Analytická geometrie - Student na prahu 21. století - Gymnázium ...

ANALYTICKÁ GEOMETRIEGymnázium Jiřího Wolkera v ProstějověVýukové materiály z matematiky pro vyšší gymnáziaAutoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT vevyučování matematiky na gymnáziuINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍTento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republikyProstějov 2009

Analytická geometrie 3ObsahAnalytická geometrie ................................................................................................................. 8Souřadnice .............................................................................................................................. 8Souřadnice ........................................................................................................................ 12Varianta A ........................................................................................................................ 12Souřadnice ........................................................................................................................ 13Varianta B ........................................................................................................................ 13Souřadnice ........................................................................................................................ 15Varianta C ........................................................................................................................ 15Vektory ................................................................................................................................. 16Vektory ............................................................................................................................. 23Varianta A ........................................................................................................................ 23Vektory ............................................................................................................................. 24Varianta B ........................................................................................................................ 24Vektory ............................................................................................................................. 26Varianta C ........................................................................................................................ 26Přímka .................................................................................................................................. 28Přímka .............................................................................................................................. 31Přímka .............................................................................................................................. 32Varianta A ........................................................................................................................ 32Přímka .............................................................................................................................. 33Varianta B ........................................................................................................................ 33Přímka .............................................................................................................................. 34Varianta C ........................................................................................................................ 34Polohové úlohy v rovině ...................................................................................................... 35Polohové úlohy v rovině .................................................................................................. 36Varianta A ........................................................................................................................ 36

Analytická geometrie 5Varianta A ........................................................................................................................ 61Metrické úlohy ................................................................................................................. 63Varianta B ........................................................................................................................ 63Metrické úlohy ................................................................................................................. 65Varianta C ........................................................................................................................ 65Kuželosečky a kulová plocha ................................................................................................... 67Kružnice ............................................................................................................................... 67Kružnice ........................................................................................................................... 69Varianta A ........................................................................................................................ 69Kružnice ........................................................................................................................... 71Varianta B ........................................................................................................................ 71Kružnice ........................................................................................................................... 73Varianta C ........................................................................................................................ 73Tečna kružnice ..................................................................................................................... 75Tečna kružnice ................................................................................................................. 76Varianta A ........................................................................................................................ 76Tečna kružnice ................................................................................................................. 78Varianta B ........................................................................................................................ 78Tečna kružnice ................................................................................................................. 80Varianta C ........................................................................................................................ 80Parabola ................................................................................................................................ 82Parabola ............................................................................................................................ 87Varianta A ........................................................................................................................ 87Parabola ............................................................................................................................ 89Varianta B ........................................................................................................................ 89Parabola ............................................................................................................................ 90Varianta C ........................................................................................................................ 90

6 Analytická geometrieTečna paraboly ..................................................................................................................... 92Tečna paraboly ................................................................................................................. 93Varianta A ........................................................................................................................ 93Tečna paraboly ................................................................................................................. 94Varianta B ........................................................................................................................ 94Tečna paraboly ................................................................................................................. 96Varianta C ........................................................................................................................ 96Elipsa .................................................................................................................................... 98Elipsa .............................................................................................................................. 101Varianta A ...................................................................................................................... 101Elipsa .............................................................................................................................. 102Varianta B ...................................................................................................................... 102Elipsa .............................................................................................................................. 104Varianta C ...................................................................................................................... 104Hyperbola ........................................................................................................................... 106Hyperbola ....................................................................................................................... 111Varianta A ...................................................................................................................... 111Hyperbola ....................................................................................................................... 113Varianta B ...................................................................................................................... 113Hyperbola ....................................................................................................................... 114Varianta C ...................................................................................................................... 114Elipsa, hyperbola, přímka, tečny ........................................................................................ 116Elipsa, hyperbola, přímka, tečny .................................................................................... 118Varianta A ...................................................................................................................... 118Elipsa, hyperbola, přímka, tečny .................................................................................... 120Varianta B ...................................................................................................................... 120Elipsa, hyperbola, přímka, tečny .................................................................................... 122

Analytická geometrie 7Varianta C ...................................................................................................................... 122Kulová plocha .................................................................................................................... 124Kulová plocha ................................................................................................................ 127Varianta A ...................................................................................................................... 127Kulová plocha ................................................................................................................ 129Varianta B ...................................................................................................................... 129Kulová plocha ................................................................................................................ 131Varianta C ...................................................................................................................... 131

8 Analytická geometrieAnalytická geometrieSouřadniceSoustava souřadnic na přímceNa libovolné přímce p zvolíme bod O a bod I tak, aby |OI|=1. Pak každému bodu X tétopřímky přiřadíme reálné číslo x = |OX|, pokud bod X leží na polopřímce OI, nebo číslo| |, pokud bod X leží na polopřímce opačné. Tuto přímku nazýváme ČÍSELNOUOSOU, bod se nazývá počátek soustavy souřadnic na přímce p.Soustava souřadnic v roviněDvojice číselných os x, y v rovině, pro které platí– obě osy jsou navzájem kolmé– jejich průsečíku odpovídá na obou osách číslo 0,se nazývá KARTÉZSKÁ SOUSTAVA souřadnic v rovině a označuje se O xy . Bod O jepočátek kartézské soustavy souřadnic, přímky x, y se nazývají souřadnicové osy.[ ] dvojice je uspořádaná souřadnice nelze zaměnit!

Analytická geometrie 9Soustava souřadnic v prostoruTrojice číselných os x, y, z v prostoru takových, že– každé dvě osy jsou navzájem kolmé– všechny procházejí jedním bodem– na všech osách je bodu O přiřazeno číslo 0,se nazývá kartézská soustava souřadnic O xyz . Bod nazýváme počátek, přímky x; y; z senazývají souřadnicové osy. Roviny určené dvojicemi souřadnicových os se nazývajísouřadnicové roviny.Pravotočivá soustava souřadnic:

10 Analytická geometrieLevotočivá soustava souřadnic:Vzdálenost bodů v rovině[ ] [ ]Podle Pythagorovy věty: | | ( ) ( )⇒ | | √( ) ( )Vzdálenost bodů v prostoru[ ] [ ]⇒ | | √( ) ( ) ( )

Analytická geometrie 11Střed úsečkydělí úsečku na 2 stejné částiv rovině: [ ]v prostoru:[ ]

12 Analytická geometrieSouřadniceVarianta AVypočítejte souřadnice středu úsečky AB: [ ] [ ]Příklad:Řešení:[ ][ ][ ]Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: [ ]Příklady k procvičení:1.) Vypočítejte vzdálenost bodů C; D: [ ] [ ]Řešení: | | √2.) Vypočítejte vzdálenost bodů A, B: [ ] [ ]Řešení: | |3.) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC a rozhodněte, zda je pravoúhlý.[ ] [ ] [ ]Řešení: | | | | √ | | √ ⇒ trojúhelník není pravoúhlý(neplatí Pythagorova věta).4.) Určete, který z bodů A; B; C má nejmenší vzdálenost od bodu K.[ ] [ ] [ ] [ ]Řešení: Bod A.

Analytická geometrie 13SouřadniceVarianta BSestrojte pravidelný šestiúhelník KLMNOP tak, aby střed kružnice byl v počátku O kartézskésoustavy souřadnic, aby první vrchol byl bod K[4;0] a aby pro bod L [l 1 ; l 2 ]platilo l 2 >O. Určete souřadnice všech vrcholů šestiúhelníku.Řešení:| | | | | || | √| | | || | √ √ √Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:[ √ ] [ √ ] [ ] [ √ ] [ √ ]

14 Analytická geometriePříklady k procvičení:1.)Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte krychli ABCDEFGH;[ ] [ ] [ ] . Zapište souřadnice ostatních vrcholů krychle.Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2.) Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte kvádr ABCDEFGH;[ ] [ ] [ ] , jeho výška je 6. Určete souřadnice zbývajících vrcholů.Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]3.) Určete obraz bodu K ve středové souměrnosti se středem S; [ ] [ ]Řešení: [ ]4.) Vypočítejte délku těžnice t c trojúhelníku ABC. [ ] [ ] [ ]Řešení: | | √ √

Analytická geometrie 15SouřadniceVarianta CUrčete číslo r tak, aby vzdálenost bodů[ ] [ ] byla √ .Příklad:√( ) ( ) ( ) √⇒Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:1.) Na ose y určete bod Y tak, aby jeho vzdálenost od bodu [ ] byla √ .Řešení: [ ] [ ]2.) Na ose x najděte bod X tak, aby měl od bodu A dvakrát větší vzdálenost než od bodu B.[ ] [ ] .Řešení: [ ] [ ]3.) V kartézské soustavě souřadnic O xyz zakreslete pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehožvýška je 6 a zapište souřadnice bodu V. [ ] [ ] [ ]Řešení: [ ]4.) Jsou dány body S 1 ; S 2 . K libovolnému bodu A určete jeho obraz A 1 ve středovésouměrnosti se středem S 1 . Pak najděte obraz bodu A 1 ve středové souměrnosti se středem S 2a tento obraz označte A 2 . Určete vzdálenost bodů A; A 2 .[ ] [ ] [ ]Řešení: [ ] [ ] ⇒ | | √ √

16 Analytická geometrieVektoryOrientovaná úsečka ⃗⃗⃗⃗⃗ je úsečka AB, jejíž krajní body mají určené pořadí. Bod A jepočáteční bod, bod B je koncový bod orientované úsečky. Velikost orientované úsečky jevzdálenost bodů A, B. Nulová orientovaná úsečka má počáteční bod totožný s koncovýmbodem. Její velikost je nula.Nenulový vektor je množina všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejnouvelikost a stejný směr.Dva vektory ⃗mají stejný směr, jestližea) polopřímky ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ jsou rovnoběžné a obě leží ve stejné polorovině s hraniční přímkouAC.b) přímky ⃡⃗⃗⃗⃗ ⃡⃗⃗⃗⃗ jsou totožné a průnikem polopřímek ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ je opět polopřímka.Nulový vektor je množina všech nulových orientovaných úseček, značíme ho .Každou orientovanou úsečku ⃗⃗⃗⃗⃗ , která představuje vektor ⃗ , nazýváme umístěním vektoru⃗ .

Analytická geometrie 17Souřadnice vektoruJe-li vektor ⃗ určen orientovanou úsečkou ⃗⃗⃗⃗⃗ , pak ⃗ .[ ] [ ] ⃗ ( ) ( )⃗Operace s vektorySoučet vektorů⃗ ; ; ⃗ ⃗⃗

18 Analytická geometriePro každé dva vektory v rovině nebo prostoru platí:⃗ ⃗ ⃗ ⃗Pro každé tři vektory v rovině nebo prostoru platí:( ⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗ )Sčítání vektorů ke komutativní a asociativní.Je-li ⃗ , pak vektor je opačný k ⃗ a značíme ho ⃗ .⃗ ⃗⃗ ( ⃗ )Rozdíl vektorů⃗ ( ⃗ )⃗ ( )

Analytická geometrie 19Násobení vektoru číslemNásobek nenulového vektoru ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ reálným číslem je vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ , kde C je bod, pro kterýplatí:a) | | | |b) je-li , leží bod C na polopřímce ABJe-li , leží bod C na polopřímce opačné k polopřímce AB⃗ ( )Platí: pro každé dva vektory ⃗ a každé R⃗( ) ⃗ ⃗( ⃗ ) ( ) ⃗ asociativnost násobení vektoru číslem( ⃗ ) ⃗ distributivnost násobení součtu vektorů číslem( ) ⃗ ⃗ ⃗ distributivnost násobení vektoru součtem číselLineární kombinace vektorůLineární kombinací vektorů ⃗ ⃗⃗ je vektor ⃗ ⃗⃗ , kde . Lzevytvořit lineární kombinaci libovolného počtu vektorů. Lineární kombinace jednoho vektoruje jeho reálný násobek.Vektory se nazývají lineárně závislé právě tehdy, když lze jeden z nich vyjádřit jako lineárníkombinaci ostatních. Nejsou-li vektory lineárně závislé, nazývají se lineárně nezávislé.Skalární součin vektorůVelikost vektoru ⃗ je velikost kterékoliv orientované úsečky ⃗⃗⃗⃗⃗ , která je jeho umístěním.Platí:| ⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗ | | | . Jednotkový vektor má velikost 1, nulový vektor má velikost 0.Pro každý vektor ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) v rovině platí:| ⃗ | √ .Pro každý vektor ⃗ ( ) v prostoru platí: | ⃗ | √ .Skalární součin ⃗ dvou nenulových vektorů je reálné číslo, které je rovno součinuvelikostí těchto vektorů a kosinu velikosti úhlu φ, který tyto vektory svírají.

20 Analytická geometrie⃗ | ⃗ | | |Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ) ( ) v rovině:⃗Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ⃗ ( ) ( )v prostoru:⃗Vlastnosti skalárního součinu⃗ ⃗ komutativnost skalárního součinu vektorů( ⃗ ) ( ⃗ ) asociativnost skalárního součinu vzhledem k násobeníčíslem( ⃗ ) ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ distributivnost skalárního součinu vzhledem ke sčítánívektorů⃗ ⃗ ⃗ | ⃗ |Velikost úhlu dvou vektorů ⃗lze určit použitím skalárního součinu:⃗ ⃗| ⃗ | | ⃗ |√√⃗ ⃗| ⃗ | | ⃗ |√√Vektorový součinVektorový součin dvou vektorů ⃗, které neleží v jedné přímce, je vektor ⃗⃗ , pro který platí:a) vektor ⃗⃗ je kolmý k oběma vektorům ⃗b) vektor ⃗⃗ je orientován vůči vektorů ⃗ pravotočivě, tedy podle pravidla pravé rukyc) | ⃗⃗ | | ⃗ | | | , kde je úhel vektorů ⃗ .

Analytická geometrie 21Vektorový součin dvou vektorů, které leží v jedné přímce, je nulový vektor.Vektorový součin ⃗ ⃗⃗ ( )Příklad: ⃗ ( ) ( )⃗ ( ( ) ( ) ) ( ) ( )Užití vektorového součinu:1. při určení vektoru kolmého ke dvěma daným vektorům2. při výpočtu obsahu rovnoběžníku ABCD, popř. trojúhelníku ABCObsah rovnoběžníku ABCD je | ⃗ |Obsah trojúhelníku ABC je | ⃗ |

22 Analytická geometrieSmíšený součinSmíšený součin vektorů ⃗ ⃗⃗ v tomto pořadí je číslo, které vypočteme ( ⃗ ) ⃗⃗ .Užití smíšeného součinu:Pro objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH platí:|( ⃗ ) ⃗⃗ | , kde ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .Objem trojbokého hranolu je roven polovině objemu rovnoběžnostěnu.Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu rovnoběžnostěnu.Objem čtyřstěnu je roven šestině objemu rovnoběžnostěnu.

Analytická geometrie 23VektoryVarianta AJsou dány body [ ] [ ] [ ].a) Rozhodněte, zda body A, B, C leží na přímceb) Určete číslo tak, aby bod [ ] ležel na přímce AB.Příklad:a) Leží-li body A, B, C na jedné přímce, musí platit, že ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ body A; B; C leží v jedné přímceb) Má-li bod D ležet na přímce AB, musí platit ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ ⇒Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: ) body A; B; C leží v jedné přímceb)Příklady k procvičení:1.) Vektor ( ) zapište jako lineární kombinaci vektorů ⃗ ( ) ( ).Řešení:⃗2.) Určete číslo tak, aby velikost vektoru ( ) byla 10.Řešení:3.) V trojúhelníku ABC označte vektory ⃗ . Jako lineární kombinacivektorů ⃗ zapište následující vektory:a) ⃗⃗⃗⃗b) ⃗⃗⃗⃗⃗ , kde je střed strany BC.Řešení: a) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ; b) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗4.) Je dán vektor ( ). Určete tak, aby vektor ( ) byl kolmýk vektoru .Řešení:

24 Analytická geometrieVektoryVarianta BJe dán vektor ⃗ (√ ). Určete souřadnice vektoru , který svírá s vektorem ⃗ úhela jehož velikost je 4.Příklad:⃗ ⃗| ⃗ | | ⃗ |√√√∧ √√⇒√Dosadíme do vztahu pro velikost vektoru√ (√ ) | 2√√( √ ) ⇒ √⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( √ )Příklad:Varianta AVarianta BVýsledek řešení: ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( √ )Varianta CPříklady k procvičení:1.) Je dán vektor ( ). Určete tak, aby pro vektor ⃗ ( ) platilo | ⃗ | .Řešení:2.)Určete vektor tak, aby platilo ∧ | | √ , kde ( ).Řešení: ⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗ ( )3.) Jsou dány body [ ] [ ] Určete souřadnice bodů B, C, D tak, aby čtyřúhelníkABCD byl čtverec. Bod S je střed čtverce.Řešení: [ ] [ ] [ ]

Analytická geometrie 254.) Jsou dány body [ ] [ ]. Určete bod C tak, aby platilo:a) bod C leží na ose x a | |b) bod C leží na ose y a | |Řešení: a) [ ] [ ]; b) [ ]

26 Analytická geometrieVektoryVarianta CJsou dány body [ ] [ ] [ ].a) Dokažte, že body A, B, C tvoří trojúhelník.b) Určete reálná čísla tak, aby body [ ] [ ] ležely na přímce AB.Příklad:a) Body A, B, C tvoří trojúhelník, jestliže vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ není násobkem vektoru ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ není násobkem vektoru ⃗⃗⃗⃗⃗ , proto body A, B, Ctvoří trojúhelník.b) ⃗⃗⃗⃗⃗ musí být násobek vektoru ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )⇒⃗⃗⃗⃗⃗ musí být násobek vektoru ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )⇒Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: ;Příklady k procvičení:1.) Jsou dány vektory ⃗ ( ) ( ). Určete hodnotu parametru tak, abyplatilo | ⃗ | √ .Řešení:2.) Na ose určete bod V tak, aby objem čtyřstěnu ABCDV, kde[ ] [ ] [ ] byl 14.Řešení: [ ] [ ]

Analytická geometrie 273.) Na ose y určete bod C tak, aby obsah trojúhelníku ABC byl 10. [ ] [ ].Řešení: [ √ ] [ √ ]4.) Je dán vektor ( ) Určete tak, aby pro vektor ⃗ ( ) platilo | ⃗ | .Řešení:

28 Analytická geometriePřímkaPřímka je dána dvěma různými body A, B.Vektor ⃗ se nazývá směrový vektor přímky AB.Přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů, lze ji totiž určit pomocí nekonečného počtudvojic bodů.1.) Parametrická rovnice přímkyParametrická rovnice přímky AB je rovnice⃗Proměnná se nazývá parametr. Každé hodnotě parametru odpovídá jeden bod přímkyAB.Je-li z množiny všech nezáporných čísel, jde o vyjádření polopřímky AB, je-li〈 〉, jde o vyjádření úsečky AB, je-li z množiny všech nekladných čísel,jde o polopřímku opačnou k polopřímce AB.Mějme v rovině body [ ] [ ] a vektor ⃗ ( ). Rovnici přímky⃗ lze rozepsat do soustavy rovnic s parametrem :

Analytická geometrie 292.) Obecná rovnice přímkyObecná rovnice přímky má tvar , kde a alespoň jednaz konstantje nenulová.⃗ ( ) je normálový vektor = je kolmý na směrový vektor přímky ⇒ skalární součin ⃗ a ⃗ jenula.⇒ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗( ) ( )⇒kde

30 Analytická geometrie3.) Směrnicový tvar rovnice přímkyRovnice se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo je směrnicepřímky.Směrnice přímky je rovna , kde je odchylka přímky od kladné poloosy .Přímka rovnoběžná s osou nemá žádnou směrnici, směrnicový tvar neexistuje.Přímka se směrovým vektorem ⃗ ( ) má směrnici .Přímka kolmá na přímku má směrnici .Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li buď obě rovnoběžné s osou , nebo jsouobě různoběžné s osou a mají stejnou směrnici.4.) Úsekový tvar rovnice přímkyZískáme z obecné rovnice přímky tak, že ji vydělíme číslem .∧ , kde [ ] [ ] jsou průsečíky s osami soustavysouřadnic.

Analytická geometrie 31PřímkaJe dána přímka . Sestavte její parametrické rovnice, obecnou rovnici, zapište ji vesměrnicovém a úsekovém tvaru, pokud existují.a) Přímka je daná bodem [ ] a směrovým vektorem ⃗ ( ).b) Přímka je daná bodem [ ] a normálovým vektorem ⃗ ( ).Příklad:Řešení:a) parametrické rovnice:obecná rovnice: normálový vektor ⃗ ( ) ⇒ , pro výpočetdosadíme za a souřadnice bodu A ⇒ ⇒ ⇒směrnicový tvar: , pro výpočet dosadíme do rovnice bod A ⇒⇒úsekový tvar: průsečík s osou : [ ]s osou y: [ ]b) parametrické rovnice: ⃗ ( ) ⇒obecná rovnice: , po dosazení bodu B ⇒ ⇒ .směrnicový tvar: , po dosazení bodu B ⇒ ⇒úsekový tvar:

32 Analytická geometriePřímkaVarianta ANapište obecnou rovnici přímky , která prochází bodem [: .] a je rovnoběžná s přímkouPříklad:Každá rovnoběžná přímka s přímkou má stejný normálový vektor jako přímka ⇒⃗ ( ): , dosadíme bod K ⇒ ⇒ ⇒ .Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:) Napište obecnou rovnici přímky která prochází bodem [ ] a je kolmá napřímku : .Řešení: :2.) Body [ ] [ ] určují přímku . Napište obecnou rovnici přímky, která procházístředem úsečky KL a je kolmá na přímku AB, [ ] [ ].Řešení:) Jsou dány dva body [ ] [ ]. Napište rovnici osy úsečky MN; polopřímkyMN; polopřímky NM.Řešení: Osa: ; polopřímka MN: 〈 )Polopřímka : 〈 ).4.) Jsou dány body [ ] [ ]. Napište obecnou rovnici kolmice k úsečce ABv bodě A.Řešení:

Analytická geometrie 33PřímkaVarianta BBody [ ] [ ] [ ] jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadniceprůsečíku os jeho stran.Příklad:[ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ :[ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ :[ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ :Z první osy plyne pro průsečík, že jeho y-ová souřadnice je 1,5; z druhé osy, že x-ovásouřadnice je 1,5 ⇒ [ ].Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: [ ]Příklady k procvičení:1.) Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky , která prochází bodem[ ] a je kolmá k přímce : .Řešení: : : .2.) Určete souřadnici bodu [ ] tak, aby bod A ležel na přímce KL, kde[ ] [ ].Řešení: .3.) Body [ ] [ ] [ ] jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Napište obecné rovnicepřímek, na nichž leží těžnice trojúhelníku JKLM a určete souřadnice těžiště.Řešení: : : : [ ]4.) Je dána polopřímka {[ ] ( 〉}. Určete souřadnice počátečníhobodu A dané polopřímky. Určete tak, aby bod [ ] ležel na dané polopřímce.Řešení: [ ] .

34 Analytická geometriePřímkaVarianta CUrčete hodnotu parametru tak, aby přímka procházelapočátkem soustavy souřadnic.Příklad:Má-li přímka procházet počátkem soustavy souřadnic, musí bod [ ] vyhovovat rovnicipřímky. Dosadíme proto do rovnice přímky za nulu a dostaneme: .√( ) ( )⇒Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:1.) Je dán trojúhelník EFG, [ ] [ ] [ ]. Určete v parametrickém tvarurovnici přímky, na které leží střední příčka rovnoběžná s FG.Řešení: .2.) Je dán trojúhelník KLM, [ ] [ ] [ ]. Vypočítejte souřadnice těžiště T.Řešení: [ ] .3.) Osy a přímka AB, kde [ ] [ ], určují trojúhelník. Vypočítejte jeho obsah.Řešení:4.) Určete reálné číslo tak, aby bod K ležel na přímce MN, je-li:[ ] [ ] [ ].Řešení: .

Analytická geometrie 35Polohové úlohy v roviněVzájemnou polohu dvou přímek lze vyšetřit dvěma způsoby:1.) řešíme soustavu složenou z obou rovnic, o vzájemné poloze rozhodne počet řešení1 řešení různoběžné, 1 průsečík0 řešení rovnoběžné různéřešenítotožné2.) určíme směrové (normálové) vektory obou přímekPřímky jsou rovnoběžné, jestliže: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , kde { }; ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗{ }).Dvě přímky ( ⃗ ) a ( ) jsou totožné, jsou-li rovnoběžné a leží-li bod Q na přímce .Přímky jsou k sobě kolmé, jsou-li jejich směrové (normálové) vektory navzájem kolmé,tj. platí-li ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).

36 Analytická geometriePolohové úlohy v roviněVarianta AVyšetřete vzájemnou polohu přímek KL a MN, znáte-li souřadnice bodů, kterými dané přímkyprocházejí; [ ] [ ] [ ] [ ].Příklad:⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ :⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ :Přímky jsou různoběžné, protože ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Průsečík má x-ovou souřadnici (plyne z rovnice přímky KL), y-ovou souřadnicidopočítáme z rovnice přímky MN ⇒ [ ].Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: Přímky jsou různoběžné; [ ]Příklady k procvičení:1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek ;{[ ]} {[ ]}.Řešení: Rovnoběžné různé2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek .{[ ]} {[ ]}Řešení: Různoběžné; [ ]3.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek .{[ ]} {[ ]} .Řešení: totožné4.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek .: : .Řešení: Různoběžné, [ ]

Analytická geometrie 37Polohové úlohy v roviněVarianta BUrčete hodnotu parametru tak, aby přímka procházelaprůsečíkem přímek : : .Příklad:|po sečtení obou rovnic dostaneme: ⇒ ⇒ [ ].Nyní bod X dosadíme do rovnice přímky s parametrem ⇒.Příklad:Varianta AVýsledek řešení:Varianta BVarianta C⇒Příklady k procvičení:1.) Vyšetřete vzájemnou polohu úseček.{[ 〈 〉]} {[ 〈 〉]}.Řešení:2.) Průsečíkem přímek {[ ]} {[ ]} veďte kolmicik přímce {[ ]}.Řešení:3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníku KLM tak, aby jeho strany ležely na přímkách: : : .Řešení: [ ] [ ] [ ]4.) Je dána úsečka KL, kde [ ] [ ]. Určete hodnotu parametru tak, abyúsečka AB protínala úsečku KL v jejím středu. Souřadnice bodů A, B jsou[ ] [ ].Řešení:

38 Analytická geometriePolohové úlohy v roviněVarianta CZjistěte, zda bod [ ] je vnitřním bodem trojúhelníku ABC,[ ] [ ] [ ].Příklad:Má-li bod K ležet uvnitř trojúhelníku ABC, musí ležet ve stejné polorovině s hraniční přímkouAB jako bod C, ve stejné polorovině s hraniční přímkou BC jako bod A a ve stejné poloroviněs hraniční přímkou AC jako bod B.Přímka AB má rovnici, polorovina s bodem C má rovnici.Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, bod K proto leží vestejné polorovině jako bod C.Přímka AC má rovnici , polorovina s bodem B má rovnici .Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, proto bod K leží vestejné polorovině jako bod B.Přímka BC má rovnici, polorovina s bodem A má vyjádření. Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí.Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC.Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC.Příklady k procvičení:1.) Jsou dány body [ ] [ ] a vektor ( ). Napište analytické vyjádřenípoloroviny , je-li ( ).Řešení:

Analytická geometrie 392.) Určete reálné číslo tak, aby přímka s parametrickým vyjádřenímprocházela průsečíkem přímek {[ ]}{[ ]}.Řešení:3.) Určete hodnoty parametrů tak, aby přímky byly totožné.{[ ]} {[ ]}.Řešení:4.) Určete všechny hodnoty parametru tak, aby bod [ ] ležel v polorovině.Řešení: 〈 )

40 Analytická geometrieMetrické úlohy v roviněPatří sem úlohy, ve kterých je použito měření – vzdálenosti bodů, velikosti úhlů apod.Vzdálenost bodu od přímkyPostup vidíme z obrázku:1.) bodem X vedeme kolmici k přímce2.) najdeme průsečík P kolmice vedené bodem X a přímky3.) Určíme vzdálenost | |[ ] : . Pak kolmice má rovnici: ∧.Hledáme průsečík [ ] přímek .( ) ( ), kde je vypočítaná hodnota parametru.Pak √( ) ( )√| | √Jestliže dosadíme za , dostaneme:| |√

Analytická geometrie 41Odchylka dvou přímekOdchylka přímek je ta velikost úhlu, která leží v intervalu 〈 〉.Odchylku přímek určíme pomocí úhlu směrových vektorů (případně normálových vektorů).| ⃗ || ⃗ | | |

42 Analytická geometrieMetrické úlohy v roviněVarianta ANa přímce : určete bod P tak, aby jeho vzdálenost od přímky :byla 3.Příklad:Má-li bod P ležet na přímce , musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici přímky ⇒[ ].Dosadíme do vzorce pro vzdálenost:Po úpravě dostaneme: | |Řešíme rovnici s absolutní hodnotou:Dostáváme řešení: a[ ] [ ] .| ( ) |√Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: [ ] [ ]Příklady k procvičení:1.) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžek : a : .Řešení:2.) Na přímce : najděte bod A tak, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný sezákladnou BC, kde [ ] [ ].Řešení: [ ]3.) Na ose najděte bod P, který má od bodu [ ] vzdálenost 7.Řešení: [ √ ] [ √ ].4.) Vypočítejte obvod trojúhelníku KLM, kde [ ] [ ] [ ].Řešení: √ √ .

Analytická geometrie 43Metrické úlohy v roviněVarianta BVypočítejte odchylku přímek : : .Příklad:Určíme normálové vektory obou přímek: ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )Úhel přímek vypočteme dosazením do vzorce:| ( ) ( )|√ ( ) √ ( )⇒Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:1.) Jsou dány dvě přímky : : . Určete hodnotu parametrutak, aby přímky svíraly úhel .Řešení:2.) Vypočítejte odchylku přímek {[ ] } {[ ] }.Řešení:3.) Vypočítejte odchylku přímek : : .Řešení:4.) Vypočítejte odchylku přímek : : .Řešení:

44 Analytická geometrieMetrické úlohy v roviněVarianta CBody [ ] [ ] [ ] jsou středy stran trojúhelníku KLM. Vypočítejtesouřadnice vrcholů .Příklad:Na přímce, spojující středy dvou stran, leží střední příčka v trojúhelníku, proto má tato přímkastejný směrový (normálový) vektor jako přímka, na které leží třetí strana.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )Přímka KM má tedy rovnici: .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )Přímka LM má tedy rovnici: .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )Přímka KL má tedy rovnici: .Řešíme vzájemnou polohu těchto přímek jako soustavy rovnic.{ } [ ] { } [ ] [ ] .Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: [ ] [ ] [ ]Příklady k procvičení:1.) Určete bod R tak, aby trojúhelník PQR byl pravoúhlý a rovnoramenný s přeponou PQ, kde[ ] [ ].Řešení: [ ] [ ]2.) Určete souřadnice vrcholů čtverce ABCD, jestliže [ ] [ ].Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ].3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů čtverce KLMN, je-li [ ] [ ].Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ].4.) V rovnoramenném trojúhelníku EFG se základnou EF, [ ] [ ] leží vrchol G napřímce . Určete souřadnice vrcholu G.Řešení: [ ]

Analytická geometrie 45Přímka, rovina1.) Parametrická rovnice rovinyRovina je dána třemi body, které neleží v jedné přímce. Proto lze sestavit dva vektory⃗ ⃗ ležící v této rovině. Rovinu značíme malými písmeny řecké abecedy.Rovinu, která je dána bodem A a směrovými vektory ⃗ ⃗ , zapisujeme ( ⃗ ).Rovnicese nazývá parametrická rovnice roviny ABC.Můžeme opět rozepsat:2.) Obecná rovnice rovinyUžívá se častěji než parametrická. Rovinu určíme bodem P a vektorem ⃗ , který je k ní kolmý.Tento vektor se nazývá normálový. Bod X leží v rovině právě tehdy, jestliže vektor jekolmý k vektoru ⃗ ⇒ ( ) .Bod X má souřadnice [ ], bod P má souřadnice [ ] a normálový vektormá souřadnice ⃗ ( ) Pak můžeme psát:( ) ( ) ( )Po úpravě dostaneme

46 Analytická geometrieOznačíme výraza máme obecnou rovnici roviny:Poznámka: známe-li dva směrové vektory roviny, normálový vektor určíme jako vektorovýsoučin těchto dvou vektorů.3.) Úsekový tvar rovnice rovinyRovina určená body [ ] [ ] [ ] má rovnici

Analytická geometrie 47Přímka a rovinaVarianta AJsou dány body [ ] [ ]. Rozhodněte, zda body [ ] [ √ √ ]leží na přímce KL, a určete tak, aby bod [ ] ležel na přímce KL.Příklad:Napíšeme rovnice přímky KL: ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ .Dosadíme postupně souřadnice bodů do rovnice přímky KL.∧ ∧ ⇒ bod A neleží na přímce KL.Totéž provedeme s bodem B: √ ∧ ∧ √ . Prostřední rovniceplatí vždy, z první i třetí rovnice plyne, že √ , proto bod B leží na přímce KL.Do rovnice přímky KL nyní dosadíme souřadnice bodu C:∧ ∧ .Z prostřední rovnice určíme, že ; dosadíme do první rovnice ⇒ a po dosazení dotřetí rovnice zjistíme, že .Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: bod A neleží na přímce KL; bod B leží na přímce KL;;

48 Analytická geometriePříklady k procvičení:1.) Je dána přímka {[ ] }. Rozhodněte, zda body[ ] [ ] leží na přímce a určete tak, aby bod [ ] ležel napřímce .Řešení: 2.) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka {[ ] } protínásouřadnicové roviny.Řešení: [ ] [ ] neexistuje3.) Napište parametrické rovnice přímky , která prochází bodem [ ] a je rovnoběžnás přímkou {[ ] }.Řešení:4.) Napište parametrické rovnice přímky , která prochází bodem [ ] a je rovnoběžná sosou .Řešení:

Analytická geometrie 49Přímka a rovinaVarianta BDokažte, že body [ ] [ ] [ ] určují rovinu a napište jejíparametrické rovnice, určete její obecnou rovnici a vypočítejte souřadnice bodů, ve kterýchrovina KLM protíná souřadnicové osy.Příklad:3 body určují rovinu, pokud neleží v jedné přímce, čili vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ body určují rovinu.⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ⇒ .Průsečíky se souřadnicovými osami mají vždy dvě souřadnice nulové ⇒[ ] [ ] [ ]Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: body určují rovinu;[ ] [ ] [ ]Příklady k procvičení:1.) Je dána rovina {[ ] }. Vypočítejte průsečíkyroviny se souřadnicovými osami.Řešení: [ ] [ ] [ ]2.) Zjistěte, zda body [ ] [ ] [ ] [ ] leží v jedné rovině.Řešení: neleží

50 Analytická geometrie3.) V soustavě souřadnic v prostoru je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV tak, že[ ] [ ] [ ] [ ]. Napište parametrické vyjádření roviny BCV.Řešení:4.) Jsou dány body [ ] [ ] [ ]. Napište parametrické vyjádřenítěžnice trojúhelníku KLM, která prochází bodem K.Řešení: 〈 〉

Analytická geometrie 51Přímka a rovinaVarianta CDokažte, že přímky {[ ] } {[ ] }určují rovinu a napište její obecnou rovnici.Příklad:Přímky určují rovinu, pokud bod jedné přímky neleží na přímce druhé, což ověřímedosazením bodu [ ] z přímky do rovnic přímky .∧ ∧ ⇒ bod neleží na přímce ⇒ přímky určují rovinu.Vypíšeme si směrový vektor přímky : ⃗⃗⃗⃗ ( ) a určíme vektor daná body v oboupřímkách ( ) ( ). Vektorový součin těchto směrovýchvektorů určí normálový vektor hledané roviny ⇒ ⃗ ( ) ( ). Proto rovnicehledané roviny je ,kde člen vypočítáme dosazením některého bodukterékoliv ze zadaných přímek do této rovnice ⇒ .Příklad:Varianta AVarianta BVýsledek řešení:Varianta CPříklady k procvičení:1.) Dokažte, že přímka {[ ] } a bod [ ] určují rovinu anapište její obecnou rovnici.Řešení:2.) Je dána rovina {[ ] }. Napište jejíobecnou rovnici.Řešení:3.) Napište obecnou rovnici roviny , ve které leží body [ ] [ ] a rovina jekolmá k rovině : .Řešení: :4.) Kolmicemi sestrojenými z bodu [ ] na roviny :: proložte rovinu . Určete její obecnou rovnici.Řešení: :

52 Analytická geometriePolohové úlohy v prostoru1.) Vzájemná poloha přímekDvě přímky v prostoru mohou být totožné, rovnoběžné různé, různoběžné nebo mimoběžné.Základním kritériem jsou směrové vektory obou přímek.Je-li ⃗ ⃗ , jsou přímky totožné nebo rovnoběžné různé. Která z možností to bude,rozhodneme podle toho, zda bod jedné přímky leží na přímce druhé – pokud ano, jsou přímkytotožné, pokud ne, jsou rovnoběžné různé.Je-li ⃗ ⃗ , jsou přímky různoběžné nebo mimoběžné. Řešíme vzájemnou polohu těchtopřímek, v případě společného bodu jsou přímky různoběžné a určujeme průsečík, v případě,že společný bod neexistuje, jsou přímky mimoběžné.2.) Vzájemná poloha přímky a rovinyPřímka buď leží v rovině (pak je mnoho společných bodů), je rovnoběžná různá s rovinou(žádný společný bod) nebo je různoběžná a pak určujeme 1 společný bod. Řešíme nejsnadnějidosazením parametrických rovnic přímky do obecné rovnice roviny a podle počtu řešenírozhodneme o vzájemné poloze.3.) Vzájemná poloha 2 rovinDvě roviny mohou být totožné, rovnoběžné různé nebo různoběžné. Která z možností nastane,závisí na rovnicích obou rovin. V nejjednodušším případě máme obecné rovnice obou rovin asledujeme normálové vektory obou rovin. Pokud platí, že ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∧ , pak jsouroviny totožné. Pokud platí, že ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∧ , pak jsou roviny rovnoběžné různé.Pokud platí, že ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , pak jsou roviny různoběžné a pak určujeme průsečnici. Přihledání průsečnice dvou různoběžných rovin hledáme dva body, které leží zároveň v první idruhé rovině. To zajistíme tak, že zvolíme dvě ze tří souřadnic a třetí souřadnici dopočítámepří řešení soustavy dvou rovnic, které získáme dosazením zvolených souřadnic do obourovnic rovin.

Analytická geometrie 53Polohové úlohy v prostoruVarianta AVyšetřete vzájemnou polohu přímek:{[ ] } {[ ] }Vypíšeme si směrové vektory obou přímek: ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ). Vektorpřímky není násobkem směrového vektoru přímky ⇒ přímky jsou různoběžné nebomimoběžné. Budeme řešit jako soustavu, pokud bude mít řešení, jsou přímky různoběžné,pokud ne, jsou mimoběžné.Příklad:Po sečtení prvních dvou rovnic zjistíme, že Dosazením do 1. Rovnice vypočteme.Nyní obě hodnoty dosadíme do třetí rovnice. ( ) , což je výrok pravdivý.Přímky jsou proto různoběžné. Musíme tedy určit průsečík (dosazením např. hodnotydo rovnice přímky ).Průsečík má tedy souřadnice [ ].Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: přímky jsou různoběžné, [ ].

54 Analytická geometriePříklady k procvičení:1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek:{[ ] } {[ ] }Řešení: přímky jsou rovnoběžné různé2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek:{[ ] } {[ ] }Řešení: přímky jsou totožné3.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek:{[ ] } {[ ] }Řešení: přímky jsou mimoběžné4.) Určete hodnotu parametru tak, aby přímky byly různoběžné. Pak vypočítejtesouřadnice průsečíku přímek{[ ] } {[ ] }Řešení: ⇒ [ ]

Analytická geometrie 55Polohové úlohy v prostoruVarianta BVyšetřete vzájemnou polohu přímky a roviny:a) {[ ] } :b) {[ ] } :c) {[ ] } :Příklad:Vzájemnou polohu přímky a roviny vyšetřujeme dosazením přímky do rovnice roviny.a) ( ) ⇒ ⇒ ⇒ přímka je různoběžnás rovinou, mají společný 1 bod, jehož souřadnice zjistíme dosazením do rovnicepřímky ⇒ [ ].b) ( ) ( ) ( ) ⇒ ⇒ přímka je rovnoběžnárůzná s rovinouc) ( ) ( ) ⇒ ⇒ přímka leží v roviněPříklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: a) [s rovinou; c) přímka leží v rovině]; b) přímka je rovnoběžná různáPříklady k procvičení:1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky [ ] [ ] a roviny , která jedána body [ ] [ ] [ ].Řešení: přímka je různoběžná s rovinou, [ ].2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky {[ ] } a roviny{[ ] }.

56 Analytická geometrieŘešení: přímka je rovnoběžná různá s rovinou3.) Jsou dány body [ ] [ ] [ ] [ ]. Určete, pokudexistuje, průsečík úsečky KL a přímky MN.Řešení: [ ].4.) Ukažte, že přímka , kde [ ] [ ] je různoběžná s rovinou o rovnici. Potom najděte jejich průsečík.Řešení: [ ].

Analytická geometrie 57Polohové úlohy v prostoruVarianta CVyšetřete vzájemnou polohu rovin : : .Podle souřadnic normálových vektorů vidíme, že roviny jsou různoběžné, budeme protohledat rovnici přímky, která je průsečnicí rovin. Hledáme tedy dva body, které leží současněv obou rovinách.Příklad:Zvolíme si jednu souřadnici každého bodu libovolně, zbylé dvě souřadnice vypočteme zesoustavy rovnic.[ ] ⇒ dosadíme souřadnice bodu A do rovnic obou rovin⇒ ⇒ ⇒ [ ].Totéž provedeme pro bod B: [ ]⇒ ⇒ ⇒ [ ]Nyní určíme směrový vektor přímky AB, ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )Průsečnice má tedy rovnici: {( ) }.Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: roviny jsou různoběžné, {() }.

58 Analytická geometriePříklady k procvičení:1.) Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny {[] } {[ ] }.Řešení:roviny jsou rovnoběžné různé2.) Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny {[] } {[ ] }.Řešení: roviny jsou totožné3.) Určete hodnoty parametrů tak, aby roviny : :byly a) rovnoběžné; b) různoběžné; c) navzájem kolméŘešení: a) ∧ ; b) ; c)4.) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin {[ ] }{[ ] }.Řešení: roviny jsou totožné

Analytická geometrie 59Metrické úlohy1.) Vzdálenost bodu od přímkyPostup:a.) Určíme parametrické vyjádření přímky : ⃗b.) Z podmínky ( ) ⃗ určíme tu hodnotu parametru , pro kterou platí (vizobr.).c.) Určíme vzdálenost | |2.) Vzdálenost bodu od rovinyBodem P vedeme přímku kolmou k rovině , určíme průsečík R přímky p a roviny aurčíme vzdálenost | |.: ; [ ]; {[ ] }.Hledáme průsečík přímky p s rovinou tak, že rovnice přímky dosadíme do rovnice roviny.( ) ( ) ( )OdtudTuto hodnotu dosadíme do parametrického vyjádření přímky a dostaneme souřadnice bodu R.Platí ( ), kde je vypočítaná hodnota.Proto | | | | √ .

60 Analytická geometrieVzdálenost bodu [ ] od roviny : je vyjádřena| |√3.) Odchylka dvou přímekOdchylka přímek ( ⃗ ) ( ) je číslo 〈 〉, pro které platí:| ⃗ || ⃗ | | |4.) Odchylka přímky a rovinyJe-li přímka p kolmá k rovině , je odchylka přímky p a roviny rovna Pokud přímka pnení kolmá k rovině , vedeme jí rovinu kolmou k rovině . Rovina protne rovinuv přímce p´. Odchylka přímky p a roviny je pak odchylka přímek p, p´.Výhodnější je sestrojit přímku q kolmou k rovině . Jestliže odchylka přímek p a q je, pak5.) Odchylka dvou rovinOdchylku rovin a snadno určíme pomocí normálových vektorů těchto rovin.Platí:| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ || ⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗ |

Analytická geometrie 61Metrické úlohyVarianta AV trojúhelníku ABC vypočítejte výšku , víte-li, že [ ] [ ] [ ].Příklad:Počítáme vzdálenost bodu A od přímky BC.Směrový vektor přímky BC je ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗ ( ). Rovnice přímky BCje:Kterýkoliv bod X přímky BC má souřadnice [ ] .Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ).Hledáme takovou hodnotu , aby platilo, že přímka AX je kolmá na přímku BC.⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗( ) ( ) ( ) ⇒ ⇒Bod X má tedy souřadnice [ ] a vzdálenost bodů A, X je| | √( ) ( ) ( ) √ √ √Velikost výšky trojúhelníku ABC je √ .Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: Velikost výšky trojúhelníku ABC je √ .

62 Analytická geometriePříklady k procvičení:1.) Vypočítejte vzdálenost bodu [ ] od přímky {[ ] }.Řešení: | | √2.) Vypočítejte vzdálenost bodu [ ] od roviny : .Řešení: | |3.) Vypočítejte vzdálenost dvou rovnoběžných rovin : :.Řešení: | | .4.) Na přímce {[ ] } určete bod P tak, aby vzdálenost bodu P odpřímky {[ ] } byla 4.Řešení: [ ] [ ].

Analytická geometrie 63Metrické úlohyVarianta BVypočítejte odchylku průsečnice rovin : : od osy z.Příklad:Hledáme dva body, které leží v obou rovinách – určíme od každého bodu libovolně jednusouřadnici a zbylé dvě dopočítáme ze soustav rovnic, které dostaneme po dosazení bodů dorovnic rovin.[ ] [ ] u obou bodů byla zvolena x-ová souřadnice.⃗⃗⃗⃗⃗ ( )( )Dosadíme do vzorce pro velikost odchylky dvou přímek:| ( ) |√ ( ) √⇒Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:1.) Vypočítejte odchylku přímky {[ ] } od roviny:Řešení: .2.) Vypočítejte odchylku rovin : : .Řešení: .

64 Analytická geometrie3.) Je dána přímka {[ ] } a rovina : .Určete hodnotu parametru tak, aby platilo .Řešení: .4.) Je dán bod [ ] a přímka {[ ] }. Na přímce p určete bodtak, aby odchylka přímek a p byla .Řešení: [ ].

Analytická geometrie 65Metrické úlohyVarianta CKrychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany AE. Vypočítejte odchylku přímek BKa AG.Příklad:[ ] [ ] [ ] [ ]⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )|( ) ( ) ( ) |√( ) ( ) √( ) √ √√ √ ⇒Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:

66 Analytická geometriePříklady k procvičení:1.) Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany AE, bod L je střed hrany BC.Vypočítejte odchylku přímky BK od roviny ALG.Řešení: .2.) Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany EH, bod L je střed hrany BC.Vypočítejte odchylku rovin BCK a ALH.Řešení: .3.) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má výšku , délku hrany | | . Označtepostupně středy hran AB, AD, CV. Vypočítejte vzdálenost bodu V od roviny KLM.Řešení:√ .4.) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má výšku , délku hrany | | . Označtepostupně středy hran AB, AD, CV. Vypočítejte odchylku přímek KM a CV.Řešení: .

Analytická geometrie 67Kuželosečky a kulová plochaKružnicePatří mezi kuželosečky, které můžeme získat jako průnik rotační kuželové plochy a roviny.Kružnici získáme jako průnik rotační kuželové plochy a roviny, která je kolmá na její osu. Jeto středová kuželosečka, protože má střed souměrnosti.Kružniceje množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S(středu kružnice) v rovině danou vzdálenost r (poloměr kružnice),| || | ⇒ √( ) ( )Odtud dostáváme středovou rovnici kružnice( ) ( )

68 Analytická geometrieRovnici můžeme upravit na obecnou rovnici kružnice, kdePozor! Rovniceje rovnicí kružnice pouze tehdy, jestliže platí:Vnitřní oblast kružniceje množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenostmenší než r (poloměr kružnice).( ) ( )Vnější oblast kružniceje množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenostvětší než r (poloměr kružnice).( ) ( )Kruhje množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenostmenší nebo rovnu r (poloměr kružnice).( ) ( )Kružnice a přímkaPřímka buď s kružnicí nemá žádný společný bod, pak je vnější přímkou kružnice, nebo más přímkou jeden společný bod, pak je tečnou kružnice, nebo má s kružnicí dva společné body,pak je sečnou kružnice. Řešíme tedy vzájemnou polohu přímky a kružnice dosazením zrovnice přímky do rovnice kružnice.

Analytická geometrie 69KružniceVarianta ANapište rovnici kružnice, která má střed [ ] a prochází bodem [ ]. Potomvypočítejte souřadnice bodů, ve kterých kružnice protíná osy x a .Při hledání rovnice kružnice použijeme středový tvar rovnice kružnice, do kterého dosadímesouřadnice středu.Příklad:( ) ( )Pro výpočet poloměru můžeme dosadit do rovnice kružnice za x a y souřadnice bodu K nebomůžeme spočítat vzdálenost bodů S, K. Při dosazení bodu K do rovnice kružnice: ( )( )⇒ √ ( ) √Hledaná rovnice kružnice tedy je ( ) ( ) .Průsečíky s osami mají vždy jednu souřadnici nulovou.⇒ ( ) ⇒ √ ⇒ √⇒ ( ) ⇒ √ ⇒ √ √Průsečíky s osami jsou [ √ ] [ √ ] [ √ ] [ √ ]Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: [ √ ] [ √ ][ √ ] [ √ ]

70 Analytická geometriePříklady k procvičení:) Napište rovnici kružnice jestliže úsečka [ ] [ ] je jejím průměremŘešení: ( ) ( )2.) Napište rovnici kružnice, která prochází body [ ] [ ] a má střed na přímce.Řešení: ( ) ( ) .3.) Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem[ ].Řešení: .4.) Najděte souřadnice středu a poloměr kružnice, jejíž rovnice je:.Řešení: ( ) ( ) ⇒ [ ] .

Analytická geometrie 71KružniceVarianta BUrčete vzájemnou polohu kružnice dané rovnicírovnici v závislosti na hodnotě parametru .a přímky oVzájemnou polohu přímky a kružnice řešíme vyjádřením jedné neznámé (x nebo y) z rovnicepřímky a jejím dosazením do rovnice kružnice. Má-li být přímka tečnou, musí být jednořešení kvadratické rovnice ( ), má-li být přímka sečnou, musí vyjít dvě řešení( ), má-li být přímka vnější přímkou, kvadratická rovnice nemá řešení ( ).Příklad:Z rovnice přímky vyjádříme:( ) ( )a dosadíme do rovnice kružnice.( )( ) ( )Tečna: ⇒ ⇒ ( ) ( ) ⇒Sečna: ⇒ ( ) ( )Vnější přímka: ⇒ ( )Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: Tečna:Sečna: ( ) ( )Vnější přímka: ( )

72 Analytická geometriePříklady k procvičení:1.) Určete vzájemnou polohu přímky : a kružnice: .Řešení: Přímka je sečna kružnice.2.) Určete vzájemnou polohu přímky : a kružnice : ( )( ) .Řešení: přímka je tečnou kružnice.3.) Určete vzájemnou polohu přímky : a kružnice : .Řešení: Přímka je vnější přímkou kružnice.4.) Určete souřadnice společných bodů os x, y s kružnicí .Řešení: [ ] [ ].

Analytická geometrie 73KružniceVarianta CNapište rovnici kružnice, která se dotýká přímky :přímce : a poloměr je 5., její střed leží naPříklad:Mají-li být splněny všechny podmínky ze zadání, musí platit, že ( ) ∧, kde m, n jsou souřadnice středu kružnice.| |√∧První rovnici upravíme:| |a z druhé rovnice dosadíme| ( ) || || | ⇒ ⇒Dopočítáme souřadnici středu ⇒Hledané kružnice jsou dvě o rovnicích: ( ) ( ) a ( )( ) .Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: ( ) ( ) a ( )( ) .Příklady k procvičení:1.) Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě [ ] a dotýká se přímky: .

74 Analytická geometrieŘešení: ( ) ( ) .2.) Napište rovnici kružnice, která prochází body [ ] [ ] a dotýká se osy .Řešení: ( ) ( ) ( ) ( ) .3.) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x i osy . Její střed leží na přímce: .Řešení: ( ) ( ) .4.) Určete rovnice všech kružnic, které se dotýkají osy x, procházejí bodem [ ] a majístřed na přímce, která prochází středy kružnic o rovnicích.Řešení: kružnice neexistuje.

Analytická geometrie 75Tečna kružniceJestliže bod [ ] je bodem kružnice se středem [ ] a poloměrem r, je bodbodem dotyku kružnice a její tečny t v tomto bodě.Tečna má obecnou rovnici, kde a, b jsou souřadnice normálového vektorutečny, tedy vektoru ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )Tečna má tedy rovnici ( ) ( )Hodnotu c určíme z podmínky, že tečna t prochází bodem .Tedy ( ) ( ) ⇒ ( ) ( )Dosadíme do rovnice tečny a dostaneme:( ) ( ) ( ) ( ) (1)Bod [ ] leží na kružnici, musí proto jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice,takže je dosadíme za x a .( ) ( ) (2)Pokud rovnice (1) a (2) sečteme, dostaneme rovnici tečny ve tvaru( ) ( ) ( ) ( )

76 Analytická geometrieTečna kružniceVarianta AOvěřte, že bod [ ] leží na kružnici : . Potom napište rovnicitečny v bodě A ke kružnici k.Příklad:Leží-li bod A na kružnici k, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice.( ) ( )Rovnost platí, bod A proto leží na kružnici k.Rovnici kružnice si upravíme na středový tvar: ( ) ( )Tečna kružnice v libovolném bodě dotyku [ ] má rovnici:( ) ( ) ( ) ( )Tečnu v bodě A najdeme tak, že do rovnice tečny dosadíme za souřadnicebodu A.( ) ( ) ( ) ( )Po úpravě dostaneme:souřadnicePříklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:1.) Najděte rovnici tečny kružnice : v bodě [ ].Řešení:2.) Najděte rovnici tečny kružnice : v bodě [ ].Řešení:

Analytická geometrie 773.) Určete všechna reálná čísla m, pro něž je přímka {[ ] } tečnoukružnice : .Řešení: { }4.) Napište rovnice tečen kružnice : v jejích průsečícíchs přímkou : .Řešení: .

78 Analytická geometrieTečna kružniceVarianta BNapište rovnice tečen kružnice ::, které jsou kolmé k přímceJakákoliv přímka kolmá k přímce p, má rovnici .Přímka má být tečnou, to znamená, že při řešení vzájemné polohy kružnice a přímky musívyjít jedno řešení.Řešíme tedy vzájemnou polohu přímky a kružnice tak, že vyjádříme z rovnice přímky x neboy a dosadíme do rovnice kružnice.Příklad:( ) ( )Kvadratická rovnice má právě jedno řešení, jestliže platí: .( ) ( )Po úpravě dostaneme ⇒ ⇒ ( )OdtudHledané tečny jsou: : : .Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: : : .

Analytická geometrie 79Příklady k procvičení:1.) Napište rovnice tečen kružnice : , které jsou rovnoběžnés přímkou : .Řešení:2.) Napište rovnice tečen kružnice : ( ) ( ) , které jsou rovnoběžnés přímkou : .Řešení: .3.) Napište rovnice tečen kružnice , víte-li, že směrnice tečny je.Řešení:4.) Napište rovnici tečny kružnice : tak, aby odchylka tečny a osyx byla .Řešení:

80 Analytická geometrieTečna kružniceVarianta CUrčete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ ] ke kružnici : .Příklad:Kružnici upravíme na středový tvar: ( )Tečna této kružnice v libovolném bodě dotyku [ ] má rovnici:( ) ( )Bod M je vnější bod kružnice, musí ležet na tečně, takže jeho souřadnice musí rovnici tečnyvyhovovat.( ) ( ) ⇒ ⇒Protože bod [] leží na kružnici musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnicedosadíme tedy souřadnici a vypočítáme souřadnici .( ) ⇒ ⇒√Tečny mají tedy rovnice::√:√Odchylku tečen vypočítáme podle vzorce pro odchylku přímek:|√√ (√ )|√| |⇒Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:

̇Analytická geometrie 81Příklady k procvičení:1.) Vypočítejte velikost úhlu, pod kterým je vidět kružnici :z bodu [ ]Řešení:2.) Určete odchylky tečen kružnic : : vespolečných bodech těchto kružnic.Řešení:3.) Najděte průsečíky kružnic : :. V každém průsečíku určete tečny obou kružnic a úhel, který tyto tečny svírají.Řešení: [ ] [ ] .4.) Určete m tak, aby přímka : byla tečnou kružnicea určete bod dotyku.Řešení: √ [ √ √ [ √ √ ]]

82 Analytická geometrieParabolaParabolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy rovinou, která neprochází vrcholemkuželové plochy a je rovnoběžná právě s jednou přímkou kuželové plochy.Parabola je množina všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu Fjako od dané přímky d, která bodem F neprochází.Bod F se nazývá ohnisko paraboly, přímka d se nazývá řídící přímka paraboly. Osa oparaboly je kolmá na řídící přímku a prochází ohniskem F paraboly a vrcholem V paraboly.Vzdálenost ohniska F od řídící přímky d se nazývá parametr paraboly a značíme ho( ) .Analytické vyjádření paraboly ve vrcholovém tvaru:1.) [ ], osa o paraboly splývá s osou y, ohnisko leží nad vrcholem V:; rovnice řídící přímky: : ; ohnisko [ ]

Analytická geometrie 832.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží nad vrcholem V:( ) ( ) ; rovnice řídící přímky: : ; ohnisko [ ]3.) [ ], osa o paraboly splývá s osou y, ohnisko F leží pod vrcholem V:; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ]

84 Analytická geometrie4.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží pod vrcholem V:( ) ( ) ; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ]5.) [ ], osa o paraboly splývá s osou x, ohnisko F leží napravo od vrcholu V:; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ]

Analytická geometrie 856.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží napravo od vrcholu V:( ) ( ) ; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ]7.) [ ], osa o paraboly splývá s osou x, ohnisko F leží nalevo od vrcholu V:; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ]

86 Analytická geometrie8.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží nalevo od vrcholu V:( ) ( ) ; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ]Vnitřní oblastí paraboly s ohniskem F a řídící přímkou d nazýváme množinu všech bodů Xroviny, pro které platí: | | ( ).

Analytická geometrie 87ParabolaVarianta ANapište rovnici paraboly, která má vrchol [ ] a řídící přímku : .Příklad:Z obrázku je patrné, že parabola má osu rovnoběžnou s osou x, její ohnisko leží nalevo odvrcholu.Pracujeme tedy s rovnicí:( ) ( )Vzdálenost vrcholu V od řídící přímky d je rovna⇒Dosadíme do rovnice paraboly souřadnice vrcholu a parametr a dostaneme:( ) ( )Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: ( ) ( )

88 Analytická geometriePříklady k procvičení:1.) Napište rovnici paraboly, která má vrchol [ ] a řídící přímku : .Řešení: ( ) ( )2.) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko [ ] a řídící přímku : .Řešení: ( ) ( )3.) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko [ ] a řídící přímku : .Řešení: ( ) ( )4.) Určete ohnisko a řídící přímku paraboly o rovnici ( ) .Řešení: [ ] : .

Analytická geometrie 89ParabolaVarianta BNapište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku, osa paraboly je shodná s osou y aparabola prochází bodem [ ].Příklad:Parabola s vrcholem v počátku a osou shodnou s osou y má rovnici:Jestliže bod K leží na parabole, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici paraboly, proto jedosadíme.⇒Parabola má tedy rovnici .Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:1.) Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku, osa paraboly je shodná s osou x aparabola prochází bodem [ ].Řešení:2.) Napište rovnici paraboly, znáte-li vrchol [ ] a víte-li, že prochází bodem[ ] a zároveň platí, že osa je rovnoběžná s osou .Řešení: ( ) ( )3.) Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly dané rovnicí .Řešení: [ ] [ ] : .4.) Určete rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y, má vrchol [ ] aprochází bodem [ ].Řešení: ( ) ( )

90 Analytická geometrieParabolaVarianta CNapište rovnici paraboly, která prochází body [ ] [ ] [ ] [ ].Příklad:Vidíme, že parabola má osu rovnoběžnou s osou y a ohnisko nad vrcholem, pracujeme tedys rovnicí ( ) ( )Máme tři neznámé – x, y, z, které vypočítáme dosazením tří bodů do rovnice paraboly.: ( ) ( ): ( ) ( ): ( ) ( )Po umocnění:Od druhé rovnice odečteme první a dostaneme:⇒Od druhé rovnice odečteme třetí a dostaneme: .Pokud dosadíme dostaneme ⇒Dopočítáme poslední neznámou dosazením za m a p do kterékoliv ze tří rovnic ⇒ .Hledaná parabola je ( ) ( ).Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: ( ) ( )

Analytická geometrie 91Příklady k procvičení:1.) Napište rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou x a prochází body[ ] [ ]. Ohnisko je [ ].Řešení: ( ) ( )2.) Napište rovnici paraboly, která prochází body [ ] [ ] [ ]. Její osa jerovnoběžná s osou .Řešení: ( ) ( )3.) Napište rovnici paraboly, která prochází body [ ] [ ] [ ]. Její osaje rovnoběžná s osou .( ) ( )4.) Určete souřadnice společných bodů přímky a paraboly, jestliže: : .Řešení: [ ]

92 Analytická geometrieTečna paraboly[ ] je bod dotyku, [ ] je libovolný bod tečny. Pak tečna paraboly má rovnici:1.) parabola: ( ) ( )tečna: ( )( ) ( ) ( )2.) parabola: ( ) ( )tečna: ( )( ) ( ) ( )3.) parabola: ( ) ( )tečna: ( )( ) ( ) ( )4.) parabola: ( ) ( )tečna: ( )( ) ( ) ( )Poznámka: Osa paraboly a každá přímka s ní rovnoběžná má s parabolou pouze jedinýspolečný bod, tyto přímky však nepovažujeme za tečny paraboly.

Analytická geometrie 93Tečna parabolyVarianta ANapište rovnici tečny k parabole v jejím bodě [ ].Příklad:Rovnici paraboly přepíšeme do vrcholového tvaru: ( ) ( )Tečna této paraboly v bodě dotyku [ ] má rovnici:( )( ) ( ) ( )Bod K je bodem dotyku, proto jeho souřadnice dosadíme za .( )( ) ⇒ tečna má rovniciPříklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:1.) Určete rovnici tečny paraboly v jejím bodě [ ].Řešení:2.) Určete rovnici tečny paraboly v jejím bodě [ ].Řešení:3.) Napište rovnici tečny k parabole v jejím bodě [ ]Řešení:4.) Ověřte, že bod [ ] leží na parabole a potom napište rovnicitečny v tomto bodě.Řešení:

94 Analytická geometrieTečna parabolyVarianta BNapište rovnici tečny paraboly: .rovnoběžné s přímkouPříklad:Jakákoliv rovnoběžka s přímkou p má rovnici. Pokud to má být tečna, musípři řešení vzájemné polohy paraboly a přímky vyjít jedno řešení.Vyjádříme jednu neznámou z rovnice přímky:a dosadíme do rovnice paraboly:( )Po úpravěMusí platit: ⇒ ( ) ⇒Tečna má rovnici:Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:1.) Napište rovnice tečen paraboly , které jsou rovnoběžné s přímkou: .Řešení:2.) Napište rovnice tečen paraboly , které jsou kolmé k přímce : .Řešení:

Analytická geometrie 953.) Parabola je dána rovnicí . Určete rovnice všech tečen paraboly, které jsoukolmé k přímce .Řešení:4.) Parabola je dána rovnicí . Určete rovnice všech tečen paraboly, kteréobsahují bod [ ] .Řešení:

96 Analytická geometrieTečna parabolyVarianta CUrčete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ ] k parabole .Příklad:Tečna této paraboly v bodě dotyku [] má rovniciBod M leží na této tečně, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat rovnici tečny:( ) ⇒Bod dotyku leží na tečně a současně na parabole, musí tedy jeho souřadnice vyhovovatrovnici paraboly:⇒Máme tedy dva body dotyku [ ] [ ].Můžeme tedy napsat rovnice obou tečen:: ⇒: ⇒Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:: ⇒: ⇒Příklady k procvičení:1.) Rozhodněte, zda lze z bodu [ ] sestrojit tečny k parabole .Řešení: nelze2.) Napište rovnici tečny paraboly procházející bodem [ ].Řešení:

Analytická geometrie 973.) Vypočítejte odchylku tečen kružnice a paraboly v jejichspolečných bodech.Řešení:4.) Určete rovnici každé tečny paraboly o rovnici , která má od osy parabolyodchylku .Řešení:

98 Analytická geometrieElipsaElipsu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která není kolmá na osu tétoplochy a neprochází jejím vrcholem. Lze ji také získat jako průnik rotační válcové plochy aroviny, která není s osou válcové plochy rovnoběžná.Elipsa je množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou pevně daných bodů E, Fkonstantní součet vzdáleností; toto číslo značíme 2a.| | | |Bod [ ] je střed elipsy; body E, F se nazývají ohniska elipsy, přičemž platí | || | , kde číslo e se nazývá excentricita ( výstřednost ) elipsy. Přímka EF se nazýváhlavní osa elipsy, body A, B jsou hlavní vrcholy elipsy a platí | | | | , | | .Číslo a je délka hlavní poloosy. Body C, D jsou vedlejší vrcholy elipsy a platí | || | | | , číslo b je délka vedlejší poloosy. Přímka CD se nazývá vedlejší osaelipsy.Z pravoúhlého trojúhelníku SCF platí podle Pythagorovy věty:.

Analytická geometrie 99Analytické vyjádření elipsy:[ ]; hlavní osa leží na ose x:[ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou x: ( ) ( )[ ]; hlavní osa leží na ose y:

100 Analytická geometrie[ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou y: ( ) ( )Vnitřní oblast elipsy s ohnisky E, F a s hlavní osou délkyvšech bodů X roviny, pro které platí:| | | | .| | nazýváme množinuElipsa a přímkaPřímka, která leží v rovině elipsy a má s elipsou jeden společný bod, je tečnou elipsy. Má-lipřímka s elipsou dva společné body, nazývá se sečna. Vzájemnou polohu řešíme dosazenímz rovnice přímky do rovnice elipsy.

Analytická geometrie 101ElipsaVarianta ANapište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní poloosu 5.Příklad:Střed elipsy je střed úsečky EF ⇒ [rovnoběžnou s osou .| | ;] podle polohy ohnisek vidíme že elipsa má osuU elipsy platí: ⇒ √√ √ √Rovnice elipsy tedy je:( )Příklad:Varianta A( )Varianta B Výsledek řešení:Varianta CPříklady k procvičení:1.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a vedlejší poloosu 3.Řešení: ( ) ( )2.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní vrchol [ ].Řešení: ( ) ( )3.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní vrchol[ ].Řešení: ( ) ( )4.) Napište rovnici elipsy, znáte-li jedno ohnisko [ ] a vedlejší vrcholy[ ] [ ].Řešení: ( ) ( )

102 Analytická geometrieElipsaVarianta BUrčete, pro které hodnoty parametru má přímka : s elipsoua) právě jeden společný bod; b) dva společné body; c) žádný společný bodVzájemnou polohu přímky a elipsy řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy.Podle diskriminantu rozhodujeme o počtu řešení.Příklad:Vzájemnou polohu přímky a elipsy řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy.Podle diskriminantu rozhodujeme o počtu řešení.( )( )a) ⇒ ( ) ⇒ ⇒ ⇒ √b) ⇒ ( √ ) (√ )c) ⇒ ( √ √ )Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: a) √ ; b) ( √ ) (√ )c) ( √ √ )Příklady k procvičení:1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky : a elipsy o rovnici .Řešení: p je sečna elipsy; [ ] [ ]

Analytická geometrie 1032.) Určete, pro které hodnoty parametru má přímka s elipsou o rovniciprávě jeden společný bod, dva společné body, žádný společný bod.Řešení: ( ) ( ) ( )3.) Určete délku tětivy, kterou vytíná elipsa na přímce .Řešení: √4.) Vypočítejte délku tětivy elipsy o rovnici , která leží na ose I. A III.kvadrantu.Řešení: √

104 Analytická geometrieElipsaVarianta CNapište rovnici elipsy, která má osy rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, střed [prochází body [ ] [ ].] aPříklad:Rovnice elipsy se středem [ ] je: ( ) ( )V rovnici máme dvě neznámé (a, b), které vypočítáme dosazením obou zadaných bodů dorovnice elipsy za x a .( ) ( )∧ ( ) ( )Řešíme tedy soustavu dvou rovnic∧Z první rovnice vyjádříme výraza dosadíme do rovnice druhéPo úpravě dostanemeHledaná elipsa má tedy rovnici( ) ( )Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:( ) ( )

Analytická geometrie 105Příklady k procvičení:1.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou x, její střed je v počátkusoustavy souřadnic, hlavní poloosa má délku 4 a elipsa prochází bodem [ √ ].Řešení:2.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x, střed [ ], hlavnípoloosa je dvakrát delší než vedlejší poloosa a elipsa prochází počátkem soustavy souřadnic.Řešení: ( ) ( )3.) Napište rovnici elipsy, která má osy shodné s osami soustavy souřadnic a prochází body[ √ ] [ √ ].Řešení:4.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou y, střed má v počátku soustavysouřadnic, hlavní poloosa má délku √ a elipsa prochází bodem [ √ ].Řešení:

106 Analytická geometrieHyperbolaHyperbolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází vrcholemkuželové plochy. Úhel, který svírá rovina s osou kužele, je menší než úhel, který svírají osakužele a strana kužele.Hyperbola je množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou daných bodů E, F rovinykonstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností; toto číslo značíme 2a.Bod [ ] je střed hyperboly, body jsou ohniska hyperboly.Platí: | | | | , je excentricita (výstřednost) hyperboly.Přímka se nazývá hlavní osa hyperboly, body jsou hlavní vrcholy hyperboly.Platí: | | | | | | ; číslo je délka hlavní poloosy. Vedlejší vrcholyhyperbola nemá, body vnímáme jako pomocné body, pro které platí: | | | || | , číslo je délka vedlejší poloosy, přímka se nazývá vedlejší osahyperboly.Mezi čísly platí vztah odvozený na základě Pythagorovy věty: , takže√Hyperbola má dvě asymptoty, které procházejí středem hyperboly.

Analytická geometrie 107Analytické vyjádření hyperboly a jejích asymptot:1.) [ ]; hlavní osa leží na ose x; rovnice asymptot: : :

108 Analytická geometrie2.) [ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou x( ) ( )rovnice asymptot: : ( ) : ( )

Analytická geometrie 1093.) S[ ]; hlavní osa leží na ose y; rovnice asymptot: : :

110 Analytická geometrie4.) S[ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou y( ) ( );rovnice asymptot: : ( ) : ( )Speciálním případem je rovnoosá hyperbola. Platí: ⇒ √ √ √ .Vnitřní oblastí jedné větve hyperboly s ohnisky a hlavní osou délky ( | |)nazýváme množinu všech bodů roviny, pro které platí | | | | ; vnitřní oblastídruhé větve téže hyperboly nazýváme množinu všech bodů roviny, pro které platí| | | | .

Analytická geometrie 111HyperbolaVarianta ANajděte střed, ohniska, vrcholy a rovnice asymptot hyperboly:Příklad:Rovnici hyperboly upravíme na středový tvar( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )Z rovnice hyperboly nyní určíme velikost hlavní poloosy, vedlejší poloosy a excentricity:⇒ ⇒ √ √Souřadnice vrcholů a ohnisek tedy jsou:[ ] [ ] [ ] [ √ ] [ √ ].Asymptoty: ( )Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: [ ] [ ] [ ] [ √ ] [√ ]. Asymptoty: ( )Příklady k procvičení:Asymptoty: ( )1.) Najděte střed, ohniska, vrcholy a rovnice asymptot hyperboly:Řešení:[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ √ ] [ √ ].Asymptoty: ( )

112 Analytická geometrie2.) Najděte střed, ohniska, délku obou poloos, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly:( ) ( )Řešení:[ ] √ [ √ ] [ √ ] ( )3.) Najděte střed, ohniska, délku obou poloos, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly:( )Řešení: [ ]√√[ √ ] [√] √4.) Najděte střed, ohniska, délku obou poloos, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly:Řešení: [ ] √ [ √ ] [ √ ]

Analytická geometrie 113HyperbolaVarianta BNapište rovnici hyperboly, která má ohniska [ ] [ ] a hlavní vrchol [ ].Příklad:Určíme souřadnice středu hyperboly, jde o střed úsečky ⇒ [ ].Vzdálenost bodů je velikost hlavní poloosy , vzdálenost bodů je délkaexcentricity ⇒ , takže délka vedlejší poloosy je √ .Rovnice hyperboly tedy je:( ) ( )Příklad:Varianta AVarianta B Výsledek řešení: ( ) ( )Varianta CPříklady k procvičení:1.) Napište rovnici hyperboly, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní poloosuo délce 8.Řešení: ( )2.) Napište rovnici hyperboly s ohnisky [ ] [ ] a vedlejší poloosou o délce 4.Řešení: ( ) ( )3.) Napište rovnici rovnoosé hyperboly s ohnisky [ ] [ ] .Řešení: ( ) ( )4.) Napište rovnici hyperboly, která má vrcholy [ ] [ ] a jedno ohnisko[ ].Řešení: ( ) ( )

114 Analytická geometrieHyperbolaVarianta CNapište rovnici hyperboly, která má osy rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, střed[ ] a prochází body [ ] [ ].Příklad:Dosadíme do středové rovnice hyperboly souřadnice středu:( ) ( ), proto jeho souřadnice musí vyhovovat rovnici hyperboly:( ) ( )⇒, proto jeho souřadnice musí také vyhovovat rovnici hyperboly:Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Z druhé rovnice vyjádřímeA dosadíme do rovnice první( )Po roznásobení závorky⇒ ⇒ ⇒Rovnice hledané hyperboly tedy je( ) ( )Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: ( ) ( )

Analytická geometrie 115Příklady k procvičení:1.) Napište rovnici hyperboly, která prochází bodem [ ] a má ohniska v bodech[ √ ] [ √ ].Řešení:2.) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty mají rovnice: : a jeden vrchol je [ ].Řešení:3.) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty mají rovnice: ( ) a jedno její ohnisko je [ ]Řešení: ( )4.) Napište rovnici hyperboly, která prochází počátkem soustavy souřadnic a její asymptotyjsou : : .Řešení: ( ) ( )

116 Analytická geometrieElipsa, hyperbola, přímka, tečnyElipsa a přímkaPřímka, která leží v rovině elipsy, je tečnou elipsy, má-li s elipsou jeden společný bod. Má-lipřímka s elipsou dva společné body, je sečnou elipsy.Tečna elipsy v jejím bodě [ ] má rovniciTečna elipsy ( ) ( )v jejím bodě [ ] má rovnici( )( ) ( )( )Hyperbola a přímkaAsymptota nemá s hyperbolou žádný společný bod, přímka od ní různá, ale s ní rovnoběžná,protíná hyperbolu právě v jednom bodě. Každá další přímka buď protíná hyperbolu ve dvourůzných bodech, pak je sečna, nebo má s hyperbolou společný právě jeden bod, pak jde otečnu, nebo nemá s hyperbolou žádný společný bod.Tečna hyperboly v jejím bodě [ ] má rovnici

Analytická geometrie 117Tečna hyperboly ( ) ( )v jejím bodě [ ] má rovnici( )( ) ( )( )Tečna hyperboly v jejím bodě [ ] má rovniciTečna hyperboly ( ) ( )v jejím bodě [ ] má rovnici( )( ) ( )( )

118 Analytická geometrieElipsa, hyperbola, přímka, tečnyVarianta AUrčete, pro které hodnoty parametru má daná přímka s hyperboloua) právě jeden společný bodb) dva společné bodyc) žádný společný bod: :Příklad:O počtu společných bodů rozhoduje diskriminant při řešení kvadratické rovnice, kteroudostaneme při řešení vzájemné polohy přímky a hyperboly. Z rovnice přímky tedy dosadímedo rovnice hyperboly.( )Po úpravě⇒ ( )Vyjádříme diskriminant( )a) Přímka má s hyperbolou jeden společný bod, pokud je .b) Přímka má s hyperbolou dva společné body, pokud je .√( √ √ )c) Přímka nemá s hyperbolou společný bod, pokud je .( √ ) (√ )Poznámka: projde o asymptotickou přímku.

Analytická geometrie 119Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:a) √ ; b) ( √ √ ) ;c) ( √ ) (√ )Příklady k procvičení:1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky : a hyperboly .Řešení: je asymptotická přímka hyperboly, [ ]2.) Určete souřadnice všech společných bodů hyperboly : a přímky: .Řešení: [ ]3.) Určete souřadnice společných bodů hyperboly : a přímky: .Řešení:4.) Určete souřadnice společných bodů přímky a elipsy.Řešení: [ ] [ ]

120 Analytická geometrieElipsa, hyperbola, přímka, tečnyVarianta BOvěřte, že bod leží na elipse a potom napište rovnici tečny v bodě elipsy.[ ] :Příklad:Má-li bod ležet na elipse, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici elipsy.Po dosazení dostanemeBod je tedy bodem elipsy.Rovnici elipsy nyní upravíme na tvar( )Tečna této elipsy v libovolném bodě dotyku o souřadnicích [( )( )Dosadíme souřadnice bodu dotyku( )( ) ⇒Hledaná tečna má rovnici] má rovniciPříklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:1.) Ověřte, že bod leží na hyperbole a potom napište rovnici tečny v bodě hyperboly.[ ] :Řešení:

Analytická geometrie 1212.) Napište rovnice tečen elipsy : , která je rovnoběžná s přímkou: .Řešení:3.) Napište rovnice tečen hyperboly : , které jsou kolmé k přímce :.Řešení:4.) Určete délku tětivy, kterou vytíná hyperbola : na přímce .Řešení: √

122 Analytická geometrieElipsa, hyperbola, přímka, tečnyVarianta CUrčete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ ] k hyperbole.Příklad:Rovnici hyperboly upravíme na tvar( )Libovolná tečna této hyperboly v bodě dotyku [ ] má rovnici( )( )Bod má ležet na tečně hyperboly, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat při dosazení za.( )( ) ⇒Hledaný bod dotyku [ ] leží na hyperbole, jeho souřadnice tedy musí vyhovovatrovnici hyperboly( ) ⇒Můžeme tedy napsat rovnice tečen:: ( )( ): ( )( ) ( )Po úpravě::Odchylka tečen je , protože vidíme podle normálových vektorů obou přímek, že přímkyjsou na sebe kolmé.Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení: .

Analytická geometrie 123Příklady k procvičení:1.) Napište rovnici tečny hyperboly tak, aby odchylka tečny a osy x byla .Řešení:√2.) Pro která reálná čísla m přímka o rovnicia) protíná hyperbolu o rovnicib) dotýká se jíc) nemá s ní společné body?Řešení:a) ( √ ) (√ )b) { √ √ }c) ( √ √ )3.) Vypočítejte odchylku tečen hyperboly o rovnici , které procházejí bodem[ ].Řešení:4.) Napište rovnici tečny elipsy tak, aby odchylka tečny a osy byla .Řešení:√√

124 Analytická geometrieKulová plochaKulová plocha (sféra) je množina všech bodů v prostoru, které mají od daného bodu S (středukulové plochy) danou vzdálenost r, tzv. poloměr kulové plochy.Má-li střed kulové plochy souřadnice [ ] a poloměr kulové plochy je r, pak bod[ ] je bodem kulové plochy právě tehdy, jestliže platí:( ) ( ) ( )Koule je množina všech bodů v prostoru, které mají od daného bodu S (středu koule)vzdálenost menší nebo rovnu danému číslu, tzv. poloměru koule.Má-li střed koule souřadnice [ ] a poloměr koule je r, pak bod [ ] je bodemkoule právě tehdy, jestliže platí:( ) ( ) ( )Vzájemná poloha roviny a kulové plochy (koule)Průnikem kulové plochy (koule) a roviny je kružnice (kruh), bod nebo prázdná množina.Závisí to na vzdálenosti roviny od středu kulové plochy (koule).Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) větší než její poloměr, je průnikemprázdná množina.

Analytická geometrie 125Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) menší než její poloměr, průnikem jekružnice (kruh).Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) rovna jejímu poloměru, průnikem jebod, který nazýváme bod dotyku. Rovinu v tomto případě nazýváme tečná rovina.Vzájemná poloha přímky a kulové plochyPřímka má s kulovou plochou nejvýše dva společné body. Vzájemná poloha závisí navzdálenosti přímky od středu kulové plochy.Je-li vzdálenost přímky od kulové plochy menší než její poloměr, má přímka s kulovouplochou dva společné body.Je-li vzdálenost přímky od středu kulové plochy větší než její poloměr, je průnikem prázdnámnožina.Je-li vzdálenost přímky od středu kulové plochy rovna jejímu poloměru, je průnikem jedinýbod, který nazýváme bod dotyku. Přímka je tečnou kulové plochy.

126 Analytická geometrieVzájemná poloha přímky a kouleJe-li vzdálenost přímky od středu koule menší než její poloměr, je průnikem úsečka.Je-li vzdálenost přímky od středu koule větší než její poloměr, je průnikem prázdná množina.Je-li vzdálenost přímky od středu koule rovna poloměru koule, je průnikem jediný bod, kterýnazýváme bod dotyku.

Analytická geometrie 127Kulová plochaVarianta AUrčete všechny hodnoty parametru, pro něž rovnicevyjadřuje kulovou plochu.Příklad:Rovnici upravíme na středový tvar( ) ( )( ) ( )Rovnice bude rovnicí kulové plochy právě tehdy, jestliže pravá strana rovnice budevětší než 0 ⇒⇒Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:1.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici .Také určete průsečíky os souřadnic s kulovou plochou.Řešení: [ ] průsečík s osou x a s osou neexistuje[ √ ] [ √ ]2.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici . Takéurčete průsečíky souřadnicových os s kulovou plochou.Řešení: [ ] √ [ ] [ ] [ ] [ ]

128 Analytická geometrie3.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici .Také určete průsečíky souřadnicových os s kulovou plochou.Řešení: [ ] √ [ √ ] [ √ ][ ( √ ) ] ; [ ( √ ) ] [ √ ] [ √ ]4.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici .Také určete průsečíky souřadnicových os s kulovou plochou.Řešení: [ ] √ [ √ ] [ √ ][ √ ] [ √ ] [ ] [ ]

Analytická geometrie 129Kulová plochaVarianta BNapište rovnici kulové plochy, která má střed [ ] a prochází bodem [ ].Pak určete průsečíky této plochy s přímkami, které procházejí bodem A a jsou rovnoběžnés osami soustavy souřadnic.Příklad:Určíme poloměr kulové plochy jako vzdálenost bodů A a S.| | √( ) ( ) ( ) √ √Rovnice kulové plochy tedy je( ) ( ) ( )Přímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou x, má parametrické vyjádřeníVzájemnou polohu kulové plochy a přímky řešíme dosazením parametrických rovnic přímkydo rovnice kulové plochy( ) ( ) ( )( )Průsečíky mají souřadnice: [ ] [ ]Přímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou y, má rovniciDosadíme do rovnice kulové plochy( ) ( ) ( )( )Průsečíky mají souřadnice. [ ] [ ]

130 Analytická geometriePřímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou z, má rovniciDosadíme do rovnice kulové plochy( ) ( ) ( )Průsečíky mají souřadnice: [ ] [ ]Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:( ) ( ) ( )Příklady k procvičení:1.) Určete průsečíky kulové plochy dané rovnicí ( ) ( ) a přímky,která prochází bodem [ ] a je rovnoběžná se souřadnicovou osou z.Řešení: [ ] [ ]2.) Jsou dány body [ ] [ ]. Určete společné body kulové plochy danérovnicí ( ) ( ) a polopřímky BA.Řešení: [ ] [ ]3.) Je dána přímka : a bod [ ]. Najděte rovnicikulové plochy, která má střed v bodě A a s přímkou p má právě jeden společný bod.Řešení: ( ) ( ) ( )4.) Mezi kulovými plochami, které mají rovnice ( ) ( ) ( )určete ty, které mají s přímkouprávějeden společný bod.Řešení:

Analytická geometrie 131Kulová plochaVarianta CUrčete rovnice kulové plochy, která prochází body[ ] [ ] [ ] [ ]. Určete rovnice tečných rovin kulovéplochy v bodech A, B a odchylku těchto tečných rovin.Příklad:Do středové rovnice kulové plochy budeme postupně dosazovat jednotlivé body.( ) ( ) (1)( ) ( ) (2)( ) ( ) (3)( ) ( ) ( ) (4)Po umocnění a sečtení(1)(2)(3)(4)Od rovnice (1) odečteme rovnici (2)⇒Od rovnice (1) odečteme rovnici (3)⇒Od rovnice (1) odečteme rovnici (4)⇒Dostáváme soustavu tří rovnic o třech neznámých, kterou vyřešímePo vyřešení soustavy dostanemeDopočítáme poloměr kulové plochy dosazením do některé z rovnic s výrazemKulová plocha má tedy rovnici( ) ( )⇒Normálový vektor tečné roviny v bodě A je: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

132 Analytická geometrieTečná rovina má tedy rovniciNormálový vektor tečné roviny v bodě B je: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )Tečná rovina má tedy rovniciOdchylka tečných rovin je odchylka normálových vektorů√√⇒Příklad:Varianta AVarianta BVarianta CVýsledek řešení:Příklady k procvičení:1.) Určete společné body kulové plochy a přímky[ ] [ ].Řešení: [ ] [ ]2.) Mezi rovinami, které mají rovnice určete ty, které sedotýkají kulové plochy o rovnici. (Využijte střed a poloměrkulové plochy).Řešení:√3.) Určete tečné roviny kulové plochy o rovnici ( ) ( ) ( )v jejích bodech [ ] [ ] [ ].Řešení:4.) Je dána kulová plocha a bod [ ]. Určeterovnici roviny, která se dotýká dané kulové plochy v bodě A.Řešení: .