Linearna algebra 1

Linearna algebra 1 


Vježbe 1 

27.2.2012. 

Vježbe 1 Linearna algebra 1


E 2 - ravnina u kojoj je dan pravokutni koordinatni sustav sa 

središtem u ishodištu O 

A ∈ E 2 ; −→ OA je radij-vektor 

V 2 (O) - skup svih radij-vektora u ravnini 

Za ⃗a ≠ ⃗0 definiramo suprotan radij-vektor −⃗a koji ima isti modul i 

smjer kao ⃗a, ali suprotnu orijentaciju. 



A = (a 1 , a 2 ), B = (b 1 , b 2 ) 

C = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 ) 

−→ 

OA + −→ OB = −→ OC 



Binarna operacija + : V 2 (O) × V 2 (O) → V 2 (O) ima sljedeća 

svojstva: 

1 (⃗a + ⃗ b) + ⃗c = ⃗a + ( ⃗ b + ⃗c) 

asocijativnost 

2 ⃗a + ⃗0 = ⃗0 + ⃗a = ⃗a 

⃗0 je neutralni element za zbrajanje 

3 ⃗a + (−⃗a) = −⃗a + ⃗a = ⃗0 

−⃗a je suprotni element za zbrajanje 

4 ⃗a + ⃗ b = ⃗ b + ⃗a 

komutativnost 



A = (a 1 , a 2 ), −→ OA = ⃗a, α ∈ R 

C = (αa 1 , αa 2 ) 

α⃗a = −→ OC 



Operacija množenja vektora skalarom · : R × V 2 (O) → V 2 (O) ima 

sljedeća svojstva: 

1 α(β⃗a) = (αβ)⃗a 

kvaziasocijativnost 

2 (α + β)⃗a = α⃗a + β⃗a 

distributivnost množenja prema zbrajanju skalara 

3 α(⃗a + ⃗ b) = α⃗a + α ⃗ b 

distributivnost množenja prema zbrajanju 

radij-vektora 

4 1⃗a = ⃗a 

1 je neutralni element za množenje 

V 2 (O) je vektorski prostor. 



Neka su ⃗a, ⃗ b ∈ V 2 (O) kolinearni i ⃗a ≠ ⃗0. Tada postoji jedinstveni 

skalar α ∈ R takav da je 

⃗ b = α⃗a 

⋆ 

Obratno, ako za neke ⃗a, ⃗ b ∈ V 2 (O) i α ∈ R vrijedi ⋆, onda su ⃗a i ⃗ b 

kolinearni. 



Radij-vektori ⃗a, ⃗ b ∈ V 2 (O) su nekolinearni ⇐⇒ α⃗a + β ⃗ b = ⃗0 

⇒ α = β = 0 

Neka su ⃗a i ⃗ b nekolinearni. Tada za svaki ⃗v ∈ V 2 (O) postoje 

jedinstveni skalari α i β takvi da je ⃗v = α⃗a + β ⃗ b. 

Svaki dvočlani skup {⃗a, ⃗ b} čiji su članovi nekolinearni naziva 

se baza vektorskog prostora V 2 (O). 

To znači da se svaki član V 2 (O) može na jedinstven način 

prikazati kao linearna kombinacija elemenata baze. 



Operacije zbrajanja vektora i množenja vektora skalarom u 

prostoru V 3 (O) imaju ista svojstva kao zbrajanje vektora i 

množenje vektora skalarom u prostoru V 2 (O). 

⇒ V 3 (O) je takoder vektorski prostor. 

Kažemo da su radij-vektori −−→ OT 1 , −−→ OT 2 , . . . , −−→ OT n , komplanarni ako 

točke O, T 1 , T 2 , . . . , T n leže u istoj ravnini. 



Radij-vektori ⃗a, ⃗ b,⃗c ∈ V 3 (O) su nekomplanarni ⇐⇒ 

α⃗a + β ⃗ b + γ⃗c = ⃗0 ⇒ α = β = γ = 0 

Neka su ⃗a, ⃗ b i ⃗c nekomplanarni. Tada za svaki ⃗v ∈ V 3 (O) 

postoje jedinstveni skalari α, β i γ takvi da je 

⃗v = α⃗a + β ⃗ b + γ⃗c. 

Svaki skup {⃗a, ⃗ b,⃗c} od tri nekomplanarna radij-vektora naziva 

se baza prostora V 3 (O). 

To znači da se svaki član V 3 (O) može na jedinstven način 

prikazati kao linearna kombinacija elemenata baze. 



Kanonska baza (⃗i,⃗j, ⃗ k) prostora V 3 (O) je trojka jediničnih vektora 

Kartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava. 

Radij-vektor ⃗r = −→ OT = x⃗i + y⃗j + z ⃗ k = (x, y, z). 



Bilo koji vektor ⃗a = −→ AB pri čemu je A = (a 1 , a 2 , a 3 ) i 

B = (b 1 , b 2 , b 3 ) prikazujemo u obliku 

−→ 

AB = (b 1 − a 1 )⃗i + (b 2 − a 2 )⃗j + (b 3 − a 3 ) ⃗ k 

−→ 

AB = −→ OT pri čemu je T = (b 1 − a 1 , b 2 − a 2 , b 3 − a 3 ). 



Zadatak 1. 

Dokažite da vrijede relacije: 

a) (−1)⃗a = −⃗a 

b) (α − β)⃗a = α⃗a − β⃗a 

c) α(⃗a − ⃗ b) = α⃗a − α ⃗ b 

za sve ⃗a, ⃗ b ∈ V 3 (O) i sve α, β ∈ R. 



Zadatak 2. 

Neka je A = (1, 2, 1), B = (1, 1, 0) i C = (0, 1, 1). Ispitajte čine li 

radij-vektori −→ OA, −→ OB i −→ OC bazu prostora V 3 (O). 



Zadatak 3. 

Pokaži da vektori 

−→ i + 

−→ j + 

−→ k 

−→ i + 

−→ j + 2 

−→ k 

−→ i + 2 

−→ j + 3 

−→ k 

tvore bazu za R 3 i prikaži vektor 6 −→ i + 9 −→ j + 14 −→ k u toj bazi. 



Domaća zadaća 

Zadatak 4. 

Pokaži da vektori 

−→ e1 = (2, 1, −3) 

−→ e2 = (3, 2, −5) 

−→ e3 = (1, −1, 1) 

tvore bazu za R 3 i prikaži vektor −→ x = (6, 2, −7) u toj bazi. 



Zadatak 5. 

Koja linearna kombinacija vektora −→ u = (1, 2) i −→ v = (3, 1) daje 

vektor −→ w = (14, 8) 



Zadatak 6. 

a) Neka je { −→ a , −→ b } baza prostora V 2 (O). Pokažite da je tada i 

{ −→ a − −→ b , −→ a + −→ b } jedna baza za V 2 (O). 

b) Odredite nužan i dovoljan uvjet na skalare α, β, γ, δ ∈ R da bi 

skup {α −→ a − β −→ b , γ −→ a + δ −→ b } bio baza za V 2 (O). 



Zadatak 7. 

Opišite sve linearne kombinacije vektora −→ v = (1, 1, 0) i 

−→ w = (0, 1, 1). Pronadite barem jedan vektor koji nije kombinacija 

vektora −→ v i −→ w . 




Zadatak 8. 

Ako su tri vrha paralelograma (1, 1), (4, 2), (1, 3), odredite četvrti 

vrh paralelograma. Skicirajte rješenje(a). 



Zadatak 9. 

Četiri vrha kocke u prostoru imaju kordinate (0, 0, 0), (1, 0, 0), 

(0, 1, 0), (0, 0, 1). Kako glase koordinate preostalih vrhova Koliko 

vrhova bi kocka imala u četverodimenzionalnom prostoru, ako 

tipični vrh ima koordinate (0, 0, 1, 0). 

Rješenje: 

Koordinate preostalih vrhova glase: 

(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1). 

Kocka u R 3 ima 8 vrhova, a u 4D prostoru bi imala 2 4 = 16 

vrhova: (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), 

(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), 

(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1). 



Zadatak 10. 

Četiri vrha kocke u prostoru imaju kordinate (0, 0, 0), (1, 0, 0), 

(0, 1, 0), (0, 0, 1). Kako glase koordinate preostalih vrhova Koliko 

vrhova bi kocka imala u četverodimenzionalnom prostoru, ako 

tipični vrh ima koordinate (0, 0, 1, 0). 

Rješenje: 

Koordinate preostalih vrhova glase: 

(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1). 

Kocka u R 3 ima 8 vrhova, a u 4D prostoru bi imala 2 4 = 16 

vrhova: (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), 

(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), 

(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1). 



Zadatak 11. 

U Kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu odredi točku 

T = (x, y, z) takvu da radij-vektor −→ r točke T ima duljinu 6, da 

zatvara s osi Ox kut od π/4, a s osi Oy kut od π/3, te da je 

aplikata z točke T negativna. 



Zadatak 12. 

Neka su −→ u i −→ v dva nekolinearna radij-vektora u ravnini. Odredite 

sve linearne kombinacije α −→ u + β −→ v uz ograničenja 0 ≤ α ≤ 1 i 

0 ≤ β ≤ 1. 



Zadatak 13. 

Koji vektori u prostoru R 3 su linearna kombinacija vektora −→ u i −→ v , 

ali i vektora −→ v i −→ w Pretpostavite da su −→ u , −→ v i −→ w 

nekomplanarni. 

Rješenje: 

Vektore koji su kolinearni sa vektorom −→ v možemo prikazati kao 

linearnu kombinaciju vektora −→ u i −→ v , ali i vektora −→ v i −→ w . 



Zadatak 14. 

Koji vektori u prostoru R 3 su linearna kombinacija vektora −→ u i −→ v , 

ali i vektora −→ v i −→ w Pretpostavite da su −→ u , −→ v i −→ w 

nekomplanarni. 

Rješenje: 

Vektore koji su kolinearni sa vektorom −→ v možemo prikazati kao 

linearnu kombinaciju vektora −→ u i −→ v , ali i vektora −→ v i −→ w . 



Zadatak 15. 

Neka su O, A, B tri različite točke u ravnini, a A 1 , B 1 takve točke 

da je 

−−→ 

OA 1 = λ −→ OA 

−−→ 

OB 1 = λ −→ OB 

λ ≠ 0 realan broj. Dokažite da je tada −−−→ A 1 B 1 = λ −→ AB. 



Zadatak 16. 

Neka su O, A, B tri medusobno različite točke. Nacrtajte skup svih 

točaka C za koje je 

−→ 

OC = (1 − λ) −→ OA + λ −→ OB 

kad λ ide po skupu realnih brojeva. 



Zadatak 17. 

Dokažite da se težišnice trokuta sijeku u jednoj točki. 




Zadatak 18. 

Dokažite da je točka T koja zadovoljava 

težište trokuta ABC. 

−→ 

OT = 1 3 (−→ OA + −→ OB + −→ OC) 




Zadatak 19. 

Ako u trokutu ABC točke P, Q, R dijele stranice u istim omjerima, 

dokaži da trokuti ABC i PQR imaju isto težište. 

Napomena: 

Iskoristite činjenicu da za težište T trokuta ABC vrijedi 

−→ 

OT = 1 3 (−→ OA + −→ OB + −→ OC) 



Zadatak 20. 

Neka je u trokutu ABC točka P polovište dužine AB, točka R 

takva da je 3 −→ AR = −→ AC, te S polovište dužine PR. U kojem omjeru 

pravac AS dijeli stranicu BC

Linearna algebra 1

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?