Základnà poznatky z matematiky - Student na prahu 21. stoletÃ
Základnà poznatky z matematiky - Student na prahu 21. stoletÃ
Základnà poznatky z matematiky - Student na prahu 21. stoletÃ
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY<br />
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově<br />
Výukové materiály z <strong>matematiky</strong> pro vyšší gymnázia<br />
Autoři projektu <strong>Student</strong> <strong>na</strong> <strong>prahu</strong> <strong>21.</strong> století - využití ICT ve<br />
vyučování <strong>matematiky</strong> <strong>na</strong> gymnáziu<br />
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ<br />
Tento projekt je spolufi<strong>na</strong>ncován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky<br />
Prostějov 2009
2 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Úvod<br />
Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučová<strong>na</strong> v osnovách<br />
a tematických plánech <strong>na</strong> gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny<br />
střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické<br />
vybavení a zázemí.<br />
Cílová skupi<strong>na</strong>:<br />
Podle chápání a schopností studentů je stanove<strong>na</strong> úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových<br />
materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se<br />
nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí <strong>na</strong>šich výukových materiálů<br />
částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového<br />
studia.
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 3<br />
Obsah<br />
Číselné obory 1 ........................................................................................................................... 7<br />
Přirozená čísla ........................................................................................................................ 7<br />
Celá čísla ................................................................................................................................ 9<br />
Racionální čísla .................................................................................................................... 10<br />
Reálná čísla .......................................................................................................................... 12<br />
Číselná osa ............................................................................................................................ 14<br />
Číselné obory 1 ................................................................................................................. 15<br />
Varianta A ........................................................................................................................ 15<br />
Číselné obory 1 ................................................................................................................. 17<br />
Varianta B ........................................................................................................................ 17<br />
Číselné obory 1 ................................................................................................................. 19<br />
Varianta C ........................................................................................................................ 19<br />
Číselné obory 2 ......................................................................................................................... 21<br />
Druhá odmocni<strong>na</strong> ................................................................................................................. 21<br />
Třetí odmocni<strong>na</strong> ................................................................................................................... 22<br />
Absolutní hodnota reálného čísla ......................................................................................... 23<br />
Číselné obory 2 ................................................................................................................. 24<br />
Varianta A ........................................................................................................................ 24<br />
Číselné obory 2 ................................................................................................................. 26<br />
Varianta B ........................................................................................................................ 26<br />
Číselné obory 2 ................................................................................................................. 28<br />
Varianta C ........................................................................................................................ 28<br />
Pravoúhlý trojúhelník ............................................................................................................... 30<br />
Pythagorova věta .................................................................................................................. 30<br />
Goniometrické funkce pravého úhlu .................................................................................... 31<br />
Pravoúhlý trojúhelník ....................................................................................................... 33
4 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Varianta A ........................................................................................................................ 33<br />
Pravoúhlý trojúhelník ....................................................................................................... 35<br />
Varianta B ........................................................................................................................ 35<br />
Pravoúhlý trojúhelník ....................................................................................................... 37<br />
Varianta C ........................................................................................................................ 37<br />
Mocniny s přirozeným mocnitelem ...................................................................................... 39<br />
Mocniny s celým mocnitelem .............................................................................................. 41<br />
Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem .................................................................... 42<br />
Varianta A ........................................................................................................................ 42<br />
Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem .................................................................... 44<br />
Varianta B ........................................................................................................................ 44<br />
Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem .................................................................... 46<br />
Varianta C ........................................................................................................................ 46<br />
Základní množinové pojmy .................................................................................................. 48<br />
Intervaly ............................................................................................................................... 51<br />
Zobrazení .............................................................................................................................. 52<br />
Množiny a zobrazení ........................................................................................................ 53<br />
Varianta A ........................................................................................................................ 53<br />
Množiny a zobrazení ........................................................................................................ 55<br />
Varianta B ........................................................................................................................ 55<br />
Množiny a zobrazení ........................................................................................................ 57<br />
Varianta C ........................................................................................................................ 57<br />
Výrazy .................................................................................................................................. 59<br />
Mnohočleny .......................................................................................................................... 60<br />
Mnohočleny ...................................................................................................................... 62<br />
Varianta A ........................................................................................................................ 62<br />
Mnohočleny ...................................................................................................................... 64
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 5<br />
Varianta B ........................................................................................................................ 64<br />
Mnohočleny ...................................................................................................................... 66<br />
Varianta C ........................................................................................................................ 66<br />
Lomené výrazy ......................................................................................................................... 68<br />
Krácení a rozšiřování lomených výrazů ............................................................................... 68<br />
Sčítání a násobení lomených výrazů .................................................................................... 69<br />
Dělení lomených výrazů ....................................................................................................... 70<br />
Složený lomený výraz .......................................................................................................... 71<br />
Lomené výrazy ................................................................................................................. 72<br />
Varianta A ........................................................................................................................ 72<br />
Lomené výrazy ................................................................................................................. 74<br />
Varianta B ........................................................................................................................ 74<br />
Lomené výrazy ................................................................................................................. 77<br />
Varianta C ........................................................................................................................ 77<br />
Elementární teorie čísel ............................................................................................................ 80<br />
Zápisy přirozených čísel, násobek a dělitel čísla ................................................................. 80<br />
Z<strong>na</strong>ky dělitelnosti ................................................................................................................. 82<br />
Prvočísla a čísla složená ....................................................................................................... 84<br />
Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek ....................................................... 85<br />
Elementární teorie čísel .................................................................................................... 86<br />
Varianta A ........................................................................................................................ 86<br />
Elementární teorie čísel .................................................................................................... 88<br />
Varianta B ........................................................................................................................ 88<br />
Elementární teorie čísel .................................................................................................... 90<br />
Varianta C ........................................................................................................................ 90<br />
Výroky ...................................................................................................................................... 92<br />
Výrok a jeho negace ............................................................................................................. 92
6 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Složené výroky ..................................................................................................................... 94<br />
Důkazy matematických vět .................................................................................................. 97<br />
Výroky .............................................................................................................................. 98<br />
Varianta A ........................................................................................................................ 98<br />
Výroky ............................................................................................................................ 100<br />
Varianta B ...................................................................................................................... 100<br />
Výroky ............................................................................................................................ 102<br />
Varianta C ...................................................................................................................... 102
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 7<br />
Číselné obory 1<br />
Přirozená čísla<br />
Slouží k vyjádření počtu, oz<strong>na</strong>čení- , { }<br />
Pro každá tři přirozená čísla platí:<br />
1.) Součet je přirozené číslo (U)<br />
Součin je přirozené číslo<br />
2.) (K)<br />
3.) ( ) ( ) (A)<br />
( ) ( )<br />
4.) (N)<br />
5.) ( ) (D)<br />
Všimněte si nápadné obdoby vlastností sčítání a násobení zapsaných v prvních šesti řádcích.<br />
Oz<strong>na</strong>čení v posledním sloupci z<strong>na</strong>mená:<br />
(U)… věty o uzavřenosti oboru vzhledem ke sčítání a násobení (součtem a stejně tak<br />
součinem libovolných přirozených čísel je vždy přirozené číslo)<br />
(K)… věty o komutativnosti sčítání a násobení (pořadí sčítanců při součtu, resp. pořadí<br />
činitelů při násobení můžeme zaměnit)<br />
(A)… věty o asociativnosti sčítání a násobení (sčítance při součtu, resp. činitele při násobení<br />
můžeme libovolně sdružovat)<br />
(N)… věta o neutrálnosti čísla 1 vzhledem k násobení (číslo 1 je neutrálním prvkem<br />
vzhledem k operaci násobení přirozených čísel)<br />
(D)… věta o distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání (násobíme-li číslem součet dvou<br />
nebo více čísel, vynásobíme tímto číslem každého sčítance)
8 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Rozdíl dvou přirozených čísel je to přirozené číslo , pro které platí .<br />
Podíl dvou přirozených čísel je to přirozené číslo , pro které platí .<br />
Mocni<strong>na</strong> dvou přirozených čísel je to přirozené číslo, které je součinem činitelů<br />
rov<strong>na</strong>jících se číslu .
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 9<br />
Celá čísla<br />
Vyjadřují změny počtů (přírůstky, úbytky). Oz<strong>na</strong>čení- , { }<br />
Pro každá tři celá čísla<br />
platí:<br />
1.) Součet je celé číslo (U)<br />
Součin je celé číslo<br />
2.) (K)<br />
3.) ( ) ( ) (A)<br />
( ) ( )<br />
4.) (N)<br />
5.) ( ) (D)<br />
Ke každému celému číslu existuje takové celé číslo ( ), že platí ( ) . Čísla a<br />
( ) se <strong>na</strong>zývají čísla <strong>na</strong>vzájem opačná. Opačné číslo ke kladnému číslu je číslo záporné.<br />
Opačné číslo k zápornému číslu je číslo kladné. Opačné číslo k číslu nula je číslo nula.<br />
Při počítání s opačnými čísly postupujeme podle těchto pravidel:<br />
( ) ( )<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
… neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání<br />
… neutrální prvek vzhledem k operaci násobení
10 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Racionální čísla<br />
Používají se k vyjádření dílů, částí. Oz<strong>na</strong>čení { ̅ }. Jsou to všech<strong>na</strong><br />
čísla, která lze vyjádřit ve tvaru zlomku , kde je číslo celé a je číslo přirozené.<br />
Zlomek je v základním tvaru, pokud<br />
jsou nesoudělná čísla.<br />
Pro každá tři racionální čísla<br />
platí:<br />
1.) Součet je racionální číslo<br />
Součin je racionální číslo<br />
2.) Rozdíl je racionální číslo (U)<br />
Podíl , kde , je racionální číslo<br />
3.) (K)<br />
4.) ( ) ( ) (A)<br />
( ) ( )<br />
5.) (N)<br />
6.) ( ) (D)<br />
Obor racionálních čísel je uzavřený vzhledem ke sčítání, odčítání, násobení a dělení (s<br />
výjimkou dělení nulou).<br />
Racionální čísla zapsaná zlomky<br />
v základním tvaru porovnáváme <strong>na</strong> základě<br />
srovnání součinů :<br />
, právě když ,<br />
, právě když ,<br />
, právě když .
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 11<br />
Pro libovolná dvě racionální čísla<br />
platí:<br />
, kde<br />
Racionální čísla můžeme zapisovat ve tvaru<br />
- Zlomku<br />
- Desetinného čísla<br />
- Nekonečného periodického desetinného rozvoje s vyz<strong>na</strong>čenou periodou<br />
Desetinným číslem se rozumí racionální číslo, které lze zapsat zlomkem , kde je celé<br />
číslo a<br />
je přirozené číslo. Je to tedy číslo s konečným desetinným rozvojem.<br />
Periodická čísla:<br />
̅̅̅̅<br />
perioda<br />
̅̅̅̅ předperioda; perioda<br />
Smíšené číslo je zápis pro čísla větší než 1 <strong>na</strong>př. (jed<strong>na</strong> celá a dvě třetiny), ,…
12 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Reálná čísla<br />
Reálnými čísly <strong>na</strong>zýváme čísla, která jsou velikostmi úseček (při zvolené jednotkové úsečce),<br />
čísla k nim opačná a nulu.<br />
Každé reálné číslo je <strong>na</strong> číselné ose znázorněno právě jedním bodem.<br />
Každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla.<br />
Oz<strong>na</strong>čení-<br />
… iracionální čísla<br />
Iracionální čísla nelze zapsat ve tvaru , kde je číslo celé a je číslo přirozené. Lze je<br />
charakterizovat typickou vlastností jejich zápisu v desítkové soustavě.<br />
Iracionální čísla lze zapsat jenom takovým desetinným rozvojem, který je nekonečný a<br />
neperiodický.<br />
Zaokrouhlování čísel:<br />
Číslo zaokrouhlíme <strong>na</strong> místo daného řádu tak, že vynecháme všechny číslice, které jsou<br />
vpravo od číslice <strong>na</strong> místě daného řádu, a je-li první z vynechaných číslic<br />
a) menší než 5, pak všechny ponechané číslice se nemění,<br />
b) rov<strong>na</strong> nebo větší než 5, pak číslu tvořenému ponechanými číslicemi přičteme jednu<br />
jednotku nejmenšího ponechaného řádu.<br />
Čísla zaokrouhlujeme <strong>na</strong> místa určitého řádu nebo <strong>na</strong> daný počet platných číslic.<br />
Platné číslice daného reálného čísla jsou všechny číslice v zápisu tohoto čísla od první<br />
nenulové číslice zleva až po poslední zapsanou číslici vpravo. Např. čísla:<br />
mají tři platné číslice<br />
mají dvě platné číslice<br />
mají jednu platnou číslici.
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 13<br />
Pro každá tři reálná čísla<br />
platí:<br />
Jestliže a zároveň , pak .<br />
Jestliže a zároveň , pak .<br />
Jestliže a zároveň , pak .<br />
Jestliže a je libovolné reálné číslo, pak .<br />
Pro každá čtyři reálná čísla<br />
platí:<br />
Jestliže a zároveň , pak .<br />
V průběhu studia <strong>matematiky</strong> se setkáváme se zápisy:<br />
… množi<strong>na</strong> všech celých nezáporných čísel, tj. množi<strong>na</strong> všech přirozených čísel<br />
sjednoce<strong>na</strong> s množinou { }<br />
… množi<strong>na</strong> všech celých záporných čísel, tj. množi<strong>na</strong> { }<br />
… množi<strong>na</strong> všech kladných reálných čísel<br />
… množi<strong>na</strong> všech nezáporných reálných čísel, tj. množi<strong>na</strong> všech kladných reálných čísel<br />
sjednoce<strong>na</strong> s množinou { }
14 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Číselná osa<br />
Číselná osa je přímka, <strong>na</strong> které zvolen počátek a jednotka.<br />
Na číselnou osu zobrazujeme obrazy reálných čísel. Každému reálnému číslu odpovídá <strong>na</strong><br />
číselné ose právě jeden bod a <strong>na</strong>opak.
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 15<br />
Číselné obory 1<br />
Varianta A<br />
Příklad: Vypočtěte s využitím matematických zákonů a pravidel:<br />
a)<br />
b)<br />
c) ( ) ( )<br />
d) ( ) ( )<br />
Řešení:<br />
a) ( ) ( )<br />
b) ( )<br />
c) ( ) ( )<br />
d) ( ) ( ) ( )<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
16 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Vypočítejte:<br />
a) ( ) ( ) b) ( ) ( )<br />
c) ( ) ( ) d) ( ) ( )<br />
2) Seřaďte daná čísla od nejmenšího k největšímu:<br />
a) b)<br />
3) Vypočítejte a výsledek zapište desetinným číslem:<br />
a) ( ) b) ( ) ( )<br />
4) Pro která čísla je součin ( ) roven nule<br />
Výsledek řešení:<br />
1.) a) , b) , c) , d)<br />
2) a) , b)<br />
3.) a) , b)<br />
4.)
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 17<br />
Číselné obory 1<br />
Varianta B<br />
Příklad: Uspořádejte vzestupně racionální čísla .<br />
Řešení:<br />
a) 1. způsob- daná čísla vyjádříme desetinnými rozvoji<br />
̅ ̅ … rozhoduje počet setin<br />
… rozhoduje počet tisícin<br />
Závěr:<br />
b) 2. způsob- daná čísla vyjádříme zlomky<br />
;<br />
Porovnáme a :<br />
, to z<strong>na</strong>mená, že<br />
Porovnáme a :<br />
, to z<strong>na</strong>mená, že<br />
Závěr:<br />
Některá racionální čísla (větší než jed<strong>na</strong> nebo menší než minus jed<strong>na</strong>) zapisujeme jako<br />
smíšená čísla. Například číslo<br />
, které je zapsáno zlomkem v základním tvaru, můžeme<br />
zapsat jako smíšené číslo<br />
(čteme: dvě a tři třináctiny, nikoli dvě krát tři třináctiny).<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
18 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Příklady k procvičení:<br />
1)<br />
a) Zapište smíšená čísla a jako zlomky.<br />
b) Zapište zlomky a jako smíšená čísla.<br />
2) Daná racionální čísla zapište zlomkem v základním tvaru:<br />
a) b)<br />
3) Uspořádejte daná racionální čísla od nejmenšího k největšímu:<br />
a) b)<br />
4) Uspořádejte daná racionální čísla od nejmenšího k největšímu:<br />
a) b)<br />
Výsledek řešení:<br />
1.) a) , b)<br />
2.) a) , b)<br />
3.) a) , b)<br />
4.) a) , b)
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 19<br />
Číselné obory 1<br />
Varianta C<br />
Příklad: Rozhodněte, které z čísel π a √ je větší.<br />
Řešení:<br />
Napíšeme desetinná čísla, kterými <strong>na</strong>hradíme daná iracionální čísla.<br />
π ̇ √ ̇<br />
Číslo √<br />
má větší počet desetitisícin než číslo π, je tedy větší.<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
20 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Uspořádejte podle velikosti daná reálná čísla:<br />
a)<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√<br />
b) √<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√<br />
2) Převráceným číslem k reálnému číslu se <strong>na</strong>zývá reálné číslo ̅, pro něž platí ̅ .<br />
Rozhodněte, zda existuje ke každému reálnému číslu číslo převrácené. Určete převrácená<br />
čísla k číslům:<br />
√ √<br />
̅<br />
3) Vypočtěte a výsledek zapište jako desetinné číslo:<br />
a) ( ) ( ) b) ( )<br />
4) Vypočtěte co nejúsporněji a výsledek vyjádřete desetinným číslem:<br />
a)<br />
[( ) ( )]<br />
b)<br />
[( ) ( )]<br />
Výsledek řešení:<br />
1.) a)<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√<br />
, b) √<br />
√ √<br />
2.) Existuje ke každému reálnému číslu s výjimkou nuly<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√<br />
3.) a) , b)<br />
4.) a) ̅̅̅̅, b)<br />
neexistuje;<br />
√<br />
√
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 21<br />
Číselné obory 2<br />
Druhá odmocni<strong>na</strong><br />
Druhá odmocni<strong>na</strong> z nezáporného reálného čísla<br />
Věta:<br />
K jeho oz<strong>na</strong>čení užíváme symbol √ .<br />
je takové nezáporné číslo , pro které platí<br />
Pro každá dvě nezáporná reálná čísla<br />
platí:<br />
√ √ √ √ √<br />
√<br />
√<br />
√ ,<br />
pro<br />
Druhá odmocni<strong>na</strong> je definová<strong>na</strong> pouze z nezáporného reálného čísla. Ji<strong>na</strong>k řečeno, druhé<br />
odmocniny ze záporných čísel (<strong>na</strong>př. √ √ apod.) nejsou definovány v oboru<br />
reálných čísel. Později tuto definici rozšíříme zavedením čísel komplexních.<br />
Druhá odmocni<strong>na</strong> z nezáporného čísla je vždy nezáporné číslo, <strong>na</strong>př. √<br />
, i když<br />
, a rovněž ( ) . Symbol √ musí být jednoz<strong>na</strong>čný, tj. musí oz<strong>na</strong>čovat právě<br />
jedno číslo. Stručně lze zapsat: pro každé je √ .
22 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Třetí odmocni<strong>na</strong><br />
Třetí odmocni<strong>na</strong> z nezáporného reálného čísla<br />
. K jeho oz<strong>na</strong>čení užíváme symbol √ .<br />
je takové nezáporné číslo , pro něž platí<br />
Věta:<br />
Pro každá dvě nezáporná reálná čísla<br />
platí:<br />
√ √ √ √ √<br />
√<br />
√<br />
√ , pro<br />
Usměrňování zlomků:<br />
Usměrnit zlomek z<strong>na</strong>mená odstranit odmocniny ze jmenovatele zlomku.
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 23<br />
Absolutní hodnota reálného čísla<br />
Absolutní hodnotu | | reálného čísla<br />
definujeme takto:<br />
Je-li , pak | | ,<br />
Je-li , pak | | .<br />
Věta:<br />
1.) Pro každé reálné číslo platí √ | |.<br />
2.) Absolutní hodnota každého reálného čísla je rov<strong>na</strong> vzdálenosti obrazu tohoto čísla <strong>na</strong><br />
číselné ose od počátku.<br />
3.) Vzdálenost obrazů reálných čísel <strong>na</strong> číselné ose je rov<strong>na</strong> | |.<br />
4.) Pro platí | | | |<br />
Geometrická interpretace absolutní hodnoty
24 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Číselné obory 2<br />
Varianta A<br />
Příklad: Vypočtěte:<br />
a) √ b) √ c) √ √ d) √<br />
Řešení:<br />
e) √ f) √<br />
a) √ √ √<br />
b) √ √ √ √ √<br />
c) √ √ √ √ √ √<br />
d) √ √<br />
e) √ √<br />
f) √ √<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 25<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Vypočítejte zpaměti druhé odmocniny z čísel:<br />
a) ) b) c)<br />
2) Rozhodněte, zda platí následující rovnosti. Své rozhodnutí zdůvodněte:<br />
a) √ b) √ c) √( )<br />
3) Rozhodněte, zda platí (své rozhodnutí zdůvodněte):<br />
a) √ b) √ c) √<br />
4) Vypočtěte:<br />
a) √ b) √ c) √<br />
Výsledek řešení:<br />
1.) a) , b) , c)<br />
2) a) platí, a je nezáporné číslo, b) neplatí, c) neplatí. Druhá<br />
odmocni<strong>na</strong> je vždy nezáporné číslo.<br />
3.) a) platí, a je nezáporné číslo, b) neplatí, třetí odmocni<strong>na</strong><br />
je vždy nezáporné číslo, c) platí, a i jsou nezáporná čísla<br />
4.) a) 0,09, b) 0,2, c) 3
26 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Číselné obory 2<br />
Varianta B<br />
Příklad: Usměrněte zlomky:<br />
a) √<br />
b) √ √<br />
c)<br />
Řešení:<br />
√<br />
a) √ √<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√ √<br />
b) √ √ √ √ √ √<br />
(√ √ )<br />
(√ √ )<br />
c)<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√<br />
√<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 27<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Usměrněte zlomky:<br />
a)<br />
√<br />
b)<br />
√<br />
2) Upravte výrazy:<br />
a) √ √ b) √<br />
√<br />
3) Usměrněte zlomky:<br />
a) √<br />
b)<br />
√<br />
4) Usměrněte zlomky:<br />
a)<br />
√<br />
b)<br />
√<br />
Výsledek řešení:<br />
1.) a)<br />
√ , b)<br />
√<br />
2.) a) , b)<br />
3.) a) √ , b) √<br />
4.) a) √ , b) √
28 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Číselné obory 2<br />
Varianta C<br />
Příklad: Na číselné ose znázorněte obrazy všech reálných čísel , pro která platí:<br />
a) | | b) | |<br />
c) | | d) | |<br />
Řešení:<br />
Zápis | | z<strong>na</strong>mená, že máme <strong>na</strong> číselné ose <strong>na</strong>jít obrazy čísel x, pro něž je<br />
vzdálenost od obrazu čísla 3 rov<strong>na</strong> 2. (Tj. 3-2=1, 3+2=5)<br />
a) { } b) 〈 〉<br />
c) ( ) ( ) d) | ( )| ( )<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 29<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Vypočítejte:<br />
a) | | | ( )| b) | |— | ( )| c) | | | |<br />
2) Na číselné ose znázorněte všech<strong>na</strong> reálná čísla, pro něž platí:<br />
a) | | b) | | c) | |<br />
3) Na číselné ose znázorněte všech<strong>na</strong> reálná čísla, pro něž platí:<br />
a) | | b) | | c) | |<br />
4) Na číselné ose znázorněte všech<strong>na</strong> reálná čísla, pro něž platí:<br />
a) | | b) | | c) | | √<br />
Výsledek řešení:<br />
1.) a) , b) , c)<br />
2.) , b) , c) taková čísla neexistují<br />
3.) a) úsečka určená body -3 a 3 bez těchto krajních bodů, b) všech<strong>na</strong><br />
reálná čísla s výjimkou čísel ležících mezi čísly -1 a 1(dvě<br />
polopřímky), c) všech<strong>na</strong> reálná čísla s výjimkou nuly<br />
4.) a) , b) , c) všech<strong>na</strong> reálná čísla s výjimkou čísel<br />
√<br />
√ a všech čísel ležících mezi těmito čísly
30 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Pravoúhlý trojúhelník<br />
Pythagorova věta<br />
Pravoúhlý trojúhelník je každý trojúhelník, který má jeden úhel pravý a zbývající dva ostré.<br />
… odvěsny<br />
… přepo<strong>na</strong><br />
… pravý úhel<br />
Pythagorova věta:<br />
V každém pravoúhlém trojúhelníku platí<br />
Kde je délka přepony, jsou délky jeho odvěsen.<br />
Platí-li pro délky stran trojúhelníku vztah , je trojúhelník pravoúhlý<br />
s pravým úhlem proti straně , která je tedy jeho přeponou, zbývající dvě strany jsou<br />
odvěs<strong>na</strong>mi.
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 31<br />
Goniometrické funkce pravého úhlu<br />
Definice:<br />
Sinus úhlu α je poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu α a délky přepony pravoúhlého<br />
trojúhelníku.<br />
Kosinus úhlu α je poměr délky přilehlé odvěsny k úhlu α a délky přepony.<br />
Tangens úhlu α je poměr délek protilehlé odvěsny k úhlu α a přilehlé odvěsny.<br />
Kotangens úhlu α je poměr délek přilehlé odvěsny k úhlu α a protilehlé odvěsny.
32 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi:<br />
a) ( ), podobně<br />
b) ( )<br />
c) ( )<br />
d) ( )<br />
e)<br />
f)<br />
g)<br />
h) ( ) ( )<br />
Některé hodnoty goniometrických funkcí:<br />
Sinus √ √<br />
Kosinus √ √<br />
Tangens √ √<br />
Kotangens √ √
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 33<br />
Pravoúhlý trojúhelník<br />
Varianta A<br />
Příklad: Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 4cm<br />
a 7cm. Trojúhelník sestrojte z daných údajů, změřte jeho přeponu a výsledek porovnejte se<br />
svým výpočtem.<br />
Řešení:<br />
Pro délku přepony platí ( ) , takže √ ̇ .<br />
Délka přepony je přibližně 8,06cm. Narýsujeme si dvě kolmé polopřímky se společným<br />
počátkem, od něhož <strong>na</strong>neseme <strong>na</strong> jednu polopřímku 4cm, <strong>na</strong> druhou 7cm. Koncové body<br />
určují spolu se společným bodem obou polopřímek pravoúhlý trojúhelník. Délka jeho<br />
přepony by se neměla při pečlivém rýsování a měření lišit od hodnoty 8,1cm o více než 1mm.<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
34 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Žebřík délky 6m je opřen o zeď tak, že pata žebříku je od zdi vzdále<strong>na</strong> 2m. V jaké výšce<br />
<strong>na</strong>d zemí je druhý konec žebříku<br />
2) Vypočítejte délku druhé odvěsny pravoúhlého trojúhelníku, je-li dá<strong>na</strong> délka jedné odvěsny<br />
a délka přepony:<br />
a)<br />
b)<br />
3) Vypočítejte délku úhlopříčky obdélníku, který má délky stran:<br />
a)<br />
b)<br />
4) Rovnoramenný trojúhelník má rame<strong>na</strong> délky , a základnu délky ; výška<br />
k základně má délku . Vypočtěte zbývající údaj, je-li dáno:<br />
a)<br />
b)<br />
Výsledek řešení:<br />
1.) √ , tj. asi 5,66m<br />
2) a) 40cm, b) 12cm<br />
3.) a) 25,6cm, b) 45,3cm<br />
4.) a) 10,3cm, b) 11,5cm
̇<br />
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 35<br />
Pravoúhlý trojúhelník<br />
Varianta B<br />
Příklad: V kružnici s poloměrem 3,5cm jsou sestrojeny dvě rovnoběžné tětivy, jejichž délky<br />
jsou 4,2cm a 6,4cm. Vypočítejte vzdálenost těchto tětiv.<br />
Řešení:<br />
( ) ( )<br />
Vzdálenost tětiv je .<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
36 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky hranolu, který má rozměry<br />
.<br />
2) Vypočítejte obsah štítu domu, který má tvar rovnoramenného trojúhelníku se základnou<br />
délky12m a rameny délek 6,5m.<br />
3) V trojúhelníku je dáno , délka těžnice . Vypočítejte .<br />
4) Z kmene stromu, jehož nejmenší průměr je 25cm, se má zhotovit trám čtvercového<br />
průřezu. Vypočítejte délku strany největšího možného trámu s přesností <strong>na</strong> centimetry.<br />
Výsledek řešení:<br />
1.) 20,7cm<br />
2.)<br />
3.) 11,7cm<br />
4.) 17cm
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 37<br />
Pravoúhlý trojúhelník<br />
Varianta C<br />
Příklad: Určete velikost úhlu α, který svírá tělesová a stěnová úhlopříčka krychle.<br />
Řešení:<br />
Oz<strong>na</strong>číme-li délku hrany krychle, je délka stěnové úhlopříčky √ , délka tělesové<br />
úhlopříčky je √ √ . Z pravoúhlého trojúhelníku o stranách √ √<br />
plyne, že<br />
√<br />
√ ̇ , takže .<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
38 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Příklady k procvičení:<br />
1) V pravoúhlém trojúhelníku má přepo<strong>na</strong> délku , jeden jeho ostrý úhel má velikost<br />
. Určete délky odvěsen.<br />
2) Odvěsny pravoúhlého trojúhelníku mají délky 5cm a 12cm. Určete velikosti jeho ostrých<br />
úhlů.<br />
3) Hrany kvádru mají délky 3cm, 4cm a 12cm. Určete velikosti úhlů, jež svírají stěnové<br />
úhlopříčky téže stěny, a velikosti úhlů, jež svírá tělesová úhlopříčka se stěnovými<br />
úhlopříčkami.<br />
4) Rotační kužel má výšku , poloměr podstavy je . Jaký úhel svírají strany<br />
a) s rovinou podstavy,<br />
b) s osou kužele<br />
Co platí o součtu velikostí těchto dvou úhlů<br />
Výsledek řešení:<br />
1.) ,<br />
2.) ̇ ̇<br />
3.)<br />
4.)
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 39<br />
Mocniny s přirozeným mocnitelem<br />
Definice:<br />
Pro každé reálné číslo a každé přirozené číslo je<br />
,<br />
kde v součinu <strong>na</strong> pravé straně je n činitelů.<br />
Výraz se <strong>na</strong>zývá mocni<strong>na</strong>, je základ mocniny(mocněnec), je mocnitel(exponent).<br />
Z definice vyplývá, že<br />
a) pro každé reálné číslo platí ,<br />
b) pro každé přirozené číslo platí a .<br />
Věta 1:<br />
Pro každé a pro každé platí:<br />
a) je-li , pak ,<br />
b) je-li , pak ,<br />
c) je-li , pak .<br />
Věta 2:<br />
Pro každá dvě reálná čísla a pro každá přirozená čísla platí:<br />
( )<br />
( )<br />
( )
40 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
V matematice, přírodních a technických vědách často pracujeme s velkými čísly, která<br />
zpravidla zapisujeme pomocí mocnin se základem 10, tj. ve tvaru , kde<br />
. Exponent čísla zapsaného ve tvaru určíme tak, že zjistíme řád<br />
první platné číslice zapisovaného čísla<br />
Např. .
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 41<br />
Mocniny s celým mocnitelem<br />
Věta:<br />
Pro každé reálné číslo platí .<br />
Pozn.: Věta o dělení mocnin se stejným základem platí pro , proto výraz není<br />
definován.<br />
Věta:<br />
Pro každé reálné číslo a pro každé celé číslo platí .<br />
Věta:<br />
Pro každá dvě reálná čísla a pro libovolná celá čísla platí:<br />
( )<br />
( )<br />
( )
42 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem<br />
Varianta A<br />
Příklad: Vypočítejte:<br />
a) b) ( ) c) ( ) d) e) f) ( )<br />
Řešení:<br />
a) b) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
c) ( ) d)<br />
e) f) ( ) , (mocnitel je liché číslo)<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 43<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Zaokrouhlete <strong>na</strong> dvě platné číslice a vyjádřete ve tvaru , kde<br />
:<br />
a) b) c) d)<br />
2) Vypočítejte:<br />
a) b) ( ) ( )<br />
c) | | |( ) |<br />
( ) [( ) ( )]<br />
3) Dané výrazy vyjádřete jako mocniny se základem 2 nebo 3 a bez použití kalkulačky<br />
vypočítejte:<br />
a) ( ) ( ) b) c)<br />
4) Vypočítejte:<br />
a) ( ) ( )<br />
b) ( ) ( ) c) ( )<br />
( )<br />
1.) a) , b) , c) , d)<br />
2) a) , b) , c)<br />
3.) a) , b) , c)<br />
4.) a) , b) , c)
44 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem<br />
Varianta B<br />
Příklad: Za předpokladu, že<br />
a)<br />
b)<br />
jsou nenulová reálná čísla, vypočítejte:<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
c)<br />
( )<br />
d)<br />
( )<br />
e)<br />
Řešení:<br />
a) ( ) ( )<br />
b) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
c) ( ) ( )<br />
d) ( ) ( )<br />
e)<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 45<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Vypočítejte:<br />
a)<br />
b) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
2) Vypočítejte:<br />
a) ( ) ( )<br />
b) (√ ) ( √ ) ( √<br />
) (<br />
√ )<br />
3) Vyjádřete v co nejjednodušším tvaru:<br />
a) (√ )<br />
b) (√ √ )<br />
4) Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že jsou nenulová reálná čísla, a<br />
výsledek zapište pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem:<br />
a) ( ) ( )<br />
b) ( ) ( )<br />
1.) a) , b) 367<br />
2.) a) , b) 0<br />
3.) a) √ , b) √<br />
4.) a) , b)
46 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem<br />
Varianta C<br />
Příklad: Za předpokladu, že<br />
a)<br />
jsou nenulová reálná čísla, vypočítejte:<br />
[ ( )<br />
] ( )<br />
b)<br />
( ) ( )<br />
c)<br />
( ) ( ) ( )<br />
d)<br />
[ ( )<br />
( )<br />
] [( ) ( ) ]<br />
Řešení:<br />
a) [ ( )<br />
] ( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
;<br />
b) ( ) ( )<br />
c) ( ) ( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
d) [ (– )<br />
( )<br />
] [( ) ( ) ]<br />
( )<br />
( )<br />
[( ) ] ( ) ( )<br />
( )
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 47<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že jsou nenulová reálná čísla, a<br />
výsledek zapište pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem:<br />
a)<br />
b)<br />
2) Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že jsou nenulová reálná čísla, a<br />
výsledek zapište pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem:<br />
a) ( ) ( )<br />
b) ( )( )<br />
3) Vypočtěte:<br />
a) ( )<br />
b) ( ) ( ) ( )<br />
4) Vypočtěte co nejúsporněji: [ ( ) ]<br />
5) Upravte daný výraz tak, aby obsahoval pouze kladné exponenty, a pak určete, kdy má<br />
zlomek smysl:<br />
1.) a) , b)<br />
2.) a) , b)<br />
3.) a) , b)<br />
4.) a) ,<br />
5)
48 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Základní množinové pojmy<br />
Definice množiny:<br />
Skupi<strong>na</strong> prvků, které mají společnou charakteristickou vlastnost.<br />
Prvek množiny je dále nedělitelný prvek; <strong>na</strong>př. , pan Novák.<br />
Oz<strong>na</strong>čení množin-<br />
Prvky množin-<br />
… je prvkem množiny<br />
… není prvkem množiny<br />
Prázdná množi<strong>na</strong>- množi<strong>na</strong>, která neobsahuje žádný prvek.<br />
Např. studenti třídy 1.E <strong>na</strong> GJW.<br />
Z<strong>na</strong>číme: {}.<br />
Každou množinu lze určit dvěma způsoby:<br />
a) Výčtem prvků- pouze u konečných množin<br />
{ }<br />
b) Určením charakteristické vlastnosti- u konečných i nekonečných množin<br />
{ }<br />
Definice:<br />
Podmnožinou množiny <strong>na</strong>zveme každou takovou množinu , jejíž všechny prvky jsou<br />
současně i prvky množiny .<br />
Zápis: ( ).<br />
Definice:<br />
Rovnost množin: Množiny se sobě rov<strong>na</strong>jí(píšeme = ) právě tehdy, když každý prvek<br />
množiny je prvkem množiny a <strong>na</strong>opak, každý prvek množiny je prvkem množiny .<br />
= právě tehdy, když ⋀ .
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 49<br />
Definice: Nechť .<br />
Doplňkem množiny v množině (píšeme ) je množi<strong>na</strong>, která obsahuje takové prvky,<br />
které patří do množiny , ale nepatří do množiny .<br />
Definice:<br />
Průnikem množin a <strong>na</strong>zýváme takovou množinu (z<strong>na</strong>číme ), která obsahuje takové<br />
prvky, které patří současně do množiny i .
50 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Definice:<br />
Sjednocením množin a <strong>na</strong>zveme takovou množinu (z<strong>na</strong>číme ), která obsahuje<br />
všechny prvky, které patří buď do množiny nebo do množiny (Může patřit i do obou<br />
současně).<br />
Definice:<br />
Rozdílem množin a (v daném pořadí) je taková množi<strong>na</strong> (z<strong>na</strong>číme ), která<br />
obsahuje ty prvky, které patří do množiny , ale nepatří do množiny .
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 51<br />
Intervaly<br />
Omezené intervaly jsou takové podmnožiny množiny všech reálných čísel, které lze <strong>na</strong><br />
číselné ose znázornit úsečkou. Podle toho, zda k úsečce patří oba krajní body nebo jen jeden<br />
nebo žádný, rozdělujeme omezené intervaly <strong>na</strong> uzavřené, polouzavřené a otevřené.<br />
Přehled omezených intervalů s krajními body ( ) je uveden v následující tabulce:<br />
Zápis charakteristické<br />
Zápis intervalu<br />
Znázornění <strong>na</strong> reálné<br />
Název intervalu<br />
vlastnosti<br />
ose<br />
Uzavřený interval<br />
〈 〉<br />
Polouzavřený interval<br />
( 〉<br />
(zleva otevřený a<br />
zprava uzavřený)<br />
Polouzavřený interval<br />
〈 )<br />
(zleva uzavřený a<br />
zprava otevřený)<br />
Otevřený interval<br />
( )
52 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Zobrazení<br />
Definice:<br />
Zobrazení množiny do množiny je předpis, který každému prvku jednoz<strong>na</strong>čně<br />
přiřadí nějaký prvek .<br />
Prvek se <strong>na</strong>zývá vzor prvku , prvek je obraz prvku . Oz<strong>na</strong>číme-li zobrazení φ, píšeme<br />
( ). Množi<strong>na</strong> je definiční obor zobrazení , množi<strong>na</strong> všech prvků tvaru ( ), kde<br />
, se z<strong>na</strong>čí ( ), a <strong>na</strong>zývá se obrazem množiny v zobrazení . Podle definice je<br />
( ) .<br />
Je-li ( ) , říkáme, že je zobrazením množiny <strong>na</strong> množinu .<br />
Zobrazením množiny do množiny , které přiřazuje různým prvkům množiny různé<br />
prvky množiny , se <strong>na</strong>zývá prosté.<br />
Inverzní zobrazení:<br />
Je-li zobrazení množiny <strong>na</strong> množinu , existuje ke každému aspoň jeden prvek<br />
tak, že ( ) . Je-li <strong>na</strong>víc prosté, existuje takové právě jedno. Říkáme, že je<br />
vzájemně jednoz<strong>na</strong>čné zobrazení množiny <strong>na</strong> množinu . Přiřadíme-li prvku právě ten<br />
prvek , pro který je ( ), dostaneme zobrazení množiny <strong>na</strong> množinu . Toto<br />
zobrazení <strong>na</strong>zýváme inverzní zobrazení k zobrazení a z<strong>na</strong>číme .
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 53<br />
Množiny a zobrazení<br />
Varianta A<br />
Příklad: Jsou dány množiny<br />
Určete:<br />
a) Doplněk množiny B v A<br />
b)<br />
c)<br />
d) Všechny podmnožiny množiny B<br />
{ }<br />
{ }<br />
Řešení:<br />
a) { }<br />
b) { }<br />
c) { }<br />
d) {},{ } { } { } { } { } { } { }<br />
Pozn.: Pro libovolnou množinu<br />
platí:<br />
1.)<br />
2.) {} .<br />
3.) Obsahuje-li množi<strong>na</strong> prvků, je počet všech jejich podmnožin určen číslem .<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
54 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Určete průnik a sjednocení množin:<br />
a) { } { }<br />
b) { } { }<br />
c) { } { }<br />
2) Najděte a pro množiny určené v předchozím příkladu.<br />
3) Určete doplněk množiny B v množině A, jestliže:<br />
a) { } { }<br />
b) { } { }<br />
c) { | | }<br />
4) Určete průnik a sjednocení množin , jestliže:<br />
a) { } { }<br />
b) { } { }<br />
1.) a) { }, { }<br />
b) { } { };<br />
c) { }; { }<br />
2) a) { } { }<br />
b) { } { }<br />
c) { }<br />
3.) a) { }, b) { }, c)<br />
4.) a) { }; { },<br />
b) { }; { }
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 55<br />
Množiny a zobrazení<br />
Varianta B<br />
Příklad: Určete sjednocení a průnik intervalů:<br />
a) 〈 〉 〈 〉<br />
b) 〈 〉 〈 〉<br />
c) 〈 〉 ( )<br />
d) 〈 〉 ( )<br />
Řešení:<br />
Dané intervaly zobrazíme <strong>na</strong>d číselnou osou a <strong>na</strong> ní znázorníme jejich sjednocení a průnik:<br />
a) 〈 〉 〈 〉 〈 〉<br />
〈 〉 〈 〉 〈 〉<br />
b) 〈 〉 〈 〉 〈 〉<br />
〈 〉 〈 〉 { }<br />
c) 〈 〉 ( ) 〈 )<br />
〈 〉 ( )<br />
d) 〈 〉 ( ) 〈 〉 ( )<br />
〈 〉 ( )<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
56 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Na číselné ose znázorněte a jako interval zapište tyto množiny:<br />
a) { }<br />
b) { }<br />
c) { }<br />
2) Na číselné ose znázorněte a jako interval zapište tyto množiny:<br />
a) { }<br />
b) { }<br />
c) { }<br />
3) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište:<br />
a) { }<br />
b) { }<br />
c) { }<br />
4) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište:<br />
a) { }<br />
b) { }<br />
c) { }<br />
1.) a) 〈 〉, b) ( 〉, c) 〈 )<br />
2.) a) ( ), b) ( ), c) ( 〉<br />
3.) a) není, b) není, c) není<br />
4.) a) 〈 ), b) není, c) není
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 57<br />
Množiny a zobrazení<br />
Varianta C<br />
Příklad: Znázorněte <strong>na</strong> číselné ose dané množiny reálných čísel a zapište pomocí intervalů:<br />
a) { | | }<br />
b) { | | }<br />
c) { | | }<br />
Řešení:<br />
a) | | | | ( )<br />
b) | |<br />
( )<br />
( 〉 〈 )<br />
c) | | | ( )| ( )<br />
( )<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
58 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište:<br />
a) { | | }<br />
b) { | | }<br />
c) { | | }<br />
2) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište:<br />
a) { | | }<br />
b) { | | }<br />
c) { | | }<br />
3) Určete sjednocení a průnik intervalů:<br />
a) 〈 〉 〈 〉<br />
b) 〈 ) 〈 )<br />
c) ( ) ( 〉<br />
4) Určete sjednocení a průnik intervalů:<br />
a) ( ) 〈 )<br />
b) ( ) 〈 )<br />
c) ( 〉 〈 )<br />
1.) a) 〈 〉, b) není, c) ( )<br />
2.) a) ( ), b) 〈 〉, c) ( )<br />
3.) a) 〈 〉 〈 〉, b) 〈 ) , c) ( ) ( 〉<br />
4.) a) ( ) 〈 ), b) ( ) 〈 ), c) ( ) { }
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 59<br />
Výrazy<br />
Výraz je zápis skládající se z čísel a písmen oz<strong>na</strong>čujících proměnné, které jsou spojeny<br />
matematickými z<strong>na</strong>ky (<strong>na</strong>př. √ ).<br />
Pro proměnné je třeba stanovit obory proměnných, což jsou množiny čísel, která můžeme<br />
dosazovat za proměnné tak, že má daný výraz smysl.<br />
Hodnota výrazu je číslo, které dostaneme po dosazení za všechny proměnné z jejich oborů a<br />
provedení všech početních operací.<br />
Algebraické výrazy jsou výrazy, jejichž každá proměnná má za svůj obor číselnou množinu.<br />
Pozn.: Obvykle poznáme ze souvislostí, zda jde o algebraický výraz a slovo „algebraický“<br />
vynecháváme.
60 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Mnohočleny<br />
Mnohočlen (polynom) s jednou proměnnou je výraz, který lze <strong>na</strong>psat ve tvaru<br />
,<br />
kde jsou reálná čísla, celé nezáporné číslo a proměnná; je-li , tj.<br />
když koeficient u proměnné s největším exponentem je nenulový, jde o mnohočlen tého<br />
stupně. Čísla<br />
se <strong>na</strong>zývají koeficienty mnohočlenu, jeho jednotliví sčítanci, tj.<br />
výrazy , kde , se <strong>na</strong>zývají členy mnohočlenu. Koeficient se <strong>na</strong>zývá<br />
absolutní člen, člen lineární člen a člen se <strong>na</strong>zývá kvadratický člen mnohočlenu.<br />
Podle počtu členů mnohočlenu mluvíme o jednočlenu, dvojčlenu, trojčlenu atd. Mnohočlen 1.<br />
Stupně (zapisuje se obvykle místo ) se <strong>na</strong>zývá lineární, mnohočlen 2. Stupně<br />
(zapisuje se obyčejně ve tvaru<br />
) se <strong>na</strong>zývá kvadratický, mnohočlen 3. stupně se<br />
<strong>na</strong>zývá kubický.<br />
Opačný mnohočlen k danému mnohočlenu je mnohočlen, který má tytéž členy, ale<br />
s opačnými z<strong>na</strong>ménky; <strong>na</strong>př. dvojčlen je opačný k dvojčlenu – , trojčlen<br />
je opačný k trojčlenu<br />
apod.<br />
Součtem obou mnohočlenů je nulový mnohočlen ( ) ( ) .<br />
Pozn.:<br />
… mnohočlen nultého stupně<br />
… nulový mnohočlen<br />
Definice:<br />
Říkáme, že:<br />
a) mnohočlen je uspořádán sestupně<br />
b) mnohočlen je uspořádán vzestupně
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 61<br />
Věta: Pro libovolná<br />
platí<br />
1.) ( )<br />
2.) ( )<br />
3.) ( )( )<br />
4.) ( )( )<br />
5.) ( )( )<br />
Definice:<br />
Rozkladem mnohočlenu <strong>na</strong> součin rozumíme jeho vyjádření ve tvaru součinu několika<br />
mnohočlenů, které už se zpravidla nedají dále rozložit. Rozklad provádíme 2 způsoby:<br />
a) vytýkáním<br />
b) užitím vzorců<br />
Kvadratický trojčlen můžeme zapsat ve tvaru ( )( ); kde ,<br />
jsou řešením příslušné kvadratické rovnice .<br />
Pozn.: Nemá-li kvadratická rovnice řešení, tak se trojčlen nedá rozložit <strong>na</strong> součin.
62 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Mnohočleny<br />
Varianta A<br />
Příklad: Zjistěte, pro které hodnoty jednotlivých proměnných má každý z následujících<br />
výrazů smysl, a určete jeho hodnotu pro dané hodnoty proměnných:<br />
a)<br />
b) √<br />
c)<br />
√<br />
√ (| | )<br />
Řešení:<br />
a) Výraz má smysl pro všech<strong>na</strong> , pro něž je , tj. pro všech<strong>na</strong><br />
. Jeho hodnota pro je .<br />
b) Aby měl daný výraz smysl, musí platit tj. a zároveň a .<br />
Hodnota daného výrazu pro<br />
je √<br />
c) Aby měl daný výraz smysl, musí zároveň platit:<br />
| | ;<br />
První z těchto podmínek je splně<strong>na</strong> pro každé<br />
, druhá pro všechny<br />
a třetí pro všech<strong>na</strong> , pro něž je | | , tj. pro a .<br />
Hodnota daného výrazu pro<br />
je<br />
√<br />
√ (| | )<br />
.<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 63<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Zjistěte, kdy má každý z následujících výrazů smysl, a určete jeho hodnotu pro dané<br />
hodnoty proměnných:<br />
a)<br />
√<br />
( )( )<br />
b)<br />
√<br />
2) Zjistěte, kdy má každý z následujících výrazů smysl, a určete jeho hodnotu pro dané<br />
hodnoty proměnných:<br />
a) √<br />
( )<br />
b) √ | |<br />
√<br />
3) Určete součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel, jestliže:<br />
a) nejmenší je rovno<br />
b) největší je rovno<br />
4) Pomocí zvolených proměnných zapište:<br />
a) druhou odmocninu ze součtu druhých odmocnin dvou reálných čísel;<br />
b) druhou odmocninu podílu součtu druhých odmocnin dvou reálných čísel a druhé<br />
odmocniny součtu těchto čísel;<br />
c) součet podílu druhých odmocnin dvou reálných čísel a druhé odmocniny podílu těchto<br />
čísel.<br />
1.) a) , b)<br />
2) a) , b) √ ,<br />
3.) a) , b)<br />
4.) a) √√ √ , b) √ √ √<br />
√<br />
, c) √<br />
√<br />
√
64 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Mnohočleny<br />
Varianta B<br />
Příklad: Určete podíl ( ) ( )<br />
Řešení:<br />
Uspořádáme oba mnohočleny sestupně.<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
Jednočlen -1 v posledním řádku je mnohočlen nultého stupně, tj. mnohočlen stupně nižšího,<br />
než je stupeň dělitele, takže v dělení dále nepokračujeme. Jednočlen -1 představuje zbytek;<br />
mnohočlenu<br />
se říká neúplný podíl.<br />
Dostali jsme tedy, že pro všech<strong>na</strong> , pro něž je , platí:<br />
( ) ( )<br />
Je vidět, že v tomto případě podílem daných mnohočlenů není mnohočlen. O správnosti<br />
výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou:<br />
( ) ( ) .<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 65<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Určete podíl:<br />
( ) ( )<br />
2) Určete podíl mnohočlenů:<br />
a) ( ) ( )<br />
b) ( ) ( )<br />
3) Určete podíl mnohočlenů:<br />
a) ( ) ( )<br />
b) ( ) ( )<br />
4) Výraz vyjádřete jako mnohočlen s proměnnou , který je uspořádaný sestupně, jeli:<br />
a)<br />
b)<br />
1.)<br />
2.) a) , b)<br />
3.) a) ,<br />
b)<br />
4.) a) , b)
66 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Mnohočleny<br />
Varianta C<br />
Příklad: Rozložte následující mnohočleny:<br />
a)<br />
b)<br />
c) Rozložte kvadratický trojčlen v součin lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty<br />
d) Rozložte kvadratický trojčlen v součin lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty<br />
Řešení: Způsob, kterým <strong>na</strong>lezneme požadovaný rozklad, je bezprostředně patrný z výpočtu:<br />
a) ( ) ( ) ( )( )<br />
( )( )( )<br />
b) ( ) ( ) ( )( )<br />
c) Pro celá čísla , pro něž je ( )( ) , musí platit:<br />
a<br />
. Je ihned vidět, že jsou to čísla -6 a -4, takže dostáváme<br />
výsledek:<br />
( )( )<br />
Nepodaří-li se nám tato čísla určit zpaměti, vypíšeme si všechny způsoby, jimiž lze<br />
číslo 24 vyjádřit jako součin dvou celých čísel, dostaneme tak<br />
( )( ) ( )( ) ( )( )<br />
( )( )<br />
Ze všech těchto čísel jedině čísla -4, -6 dají součet -10.<br />
d) Platí:<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ;<br />
a protože je též<br />
dostaneme požadovaný rozklad:<br />
( )( )
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 67<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Rozložte mnohočleny:<br />
a)<br />
b) ( ) ( )<br />
2) Rozložte mnohočleny:<br />
a) ( ) ( )<br />
b) ( )<br />
3) Rozložte kvadratické trojčleny:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
4) Určete nejvhodnější společný násobek daných výrazů:<br />
a)<br />
b)<br />
1.) a) ( )( ), b) ( )<br />
2.) a) ( ), b) ( )( )<br />
3.) a) ( )( ), b) ( )( ), c) ( )( ),<br />
d) ( )( )<br />
4.) a) 9( )( ), b) ( ) ( )
68 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Lomené výrazy<br />
Krácení a rozšiřování lomených výrazů<br />
Lomené výrazy jsou výrazy zapsané ve tvaru zlomku.<br />
Definice:<br />
Krátit lomený výraz z<strong>na</strong>mená dělit čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly.<br />
Rozšířit lomený výraz z<strong>na</strong>mená násobit čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od<br />
nuly.<br />
Krácení a rozšiřování lze zapsat symbolicky:<br />
Pro libovolné výrazy<br />
platí:<br />
a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je<br />
Krácení<br />
Rozšiřování
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 69<br />
Sčítání a násobení lomených výrazů<br />
Definice:<br />
Dva lomené výrazy násobíme tak, že násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele<br />
jmenovatelem, předtím se s<strong>na</strong>žíme co nejvíce zkrátit.<br />
Sečíst dva lomené výrazy z<strong>na</strong>mená upravit je <strong>na</strong> společného jmenovatele a sečíst čitatele.<br />
Lze zapsat symbolicky:<br />
Sčítání<br />
Pro libovolné výrazy a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je ,<br />
, platí:<br />
Násobení<br />
Pro libovolné výrazy a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je ,<br />
, platí:<br />
Pozn.: Při násobení jednotlivé výrazy „neroznásobujeme“, <strong>na</strong>opak, s<strong>na</strong>žíme se je vhodně<br />
rozložit a podle možnosti i krátit. Tato zásada platí ostatně obecně, nejen pro násobení.<br />
Umocňování<br />
Pro libovolné výrazy a libovolné přirozené číslo a pro všechny hodnoty proměnných,<br />
pro něž je , platí:<br />
( )
70 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Dělení lomených výrazů<br />
Definice:<br />
Dělit lomeným výrazem z<strong>na</strong>mená násobit výrazem k němu převráceným.<br />
Lze zapsat symbolicky:<br />
Dělení<br />
Pro libovolné výrazy a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je ,<br />
, , platí:
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 71<br />
Složený lomený výraz<br />
Složený lomený výraz je lomený výraz, který má v čitateli i jmenovateli zlomek.<br />
Zjednodušení složeného lomeného výrazu<br />
Pro libovolné výrazy a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je ,<br />
, , platí:
72 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Lomené výrazy<br />
Varianta A<br />
Příklad: Kraťte lomené výrazy:<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
Řešení:<br />
a) Daný výraz má smysl pro všech<strong>na</strong> . Za těchto předpokladů platí:<br />
Daný lomený výraz jsme krátili jednočlenem , což je společný dělitel mnohočlenů<br />
. Uvědomte si ještě, že rovnost mezi původním výrazem a výrazem, který<br />
jsme dostali krácením, platí pro ty hodnoty proměnných, pro něž mají smysl oba tyto výrazy,<br />
tj. pro ; nestačí jen požadavek , který je nutný k tomu, aby měl<br />
smysl upravený výraz.<br />
b) Daný výraz má smysl pro všech<strong>na</strong> . Za těchto předpokladů<br />
platí:<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )( )<br />
( )<br />
( )( )( )( )<br />
( )( )( )<br />
Daný zlomek jsme krátili výrazem ( )( ), což je společný dělitel mnohočlenů<br />
( ) ( ) , ( )( ).<br />
c) Daný výraz je definován pro všech<strong>na</strong> a ; nelze jej však krácením zjednodušit.
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 73<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Kraťte lomené výrazy a uveďte, kdy má tato úprava smysl:<br />
a)<br />
( )<br />
b)<br />
2) Kraťte lomené výrazy a uveďte, kdy má tato úprava smysl:<br />
a)<br />
b) ( )<br />
3) Zjednodušte krácením:<br />
a)<br />
b)<br />
4) Vyjádřete daný zlomek tak, aby v jeho jmenovateli nebylo iracionální číslo:<br />
a)<br />
√<br />
b) √ √<br />
1.) a) , b)<br />
2) a) , b) ( )<br />
3.) a) , b)<br />
4.) a) ( √ ), b) √ √
74 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Lomené výrazy<br />
Varianta B<br />
Příklad: a) Sečtěte lomené výrazy<br />
a<br />
b) Určete součin<br />
( )<br />
Řešení:<br />
a) První příklad: Společným jmenovatelem je ( )<br />
( )( ); je tedy<br />
( )( )<br />
( )<br />
( )( ) ( )( ) ;<br />
( )<br />
( )( )<br />
Rovnost mezi původním a výsledným výrazem platí jen za předpokladu ,<br />
.<br />
Druhý příklad: Společný jmenovatel všech tří lomených výrazů je výraz<br />
( ); platí tedy<br />
( )( )<br />
( ) ( ) ( )<br />
( )<br />
Tato rovnost platí pro všech<strong>na</strong> .<br />
;
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 75<br />
b) Postup je patrný z výpočtu:<br />
( )<br />
( ) ( )( ) ( )( )<br />
( )<br />
Což platí pro všech<strong>na</strong> .<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
76 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Vypočtěte:<br />
a)<br />
b)<br />
2) Vypočtěte:<br />
a)<br />
b)<br />
3) Proveďte:<br />
a) ( ) ( )<br />
b) ( ) ( )<br />
4) Vypočtěte:<br />
a)<br />
b) ( ) ( )<br />
1.) a) , b)<br />
2.) a) ( )<br />
, b)<br />
3.) a) , b)<br />
4.) a) ,<br />
b)
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 77<br />
Lomené výrazy<br />
Varianta C<br />
Příklad:<br />
a) Určete<br />
b) Zjednodušte výraz<br />
( )<br />
c) Vyjádřete ze vzorce<br />
( )
78 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
a)<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
Což platí pro všech<strong>na</strong> .<br />
b) ( )<br />
( )<br />
( )( )<br />
Což platí pro všech<strong>na</strong> , pro něž je .<br />
c) Proměnnou považujeme v rovnici<br />
( )<br />
za neznámou, ostatní proměnné bereme jako konstanty. Vynásobením této rovnice výrazem<br />
a úpravou pravé strany dostaneme<br />
;<br />
rovnici upravíme tak, aby výrazy s neznámou byly <strong>na</strong> levé straně a zbývající výrazy <strong>na</strong><br />
pravé straně rovnice; po úpravě dostaneme<br />
( ) ( ),<br />
odtud již s<strong>na</strong>dno neznámou<br />
vyjádříme:<br />
( )<br />
( )<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 79<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Určete:<br />
a)<br />
b) ( ) ( )<br />
2) Určete:<br />
a) ( ) ( )<br />
b) ( ) ( )<br />
3) Zjednodušte složený zlomek:<br />
a) ( )( )<br />
( )<br />
4) Zjednodušte složený zlomek:<br />
a) ( ( ) )( ( ) )<br />
( ( ) )( )<br />
1.) a) ( )<br />
( )<br />
, b)<br />
2.) a) , b) ( )<br />
3.) a)<br />
4.) a) 1 | |
80 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Elementární teorie čísel<br />
Zápisy přirozených čísel, násobek a dělitel čísla<br />
Zápis přirozených čísel:<br />
a) Ciferný (zkrácený): 34125<br />
b) Rozvinutý:<br />
Obecně: abcd=<br />
Definice:<br />
Číslo je násobek čísla (číslo je dělitelem čísla ), právě když existuje přirozené číslo<br />
takové, že .<br />
Zapisujeme , čteme „ “ dělí „ “ nebo „ “ je dělitelem „ “.<br />
Věta:<br />
Pro každé platí „1“ dělí „ “.<br />
Společným dělitelem čísel <strong>na</strong>zveme takové číslo , pro které platí: ⋀ .<br />
Pozn.: Každá dvě čísla mají alespoň jednoho společného dělitele a tím je číslo 1.<br />
Definice:<br />
Čísla<br />
1.<br />
<strong>na</strong>zveme nesoudělná právě když, jejich jediným společným dělitelem je číslo<br />
Pozn.: Každá dvě čísla , která nejsou nesoudělná <strong>na</strong>zveme soudělná. Této vlastnosti<br />
využíváme <strong>na</strong>př. při krácení zlomků.<br />
Věta:<br />
Každé přirozené číslo lze pomocí přirozeného čísla vyjádřit jedním z výrazů<br />
( ), kde ; stručněji , kde ,<br />
{ }.
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 81<br />
Zápis čísel pomocí násobků přirozených čísel a zbytků.<br />
Např.
82 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Z<strong>na</strong>ky dělitelnosti<br />
Věta: Pro<br />
a) právě když je poslední cifra z množiny { }<br />
b) právě když ciferný součet je dělitelný třemi<br />
Pozn.: Navíc platí, že jaký zbytek dostaneme při dělení ciferného součtu, takový zbytek<br />
dostaneme při dělení původního čísla.<br />
c) právě když poslední dvojčíslí je dělitelné<br />
d) právě když poslední cifra je z množiny { }<br />
e) právě když 2/n ⋀ 3/n<br />
f) právě když 7/<br />
Ciferný zápis:<br />
Př.: 7/46 126 899 <br />
Pozn.: Platí i pro zbytky.<br />
g) právě když poslední trojčíslí je dělitelné 8<br />
h) právě když je ciferný součet dělitelný 9<br />
i) právě když poslední cifra je 0<br />
j) právě když , kde<br />
Př.:<br />
není dělitelné 11<br />
<br />
je dělitelné 11
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 83<br />
k) právě když poslední dvojčíslí je dělitelné 20<br />
l) právě když poslední dvojčíslí je dělitelné 25<br />
m) právě když poslední dvojčíslí je dělitelné 50<br />
n) právě když poslední dvě cifry jsou 0<br />
o) právě když poslední trojčíslí je dělitelné 125<br />
p) právě když ⋀
84 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Prvočísla a čísla složená<br />
Definice:<br />
Prvočíslem <strong>na</strong>zveme každé takové, které je dělitelné pouze číslem 1 a číslem .<br />
Složeným číslem <strong>na</strong>zveme každé<br />
takové, které má alespoň tři různé dělitele.<br />
Věta:<br />
Každé složené číslo<br />
je dělitelné aspoň jedním prvočíslem , pro které platí<br />
√ .<br />
Základní věta aritmetiky:<br />
Každé přirozené číslo lze zapsat jediným způsobem ve tvaru , kde<br />
jsou prvočísla a<br />
jsou přirozená čísla.<br />
Pozn.: Prvočíselná dvojčata jsou prvočísla, mezi kterými leží jediné přirozené číslo.<br />
Např.: 3 a 5, 5 a 7, 11 a 13
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 85<br />
Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek<br />
Definice:<br />
Největší společný dělitel čísel je součin mocnin těch prvočísel, která se vyskytují<br />
současně ve všech prvočíselných rozkladech čísel ; přitom exponent každého prvočísla<br />
je nejmenší exponent vyskytující se u tohoto prvočísla v rozkladech čísel .<br />
Oz<strong>na</strong>čení ( ).<br />
Definice:<br />
Nejmenší společný násobek čísel je součin mocnin všech prvočísel, která se vyskytují<br />
aspoň v jednom prvočíselném rozkladu čísel přitom exponent každého prvočísla je<br />
největší exponent vyskytující se u tohoto prvočísla v rozkladech čísel .<br />
Oz<strong>na</strong>čení ( ).
86 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Elementární teorie čísel<br />
Varianta A<br />
Příklad: Dokažte, že pro každé přirozené číslo je číslo dělitelné šesti.<br />
Řešení:<br />
Výraz vytknutím a užitím vzorce pro rozdíl druhých mocnin rozložíme <strong>na</strong> součin:<br />
( ) ( )( ) ( ) ( )<br />
Dostali jsme součin tří za sebou následujících přirozených čísel. Aspoň jedno z těchto čísel je<br />
dělitelné dvěma, právě jedno z nich je dělitelné třemi, proto jejich součin je dělitelný šesti.<br />
Ne vždy se nám podaří rozložit výraz <strong>na</strong> součin několika za sebou následujících přirozených<br />
čísel. V takových případech zpravidla použijeme zápis přirozeného čísla ve tvaru ,<br />
kde { }.<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 87<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Upravte dané zlomky <strong>na</strong> základní tvar:<br />
a) b) c)<br />
2) Pomocí proměnné , kde , vyjádřete:<br />
a) libovolné přirozené číslo, které je násobkem šesti<br />
b) libovolné přirozené číslo, které při dělení třemi dá zbytek 2<br />
c) libovolné liché přirozené číslo<br />
d) libovolné přirozené číslo, které při dělení osmi dá zbytek 4<br />
3) Uveďte všechny zápisy, které využívají násobky šesti a slouží k vyjádření libovolného<br />
přirozeného čísla.<br />
4) První z dvou čísel vyjádřete jako součet co největšího násobku druhého čísla a zbytku:<br />
a) b) c)<br />
1.) a) , b) , c)<br />
2) a) , b) , c) , d)<br />
3.) kde<br />
4.) a) , b) , c)
88 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Elementární teorie čísel<br />
Varianta B<br />
Příklad: Rozhodněte, zda čísla 1032 a 672534 jsou dělitelná třemi či devíti. Poté proveďte<br />
prvočíselný rozklad čísla 1032.<br />
Řešení:<br />
Ciferný součet čísla 1032 je číslo 6. Číslo 6 je dělitelné třemi, proto číslo 1032 je dělitelné<br />
třemi. Číslo 6 není dělitelné devíti, proto číslo 1032 není dělitelné devíti.<br />
Ciferný součet čísla 672534 je 27, což je číslo dělitelné třemi i devíti. Proto číslo 672534 je<br />
dělitelné třemi i devíti.<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 89<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Proveďte zápis prvočíselného rozkladu čísel:<br />
a) b)<br />
2) Proveďte zápis prvočíselného rozkladu čísel:<br />
a) b)<br />
3) Upravte dané zlomky <strong>na</strong> základní tvar:<br />
a) b)<br />
4) Upravte dané zlomky <strong>na</strong> základní tvar:<br />
a) b)<br />
1.) a) , b)<br />
2.) a) , b)<br />
3.) a) , b)<br />
4.) a) , b)
90 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Elementární teorie čísel<br />
Varianta C<br />
Příklad: Určete největšího společného dělitele a nejmenší společný násobek čísel 756 a<br />
11760.<br />
Řešení:<br />
( )<br />
( )<br />
Součin 756 11760=8890560.<br />
Součin ( ) ( )<br />
V obou případech nám vyšel stejný výsledek. Je to náhoda, nebo pro všech<strong>na</strong> přirozená čísla<br />
platí<br />
( ) ( ) <br />
Všimněme si pozorně prvočíselných rozkladů daných čísel, ( ) a ( ).<br />
Vyskytuje-li se mocni<strong>na</strong> prvočísla v obou prvočíselných rozkladech daných čísel, uplatníme<br />
vždy menší mocninu každého prvočísla v největším společném děliteli a větší mocninu<br />
každého prvočísla v nejmenším společném násobku. Vyskytuje-li se mocni<strong>na</strong> prvočísla jen<br />
v prvočíselném rozkladu jednoho čísla, uplatníme ji v nejmenším společném násobku. To<br />
platí pro libovolná dvě přirozená čísla. To z<strong>na</strong>mená, že každá mocni<strong>na</strong> prvočísla z rozkladu<br />
dvou čísel se vyskytuje v součinu ( ) ( ).<br />
Pozor, pro tři a více čísel obdobná věta neplatí!<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 91<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Vyjádřete dané zlomky v základním tvaru:<br />
a) b)<br />
2) Najděte nejmenší společný násobek čísel 6, 21, 28.<br />
3) Najděte největšího společného dělitele čísel 36, 48, 60.<br />
4) V krabici tvaru kvádru jsou ve čtyřech vrstvách uloženy čtyři druhy krychlí. V první vrstvě<br />
jsou krychle s hranou délky 12cm. V každé následující vrstvě je délka hrany krychle o 2cm<br />
menší než délka hrany krychle v přecházející vrstvě. Za předpokladu, že mezi stě<strong>na</strong>mi krabice<br />
a krychlemi i mezi krychlemi <strong>na</strong>vzájem nejsou žádné mezery, vypočítejte<br />
a) jaké jsou nejmenší možné vnitřní rozměry krabice<br />
b) kolik krychlí jednotlivých druhů je v této nejmenší možné krabici<br />
1.) a) , b)<br />
2.) 84<br />
3.) 12<br />
4.) a) 120cm, 120cm, 36cm, b)
92 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Výroky<br />
Výrok a jeho negace<br />
Definice:<br />
Výrok je tvrzení, o němž má smysl tvrdit, zda je nebo není pravdivé (<strong>na</strong>stává právě jed<strong>na</strong><br />
z těchto možností).<br />
Např.:<br />
Úhlopříčky čtverce jsou <strong>na</strong>vzájem kolmé.<br />
Číslo 5 je liché.<br />
Praha je hlavní město Slovenska.<br />
Oz<strong>na</strong>čení: a,b,v,..<br />
nebo: A,B,V,...<br />
Definice:<br />
Negací výroku<br />
̅ .<br />
rozumíme výrok ve tvaru „Není pravda, že .“ Negaci z<strong>na</strong>číme<br />
Pozn. 1: Je-li pravdivý, pak je nepravdivá.<br />
Je-li nepravdivý, pak je pravdivá.<br />
Pozn. 2: Negace výroků lze tvořit i jiným způsobem.<br />
a) : Trojúhelník ABC není ostroúhlý.(tzn. je pravoúhlý nebo tupoúhlý)<br />
b) Trojúhelník ABC je ostroúhlý.<br />
Pozn. 3: V negaci musí být obsaženy všechny ostatní možnosti, které mohou <strong>na</strong>stat.<br />
Zvláštním způsobem tvoříme negace tvrzení ve tvaru: „alespoň“, „nejvýše“.<br />
Množi<strong>na</strong> M má alespoň<br />
prvků.<br />
Množi<strong>na</strong> M ná nejvýše<br />
prvků.<br />
Množi<strong>na</strong> M má nejvýše<br />
Množi<strong>na</strong> M má alespoň<br />
prvků.<br />
prvlů.
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 93<br />
Kvantifikované výroky jsou takové výroky, u nichž blíže specifikujeme jejich platnost nebo<br />
neplatnost pro určitý počet prvků, podmínek.<br />
Negace kvantifikovaných výroků:<br />
1) Pro každý prvek z množiny M platí, že má danou vlastnost.<br />
Existuje aspoň jeden prvek z množiny M, který danou vlastnost nemá.<br />
2) Existuje aspoň jeden prvek z množiny M, který má danou vlastnost.<br />
Pro každý prvek z množiny M platí, že nemají danou vlastnost.
94 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Složené výroky<br />
Definice:<br />
Konjunkce libovolných výroků je výrok, který vznikne spojením těchto výroků spojkou<br />
a, resp. a zároveň; zapisujeme ji ⋀ a čteme: „ a “ resp. „ a zároveň “.<br />
Definice:<br />
Disjunkce libovolných výroků je výrok, který vznikne spojením těchto výroků spojkou<br />
nebo; zapisujeme ji ⋁ a čteme: „ nebo “.<br />
Definice:<br />
Implikace je výrok typu „jestliže , pak “, kde jsou libovolné výroky; výrok „jestliže ,<br />
pak “ zapisujeme a čteme: „jestliže , pak ” nebo „z plyne “ nebo „ implikuje<br />
“ nebo též „platí-li , platí “. V této implikaci se výrok obvykle <strong>na</strong>zývá předpoklad,<br />
výrok závěr.<br />
Definice:<br />
Ekvivalence dvou libovolných výroků je konjunkce implikace a obrácené<br />
implikace , tj. výrok ( ) ⋀( ); zapisujeme ji a čteme: „ je<br />
ekvivalentní s “, resp. „ právě tehdy, když “ nebo též „ je nutná a postačující podmínka<br />
pro “. Zápis <strong>na</strong>povídá, že jde o implikace a .<br />
Tabulka pravdivostních hodnot:<br />
⋀<br />
⋁<br />
1 1 1 1 1 1<br />
1 0 0 1 0 0<br />
0 1 0 1 1 0<br />
0 0 0 0 1 1
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 95<br />
Výrok je pravdivý - má hodnotu 1.<br />
Výrok je nepravdivý - má hodnotu 0.<br />
( ) ( )<br />
1 1 1 0 0 1 1<br />
1 0 0 1 0 0 1<br />
0 1 1 0 1 1 1<br />
0 0 1 1 1 1 1<br />
Z tabulky je vidět, že ( ) ( ).<br />
Implikace<br />
se <strong>na</strong>zývá obměněná implikace<br />
Definiční podmínky pravdivosti základních složených výroků:<br />
Složený výrok<br />
Podmínky jeho pravdivosti<br />
Je pravdivý výrok, právě když<br />
je nepravdivý<br />
⋀ Je pravdivý výrok, právě když výroky jsou<br />
oba zároveň pravdivé<br />
⋁<br />
Je pravdivý výrok, právě když alespoň jeden<br />
z výroků<br />
je pravdivý<br />
Je pravdivý výrok, právě když ne<strong>na</strong>stává případ,<br />
že výrok je pravdivý a zároveň výrok je<br />
nepravdivý<br />
Je pravdivý výrok, právě když výroky jsou<br />
oba zároveň pravdivé, anebo oba zároveň<br />
nepravdivé
96 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Negace složených výroků:<br />
Složený výrok<br />
⋀<br />
⋁<br />
Jeho negace<br />
( ⋀ ) = ⋁<br />
( ⋁ ) = ⋀<br />
( ) = ⋀<br />
( ) =( ⋀ ) ⋁( ⋀ )
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 97<br />
Důkazy matematických vět<br />
Přímý důkaz implikace<br />
dokazované implikace.<br />
čili<br />
spočívá v tom, že sestavíme řetězec pravdivých implikací<br />
, z čehož plyne platnost<br />
Nepřímý důkaz implikace spočívá v přímém důkazu její obměny , která je s ní<br />
ekvivalentní.<br />
Důkaz sporem výroku (<strong>na</strong>př. implikace ) vychází z předpokladu vlastnosti jeho<br />
negace : sestavíme řetězec pravdivých implikací čili<br />
, kde výrok neplatí (říkáme, že jsme dospěli ke sporu), odtud vyplývá, že<br />
neplatí výrok , a tedy platí dokazovaný výrok .
98 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Výroky<br />
Varianta A<br />
Příklad: Negujte výroky a to bez použití záporu:<br />
a) Trojúhelník ABC je ostroúhlý.<br />
b) | | | | | |.<br />
c) Délka úhlopříčky jednotkového čtverce je číslo racionální.<br />
d) Přijde Petr nebo Pavel.<br />
e) Jestliže přijde Michal, přijde Jan.<br />
Řešení:<br />
a) Trojúhelník ABC je tupoúhlý nebo pravoúhlý.<br />
b) | | | | | |.<br />
c) Délka úhlopříčky jednotkového čtverce je číslo iracionální.<br />
d) Petr nepřijde a Pavel nepřijde.<br />
e) Michal přijde a Jan nepřijde.<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 99<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Negujte výroky:<br />
a) Karel přijde právě tehdy, když Josef přijde.<br />
b) Přijde An<strong>na</strong> a Ha<strong>na</strong>.<br />
2) Vyjádřete stručně pomocí složených výroků negace těchto výroků:<br />
a) Máme pivo a minerálky,<br />
b) Osvěžíme se čajem nebo kávou,<br />
c) Jestliže budu obědvat vepřové, budu pít pivo.<br />
3) Vyjádřete stručně pomocí složených výroků negace těchto výroků:<br />
a) Nemám hlad a nemám žízeň,<br />
b) Bude-li ke koupi čerstvé ovoce, nekoupím kompot,<br />
c) Grapefruity koupím právě tehdy, nebudou-li citrony.<br />
4) Negujte následující tvrzení:<br />
a) Žádný učený z nebe nespadl,<br />
b) Nic nového pod sluncem,<br />
c) Bez práce nejsou koláče.<br />
1.) a) (Buď) Karel přijde a Josef nepřijde, nebo Karel nepřijde a Josef<br />
přijde. b) An<strong>na</strong> nepřijde nebo Ha<strong>na</strong> nepřijde.<br />
2) a) Nemáme pivo nebo nemáme minerálky. b) Neosvěžíme se čajem<br />
a neosvěžíme se kávou. c) Budu obědvat vepřové nebudu pít pivo.<br />
3.) a) Mám hlad nebo mám žízeň. b) Bude čerstvé ovoce a koupím<br />
kompot. c) Budou citrony a koupím grapefruity nebo nekoupím<br />
grapefruity a nebudou citrony.<br />
4.) a) Aspoň jeden učený spadl z nebe. b) Pod sluncem je aspoň jed<strong>na</strong><br />
věc nová. c) Aspoň jeden koláč je bez práce.
100 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Výroky<br />
Varianta B<br />
Příklad:Určete pravdivostní hodnoty složeného výroku ( ⋁ ) ⋀(<br />
možných pravdivostních hodnotách .<br />
) při všech<br />
Řešení:<br />
⋁ ( ⋁ ) ( ⋁ ) ⋀( )<br />
1 1 0 1 1 0 0<br />
1 0 0 1 1 0 0<br />
0 1 1 1 1 0 0<br />
0 0 1 0 0 1 0<br />
První dva sloupce vyplníme obdobně jako definiční tabulku. Třetí sloupec získáme změnou<br />
pravdivostních hodnot v prvním sloupci. Čtvrtý sloupec vyplníme tak, že přečteme <strong>na</strong> každém<br />
řádku uspořádanou dvojici pravdivostních hodnot ze třetího a druhého sloupce- ( ) ( )<br />
( ), ( ), každé přiřadíme podle definiční tabulky jednu z hodnot 1, 0 a zapíšeme ji <strong>na</strong><br />
příslušné místo do čtvrtého sloupce.<br />
Pátý, šestý a sedmý sloupec vyplníme obdobnými postupy.<br />
Daná formule ( ⋁ ) ⋀( ) <strong>na</strong>bývá pouze hodnoty „nepravda“. Formule<br />
[( ⋁ ) ⋀( )] <strong>na</strong>bývá zřejmě ve všech případech hodnoty „pravda“.<br />
Výrokové formule, které <strong>na</strong>bývají při všech hodnotách svých proměnných pravdivostní<br />
hodnoty „pravda“, se <strong>na</strong>zývají TAUTOLOGIE.<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 101<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Ověřte pomocí tabulek , zda jsou tautologiemi tyto výrokové formule:<br />
a) ⋁( ⋁ ) ( ⋁ ) ⋁<br />
b) ⋀( ⋀ ) ( ⋀ ) ⋀<br />
2) Ověřte pomocí tabulek , zda jsou tautologiemi tyto výrokové formule:<br />
a) ⋁( ⋀ ) ( ⋁ ) ⋀( ⋁ )<br />
b) ⋀( ⋁ ) ( ⋀ ) ⋁( ⋀ )<br />
3) Ověřte pomocí tabulek , zda jsou tautologiemi tyto výrokové formule:<br />
a) [ ( ⋁ )] [( ) ⋁( )]<br />
b) [ ( ⋀ )] [( ) ⋀( )]<br />
4) Pomocí tabulky ověřte, že pro libovolné výroky platí:<br />
a) ( ⋀ ) ( ⋁ )<br />
b) ( ) ( ⋀ )<br />
1.) a) tautologie, b) tautologie.<br />
2.) a) tautologie, b) tautologie<br />
3.) a) tautologie, b) tautologie<br />
4.) a) platí, b) platí
102 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
Výroky<br />
Varianta C<br />
Příklad:<br />
a) Dokažte: pro každé ; je sudé je sudé.<br />
b) Dokažte: pro každé ; je sudé je sudé.<br />
c) Dokažte: √ je iracionální číslo.<br />
Řešení:<br />
a) Přímý důkaz provedeme sestavením řetězce obecných vět ve tvaru implikací:<br />
je sudé<br />
je sudé.<br />
b) Nepřímý důkaz provedeme jako přímý důkaz obměny dokazované věty<br />
( ) ( ) neboli<br />
je liché je liché.<br />
c) Důkaz sporem: Vyjdeme z předpokladu platnosti negace dokazované věty: Reálné<br />
číslo √ je racionální. Sestavíme řetězec implikací: √ je kladné racionální číslo<br />
√ , kde jsou nesoudělná čísla (definice),<br />
√<br />
(úprava),<br />
jsou sudá, tj. soudělná čísla (věta).<br />
Tento závěr je však ve sporu s předpokladem, že čísla<br />
jsou nesoudělná.<br />
Příklad:<br />
Varianta A<br />
Varianta B<br />
Varianta C
Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong> 103<br />
Příklady k procvičení:<br />
1) Dokažte věty:<br />
a) | |( )<br />
b) n |( )<br />
| z<strong>na</strong>čí dělí , tj. je dělitelné .<br />
2) Dokažte věty:<br />
a) |( ) n,<br />
b) |( )<br />
3) Dokažte věty:<br />
a) | |<br />
b) | |<br />
4) Dokažte, že číslo √ je iracionální.<br />
1.) a) vyjdeme z rozkladu ( ) ( ); dostáváme<br />
součin tří po sobě jdoucích přirozených čísel, ten je však dělitelný<br />
čísly 2 a 3, a dále podle předpokladu je dělitelné číslem 2. Celkem<br />
tedy číslo je dělitelné číslem 2.3.5=30.<br />
b) ( )( ) kde podle předpokladu je ,<br />
, takže ( ) a<br />
( ), přičemž jedno z čísel je<br />
jistě sudé. Odtud plyne dokazované tvrzení.
104 Základní <strong>poz<strong>na</strong>tky</strong> z <strong>matematiky</strong><br />
2.) a) přímý důkaz by vycházel z toho, že podle předpokladu<br />
kde , takže . Odtud ale neplyne nic o<br />
dělitelnosti čísla číslem 5. S<strong>na</strong>dno však provedeme nepřímý důkaz<br />
dokazované věty, tj. přímý důkaz její obměny<br />
| 5 ( ). Podle předpokladu je pak totiž ,<br />
kde , a tedy ( ) ,<br />
takže 5 nedělí ( ),<br />
b) nepřímý důkaz věty provedeme obdobně jako v případě a)<br />
3.) a<strong>na</strong>logicky jako v příkladu 10<br />
4.) Použijte se důkaz sporem.