33 0 

gdzie: - wysokość, – szerokość podstawy, – grubość środnika, – grubość 

podstawy, – moduł Younga, – współczynnik Poissona, – gęstość. 

Analizę odkształcenia przeprowadzimy za pomocą równania Lagrange’a II-go rodzaju 

postaci: 

gdzie: – siła obciążona, – współczynnik zależny od gęstości. 

Siłę zwróconą w dół przykładamy w sposób ciągły na całej górnej powierzchni 

dwuteownika, przyjmujemy 00 [ ] oraz że nasz dwuteownik jest utwierdzony 

nieprzesuwnie na obu końcach. 

1.2. Implementacja modelu i analiza w programie COMSOL. 

Korzystamy z modułów programu: Structural Mechanics Module – Solid Stress 

Structure – Static Analisis. Analiza ma charakter trójwymiarowy. 

Rysunek 1. 1 Projekt dwuteownika 

4


Rysunek 1. 2 Ustawienie obciążenia ciągłego 

Liczba elementów siatki – 21509. 

Rysunek 1. 3 Siatka Mesh 

5


Rysunek 1. 4. Odkształcenie dwuteownika 

Rysunek 1. 5. Wykres naprężeń 

1.3. Wnioski. 

Maksymalne ugięcie dwuteownika wyniosło 0.4 [mm] i wystąpiły one na 

brzegach powierzchni górnej dwuteownika. 

6


2. Analiza przepływu ciepła na podstawie modelu radiatora. 


Radiator – element lub zespół elementów odprowadzających ciepło z elementu, z 

którym się styka, do otoczenia (np. powietrza). Radiator jest specjalnie ukształtowaną 

bryłą z metalu (lub jego stopów) dobrze przewodzącego ciepło o rozwiniętej 

powierzchni od strony powietrza, zazwyczaj w postaci żeber lub prętów by zwiększyć 

powierzchnię przekazywania ciepła. Radiatory wykonuje się najczęściej 

z aluminium i miedzi, czyli tworzyw mających dobre właściwości przewodzenia ciepła. 

W dalszej części skupimy się na radiatorach służących do chłodzenia procesorów 

komputerowych. Wyróżniamy następujące podstawowe systemy chłodzenia: 

1. pasywny – odprowadzanie ciepła przez radiator nie jest w żadne sposób 

wspomagane (poza pastą termoprzewodzącą nakładaną między procesor a radiator). 

2. aktywny – układ pasywny wspomagany jest przez wentylatory wymuszające 

ruch powietrza (tzw. coolery). 

3. chłodzenie wodą – wymiana ciepła odbywa się między procesorem a blokiem 

wodnym, w którym znajduje się zamknięty obieg wody. 

Rysunek 4. Przykładowy pasywny radiator. 

7


Rysunek 5. Przykładowy aktywny radiator. 

Rysunek 6. Układ chłodzony wodą. 

Analizę przewodnictwa ciepła przeprowadzimy za pomocą równania postaci: 

( ) 

gdzie: – współczynnik skalowania w czasie, – gęstość [ 

], – pojemność cieplna 

[ ],, – temperatura [ ], – czas [ ], – tensor przewodności cieplnej [ ], – 

źródło ciepła [ ]. 

Za model przyjmiemy radiator pasywny wykonany w całości z miedzi o wymiarach: 

Tabela 2. Wymiary radiatora 

s h g m 

[mm] [mm] [mm] [g] 

380 450 380 130 

gdzie: s – szerokość, h – wysokość, g – głębokość, m – masa. 

8


Radiator został najpierw schłodzony do temperatury zera absolutnego (0 ), a 

następnie procesor, wykonany w całości z krzemu, został ogrzany do temperatury 

393 . Parametry użyte w obliczeniach zostały zebrane w poniższej tabeli: 

Tabela 3. Dane materiałowe radiatora 

1 8960 385 0 400 


Korzystamy z modułów programu: Heat transfer – Conduction – Transient 

analysis. Analiza ma charakter trójwymiarowy. 

Rysunek 2. 1 Projekt radiatora 

9


Rysunek 2. 2. Ustawienie temperatury procesora 

Rysunek 2. 3 Mesh 

Siatka posiada 106942 elementów. 

10


Rysunek 2. 4 Rozkład temperatury na radiatorze po 30 [s] 

2.3. Wnioski. 

Po 30 sekundach temperatura radiatora znacznie wzrosła (o ok. 1 0 stopni), 

zatem ze względu na dużą powierzchnię radiatora, będzie mógł on sprawnie 

odprowadzać ciepło do otoczenia, tym samym ochładzając procesor. 

11


3. Analiza przepływu krwi w tętnicy pacjenta ze zmianami 

miażdżycowymi. 


Miażdżyca tętnic – przewlekła choroba, polegająca na zmianach zwyrodnieniowowytwórczych 

w błonie wewnętrznej i środkowej tętnic, głównie w aorcie, tętnicach 

wieńcowych i mózgowych, rzadziej w tętnicach kończyn. Miażdżyca polega na 

wysepkowatym gromadzeniu się w błonie wewnętrznej tętnic cholesterolu (i jego 

estrów) oraz innych lipidów. W pierwszym etapie komórki śródbłonka gromadzą 

nadmierne ilości cholesterolu i lipidów, które są przemieszczane pod błonę wewnętrzną 

tętnic. Kolejnym etapem jest wapnienie tych ognisk, prowadzące do miażdżycowego 

stwardnienia tętnic, oraz pojawienie się ubytków śródbłonka nad ogniskiem 

miażdżycowym. W miejscach obnażonych z błony wewnętrznej dochodzi do owrzodzeń 

miażdżycowych, które stają się obszarami przyściennej gromadzenia płytek krwi i 

narastania zakrzepów. 

Rysunek 7. Etapy rozwoju miażdżycy. 

Celem modelu jest ukazanie przepływu krwi i zmian prędkości przepływu przez 

tętnicę, której przekrój poprzeczny zostaje zawężony w wyniku choroby miażdżycowej. 

W programie wykorzystane zostały następujące parametry: 

Tabela 4. Dane przepływu krwi 

0,65 13332,24 3,1 10 1055 

12


gdzie: – średnia prędkość przepływu krwi a tętnicy [ ], – średnie ciśnienie 

krwi w tętnicy [ ], – współczynnik lepkości dynamicznej krwi [ ], – gęstość 

krwi [ ]. 

Analizę przepływu krwi przeprowadzimy za pomocą równania postaci: 

gdzie: – siła, – pole prędkości. 

[ ( ( ) )] 


Korzystamy z modułów program: Fluid Dynamics – Inccompressible Navier 

Stokes – Steady State Analisis. Analiza ma charakter dwuwymiarowy. 

Rysunek 3. 1 Wprowadzenie ustawień materiału 

13


Rysunek 3. 2 Wybór kierunku przepływu krwi 

Rysunek 3. 3 Mesh dla tętnicy bez złogów miażdżycowych 


14


Rysunek 3. 4 Przepływ dla tętnicy bez złogów 

Rysunek 3. 5 Tętnica ze złogami 


15


Rysunek 3. 6 Przepływ krwi 

3.3. Wnioski. 

Złogi miażdżycowe w znaczy sposób modyfikują geometrę przepływu krwi i jego 

prędkość, która zostaje zwiększona aż do maksymalnie 2 [ ], co może prowadzić do 

uszkodzenia tkanek. 

16

Laboratorium – Metoda Elementów Skończonych - tomasz strek ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?