Formule

KOMPLEKSNA ANALIZA
• Trigonometrijski oblik kompleksnog broja z = x + iy je:
z = r(cos(ϕ) + isin(ϕ)),
gdje je r = |z| = √ x 2 + y 2 modul, a ϕ argument kompleksnog broja z. Vrijedi: tg(ϕ) = y/x.
• formula za potenciranje kompleksnog broja:
z n = r n · [cos(nϕ) + i · sin(nϕ)] .
• formula za korjenovanje kompleksnog broja:
n√ √ (
z =
n
r cos ϕ + 2kπ + i · sin ϕ + 2kπ )
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
n
n
• kriteriji konvergencije redova komleksnih brojeva:
∣ – D’Alambertov kriterij: ako postoji ρ = lim
z n+1 ∣∣∣
n→∞ ∣ z n
⇒ ρ < 1 - red apsolutno konvergira; ρ > 1 - red
apsolutno divergira; ρ = 1 - kriterij ne daje odluku.
√
n
– Cauchyjev kriterij: ako postoji ρ = lim |zn|
n→∞
⇒ ρ < 1 - red apsolutno konvergira; ρ > 1 - red
apsolutno divergira; ρ = 1 - kriterij ne daje odluku.
• Elementarne funkcije u polju kompleksnih brojeva
– Eksponencijalna funkcija ima sljedeća svojstva:
1. e z 1+z 2 = e z 1 · e z 2,
2. e 2πi = 1,
3. Periodička je s periodom 2πi, tj. e z+2kπi = e z · e 2kπi = e z , ∀k ∈ Z.
– Trigonometrijske funkcije
– Hiperboličke funkcije
– Logaritamska funkcija
sin z = eiz − e −iz
2i
; cos z = eiz + e −iz
2
; tg z = sin z
cos z ;
sh z = ez − e −z
; ch z = ez + e −z
; th z = sh z
2
2
ch z ;
cos z
ctg z =
sin z .
ch z
cth z =
sh z .
Ln z = ln |z| + i Arg z = ln |z| + i(arg z + 2kπ), k ∈ Z,
gdje je ln |z| realna logaritamska funkcija pozitivnog realnog broja |z|.
Za k = 0 dobivamo glavnu vrijednost argumenta, tj. vrijednost arg z, odnosno glavnu vrijednost kompleksnog
logaritma:
ln z = ln |z| + i arg z.
– Opća potencija z ↦→ z a i opća eksponencijalna funkcija z ↦→ a z , gdje je a ∈ C\{0}, definiraju se sljedećim
formulama:
z a = e a·Ln z ,
a z = e z·Ln a .
• Funkcija f : G → C je diferencijabilna u točki z 0 ∈ G, ako postoji
• Cauchy - Riemannovi uvjeti:
• Laplaceova diferencijalna jednadžba:
f ′ ∆f
(z) = lim
∆z→0 ∆z = lim ∆z→0
∂u
∂x = ∂v
∂y ,
f(z + ∆z) − f(z)
.
∆z
∂u
∂y = − ∂v
∂x .
∂ 2 ψ
∂x 2 + ∂2 ψ
∂y 2 = 0.
TEORIJA VJEROJATNOSTI
◮
Uvjetna vjerojatnost i nezavisnost. Formula potpune vjerojatnosti. Bayesova formula.
Definicija 1 Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor i A ∈ F takav da je P (A) > 0. Funkciju P A : F → [0, 1] definiranu
P (A ∩ B)
izrazom P A (B) = P (B|A) = , za B ∈ F nazivamo uvjetnom vjerojatnošću dogadaja B uz dani dogadaj A.
P (A)
1

Definicija 2 Konačna ili prebrojiva familija (H i , i ∈ N) ⊆ F u vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) je potpuna familija ili
potpun sistem dogadaja ako vrijedi: 1. H i ≠ ∅, ∀i ∈ N; 2. H i ∩ H j = ∅, i ≠ j; 3.
∞⋃
H i = Ω.
i=1
Teorem 1 Formula potpune vjerojatnosti: Neka je (H i , i ∈ N) potpuna familija dogadaja u vjerojatnosnom prostoru
∑
(Ω, F, P ). Tada za dogadaj A ∈ F vrijedi: P (A) = ∞ P (A|H i ) · P (H i ).
i=1
Teorem 2 Bayesova formula: Neka je (H i , i ∈ N) potpuna familija dogadaja na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) i
neka je A ∈ F takav da je P (A) > 0. Tada vrijedi: P (H i |A) = ∑
P (H i)·P (A|H i )
j P (H j )·P (A|H j ).
Napomena 1 Primjenom formule potpune vjerojatnosti slijedi jasniji zapis Bayesove formule: P (H i |A) = P (H i)·P (A|H i )
=
P (A)
P (A∩H i )
. Jasno je da Bayesova formula služi za izračunavanje vjerojatnosti pojedinih hipoteza ukoliko je poznato da se
P (A)
ostvario dani dogadaj A.
◮ Diskretna slučajna varijabla
Napomena 2 Diskretnu slučajnu varijablu zadajemo tako da zadamo diskretan skup D = {x 1 , x 2 , ...} i konkretne vrijednosti
p n = P (X = x n), što zapisujemo u obliku tablice:
( )
x1 x 2 . . . x n . . .
X =
.
p 1 p 2 . . . p n . . .
Ovu tablicu nazivamo distribucija ili zakon razdiobe slučajne varijable X. Distribucija ima sljedeća svojstva: 1. x i ≠ x j
za i ≠ j; 2. p i 0, ∀i; 3. ∑ ∞
i=1 p i = 1.
◮ Funkcije distribucije diskretnih slučajnih varijabli
Definicija 3 Neka je X slučajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ). Funkcija distribucije od X jest funkcija
F X : R → [0, 1] definirana sa F X (x) = P (X ∈ 〈−∞, x]) = P (X ≤ x), x ∈ R.
◮ Neprekidne slučajne varijable
Definicija 4 Slučajnu varijablu X na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) za koju je slika R(X) neprebrojivo beskonačan
skup i za koju postoji nenegativna funkcija f : R → R sa svojstvima: 1. P (X ≤ a) = P (X ∈ 〈−∞, a]) =
a∫
f(x)dx, ∀x ∈
−∞
R(X); 2. f(x) = 0, ∀x /∈ R(X) zovemo neprekidna slučajna varijabla. Funkciju f(x) zovemo funkcija gustoće neprekidne
slučajne varijable.
Napomena 3 Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva:
1. Nenegativnost: f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R; 2. Normiranost:
◮ Funkcije distribucije neprekidnih slučajnih varijabli
+∞ ∫
f(x)dx = 1.
−∞
Definicija 5 Ako je X neprekidna slučajna varijabla onda postoji nenegativna funkcija f : R → R za koju vrijedi: P (X ≤
x) =
x∫
−∞
f(t)dt. Tada funkciju destribucije neprekidne slučajne varijable definiramo na sljedeći način:
◮
Matematičko očekivanje, varijanca i momenti
F X (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
f(t)dt.
Definicija 6 Neka je X slučajna varijabla na diskretnom vjerojatnosnom prostoru (Ω, P(Ω), P ) i r strogo pozitivan realan
broj. Tada možemo definirati:
• r-ti moment µ r: µ r = E[X r ∑
] = ∞ x r i p i, ukoliko E[X r ] postoji.
i=1
• r-ti centralni moment m r: m r = E [(X − E[X]) r ], ukoliko E[X] postoji.
Definicija 7 Drugi centralni moment nazivamo varijancom slučajne varijable X: V arX = E [ (X − E[X]) 2] = E[X 2 ] −
(E[X]) 2 .
◮ Neprekidna slučajna varijabla
Definicija 8 Za strogo pozitivan realan broj r definiramo:
∞∫
• r-ti moment µ r: E[X r ] = x r f X (x)dx, ukoliko E[X r ] postoji.
−∞
∞∫
• r-ti centralni moment m r: E [(X − E[X]) r ] = (x − E[X]) r f X (x)dx, ukoliko E[X] postoji.
−∞
Napomena 4 Varijanca (drugi centralni moment) neprekidne slučajne varijable definirana je na sljedeći način:
V arX =
∫ ∞
−∞
(x − E[X]) 2 f X (x)dx.
2