spis treści

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturySPIS TREŚCI1. WSTĘP ........................................................................................................... 22. RÓWNANIA MODELOWANIA W TERMOSPRĘŻYSTOŚCI ............ 42.1. Równania odkształcenia i przemieszczenia ................................................................. 42.2. Prawo Hooke’a ............................................................................................................ 52.3. Uogólnione prawo Hooke’a dla trójosiowego stanu naprężeń. .................................. 52.4. Podstawowe równania ruchu ....................................................................................... 72.5. Równania termosprężystości ....................................................................................... 82.6. Związki liniowe teorii sprężystości zapisane w postaci macierzowej ......................... 92.7. Równanie ruchu zapisane w postaci macierzowej ..................................................... 102.8. Równanie przewodnictwa cieplnego ......................................................................... 123. ŚRODOWISKO METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH .......... 143.1. Metoda elementów skończonych ............................................................................... 143.2. Środowisko COMSOL Multiphysics ......................................................................... 164. ZAŁOŻENIA MODELOWE ..................................................................... 195. WYNIKI NUMERYCZNE SYMULACJI ............................................... 286. PODSUMOWANIE .................................................................................... 40LITERATURA .................................................................................................. 411

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperatury1. WstępPrzedmiotem niniejszej pracy jest symulacja komputerowa odkształcenia układumechanicznego pod wpływem temperatury. Wybór tematu podyktowany byłzainteresowaniami autora związanymi zarówno z metodą elementów skończonych, jaki z chęcia zbadania zmian właściwości fizycznych przykładowego układu poddanegodziałaniu temperatury.Celem pracy jest opracowanie modelu trójwymiarowego dla zbadania odkształceńzachodzących pod wpływem temperatury. Dla tego modelu zadano warunki brzegowew środowisku COMSOL, za pomocą, którego można dokonywać symulacji opartychna metodzie elementów skończonych. Proces symulacji komputerowej odkształcenia podwpływem temperatury wzorowany był na próbie odkształceń na gorąco (Hot DistortationTest) opisany przez Ignaszaka i Popielarskiego [1].Rysunek 1. Test odkształceń na gorąco (Hot Distortation Test) [1]Praca została podzielona na pięć rozdziałów. Rozdział pierwszy stanowiwprowadzenie w tematykę pracy. Drugi rozdział zawiera analizę literaturową zagadnienia.W części tej omówiono problematykę związaną z podstawowymi zagadnieniamitermosprężystości, ugólnionym prawem Hooke’a, a także z równaniem przewodnictwacieplnego, których znajomość jest konieczna do zrozumienia istoty niniejszych badań.Przedstawiono w nim również wyprowadzenie wzorów pozwalających2

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyna przeprowadzenie symulacji komputerowej przy pomocy metody elementówskończonych. Następny rozdział stawnowi krótki opis metody elementów skończonychoraz pakietu symulacyjnego COMSOL Multiphysics. Czwarty rozdział dotyczy opisuproblemu oraz zadanych warunków brzegowych symulacji komputerowych odkształceniaukładu mechanicznego pod wpływem temperatury przeprowadzanego w środowisku MESprogramu COMSOL Multiphysics 3.5. Jako przykładem posłużono się zamodelowanąpróbką ceramicznego materiału porowatego przeznaczonego na formy odlewnicze, którejprzykład także zbadano. Kolejny rozdział stanowi wyniki przeprowadzonych sylmuacjinumerycznych. Sprawdzono zmianę właściwości termo-mechanicznych na przykładzierozkładu temperatur i wielkości odkształcenia badanej próbki, a także bardziej złożonegomodelu jaki stanowi forma odlewnicza. Wnioski końcowe zawarto w zakończeniu pracy.3

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperatury2. Równania modelowania w termosprężystości2.1. Równania odkształcenia i przemieszczeniaCiało stałe podlegające działaniu obciążeń mechanicznych i cieplnych odkształca się.Jego punkty doznają pewnych przemieszczeń, które określamy względem stosownieprzyjętego układu odniesienia. W prostokątnym układzie współrzednych x, y, z,odpowiadające wymienionym osiom składowe przemieszczenia oznaczamy przeważniesymbolami u, v, w. Wyodrębniony myślowo z ciała element prostopadłościennyo długościach krawędzi dx, dy, dz w wyniku małych odkształceń przekształca sięna zblizony do równoległościanu element o dlugościach krawędzi: (1 + ε x )dx, (1 + ε y )dy,(1 + ε z )dz [2].Wielkości ε x , ε y , ε z wyrażają względne zmiany długości wspomnianych krawędzi, dlategonazywane są odkształceniami względnymi. Krawędzie ulegają odkształceniu o stosunkowomałe kąty, wyrażone w mierze łukowej zwane odkształceniami kątowymi, oznaczone jakoγ xy , γ yz , γ zx .Powyższe wielkości nazywane są składowymi stanu odkształcenia. Określają one tensorodkształcenia : = = 2 2 2 2 = 2 = 1 2 + , = 2 = 1 2 + , 2 , ( 2.1 )2 ( 2.2 ) = 2 = 1 2 + .Weźmy pod uwagę prostokątny układ współrzędnych x, y, z i mały elementwyodrębniony z rozpatrywanego ciała stałego przekrojami płaskimi rownołeglymido płaszczyzn wyznaczonych osiami tego układu. Wystepujące na ściankach elementunaprężenia składowe normalne σ x , σ y i σ z oraz styczne τ xy , τ yz i τ zx [1]. Naprężenia te4

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyw danym punkcie ciała określają tensor naprężenia σ, który można przedstawić w postacinastępującej macierzy kwadratowej: = = 2 2 2 2 2 2 . ( 2.3 ) 2.2. Prawo Hooke’aPrawo Hooke’a głosi, że w zakresie małych odkształceń ciała zależności międzynaprężeniami a odpowiadającymi im odkształceniami są liniowe. Dla jednoosiowego stanunaprężenia, zrealizowanego w osiowo rozciąganym pręcie można wyrazić następującymizależnościami: = , ( 2.4 ) ′ = − , ( 2.5 )gdzie:σ – naprężenia normalne w poprzecznym przekroju pręta [MPa],ε, ε’ – odkształcenia liniowe odpowiednio w kierunku wzdłużnym i poprzecznym pręta,E – moduł Younga [Mpa], – współczynnik Poissona.2.3. Uogólnione prawo Hooke’a dla trójosiowego stanu naprężeń.Prawo Hooke’a w ogólnym stanie naprężenia dla materiału izotropowego wyraża sięnastępującymi zależnościami między składowymi stanu naprężenia a składowymi stanuodkształcenia: = 1 − + ,( 2.6 )5

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperatury = 1 − + , = 1 − + , = 2 = , = 2 = , = 2 = , ( 2.7 )gdzie: =21 + , ( 2.8 )to stała materiałowa zwana współczynnikiem sprężystości poprzecznej materiału lubmodułem Kirchoffa [Mpa]Wskutek zmiany temperatury od wartości początkowej T 0 do końcowej T występująw swobodnym od więzów zewnętrznych elemencie ciała równomierne wszechstronneodkształcenia względne liniowe równe − [2].Stosując zasadę superpozycji, dodajemy odkształcenia wywołane naprężeniamiz odkształceniami wywołanymi rozszerzalnością cieplną otrzymując następujące związki: = 1 − + + − , = 1 − + + − ,( 2.9 ) = 1 − + + − .Dodając stronami powyższe równania, otrzymujemy związek między sumą naprężeńnormalnych = + + a sumą odkształceń liniowych = + + : = 3 + 3 − , ( 2.10 )6

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturygdzie: =to moduł objętościowej ściśliwości sprężystej materiału.31 − 2 , ( 2.11 )Na podstawie równań 2.9 i 2.7 można wyrazić odkształcenia, za pomocą naprężeń.Związki te noszą nazwę równań Duhamela-Neumanna: = 2 + 11 − 2 [ − 1 + − ], = 2 + 11 − 2 [ − 1 + − ], = 2 + 11 − 2 [ − 1 + − ], = ,( 2.12 ) = , = .2.4. Podstawowe równania ruchuDla małych odkształceń oraz liniowej zależności między naprężeniamii odkształceniami otrzymamy następujące równanie ruchu:gdzie: − ∇ ∙ = , ( 2.13 ) = [ , , ], ( 2.14 )jest wektorem przemieszczeń.Dla trójosiowego stanu naprężenia powyższe równanie możemy zapisać w następującejpostaci: − − − = , − − − = ,( 2.15 ) − − − = .7

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyDla małych przemieszczeń większość materiałów wykazuje liniowy związek pomiędzynaprężeniem a odkształceniem co można zapisać jako:gdzie: = , ( 2.16 ) – macierz sprężystości, – tensor naprężeń, – tensor małych odkształceń, = 1 2 ∇ + ∇ . ( 2.17 )W materiałach izotropowych występują dwie niezależne stałe materiałowe Lamégo i .Zostały wprowadzone aby uprościć zapis prawa Hooke’a dla materiałów izotropowych: = 1 + 1 − 2 , ( 2.18 ) =21 + . ( 2.19 )Uwzględniając powyższe stałe, wzór (2.9) możemy zapisać w postaci: = ∇ + λ + µ∇∇ ∙ + . ( 2.20 )2.5. Równania termosprężystościRozszerzalność cieplna elementów ośrodka jest jednym z rodzajów odkształcenia.Dla ciała izotropowego odkształcenie termiczne jest wyrażone wzorem:gdzie: = ∆ , ( 2.21 )δ – delta Kroneckera,8

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperatury – temperatura [K].Uwzględniając równania Duhamela-Neumanna (2.12) oraz podstawiając za delteKroneckera I otrzymujemy: = ∇ ∙ + 2 − 3 + 2 − , ( 2.22 )gdzie:I – macierz jednostkowa, – temperatura początkowa [K].Po uproszczeniu otrzymujemy: = −3 + 2∇ ∙ . ( 2.23 )2.6. Związki liniowe teorii sprężystości zapisane w postaci macierzowejRozpatrując zagadnienia liniowej teorii sprężystości, możemy podstawowe związkizapisać w postaci macierzowej. Uwzględniając podstawowy związek międzyodkształceniami i naprężeniami: = , ( 2.15)oraz uwzględniając stałe Lame’go (2.17) i (2.18), będące stałymi zależnościami międzymodułem Younga a współczynnikiem Poissona, a także zapisując macierze odkształceń(2.1) i naprężeń (2.3): = , = . ( 2.24 ) 9

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyMożemy zapisać macierz sprężystości D, która jest inaczej definiowana dla materiałówizotropowych, ortotropowych i anizotropowych. Dla materiałów izotropowych macierz Dprzyjmuje następującą postać: =1 + 1 − 2 1 − 0 0 0 1 − 0 0 0 1 − 0 0 00 0 01 − 220 00 0 0 01 − 220 0 0 0 00 .1 − 22 ( 2.25 )Odwracając macierz D otrzymujemy:1 − − 0 0 0− 1 − 0 0 0 = 1 − − 1 0 0 0 0 0 0 21 + 0 0. 0 0 0 0 21 + 0 0 0 0 0 0 21 + ( 2.26 )2.7. Równanie ruchu zapisane w postaci macierzowejUwzględniając wcześniejsze wzory (2.15, 2.17, 2.18, 2.24, 2.25) opisujące związkiliniowe teorii sprężystości zapisane w postaci macierzowej dochodzimy do ostatecznejformy równania ruchu:gdzie: − ∇∇ = , ( 2.27 )c – jest macierzą opisaną zależnością:10

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperatury = , ( 2.28 ) gdzie:D ij – składowe macierzy sprężystości (2.25).Przekształcenia ze wzoru (2.27) możemy zapisać następująco: ∇ = ∇ ∇ ∇ + ∇ + ∇ = ∇ + ∇ + ∇ ∇ + ∇ + ∇ ( 2.29 ) = = , 11

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperatury = + + + + + + + + + ,( 2.30 ) ∇· ∇ · = ∇ · = ∇· ∇· = . ( 2.31 )Ze względu na izotropowy materiał wiele ze współczynników przujmuje wartości zerowe.2.8. Równanie przewodnictwa cieplnegoPrzewodzenie ciepła jest to wymiana ciepła między częściami ciał bezpośredniostykających się ze sobą. Przebiega zgodnie z prawem Fouriera, które mówi, że gęstośćstrumienia przewodzonego ciepła jest wprost proporcjonalna do gradientu temperaturyw kierunku prostopadłym do powierzchni (izotermicznej). Można je wyrazić związkiemwektorowym:gdzie: = −∇ , ( 2.32 ) - współczynnik przewodzenia ciepła ∙ ,T – temperatura [K].12

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyMatematyczny model wymiany ciepła przez przewodzenie przedstawiony jest za pomocąwzoru:gdzie: + ∇ ∙ −∇ = , ( 2.33 ) – gęstość materiału , – pojemność cieplna przy stałym ciśnieniu ∙ ,Q – wydajność wewnętrznych źródeł cieplnych .13

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperatury3. Środowisko metody elementów skończonychSymulacje komputerowe wymagają stosowania metod numerycznychdo rozwiązywania układów cząstkowych równań różniczkowych określonych na obszaracho skomplikowanych geometriach. Na brzegach tych obszarów zdefiniowane sąodpowiednie warunki brzegowe, a w przypadku zagadnień zależnych od czasuw rozważanym obszarze – również warunki początkowe. Co prawda rośnie wydajnośćobliczeniowa stosowanych komputerów, ale jednocześnie modeluje się i rozwiązuje corazbardziej skomplikowane zagadnienia. Wymaga to rozwoju nie tylko sprzętu, ale równieżoprogramowania, co wiąże się między innymi z opracowywaniem efektywniejszych metodi algorytmów [3].3.1. Metoda elementów skończonychMetoda elementów skończonych jest jedną z metod dyskretyzacji układówgeometrycznych ciągłych. Polega ona na podziale elementu na skończoną liczbępodobszarów, połączonych w tzw. węzłach. Efektem tego jest geometryczny modeldyskretny o skończonej liczbie stopni swobody. Dyskretyzacji ulegają również wszelkieinne wielkości fizyczne, przedstawione w układzie za pomocą funkcji ciągłych, jaknp. obciążenie. Podczas dyskretyzacji określonej wielkości fizycznej dąży siędo maksymalnego zbliżenia jej postaci dyskretnej i ciągłej z zastosowaniem metodaproksymujących.Aby rozwiązać poszczególne zagadnienie mechaniki należy zwrócić uwagę na fizyczneotoczenie układu, wymuszenie oraz utwierdzenie. Są one określane jako warunkibrzegowe układu.Chcąc doprowadzić do uzyskania żądanych wyników z zastosowaniem MES należyutworzyć tzw. macierze sztywności. Najpierw na podstawie wartości współrzędnychwęzłów oraz wartości parametrów fizycznych elementów tworzy się macierze lokalne.Następnie znając macierze sztywności wszystkich elementów, tworzy się macierzsztywności całej struktury, tzw. macierz globalną.14

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyWspółczesny program komputerowy wykorzystujący MES składa się z trzechpodstawowych modułów:• preprocesor – przygotowuje dane dla procesora – odpowiada za przygotowanie geometrii,dobór rodzaju elementów skończonych, dyskretyzację modelu napodobszary, a także przyłożenie warunków brzegowych,• procesor (solver) – wyznacza przemieszczenia węzłów przez rozwiązanie układurównań,• postprocesor – odpowiada za zaprezentowanie użytkownikowi rezultatów obliczeńoraz wspomaganie interpretacji uzyskanych wyników,Przed dyskretyzacją modelu z reguły poddaje się go odpowiedniemu uproszczeniu,podczas którego należy usunąć elementy nieistotne z punktu widzenia analizowanegozjawiska jak na przykład fazy czy otwory. Geometria analizowanych układów może różnićsię od siebie w sposób znaczący. Dlatego też, podczas przygotowywania analizy MESdostępnych jest bardzo wiele rodzajów elementów skończonych (przykładowe naRysunku 2), a do kryteriów ich podziału zaliczyć można:• liczbę wymiarów, którymi można opisać element,• kształt geometryczny,• typ i stopień wielomianu założonej funkcji kształtu elementu skończonego,• liczbę węzłów w elemencie,• rodzaje więzów ogólnych, nałożonych na element skończony,15

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyRysunek 2. Rodzaje elemntów skońconych [3; 4]3.2. Środowisko COMSOL MultiphysicsCOMSOL Multiphysics jest pakietem symulacyjnym, rozwiązującym układynieliniowych równań różniczkowych cząstkowych przy wykorzystaniu metody elementówskończonych w jednym, dwóch lub trzech wymiarach. Jego elastyczność i cechypraktyczne pozwalają skoncentrować się na modelowanych zjawiskach bez koniecznościdużego doświadczenia w użytkowaniu konkretnego programu [4]. Jest on wyposażonyw graficzny interfejs użytkownika (GUI) pozwalający na szybkie i wygodne tworzeniemodeli, uruchamianie symulacji oraz wizualizację wyników. Geometrię modelu możnastworzyć w programie wykorzystując tryb rysowania ( Draw Mode ) lub zaimportowaćz jednego z obsługiwanych programów CAD ( np. ProEnginner ). Dzięki łatwej16

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturymożliwości zmian parametrów czy geometri obiektu można można szybko poznaći zrozumieć wpływ różnych parametrów na zachowanie całego systemu. Ułatwia topóźniejsze przejście do zaawansowanej analizy systemu, projektowania i optymalizacji.Rysunek 3. Startowe okno programu zawierające dostępne modułyCOMSOL Multiphysics pozwala na łatwe badanie, symulowanie i analizowanie złożonychzjawisk zachodzących w modelowanym systemie. Jest stosowany w wielu różnychobszarach zastosowań inżynierskich i naukowych. Zastosowano w nim modelowaniewielodomenowe, które pozwala w badanych systemach opisywać wiele różnych zjawiskfizycznych i modelować je równocześnie. Uzyskane wyniki odzwierciedlają zachowanierzeczywistego systemu.17

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyRysunek 4. Przykładowa symulacja w środowisku COMSOL MultiphysicsPakiet COMSOL zawiera szereg dodatkowych modułów zwiększających funkcjonalnośćcałego pakietu:• AC/DC Module• Acoustics Module• CAD Import Module• Chemical Engineering Module• Earth Science Module• Heat Transfer Module• Material Library• MEMS Module• RF Module• Structural Mechanics Module• Optimalization Lab• Comsol Reaction Engineering Lab.18

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperatury4. Założenia modeloweDo sprawdzania odkszatałceń pod wpływem temperatury posłużono się modelemprostopadłościennej próbki o wymiarach 114 x 26 x 6 mm. Wprowadzono następującezałożenia modelowe:• ciało jest jednorodne, izotropowe,• podlega prawu Hooke’a oraz ulega deformacji w zakresie małych odkształceń,• charakterystyki materiałowe ciała, takie jak moduł sprężystości wzdłużnej E,współczynnik Poissona ν oraz współczynnik rozszerzalności liniowej α są stałew rozpatrywanym przedziale temperatur.Rysunek 5. Model 3D badanej próbkiJest ona wykonana z porowatego materiału ceramiczne – żywicy organicznej, onastępujących właściwościach materiałowych:• = 1500 • = 0.55 ∙ • = 1 + 10 []• = 0.25• = 2.2 − 5 • = 840 ∙ 19

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyDo symulacji odkształcenia badanego elementu w stanie nieustalonym wykorzystanomoduł przepływu ciepła (Heat Transfer Module), a także moduł mechanikii konstrukcji(Structural Mechanics Module) pakietu symulacyjnego COMSOL.Model trójwymiarowy badanej próbki zawiera 3 punkty pomiarowe. Pierwszy z nichumieszczony jest na środku końcowej krawędzi, drugi oraz trzeci na spodzie, oraz górzepola próbki poddanemu „podgrzewaniu”. Oznaczone zostały kolejno jako PT1, PT2 orazPT3. W pierwszym punkcie pomiarowym sprawdzane będzie odkształcenie. Natomiastw pozostałych dwóch będzie rejestrowana temperatura.Rysunek 6. Model 3D, z naniesionymi punktami pomiarowymi PT1, PT2 oraz PT3Rozważany problem termiczno-mechaniczny jest opisany w programie COMSOLprzez następujące równania bezwymiarowe z odpowiednimi warunkami brzegowymii początkowymi:• równanie ruchu w postaci macierzowej (2.27),• równanie wymiany ciepła przez przewodnictwo cieplne (2.33).20

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyW module Structural Mechanics, w którym wprowadzono stałe materiałowe (modułYoung’a, współczynnik Poissona, współczynnik rozszerzalności cieplnej, gęstość), zadanociężar próbce, a także uwzględniono w opcjach rozszerzalność cieplną – ustalając przy tymtemperaturę początkową na 293.15 K.Próbkę jest utwierdzona, poprzez zablokowanie krawędzi biegnącej wzdłuż osi y:Rysunek 7. Badany model z utwierdzoną (Fixed) powierzchnią przebiegającą wzdłuż osi yReszta pozostawiona jest swobodnie, aby próbka mogła ulegać swobodnie odkształceniom:Rysunek 8. Badany model z pozostałymi krawędziami ustalonymi jako swobodne (Free)21

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyW module General Heat Transfer, w którym także wprowadzono stałe materiałowe(gęstość, ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, współczynnik przewodnictwa cieplnego),ustalono temperaturę początkową na 293.15 K.Następnie ustalono warunki brzegowe. Najpierw wybrano powiechnie izolowane cieplnie(Insulation) :Rysunek 9. Zaznaczone powierzchnie izolowane cieplnieW kolejnym zadano przepływ ciepła (Heat Flux), dla odpowiednich powierzchni:Rysunek 10. Zaznaczone powierzchnie z zadanym przepływem ciepła22

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyWprowadzono także dla tych pól odpowiednie stałe: = 0 ,h = 45 ∙ ,T inf = 293.15 [K].Natomiast dla pozostałej powierzchni, która jest ogrzewana także ustalono przepływ ciepła(Heat Flux):Rysunek 11. Zaznaczone powierzchnie z zadanym przepływem ciepłaZmieniono natomiast stałe: = 0 ,h = 150 ∙ ,T inf = 1223.15 [K].23

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyW drugiej części badań symulacji poddano bardziej złożony model. Jest to formaprzeznaczona do odlewania znajdująca się w skrzynce formierskiej. Wykonana jest ona zbadanego wcześniej materiału. Jest ona zalewana ciekłym metalem o temperaturze1223.15 [K].Do badań posłużono się uproszczoną połową modelu rzeczywistego.Rysunek 12. Badana formaW module Structural Mechanics, wprowadzono stałe materiałowe takie same, jakdla wcześniej badanej próbki, a także uwzględniono w opcjach rozszerzalność cieplną –ustalając przy tym temperaturę początkową na 293.15 K.Zablokowano wybrane powierzchnie, przedstawiono na poniższym rysunku poprzez ichutwierdzenie (Fixed). Pozostałe powierzchnie pozostawiono swobodne.24

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyRysunek 13. Utwierdzone powierzchnieJako, że do badań posłużono się połową z jednej z części formy oznaczonopłaszczyzny widoczne na Rysunku 17 jako powierzchnie symetryczne.Rysunek 14. Zaznaczone płaszczyzny symetrii25

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyW drugim wykorzystywanym module – Heat Transfer dla wnęk formy oraz układuwlewowego ustalono przepływ ciepła (Heat Flux).Rysunek 15. Część formy przeznaczona do zalaniaWprowadzono także dla tych pól odpowiednie stałe: = 0 ,h = 150 ∙ ,T inf = 1223.15 [K].26

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyDla pozostałych powierzchni także ustalono przepływ ciepła:Rysunek 16. Przepły ciepła dla zaznaczonych powierzchniZmieniono natomiast stałe: = 0 ,h = 45 ∙ ,T inf = 293.15 [K].27

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperatury5. Wyniki numeryczne symulacjiPrzygotowany model pokryto siatką elementów skończonych. Zastosowano jedne,ze standardowych ustawień trybu Mesh Mode zapewniającą wystarczającą dokładnośćobliczeń.Właściwości wybranej siatki:• Liczba stopni swobody – 8070• Ilość węzłów – 429• Ilość elementów – 1319• Ilość elementów brzegowych – 790Rysunek 17. Badany model pokryty siatkąW ostatnim kroku w parametrach rozwiązywania problemu (Solver Parameters)ustalono przedział czasowy, dla którego szukane zagadnienie ma zostać obliczone dlaprzedziału czasu od 0 do 110 sekund.Następnie zatwierdzono ustawienia uruchamiając tym samym obliczenia zadanejsymulacji.Wyniki zapisano z krokiem 1 sekundy.28

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyUzyskane wyniki zostały przedstawione w programie COMSOL przy pomocyinterfejsu graficznego w postaci odkształconej próbki z naniesionym rozkładem temperaturi odkształceń w formie barwnej bryły.Rysunek 18. Wyniki symulacji badanej próbkiPo prawej stronie ilustracji symulacji znajdują sie dwa barwne wykresy przedstawiającezakres temperatur i odkształceń, dla badanego numerycznie przykładu.29

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyZ punktu pomiarowego oznaczonego jako PT1 odczytano odkształcenia od czasu i natej podstawie stworzono Wykres 1.Wykes 1 – Całkowite odkształcenie od czasuNa podstawie powyższego wykresu można stwierdzić, że odkształcenie próbki na początkugwałtownie wzrasta i w ciągu 15 sekund osiąga wartość maksymalną, która wynosi2,29 · 10 - 3 m. Później wartość ta powoli spada, aby na końcu badanego przedziałuczasowego osiągnąć wartość równą 1,73 · 10 - 3 m.30

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyZ kolejnego punktu pomiarowego oznaczonego jako PT2 sporządzono Wykres 2, napodstawie otrzymanych wartości zmiany temperatury w czasie.Wykres 2 – Zmiana temperatury w czasie w punkcie pomiarowym PT2Na podstawie wykresu można stwierdzić, że temperatura w całym badanym przedzialeczasowym rośnie. Do 8 sekundy gwałtownie rośnie, by później stopniowo coraz wolniejwzrastała, aż do osiągnięcia uprzednio zadanej temperatury 950 o C (1223,15 K).31

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyZ ostatniego punktu pomiarowego PT3 sporządzono analogiczny Wykres 3, jak dla punktupomiarowego PT2.Tabela 3 – Zmiana temperatury w czasie w punkcie pomiarowym PT3Z powyższego wykresu wyrugować można, że temperatura w badanym punkcie spadłaz zadanej uprzednio temperatury otoczenia wynoszącej 20 o C (293,15 K), w ciągu 6sekund do wartości równej około 7,5 o C (280,65 K), by później stopniowo wzrastać, aż doosiągnięcia maksymalnej temperatury wynoszącej 467,75 o C (740,9 K) dla czasu 110sekund, będącego końcem badanego przedziału.32

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyW celu porównania dokładności obliczeń przeprowadzono symulację, dla tegosamego modelu zagęszczając jedynie siatkę elementów skończonych.Właściwości wybranej siatki:• Liczba stopni swobody – 24373• Ilość węzłów – 1228• Ilość elementów – 4342• Ilość elementów brzegowych – 1956Rysunek 19. Badany model pokryty siatkąParametrach rozwiązywania problemu (Solver Parameters) pozostawiono bez zmian.Następnie zatwierdzono ustawienia uruchamiając tym samym obliczenia zadanejsymulacji.33

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyTak jak w przypadku poprzednich badań uzyskano wykres w postaci odkształconejpróbki z naniesionym zakresem temperatur i odkształceń oznaczonych różnymi kolorami.Rysunek 20. Wyniki symulacji badanej próbkiZarówno temperatura maksymalna, jak i wartość odkształceń zmniejszyła się wporównaniu do poprzednich badań wykonanych dla mniej dokładnej siatki.34

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyWartość odkształceń zmieniających się w czasie odczytano z punktu pomiarowegooznaczonego jako PT1, i na tej podstawie stworzono Wykres 1.Wykes 4 – Całkowite odkształcenie od czasuNa podstawie powyższego wykresu można stwierdzić, że odkształcenie próbki na początkugwałtownie wzrasta i w ciągu 21 sekund osiąga wartość maksymalną, która wynosi 2,19 ·10 m - 3 . Później wartość ta powoli spada, aby na końcu badanego przedziału czasowegoosiągnąć wartość równą 1,69 · 10 m - 3 . W porównaniu do poprzedniego rozkładu zmieniłsię czas, w którym osiągnięto maksymalną wartość oraz sama wartość, która nieznaczniezmniejszyła się. Można także zauważyć przesunięcie wykresu w prawą stronę.35

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyZ następnego punktu pomiarowego oznaczonego jako PT2 sporządzono Wykres 2 napodstawie otrzymanych wartości zmiany temperatury w czasie.Wykres 5 – Zmiana temperatury w czasie w punkcie pomiarowym PT2Na podstawie wykresu można stwierdzić, że temperatura w całym badanym przedzialeczasowym rośnie. Do 10 sekundy gwałtownie rośnie, by później stopniowo coraz wolniejwzrastała, aż do osiągnięcia uprzednio zadanej temperatury 950 o C (1223,15 K).36

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyZ ostatniego punktu pomiarowego PT3 sporządzono podobnie jak w przypadku punktupomiarowego PT2 Wykres 3 przedstawiający zmianę temperatury w czasie.Tabela 6 – Zmiana temperatury w czasie w punkcie pomiarowym PT3Z powyższego wykresu wyrugować można, że temperatura w badanym punkcie spadłaz zadanej uprzednio temperatury otoczenia wynoszącej 20 o C (293,15 K), w ciągu 5sekund do wartości równej około 10 o C (283,15 K), by później stopniowo wzrastać, aż doosiągnięcia maksymalnej temperatury wynoszącej 455 o C (728,15 K) dla czasu 110sekund, będącego końcem badanego przedziału.37

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyZamodelowany obiekt pokryto siatką o następujących parametrach.Właściwości wybranej siatki:• Liczba stopni swobody – 84377• Ilość węzłów – 3866• Ilość elementów – 17146• Ilość elementów brzegowych – 3920Rysunek 21. Badany model pokryty siatkąCzas, dla którego miały zostać przedstawione wyniki ustalono na 10 sekund.Następnie zatwierdzono ustawienia uruchamiając tym samym obliczenia zadanejsymulacji.38

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyUzyskane wyniki zostały przedstawione, tak jak w poprzednim badaniu – znaniesionym zakresem odkształceń w formie barwnej bryły.Rysunek 22. Rozwiązanie badanej symulacjiNa podstawie Rysunku 22 można stwiedzić, że odkształcenia koncentrują się wzdłużukładu wlewowego. Tam też osiągają wartości maksymalne wynoszące 1.208 · 10 m - 4 .W pozostałych obszarach odkształcenia w porówaniu do maksymalnych uzyskanychwartości, są stosunkowo niewielkie.39

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperatury6. PodsumowanieW pracy przedstawiono model komputerowej symulacji odkształcenia układumechanicznego pod wpływme temperatury. Modelu ten stworzono w środowiskusymulacyjnym COMSOL Multiphysics, który umożliwia obliczanie różnych parametrówwykorzystując metodę elementów skończonych. W programie tym wykorzystano dwapodstawowe moduły pozwalające wyznaczyć temperaturę podczas nieustalonegoprzepływu ciepła oraz na skutek jej zmiany obliczyć wielkość odkształceń. Do obliczeniakażdej z wymienionych wielkości potrzebna jest znajomość podstawowych właściwościtermomechanicznych, a także warunki brzegowe badanego modelu.Wielkości obliczane przy pomocy programu komputerowego są wyznaczane przypomocy metody elementów skończonych, dlatego do ich obliczenia konieczne byłoprzeprowadzenia podstawowych działań na uprzenio wygenerowanych macierzachsztywności.W rozdziale 5 przedstawiono wyniki przykładowej symulacji odkształcenia układumechanicznego pod wpływem temperatury. W tym celu posłużono się przykładem próbkiceramicznego materiału przeznaczonego na piasek formierski, o zadanych konkretnychwarunkach brzegowych. Pozwoliło to zauważyć pewne zależności definiujące zachowaniesię materiału poddanego działaniu podwyższonej temperatury. W tym celu sprawdzonoprzebieg temperatury oraz odkształceń w czasie, a ich rezultat przedstawiono nawykresach. Zbadano także bardziej złożony przypadek modelu z badanego materiału naprzykładzie formy odlewniczej.W pracy rozpatrywano prostopadłościenną próbkę o wymiarach 114x26x6 mm,utwierdzoną z jednej strony. Zamodelowano także działanie palnika ogrzewającegomatetiał od spodu o temperaturze 1223,15 K. Dla sprawdzenia dokładności wynikówsymulację wykonano dla różnych ilości elementów skończonych. Dzięki gęściejszej siatceuzyskano dokładniejsze wyniki, ale było to okupione znaczym wzrostem czasu obliczeń.Różnice wartości wybranych parametrów były stosunkowo niewielkie.Przeprowadzono także symulację, dla bardziej złożonego obiektu, jakim była formaodlewnicza. Uzyskane niewielkie odkształcenia formy potwierdziły sprawdzone wcześniejdobre właściwości termo-mechaniczne badanego materiału.Na podstawie przeprowadzonych badań symulacji komputerowej odkształceniapróbki pod wpływem temperatury możena stwierdzić, że założony cel pracy zostałosiągnięty.40

Symulacja komputerowa odkształcenia układu mechanicznego pod wpływem temperaturyLiteratura[1] Ignaszak Z., Popielarski P., Heat Transfer during Hot Distortion Test ofCeramic Porous Material Bonded by Various Resins, Defect and DiffusionForum, 2009 nr 3, str. 382-387[2] Orłoś Z. (red.), Naprężenia cieplne, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa1991[3] Stręk T., Analiza wymiany ciepła w płynie ferromagnetycznym zwykorzystaniem metody elementów skończonych, Wydawnictwo PolitechnikiPoznańskiej, Poznań 2008[4] http://www.tobl.krakow.pl/CategoryView.php?categoryId=48[5] Nowacki W., Termosprężystość, Wydawnictwo Polskiej Akademii Nauk,Warszawa 1972[6] Gabryszewski Z., Teoria sprężystości i plastyczności, Oficyna WydawniczaPolitechniki Wrocławskiej, 2001[7] Jakowluk A., Procesy pełzania i zmęczenia w materiałach, WydawnictwoNaukowe-Techniczne, Warszawa 1993[8] Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów, T.2,Wydawnictwo Naukowe-Techniczne, Warszawa 1997[9] Joniak S. (red.), Badania eksperymentalne w wytrzymałości materiałów,Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006[10] Tabor A., Rączka J.S., Projektowanie odlewów i technologii form, Fotobit,Kraków 1998[11] Comsol Multiphysics User’s Guide, Modeling Guide, Documentation Set,Comsol AB, 200841