ZÃ¡klady statistiky a finanÄnÃ matematiky - Student na prahu 21. stoletÃ

ZÁKLADY STATISTIKY 

A FINANČNÍ MATEMATIKY 

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově 

Výukové materiály z matematiky pro niţší gymnázia 

Autoři projektu Student na prahu 21. století - vyuţití ICT ve 

vyučování matematiky na gymnáziu 

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky 

Prostějov 2010

2 Základy statistiky a finanční matematiky 

Úvod 

Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách 

a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny 

střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické 

vybavení a zázemí. 

Cílová skupina: 

Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových 

materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se 

nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů 

částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového 

studia.

Základy statistiky a finanční matematiky 3 

Obsah 

Procenta ...................................................................................................................................... 6 

Co je procento ........................................................................................................................ 6 

Důleţité pojmy: ...................................................................................................................... 7 

Výpočet procentové části ( č ) ................................................................................................ 8 

Výpočet procentové části Varianta A ................................................................................. 9 

Výpočet procentové části Varianta B ............................................................................... 11 

Výpočet procentové části Varianta C ............................................................................... 13 

Výpočet základu - celku ( z ): ............................................................................................... 15 

Výpočet základu – celku Varianta A ................................................................................ 16 

Výpočet základu – celku Varianta B ................................................................................ 18 

Výpočet základu – celku Varianta C ................................................................................ 20 

Výpočet počtu procent ( p ): ................................................................................................. 22 

Výpočet počtu procent Varianta A ................................................................................... 23 

Výpočet počtu procent Varianta B ................................................................................... 25 

Výpočet počtu procent Varianta C ................................................................................... 27 

Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................... 29 

Promile ..................................................................................................................................... 31 

Co je promile ........................................................................................................................ 31 

Příklady pouţití promile: ...................................................................................................... 32 

Promile Varianta A ........................................................................................................... 33 

Promile Varianta B ........................................................................................................... 35 

Promile Varianta C ........................................................................................................... 37 

Úroky ........................................................................................................................................ 39 

Úroky Varianta A ............................................................................................................. 40 

Úroky Varianta B ............................................................................................................. 42 

Úroky Varianta C ............................................................................................................. 44


Základy statistiky ..................................................................................................................... 47 

Základní pojmy .................................................................................................................... 48 

Četnost, relativní četnost ...................................................................................................... 49 

Grafické znázornění řešení statistické úlohy – statistické diagramy .................................... 50 

Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta A ............................................. 53 

Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta B ............................................. 57 

Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta C ............................................. 65 

Aritmetický průměr, modus a medián .................................................................................. 70 

Aritmetický průměr, modus a medián Varianta A ........................................................... 73 

Aritmetický průměr, modus a medián Varianta B ........................................................... 75 

Aritmetický průměr, modus a medián Varianta C ........................................................... 77 

Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................... 80 

Přílohy: ................................................................................................................................. 95 

Příloha č. 1: Počet obyvatel v městech ČR k 31. 12. 2004 .............................................. 96 

Příloha č. 2: Věkové sloţení obyvatelstva ....................................................................... 97 

Příloha č. 3: Země – základní údaje ................................................................................. 98 

Příloha č. 4: Klimatické hodnoty v roce 2008 .................................................................. 99 

Příloha č. 5: Ţáci čtyřletých gymnázií ........................................................................... 100 

Příloha č. 6: Přírůstky a úbytky obyvatelstva od roku 1970 do roku 2008 .................... 101 

Příloha č. 7: Porodnost a úmrtnost v ČR od r. 1970 do r. 2008 ..................................... 102 

Příloha č. 8: Sňatkovost a rozvodovost v ČR od r. 1970 do r. 2008 .............................. 103 

Příloha č. 9: Mezikrajové srovnání za 1. - 3. čtvrtletí 2006 ........................................... 104 

Příloha č. 10: Mezinárodní srovnání v roce 2004 .......................................................... 104 

Příloha č. 11: Školní ročenka 2005.pdf .......................................................................... 104 

Základy pravděpodobnosti ..................................................................................................... 105 

Základní pojmy .................................................................................................................. 105 

Základy finanční matematiky ................................................................................................. 108


Základní pojmy .................................................................................................................. 108 

Jednoduché úrokování ........................................................................................................ 110 

Sloţené úrokování .............................................................................................................. 112 

Kombinované úrokování .................................................................................................... 114 

Úrokování se zdaněním ...................................................................................................... 115 

Úrokování se zdaněním Varianta A ............................................................................... 115 

Úrokování se zdaněním Varianta B ............................................................................... 119 

Různá úrokovací období ..................................................................................................... 119 

Spoření, pravidelné vklady ................................................................................................. 120 

Úrokování se zdaněním Varianta C ............................................................................... 123 

Dluhy a úvěry ..................................................................................................................... 123 

Valuty, devizy, převody měn ............................................................................................. 126 

Valuty, devizy, převody měn Varianta A ....................................................................... 128 

Valuty, devizy, převody měn Varianta B ....................................................................... 131 

Literatura: ........................................................................................................................... 134


Procenta 

Co je procento 

Procento znamená setinu daného celku: 

1 

1% 

celku celku 0, 

01celku 

100 

Např.: 

10 1 

20 1 

25 1 

10% 

0,1 20% 

0, 2 25% 

0, 25 

100 10 

100 5 

100 4 

30 3 

50 1 

75 3 

30% 

0,3 50% 

0, 5 75% 

0, 75 

100 10 

100 2 

100 4 

100 

1 

100% 

1 

1% 

0, 01 

100 

100


Důleţité pojmy: 

základ (celek) - z 

stonásobek části, která odpovídá 1 %, tj. 100 % 

procentová část (část celku) - č 

část základu, která odpovídá určitému počtu procent 

počet procent - p 

určuje, kolikrát se jedna setina celku „vejde“ do jeho části


Výpočet procentové části ( č ) 

100% ............................ z 

p % .............................. č 

č 

z p 

100 

Nebo pomocí jednoho procenta: 

100% ............................ z 

z 

1% ................................ 100 

z p 

č (p%) 

........................ p 

z 

100 100 

Příklad: Zboţí v prodejně stojí 2000 

Kč, o kolik korun bude levnější po slevě o 25% 

2000 

Řešení: z … 2000 

Kč, č …hledáme, p … 25 č 25 500 

100 

Zboţí bude levnější o 500 Kč.


Výpočet procentové části 

Varianta A 

Příklady: 

1) Určete zpaměti: 

a) 1 % z čísla 2 500 

2500 

1% odpovídá jedné setině celku zadané číslo stačí vydělit stem 25 

100 

b) 20 % z 600 l 

20 % celku je 

20 

100 

2) Vypočtěte 22 % z 56 

22 

100 

56 

12,32 

2 

10 

2 2 

z 600 600 120 

10 

10 

Výsledky řešení: 

1) 

a) 25 

b) 120 l 

2) 12,32 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C


Příklady k procvičení: 

1) Určete zpaměti: 

a) 1 % z čísel: 

i) 120 [1,2] 

ii) 2 000 050 [20 000,5] 

iii) 12,5 [0,125] 

iv) 0,0025 [0,000 025] 

v) 

3 

3 [0,0375] 

4 

vi) 150 374 [1 503,74] 

b) 10 % 600 m 2 [60 m 2 ] 

c) 30 % z 600 kg [180 kg] 

d) 50 % z 80 km [40 km] 

e) 75 % z 80 ha [60 ha] 

f) 25 % z 80 g [20 g] 

2) Určete jedno procento hodnot: 

a) 150 kg [1,5 kg] 

b) 890 Kč [8,9 Kč] 

c) 2 564 m [25,64 m] 

d) 12 000 s [120 s] 

e) 0,6 g [0,006 g] 

f) 0,02 km [0,000 2 km = 0,2 m] 

3) Vypočtěte: 

a) 0,4 % z 64 [0,256] 

b) 0,7 % ze 158 [1,106] 

c) 1,7 % z 0,12 [0,002 04] 

d) 56 % z 280 [156,8] 

e) 95 % z 1,54 [1,463] 

f) 120 % z 60 [72] 

g) 250 % z 18 [45] 

h) 1 200 % z 6 [72] 

4) Vypočítejte, kolik sekund odpovídá jednomu procentu jedné hodiny. [36 s]



Varianta B 

Příklady: 

1) Vypočtěte 70 % ze 

5 

3 , výsledek vyjádřete ve tvaru zlomku. 

70 

100 

3 

5 

7 

10 

3 

5 

21 

50 

2) Zvětšete číslo 56 o 22 %. 

Zvětšit dané číslo o 22% znamená určit 100% + 22% = 122% daného čísla: 

122 

100 

56 

6832 

100 

68,32 

3) Zmenšete číslo 56 o 22 %. 

Zmenšit dané číslo o 22% znamená určit 100% – 22% = 78% daného čísla: 

78 

100 

56 

4368 

100 

43,68 


1) 

21 

50 

2) 68,32 

3) 43,68 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C



1) Určete jedno procento hodnot: 

a) 

12 

7 

12 

700 

b) 

c) 

20 

7 

45 

2 

1 

35 

9 

40 

d) 

7 

5 

7 

500 

2) Vypočtěte, výsledek vyjádřete ve tvaru zlomku: 

a) 50 % z 5 

1 

1 

10 

b) 20 % ze 5 

4 

c) 25 % z 7 

5 

4 

25 

5 

28 

d) 75 % ze 5 

4 

3) Zvětšete číslo: 

3 

5 

a) 280 o 56 % [436,8] 

b) 1,54 o 95 % [3,003] 

c) 60 o 120 % [132] 

d) 64 o 0,4 % [64,256] 

e) 158 o 0,7 % [159,106] 

f) 0,12 o 1,7 % [0,12204] 

g) 18 o 250 % [63] 

h) 6 o 1 200 % [78] 

4) Zmenšete číslo: 

a) 280 o 56 % [263,2] 

b) 1,54 o 95 % [0,077] 

c) 158 o 0,7 % [156,894] 

d) 0,12 o 1,7 % [0,117 96]



Varianta C 

Příklad: 

Na vkladní kníţku s roční úrokovou mírou 3,5% jsme uloţili 150 000 Kč. Kolik na ní bude po 

připsání úroku na konci roku Kolik na ní bude ještě po odečtení 15% daně ze zisku 

Řešení: 

Úrok, který bude přičten na konci roku odpovídá 3,5% vkladu 

3,5 

100 

15 

100 

150000 

150000 

5250 

3,5 

787,5 

4462,5 

1500 

154462,5 

5250 

5250 

787,5 

150000 

4462,5 

5250 

Úrok je tedy 5 250 Kč, po přičtení ke vkladu získáme částku 155 250 Kč. 

155250 

Pokud odečteme daň ze zisku (tj. daň ze získaného úroku), zbude úrok 4 462,50 Kč a s původním 

vkladem je konečná částka 154 462,20 Kč. 

Výsledek řešení: 

Po připsání úroku na konci roku bude na vkladní knížce 155 250 Kč a po odečtení úroku 154 462,20 Kč. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C



1) Ve firmě je zaměstnáno 1 500 zaměstnanců. V současné době je jich 5% na dovolené. 

Kolik zaměstnanců je na dovolené a kolik jich nemá dovolenou 

[75 zaměstnanců má a 1 425 nemá dovolenou] 

2) Soutěţe se zúčastnilo 60% studentů školy. Kolik se soutěţe zúčastnilo a kolik ne, 

jestliţe na škole je celkem 750 studentů 

[450 se zúčastnilo a 300 ne] 

3) Televizor stál 15 730 Kč a byl zlevněn o 15%. Jaká je jeho nová cena 

[13 370,50 Kč] 

4) Klíčivost semen v balíčku je 88%. Kolik rostlinek vzešlo, je-li v balíčku 150 semínek 

[132]


Výpočet základu - celku ( z ): 

Trojčlenkou 

p % .............................. č 

100% ............................ z 

z 

č 100 

p 


p % ............................. č 

1% ................................ p 

č 

č 

100% ............................ 100 

p 

Příklad: Zboţí v prodejně zlevnili o 500 Kč, coţ odpovídá 25% původní ceny. 

Jaká byla původní cena zboţí 

Řešení: z … hledáme, č …500 Kč, p … 25 z 

500 

100 

25 

2000 

Původní cena zboţí byla 2 000 Kč.


Výpočet základu – celku 

Varianta A 

Příklad: 

1) Určete zpaměti základ, z něhoţ: 

a) 20% je 500 

b) 20% je 2,5 

2) Vypočítejte základ, z něhoţ 27% je 4 860. 

Řešení: 

1) Základ určíme pomocí jednoho procenta: 

a) 20% .............. 500 

1% .................. 25 zadanou část vydělíme počtem procent 

100% ......... 2 500 výsledek vynásobíme stem 

b) protoţe víme, ţe zadanou část budeme dělit počtem procent a násobit stem, můţeme 

uvedený postup provést také v opačném pořadí: nejdříve zadanou část vynásobíme 

stem (získáme místo desetinného čísla číslo, které se zpaměti dělí snáz): 

2 ,5 

100: 20 

250: 20 

25: 2 

12,5 

2) Pouţijeme postup uvedený v předchozím příkladě: 

4860 

27 

100 

180 100 

18000 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1) 

a) 2 500 

b) 12,5 

2) 18 000



1) Určete zpaměti základ, z něhoţ: 

a) 1 % je 7 [700] 

b) 2% je 7 [350] 

c) 5% je 45 [900] 

d) 7% je 420 [6 000] 

e) 10% je 150 [1 500] 

f) 20% je 12 [60] 

g) 30% je 60 [200] 

h) 50% je 3,5 [7] 

i) 75% je 300 [400] 

j) 40% je 20 [50] 

k) 90% je 9 [10] 

l) 120% je 24 [20] 

m) 150% je 30 [20] 

n) 35% je 70 [200] 

2) Vypočítejte základ, z něhoţ: 

a) 2,5% je 37,5 [1 500] 

b) 34% je 57,8 [170] 

c) 70% je 0,35 [0,5] 

d) 23% je 2,875 [12,5] 

e) 210% je 147 [70] 

f) 0,4% je 0,192 [48] 

g) 12,5% je 44,725 [357,8] 

h) 29,3% je 4,395 [15] 

i) 89,1% je 31 025,511 [34 821] 

j) 48% je 262,08 [546] 

k) 117% je 299,683 8 [256,14] 

l) 156% je 74,053 2 [47,47] 

m) 14,9% je 3,829 3 [25,7] 

n) 0,25% je 0,15 [0,6] 

o) 0,09% je 0,4 5 [500] 

p) 98,6% je 34,017 [34,5]



Varianta B 

Příklad: 

Vypočítejte základ, z něhoţ 30% je 1 den, 19 hodin a 12 minut. 

Řešení: 

Nejdříve si 1 den, 19 hodin a 12 minut převedeme - například na hodiny: 

12 

12 minut = 0, 2 hodin 

60 

19 hodin 

1 den = 24 hodin 

Dohromady: 43,2 hodin 

Základ určíme pomocí jednoho procenta: 

144 

144 hodin = 6 

24 

30% .................................. 43,2 hodin 

1% .................................... 1,44 hodin zadanou část vydělíme počtem procent 

100% ................................. 144 hodin výsledek vynásobíme stem 

dnů 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


Základ je 144 hodin = 6 dnů.



1) Vypočítejte základ, z něhoţ: 

a) 0,52% je 2,6 m [500 m] 

b) 39% je 8 424 minut [21 600 minut = 360 hodin = 15 dnů] 

c) 115% je 1 725l [1 500 l] 

d) 64% je 5,12 ha [8 ha] 

e) 13% je 78 km [600 km] 

f) 5,9% je 2,36 cm 2 [40 cm 2 ] 

g) 58% je 8 hodin a 42 minut [15 hodin] 

h) 235% je20,21 g [8,6 g] 

2) Na výrobní lince se za směnu vyrobilo 522 výrobků, coţ bylo 116% průměrné výroby. 

Jaká byla průměrná výroba této linky na směnu 

[Na lince se za směnu vyrobilo průměrně 450 výrobků.] 

3) Na parkovišti bylo 544 vozů a kapacita parkoviště tak byla vyuţita na 68%. Jaká byla 

kapacita parkoviště 

[Kapacita parkoviště byla 800 vozů.]



Varianta C 

Příklad: 

1) Hokejový brankář během zápasu chytil 39 střel a měl úspěšnost cca 95,27%. Kolik střel 

bylo vysláno na jeho branku během zápasu 

2) Na rovném úseku trati zvýšil vůz rychlost o 15% na 95 km/h. Jaká byla jeho původní 

rychlost 

Řešení: 

1) Trojčlenkou: 

95,27% ......................... 39 

100% ............................ z 

z 

39 100 

95,27 

40,93628 

2) Zvýšením rychlosti o 15% je výsledná rychlost vozu 115% rychlosti původní 

115% ............................ 95 km/h 

100% ............................ z 

z 

95 100 

115 

82,60869 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1) Na brankáře bylo vysláno 41 střel. 

2) Původní rychlost vozu byla přibliţně 82,6 km/h.



1) Soutěţe se zúčastnilo 102 ţáků, coţ odpovídalo 68% z celkového počtu v ročníku. Kolik 

ţáků bylo v ročníku celkem 

[150 ţáků] 

2) Ve třídě onemocnělo 5,88% ţáků a chybí dva. Kolik jich je ve třídě celkem [34 ţáků] 

3) Ve škole je 378 dívek, coţ odpovídá 56% z celkového počtu všech studujících. Kolik jich 

studuje na této škole 

[675 ţáků] 

4) Klíčivost semen je 67%. Kolik jich bylo zaseto, jestliţe vzešlo 402 rostlinek 

[600 semen] 

5) Hmotnost výrobku bez obalu je 13,2 kg. Hmotnost obalu je 2% z celkové váhy. Kolik váţí 

celý výrobek 

[15,5 kg] 

6) Ztráty hmotnosti při tepelném zpracování suroviny činí 13%. Kolik kilogramů suroviny 

potřebujeme pro výrobu 33,8 kg výrobku 

[260 kg]


Výpočet počtu procent ( p ): 

Trojčlenkou: 

100% ............................ z 

p % ............................. č 

100 

p 

z 


č 

100% ............................ z 

z 

1% ................................ 100 

p % ............................. 

z 

č : 100 

100 

č 

z 

Příklad: Zboţí v prodejně stálo 2000 

Kč. 

O kolik procent bylo zlevněno, je-li jeho současná cena 1 500 Kč 

Řešení: z … 2000 

Kč, č …2 000 – 1 500 = 500, p … hledáme 

p 

100 

500 

2000 

25 

Zboţí bylo zlevněno o 25 % původní ceny.


Výpočet počtu procent 

Varianta A 

Příklady: 

1) Určete zpaměti, kolik procent je 500 z 10 000. 

2) Vypočítejte, kolik procent je 2,679 z 8,93. 

Řešení: 

1) Počet procent vyjadřuje, kolikrát se jedna setina celku „vejde“ do jeho části – v tomto 

 

č 

případě je to: 10000 500, tedy také – kolik setin je podíl 

100 

z 

 

100 

500 

10000 

2) Pomocí trojčlenky: 

500 

10000 

100% ................................ 8,93 

5 

100 

p % ................................. 2,679 

5%. 

p 

2,679 

8,93 

100 

30 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


3) 5% 

4) 30%



1) Určete zpaměti, kolik procent je: 

a) 10 ze 100 [10%] 

b) 6 z 60 [10%] 

c) 10 ze 40 [25%] 

d) 20 z 1000 [2%] 

e) 150 z 200 [75%] 

f) 200z 2 000 [10%] 

g) 200 ze 4 000 [5%] 

h) 50 z 2 000 [2,5%] 

i) 50 ze 400 [12,5%] 

j) 3 ze 75 [4%] 

k) 9 z 10 [90%] 

l) 90 ze 100 [90%] 

m) 2 z 5 [40%] 

n) 45 z 90 [50%] 

2) Vypočtěte, kolik procent je: 

a) 0,2 z 0,5 [40%] 

b) 1,5 z 15 [10%] 

c) 15 z 1,5 [1 000%] 

d) 15,84 z 396 [4%] 

e) 0,56 ze 7 [8%] 

f) 75,33 z 81 [93%] 

g) 330,72 z 1 248 [26,5%] 

h) 9,705 z 64,7 [15%] 

i) 205 z 326 [63%] 

j) 146,3 ze 154 [95%] 

k) 1,35 z 15 [9%] 

l) 0,497 z 0,7 [71%] 

m) 183,05 z 523 [35%] 

n) 30,24 z 11 200 [0,27%] 

o) 5,46 ze 78 [7%] 

p) 553,66 ze 2 356 [23,5%]



Varianta B 

Příklady: 

1) Vypočtěte, kolik procent je 2 520 dm 3 ze 12 m 3 . 

2 

2) Vypočtěte, kolik procent je z 5. 5 

Řešení: 

1) Pomocí trojčlenky: 

100% .................. 12 m 3 =12 000 dm 3 

p % ................................ 2 520 dm 3 

p 

2520 

12000 

100 

21 

2 

2) Pomocí vzorce p 

č 

2 100 

100 

p 

5 

100 100 2 

z 

5 25 25 

2 4 8 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1) 21% 

2) 8%




a) 255 cm ze 3 m [75%] 

b) 900 m z 5 km [18%] 

c) 1 815 g z 1,5 kg [121%] 

d) 24 minut ze 2 hodin [20%] 

e) 5 hl z 250 l [200%] 

f) 21,6 mm 2 ze 72 cm 2 [0,3%] 

g) 7,35 cm z 10 m [73,5%] 


a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

1 1 z 

16 4 

[25%] 

2 ze 4 [10%] 

5 

3 15 z 

2 4 

1 5 z 

2 3 

3 3 ze 

4 2 

f) 0,3 z 2 

1 

[40%] 

[30%] 

[50%] 

[60%]



Varianta C 

Příklady: 

Honza má v peněţence 4 koruny, 10 dvoukorun, 6 pětikorun, 3 desetikoruny, 5 dvacetikorun 

a 2 padesátikoruny. 

Kolik procent z celkového počtu mincí tvoří desetikoruny 

Řešení: 

Základem bude celkový počet mincí: 

4 

10 

6 

3 

5 

2 

30 

desetikoruny má 3 určíme tedy, kolik procent je 3 ze 30 

například pomocí trojčlenky: 

100% ................................ 30 mincí 

p % ................................... 3 mince 

p 

3 

30 

100 

10 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


Honza má v peněţence 10% desetikorun z celkového počtu mincí.



1) Honza má v peněţence 4 koruny, 10 dvoukorun, 6 pětikorun, 3 desetikoruny, 

5 dvacetikorun a 2 padesátikoruny. 

Kolik procent z celkového počtu mincí tvoří 

a) koruny [13,33%] 

b) dvoukoruny [33,33%] 

c) pětikoruny [20%] 

d) dvacetikoruny [16,67%] 

e) padesátikoruny [6,67%] 

2) Kolem rybníka roste 28 topolů a 22 vrb. Kolik procent z těchto stromů tvoří 

a) topoly [56%] 

b) vrby [44%] 

3) Do prvních tříd ZŠ nastoupilo 134 dívek a 112 chlapců. 

Kolik procent z prvňáčků této ZŠ je 

a) dívek [přibliţně 54,47%] 

b) chlapců [přibliţně 45,53%] 

4) O kolik procent je číslo 697,89 větší neţ číslo 541 [o 29%] 

5) O kolik procent je číslo 35,383 menší neţ číslo 41 [o 13,7%]


Souhrnné příklady k procvičení 

1) Turisté jiţ urazili 25 km, coţ odpovídá 20% celé trasy. Jak dlouhou trasu mají 

naplánovanou Kolik jim ještě zbývá urazit 

[125 km, 100 km] 

2) Pravidelnou prohlídku u lékaře jiţ absolvovalo 760 zaměstnanců, coţ odpovídá 95% 

z celkového počtu zaměstnanců firmy. Kolik jich má ještě jít na prohlídku 

[40 zaměstnanců] 

3) Z patnáctihodinového programu jiţ uběhlo 27%. Kolik ještě zbývá do konce 

[10,95 hodin = 10 hodin a 57 minut] 

4) Honza za posledních pět let vyrostl o 8,85% a teď měří 160 cm. Jaká byla jeho výška pře 

pěti lety 

[přibliţně 146,99 cm] 

5) Spotřeba paliva je 6,8 litrů na 100 km. Mimo městský provoz je spotřeba o 15% niţší. 

Jaká bude spotřeba paliva na 50 km ujetých mimo město [2,89 l] 

6) Cena zboţí byla navýšena o 48% na 9 472 Kč. Jaká byla původní cena zboţí [6 400 Kč] 

7) Cena jednoho automobilu se základní výbavou je 150 000 Kč, s kompletní výbavou je 

o 15% draţší a bez klimatizace je oproti plné výbavě levnější o 1,5%. 

O kolik je cena vozu se základní výbavou levnější, neţ s výbavou bez klimatizace 

[o 19 912,5 Kč – ceny jsou: 150 000 Kč, 172 500 Kč, 169 912,50 Kč] 

8) Ráno bylo 15 ° C a večer uţ 24 ° C. O kolik procent stoupla za den teplota [o 60%] 

9) Dva sourozenci si rozdělili odměnu 2 500 Kč tak, ţe starší dostal 60% a mladší zbytek. 

Kolik dostal kaţdý z nich [1 500 Kč a 1 000 Kč ] 

10) Sponzorský dar na výhry v soutěţi bude rozdělen mezi první tři umístěné. Kolik kdo 

dostane, mají-li si rozdělit částku 500 000 Kč takto: vítěz dostane 50%, druhý 30% a třetí 

zbylých 20% 

[250 000 Kč, 150 000 Kč a 100 000 Kč] 

11) Zmenšíme-li neznámé číslo o 39%, dostaneme 305. Určete neznámé číslo. [500] 

12) Zvětšíme-li neznámé číslo o 39%, dostaneme 834. Určete neznámé číslo. [600] 

13) Rozloha zahrady s chatou je 800 m 2 , samotná chata má obdélníkový půdorys o rozměrech 

14×12 metrů. Kolik procent pozemku zabírá nezastavěná plocha [79%] 

14) Na zahradě s výměrou 500 m 2 jsou dva obdélníkové záhony, oba mají délku 2 metry, 

jeden je široký1,5 m a druhý 3,5 m. Zbývající plochu zahrady zabírá trávník, z něhoţ ještě 

5% jsou cestičky. Kolik procent zahrady zabírá samotný trávník 

[93,1% - záhony: 10 m 2 , trávník: 465,5 m 2 , cestičky: 24,5 m 2 ] 

15) O kolik procent se zlevnila PC sestava na cenu 42 000 Kč, byla-li původní cena 

48 000 Kč [o 12,5%]


16) V odborech ve firmě je pouze 153 z celkových 756 zaměstnanců. Kolik procent 

zaměstnanců firmy v odborech není [79,76%] 

17) V restauraci je obsazeno 22 z 50 stolů. Kolik procent stolů je volných [56%] 

18) Zboţí bylo dvakrát zdraţeno, nejprve o 25% a potom ještě o 10%, teď stojí 6 325 Kč. Jaká 

byla původní cena zboţí [4 600 Kč ] 

19) Zboţí bylo dvakrát zlevněno, nejprve o 25% a potom ještě o 10%, teď stojí 3 105 Kč. Jaká 

byla původní cena zboţí 

[4 600 Kč] 

20) Zboţí stojí 5 000 Kč. Kolik by stálo, pokud by bylo dvakrát zdraţeno, nejprve o 25% 

a potom ještě o 10% 

[6 875 Kč] 

21) Zboţí stojí 5 000 Kč. Kolik by stálo, pokud by bylo dvakrát zlevněno, nejprve o 25% 

a potom ještě o 10% 

[3 375 Kč]


Promile 

Co je promile 

Promile znamená tisícinu daného celku: 

1‰ celku 

1 

1000 

celku 0 , 001 celku 

Např.: 

1 

10 1 

1‰ 

0,001 

10‰ 

 

0, 01 

1000 

1000 100 

100 1 

1000 

100‰ 

0,1 

1000‰ 

1 

1000 10 

1000 

Promile znamená také desetinu procenta, jedno procento je deset promile: 

1 ‰ celku 

1% 

10 

celku 

1 % celku = 10 ‰ celku


Příklady pouţití promile: 

– 1,5 ‰ alkoholu v krvi – kaţdý litr krve daného člověka obsahuje 

1,5 

litru = 1,5 ml 

1000 

alkoholu 

– 3‰ narozených dětí … – 3 z kaţdých 1000 novorozenců … 

– Stoupání trati 12 ‰ – trať stoupne na kaţdém kilometru o 12 m 

Promile se nepouţívají tak často jako procenta, pravidla pro jejich pouţívání jsou obdobná 

jako u procent (s tím, ţe celek odpovídá 1 000 ‰). 

Příklad: 

Kolik promile je 5 ze 200 

Řešení: 

Trojčlenkou: 

Odpověď: 5 ze 200 je 25 ‰. 

1 000 ‰ ....................... 200 

x ‰ .............................. 5 

x 

1000 5 

200 

25


Promile 

Varianta A 

Příklad: 

1) Převeďte 99 ‰ na procenta. 

2) Převeďte 99 % na promile. 

3) Vyjádřete 24,8 ‰ ve tvaru zlomku. 

4) Vyjádřete 16,4 ‰ ve tvaru desetinného čísla. 

5) Určete, kolik je 20 ‰ z 80. 

6) Určete základ, z něhoţ 30 ‰ je 150. 

Řešení: 

1) 1 ‰ celku 

1% 

10 

99 

celku 9, 9 

10 

2) 1 % celku = 10 ‰ celku 99 10 990 

3) 

24,8 

1000 

31 

1250 

16,4 

4) 0,0164 

1000 

20 

5) 80 1, 6 

1000 

150 

6) 1000 5000 

30 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1) 9,9 % 

2) 990 ‰ 

3) 

31 

1250 

4) 0,0164 

5) 1,6 

6) 5 000



1) Převeďte na procenta: 

a) 4,8 ‰ [0,48 %] 

b) 0,48 ‰ [0,048 %] 

c) 48 ‰ [4,8 %] 

d) 9 ‰ [0,9 %] 

e) 90 ‰ [9 %] 

f) 190 ‰ [19 %] 

2) Převeďte na promile: 

a) 4,8 % [48 ‰] 

b) 0,48 % [4,8 ‰] 

c) 0,048 % [0,48 ‰] 

d) 48 % [480 ‰] 

e) 0,9 % [9 ‰] 

f) 9 % [90 ‰] 

3) Vyjádřete zadanou část základu ve tvaru zlomku: 

a) 0,36 ‰ 

0,36 

1000 

9 

25000 

b) 1,7 ‰ 

1,7 

1000 

17 

10000 

c) 75 ‰ 

d) 350 ‰ 

75 

1000 

350 

1000 

4) Vyjádřete zadanou část základu ve tvaru desetinného čísla: 

a) 0,42 ‰ [0,000 42] 

b) 1,3 ‰ [0,001 3] 

c) 25 ‰ [0,025] 

d) 150 ‰ [0,15] 

5) Určete, kolik je: 

a) 3 ‰ ze 120 [0,36] 

b) 20 ‰ z 800 [16] 

6) Určete základ, z něhoţ: 

a) 1,5 ‰ je 30 [20 000] 

b) 25 ‰ je 5 [200] 

7) Kolik promile je: 

a) 20 z 80 [250 ‰] 

b) 2 z 800 [2,5 ‰] 

3 

40 

7 

20


Promile 

Varianta B 

Příklad: 

1) Penále za opoţděnou splátku pojistného je 1,5 ‰ nenaplacené částky za kaţdý den 

zpoţdění. Kolik korun bude muset zaplatit pan Novák, který se zpozdil se splátkou ve výši 

3 890,- Kč o 28 dní 

2) Roční pojistné domácnosti je 4,8 ‰ hodnoty zařízení. Kolik korun budou platit Novákovi, 

byla-li hodnota jejich zařízení domácnosti odhadnuta na 364 000,-Kč 

3) Lék obsahuje 2,5 ‰ účinné látky. Kolik gramů této účinné látky je obsaţeno v půl 

kilogramu léku 

Řešení: 

1) Penále je 1,5 ‰ z 3 890,- Kč, to je 5,835 Kč za kaţdý z 28 dní celkové penále je: 

5,835 × 28 = 163,38 dohromady s původní splátkou je částka k zaplacení 

3 890 + 163,38 = 4 053,38 po zaokrouhlení na celé koruny pak 4 053,- Kč. 

4,8 

2) 4,8 ‰ z 364 000,-Kč je 364000 1747, 2 Kč 

1000 

a 1 747,- Kč po zaokrouhlení na celé koruny. 

2,5 

3) 2,5 ‰ z půl kilogramu je 500 

1000 

g = 1,25 g. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1) Pan Novák bude muset zaplatit 4 053,- Kč. 

2) Novákovi budou za pojištění domácnosti platit 1 747,-Kč ročně. 

3) Půl kilogramu léku obsahuje 1,25 g účinné látky.




zpoţdění. Kolik korun bude muset zaplatit pan Nový, který se zpozdil se splátkou ve výši 

4 290,-Kč o 27 dní [Pan Nový bude muset zaplatit 4 464,-Kč.] 


zpoţdění. Kolik korun bude muset zaplatit pan Starý, který se zpozdil se splátkou ve výši 

3 980,-Kč o 26 dní [Pan Starý bude muset zaplatit 4 135,-Kč.] 

3) Roční pojistné domácnosti je 3,8 ‰ hodnoty zařízení. Kolik korun budou platit Horákovi, 


[Horákovi budou za pojištění domácnosti platit 1 125,- Kč ročně.] 

4) Roční pojistné domácnosti je 3,6 ‰ hodnoty zařízení. Kolik korun budou platit Dolákovi, 


[Dolákovi budou za pojištění domácnosti platit 1 735,- Kč ročně.] 

5) Lék obsahuje 3 ‰ účinné látky. Kolik gramů této účinné látky je obsaţeno v jednom a půl 


[Jeden a půl kilogramu léku obsahuje 4,5 g účinné látky.] 

6) Lék obsahuje 2 ‰ účinné látky. Kolik gramů této účinné látky je obsaţeno ve čtvrt 


[Čtvrt kilogramu léku obsahuje 0,5 g účinné látky.] 

7) Novorozenecká úmrtnost znamená, kolik dětí se narodilo mrtvých, nebo zemřeli během 

prvních sedmi dnů po porodu. 

V krajské nemocnici byla v roce 2000 novorozenecká úmrtnost 4,1 ‰. Kolik dětí zemřelo 

z celkových 4 878 novorozenců 

[V roce 2000 zemřelo v krajské nemocnici 20 novorozenců.] 

8) V krajské nemocnici byla v roce 2008 novorozenecká úmrtnost 2 ‰. Kolik dětí zemřelo 

z celkových 3 500 novorozenců 

[V roce 2008 zemřelo v krajské nemocnici 7 novorozenců.]


Promile 

Varianta C 

Příklad: 

1) Mezi místy A a B, jejichţ vodorovná vzdálenost AP je 20 km, má trať stoupání 12‰. 

Určete výškový rozdíl na trase mezi místy A, B. 

2) Čep opracovaný na soustruhu má mít průměr 2 cm a délku 65 cm. Norma připouští 

odchylku těchto rozměrů maximálně o ±2 ‰ poţadované délky. 

Jaké největší/nejmenší rozměry smí mít hotový čep 

Řešení: 

1) Stoupání na trati o s12 ‰ znamená, ţe na vodorovné vzdálenosti 20 km stoupne trať o 

12 

1000 

z této vzdálenosti 

1 ‰ ............. 20 000:1 000=20 

12 ‰ ............. 12·20=240 BP 240 m 

2) Nejprve je nutné určit maximální přípustné odchylky zadaných rozměrů, tedy 2 ‰ šířky 

i délky; Hledané rozměry pak určíme přičtením a odečtením odchylek od poţadovaných 

rozměrů: 

2 ‰ ze 2 cm ............. 0,004 cm 

2 ‰ ze 65 cm ............. 0,13 cm 

2 cm ± 0,004 cm ............. 2,004 cm a 1,996 cm 

65 cm ± 0,13 cm ............. 65,13 cm a 64,87 cm 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1) Mezi místy A a B je na trati výškový rozdíl 240 m. 

2) Hotový čep můţe mít průměr maximálně 2,004 cm 

a minimálně 1,996 cm a délku maximálně 65,13 cm minimálně 

64,87 cm.



4) Nákladní vůz má maximální stoupavost 38 ‰. To znamená, ţe na kaţdém úseku trasy 

můţe být maximální výškový rozdíl 38 ‰ délky úseku. 

Jaký výškový rozdíl můţe zdolat na trase dlouhé 5 km 

[Nákladní vůz můţe zdolat maximální výškový rozdíl 190 m.] 

5) Nákladní vůz má maximální stoupavost 42 ‰. To znamená, ţe na kaţdém úseku trasy 

můţe být maximální výškový rozdíl 42 ‰ délky úseku. 

Jaký výškový rozdíl můţe zdolat na trase dlouhé 5 km 

[Nákladní vůz můţe zdolat maximální výškový rozdíl 210 m.] 

6) Mezi zastávkami A a B, jejichţ vodorovná vzdálenost je 9 km, má ţelezniční trať stoupání 

17 ‰, mezi zastávkami B a C, jejichţ vodorovná vzdálenost je 14 km, má ţelezniční trať 

stoupání 8 ‰. Určete výškový rozdíl zastávek A a C. 

[Výškový rozdíl zastávek A a C je 265 m.] 

7) Mezi zastávkami A a B, jejichţ vodorovná vzdálenost je 24 km, má ţelezniční trať 

stoupání 14 ‰, mezi zastávkami B a C, jejichţ vodorovná vzdálenost je 16 km, má 

ţelezniční trať stoupání 9 ‰. Určete výškový rozdíl zastávek A a C. 

[Výškový rozdíl zastávek A a C je 480 m.] 

8) Výškový rozdíl dvou zastávek na ţelezniční trati je 27,54 m, jejich vodorovná vzdálenost 

je 5,4 km. Určete stoupání trati. [Stoupání trati je 5,1 ‰.] 

9) Výškový rozdíl dvou zastávek na ţelezniční trati je 46,32 m, jejich vodorovná vzdálenost 

je 15,44 km. Určete stoupání trati. [Stoupání trati je 3 ‰.] 

10) Čep opracovaný na soustruhu má mít průměr 4 cm a délku 125 cm. Norma připouští 

odchylku těchto rozměrů maximálně o ±2 ‰ poţadované délky. 

a) Jakou největší délku smí mít hotový čep [125,25 cm] 

b) Jakou nejmenší délku smí mít hotový čep [124,75 cm] 

c) Jaký největší průměr smí mít hotový čep [4,008 cm] 

d) Jaký nejmenší průměr smí mít hotový čep [3,992 cm]


Úroky 

Kdyţ si chceme něco půjčit, musíme za to zaplatit, záleţí na hodnotě zapůjčené věci 

a samozřejmě na době zapůjčení. 

Peníze jsou zvláštní druh zboţí. Kdyţ si chceme půjčit peníze, platíme úroky. Ukládáme-li 

nějaké peníze do banky, jako bychom je půjčovali my bance. Co to tedy je úrok 

Úrok je část vypůjčené částky, vyjádřená v procentech. 

základ ............................... jistina (půjčený obnos, vklad) .................. j 

procentová část ................. úrok .......................................................... ú 

počet procent .................... úroková míra ............................................ p 

Výpočet úroku za jeden rok: 

ú 

j 

100 

p 

Počítáme-li úrok jen za část roku, počítá se pro jednoduchost, ţe: 

každý měsíc má 30 dní a rok má 360 dní, den výběru se nepočítá, den vkladu ano. 

Označíme-li d jako počet dní, pak je: 

Výpočet úroku za část roku: 

ú 

j 

100 

p 

d 

360


Úroky 

Varianta A 

Příklad: 

Jaký úrok připíše banka za rok ke vkladu 150 000 Kč, je-li vklad úročen 3% úrokovou mírou 

Řešení: 

j = 150 000,- Kč 

p = 3% 

ú = Kč 

ú 

j 

100 p 

150000 

100 

3 

1500 

3 

4500 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


Banka připíše ke vkladu za rok 4 500,- 

Kč.



1) Určete úrok a konečnou částku po jednom roce, je-li: 

a) vklad 80 000,- Kč a úroková míra 1,5 % [1 200,- Kč, 81 200,- Kč] 

b) vklad 60 000,- Kč a úroková míra 1,5 % [900,- Kč, 60 900,- Kč] 

c) vklad 120 000,- Kč a úroková míra 1,5 % [1 800,- Kč, 121 800,- Kč] 

d) vklad 140 000,- Kč a úroková míra 1,5 % [2 100,- Kč, 142 100,- Kč] 

e) vklad 80 000,- Kč a úroková míra 2,3 % [1 840,- Kč, 81 840,- Kč] 

f) vklad 60 000,- Kč a úroková míra 2,3 % [1 380,- Kč, 61 380,- Kč] 

g) vklad 120 000,- Kč a úroková míra 2,3 % [2 760,- Kč, 122 760,- Kč] 

h) vklad 140 000,- Kč a úroková míra 2,3 % [3 220,- Kč, 143 220,- Kč] 

i) vklad 80 000,- Kč a úroková míra 3,2 % [2 560,- Kč, 82 560,- Kč] 

j) vklad 60 000,- Kč a úroková míra 3,2 % [1 920,- Kč, 61 920,- Kč] 

k) vklad 120 000,- Kč a úroková míra 3,2 % [3 840,- Kč, 123 840,- Kč] 

l) vklad 140 000,- Kč a úroková míra 3,2 % [4 480,- Kč, 144 480,- Kč] 

m) vklad 80 000,- Kč a úroková míra 3,5 % [2 800,- Kč, 82 800,- Kč] 

n) vklad 60 000,- Kč a úroková míra 3,5 % [2 100,- Kč, 62 100,- Kč] 

o) vklad 120 000,- Kč a úroková míra 3,5 % [4 200,- Kč, 124 200,- Kč] 

p) vklad 140 000,- Kč a úroková míra 3,5 % [4 900,- Kč, 144 900,- Kč] 

2) Podnikatel si v bance půjčil na nové stroje. Dluh se mu podařilo splatit najednou právě po 

jednom roce. Určete, jak velká byla jeho splátka, je-li: 

a) půjčka 500 000,- Kč a úroková míra 6,2 % [531 000,- Kč] 

b) půjčka 1 500 000,- Kč a úroková míra 7,2 % [1 608 000,- Kč] 

c) půjčka 2 500 000,- Kč a úroková míra 7,8 % [2 695 000,- Kč] 

d) půjčka 3 500 000,- Kč a úroková míra 8,2 % [3 787 000,- Kč] 

e) půjčka 750 000,- Kč a úroková míra 6,7 % [800 250,- Kč] 

f) půjčka 1 750 000,- Kč a úroková míra 7,7 % [1 884 750,- Kč] 

g) půjčka 2 750000,- Kč a úroková míra 8,3 % [2 978 250,- Kč] 

h) půjčka 3 750 000,- Kč a úroková míra 8,7 % [4 076 250,- Kč]


Úroky 

Varianta B 

Příklad: 

1) Byl uloţen vklad 3 600,- Kč, úrok za 1 rok byl 90,- Kč. Jaká byla úroková míra 

2) Jakou částku si půjčil pan Marnivý, víte-li, ţe úroková míra z úvěru byla 5,2 % a úrok po 

prvním roce činil 286 000,- Kč 

Řešení: 

1) j = 3 600,- Kč 

ú = 90,- Kč 

p = 

j 

ú 100 

ú p 

p 

100 j 

p 

90 100 

3600 

2,5 

2) j = ,- Kč 

ú = 286 000,- Kč 

p = 5,2% 

j 

ú 100 

ú p 

j 

100 p 

286000 100 

j 

5500000 

5,2 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1) Úroková míra byla 2,5 %. 

2) Pan Marnivý si půjčil 5 500 000,- Kč.



Doplňte chybějící údaje do tabulky: 

VKLAD/ 

ÚVĚR 

ÚROKOVÁ 

MÍRA 

ÚROK ZA 1 

ROK 

ČÁSTKA/DLUH 

PO 1 ROCE 

1 000 000,- Kč 100 000,- Kč 

2 000 000,- Kč 2 100 000,- Kč 

7 % 7 000,- Kč 

4 % 208 000,- Kč 

500 000,- Kč 2,5% 

51 000,- Kč 1 551 000,- Kč 

120 000,- Kč 5 400,- Kč 

250 000,- Kč 265 750,- Kč 

2,7 % 21 600,- Kč 

6,7 % 320 100,- Kč 

450 000,- Kč 5,2 % 

26 640,- Kč 746 640,- Kč 

Řešení: 

VKLAD/ 

ÚVĚR 

ÚROKOVÁ 

MÍRA 

ÚROK ZA 1 

ROK 

ČÁSTKA/DLUH 

PO 1 ROCE 

1 000 000,- Kč 10 % 100 000,- Kč 1 100 000,- Kč 

2 000 000,- Kč 5 % 100 000,- Kč 2 100 000,- Kč 

100 000,- Kč 7 % 7 000,- Kč 107 000,- Kč 

200 000,- Kč 4 % 8 000,- Kč 208 000,- Kč 

500 000,- Kč 2,5% 12 500,- Kč 512 500,- Kč 

1 500 000,- Kč 3,4 % 51 000,- Kč 1 551 000,- Kč 

120 000,- Kč 4,5 % 5 400,- Kč 125 400,- Kč 

250 000,- Kč 6,3 % 15 750,- Kč 265 750,- Kč 

800 000,- Kč 2,7 % 21 600,- Kč 821 600,- Kč 

300 000,- Kč 6,7 % 20 100,- Kč 320 100,- Kč 

450 000,- Kč 5,2 % 23 400,- Kč 473 400,- Kč 

720 000,- Kč 3,7 % 26 640,- Kč 746 640,- Kč


Úroky 

Varianta C 

Příklady: 

1) Byl uloţen vklad 3 600,- Kč, úrok za čtvrt roku byl 90,- Kč. Jaká byla úroková míra 

2) Pan Marný si uloţil do banky 150 000,- Kč a po další tři roky ţádné další peníze 

neukládal. Za čtyři roky si všechny peníze vyzvedl. Jaká byla celková částka po čtyřech 

letech a kolik korun činily úroky, byl-li vklad úročen 5% úrokovou mírou 

3) Paní Nová si 15. 5 2000 uloţila do banky 15 000,- Kč na 5% roční úrok. Jakou částku si 

vybrala 27. 8 2000 

Řešení: 

1) j = 3 600,- Kč 

ú = 90,- Kč 

d = 3.30 = 90 dní 

p = 

ú 

j 

100 

p 

3600 

90 p 

100 

p 

90 

2) p = 5% 

360 

90 

d 

360 

90 

360 

100 

3600 

10 

jistina pro 1. rok: 150 000 

j 150000 

úrok za 1. rok: ú 

5 7500 

100 p 100 

stav po 1. roce: 150 000 + 7 500 = 157 500 

Druhý rok se vypočítávají úroky z částky po prvním roce, ne z vklad - jako by šlo o nový 

vklad, ale tentokrát 157 500,- Kč. 

jistina pro 2. rok: 157 500 

j 157500 


5 7875 

100 p 100 

stav po 2. roce a jistina pro 3. rok: 157 500 + 7 875 = 163 375 

j 163375 


5 8268, 75 

100 p 100


stav po 3. roce a jistina pro 4. rok: 163 375 + 8 268,75 = 171 643,75 

j 171643,75 


5 8582,1875 

100 p 100 

stav po 4. roce: 171 643,75+ 8 582,187 5 = 180 225,937 5 

celkové úroky 180 225,937 5 – 150 000 = 30 225,937 5 

Jen pro kontrolu – kdybychom vynásobili úrok za první rok 4 krát, dostali bychom částku 

30 000,- Kč, což je o226,- Kč méně. 

3) j = 15 000,- Kč 

den vkladu: 1 

zbytek měsíce: 30 – 15 

celé dva měsíce: 2*30 

část měsíce bez dne výběru: 27 – 1 

d = 1 + (30 – 15) + 2*30 + (27 – 1) = 102 dní 

p = 5 % 

ú = Kč 

ú 

j 

j 

100 

ú 

p 

15000 

d 

360 

765 

15000 

100 

5 

15765 

102 

100 

765 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 


1) Úroková míra byla 10 %. 

2) Celková částka po 4 letech činila 180 226,- Kč 

a úroky činily 30 226,- Kč. 

3) Paní Nová si 27. 8 2000 vybrala 15 765,- Kč.



Doplňte chybějící údaje do tabulky: 

VKLAD 

ÚROKOVÁ DATUM DATUM 

MÍRA VKLADU VÝBĚRU 

1 000 000,- Kč 10 % 1. 1. 2000 31. 12. 2000 

2 000 000,- Kč 5 % 1. 1. 2000 31. 12. 2001 

100 000,- Kč 7 % 1. 1. 2000 31. 12. 2003 

200 000,- Kč 4 % 1. 1. 2000 31. 5. 2000 

500 000,- Kč 2,5% 1. 1. 2000 31. 5. 2001 

1 500 000,- Kč 3,4 % 1. 1. 2000 17. 7. 2000 

120 000,- Kč 4,5 % 1. 4. 2000 31. 12. 2000 

250 000,- Kč 6,3 % 1. 4. 2001 31. 12. 2001 

800 000,- Kč 2,7 % 1. 4. 2002 31. 12. 2003 

300 000,- Kč 6,7 % 1. 4. 2000 31. 5. 2000 

450 000,- Kč 5,2 % 1. 4. 2000 31. 5. 2001 

720 000,- Kč 3,7 % 1. 4. 2000 17. 7. 2000 

POČET 

DNŮ 

KONEČNÁ 

ČÁSTKA 

Řešení: 

1 R = 1 celý rok 

VKLAD 

ÚROKOVÁ DATUM DATUM POČET KONEČNÁ 

MÍRA VKLADU VÝBĚRU DNŮ ČÁSTKA 

1 000 000,- Kč 10 % 1. 1. 2000 31. 12. 2000 1 R 1 100 000,- Kč 

2 000 000,- Kč 5 % 1. 1. 2000 31. 12. 2001 2 R 2 205 000,- Kč 

100 000,- Kč 7 % 1. 1. 2000 31. 12. 2003 3 R 122 504,- Kč 

200 000,- Kč 4 % 1. 1. 2000 31. 5. 2000 150 203 333,- Kč 

500 000,- Kč 2,5% 1. 1. 2000 31. 5. 2001 1 R+150 517 839,- Kč 

1 500 000,- Kč 3,4 % 1. 1. 2000 17. 7. 2000 196 1 527 767,- Kč 

120 000,- Kč 4,5 % 1. 4. 2000 31. 12. 2000 270 124 050,- Kč 

250 000,- Kč 6,3 % 1. 4. 2001 31. 12. 2001 270 261 813,- Kč 

800 000,- Kč 2,7 % 1. 4. 2002 31. 12. 2003 1 R+270 838 237,- Kč 

300 000,- Kč 6,7 % 1. 4. 2000 31. 5. 2000 60 303 350,- Kč 

450 000,- Kč 5,2 % 1. 4. 2000 31. 5. 2001 1 R+60 477 503,- Kč 

720 000,- Kč 3,7 % 1. 4. 2000 17. 7. 2000 106 727 844,- Kč


Základy statistiky 

Statistika se zabývá zjišťováním a studiem údajů získaných na velkém souhrnu objektů. 

Výsledků takového statistického šetření se vyuţívá v mnoha oborech lidské činnosti a mohou 

mít zásadní vliv na rozhodování například ve zdravotnictví, při různých vědeckých 

výzkumech, průzkumech, či sledování určitých trendů ve společnosti. 

Statistika je potřebná věda, je velmi silným nástrojem pro ty, kteří s jejími výsledky umí 

pracovat. 

Český statistický úřad (ČSÚ) vydává kaţdý rok statistickou ročenku, ve které jsou 

zachyceny a shrnuty údaje o národním hospodářství, obyvatelstvu, ţivotním prostředí, 

školství, zdravotnictví a o dalších oblastech týkajících se České republiky. 

Velké množství vybraných dat můžete najít na www-stránkách: 

– Český statistický úřad: www.czso.cz 

– Ministerstvo práce a sociálních věcí ČR: www.mpsv.cz 

– Úřad vlády: www.vlada.cz 

– Ministerstvo vnitra ČR: www.mvcr.cz 

– Ministerstvo spravedlnosti: www.msp.cz 

– Ústav zdravotnických informací a statistiky ČR: www.uzis.cz 

– Státní zdravotnický ústav: www.szu.cz 

– Národní program boje proti AIDS v ČR: www.aids-hiv.cz 

– Demografický informační portál: www.demografie.info 

– Ústav pro informace ve vzdělávání: www.uiv.cz 

– Soudnictví ČR: http://portal.justice.cz 

– Volební statistika: www.volby.cz


Základní pojmy 

statistický soubor ............. souhrn objektů, které jsou statisticky zkoumány (osoby, zvířata, 

věci, události, výsledky měření,…) 

statistická jednotka .......... kaţdý prvek statistického souboru, jejich počet tvoří rozsah 

statistického souboru 

znak statistické jednotky .. jev, který u jednotek statistického souboru zkoumáme, některé se 

dají vyjádřit číselně (kvantitativní), některé ne (kvalitativní) 

hodnota znaku ................. konkrétní zjištěná hodnota jevu (znaku) 

četnost hodnoty ................ počet jednotek souboru, jejichţ znak má danou hodnotu; 

součet četností všech hodnot znaku je roven rozsahu souboru 

relativní četnost ............... vyjádření četnosti určité hodnoty v poměru k rozsahu souboru, 

často vyjádřená v procentech; součet relativních četností všech 

hodnot je roven 1, součet všech relativních četností vyjádřených 

v procentech je roven 100 % 

tabulka rozdělení četností je tabulka, ve které je u kaţdé hodnoty znaku uvedena její četnost 

Pro ilustraci si všechny uvedené pojmy ukáţeme na konkrétním příkladu: 

Ve třídě je 32 žáků, 12 ţákům je 15 let, 17 ţákům je 16 let a 3 ţákům je 17 let. 

statistický soubor ............. daná třída 

statistická jednotka ........... kaţdý ţák této třídy 

rozsah souboru ................. 32 

znak statistické jednotky .. věk 

hodnota znaku .................. 15, 16 nebo 17 let 

četnost hodnoty - 15 ......... 12 

12 

relativní četnost - 15 ......... 0,375 

32 

vyjádřená v procentech .... 0,375 100 37,5% 

tabulka rozdělení četností: 

Věk 15 let 16 let 17 let 

Počet ţáků 12 17 3


Četnost, relativní četnost 

Určit četnost hodnoty znaku znamená zjistit počet výskytů hodnoty znaku v daném souboru. 

Nejčastěji se určuje pomocí tabulky (tabulka rozdělení četností). 

Relativní četnost určíme tak, ţe vydělíme četnost rozsahem souboru. 

Příklad: 

Ve třídě jsou po rozdání písemné práce z matematiky zapsány známky na tabuli v libovolném 

pořadí: 

1 2 2 3 4 5 5 4 1 2 3 4 3 

2 1 5 2 3 5 3 2 5 3 4 5 3 

5 2 2 2 4 4. 

Sestavte tabulku rozloţení četností jednotlivých známek v této třídě, vypočtěte relativní 

četnosti a vyjádřete je v procentech. 

Řešení: 

statistický soubor ............. daná třída 

statistická jednotka ........... kaţdý ţák třídy 

rozsah souboru ................. počet ţáků: 32 

znak statistické jednotky .. známka z matematiky 

hodnota znaku ................. 1, 2, 3, 4, 5 

známka 

počet 

žáků 

3/32 = 0,09375 

relativní 

četnost 

relativní 

četnost 

v % 

1 3 0,09375 9,38% 

2 9 0,28125 28,13% 

3 7 0,21875 21,88% 

4 6 0,18750 18,75% 

5 7 0,21875 21,88% 

Celkem 32 1,00000 100,00%

Počet žáků 


Grafické znázornění řešení statistické úlohy – statistické diagramy 

Spojnicový diagram 

Pro ilustraci pouţijeme tabulku rozloţení četností z předchozího příkladu: 

známka 

počet 

žáků 

1 3 

2 9 

3 7 

4 6 

5 7 

Data z této tabulky znázorníme pomocí souřadnicové soustavy, na jejíţ vodorovnou osu 

naneseme známky a na svislou osu jejich četnosti. Spojením bodů, jejichţ x-ové souřadnice 

jsou známky a y-ové souřadnice jsou příslušné četnosti, dostaneme diagram, který se nazývá 

spojnicový diagram nebo také polygon četností. 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

1 2 3 4 5 

Známky 

Spojnicový diagram vznikne spojením bodů, jejichţ x-ové souřadnice jsou hodnoty 

kvantitativního znaku a y-ové souřadnice jsou jejich četnosti.

počet žáků 


Sloupkový diagram 

Je dáno rozloţení výšky ţáků ve třídě: 

Výška (cm) 

počet 

žáků 

100 - 110 1 

111 - 120 3 

121 - 130 5 

131 - 140 9 

141 - 150 7 

151 - 160 4 

161 - 170 3 

Data z této tabulky znázorníme sloupkovým diagramem neboli histogramem. Základny 

jednotlivých sloupců jsou úsečky stejné délky, jejich středy odpovídají středům intervalů 

(105; 115,5; 125,5; 135,5; 145,5; 155,5 a 165,5), výšky sloupků odpovídají četnostem. 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

9 

7 

5 

4 

3 

3 

1 

100 - 110 111 - 120 121 - 130 131 - 140 141 - 150 151 - 160 161 - 170 

Výška 

Sloupkový diagram se pouţívá, jsou-li hodnoty znaku sdruţeny do intervalů; délky těchto 

intervalů tvoří základny sloupků, výšky sloupků jsou příslušné četnosti.


Kruhový diagram 

Ve třídě byla u ţáků zjištěna barva očí. Na základě tohoto šetření byla sestavena následující 

tabulka rozloţení četností: 

barva 

počet 

žáků 

modrá 3 

zelená 11 

hnědá 15 

černá 1 

Data z této tabulky zobrazíme pomocí kruhového diagramu. Nejdříve musíme zjistit příslušné 

velikosti úhlů jednotlivých výsečí: 

360 o rozdělíme v poměru 3:11:15:1 na: 36 o , 132 o , 180 o a 12 o . 

3% 

10% 

50% 

37% 

modrá 

zelená 

hnědá 

černá 

Kruhový diagram se pouţívá ke znázornění rozdělení četností kvalitativního znaku (tj. znaku, 

který nelze vyjádřit číselnou hodnotou. 

Různým hodnotám znaku odpovídají kruhové výseče, jejichţ středové úhly (i obsahy) jsou 

přímo úměrné četnostem.


Četnost, relativní četnost, statistické diagramy 

Varianta A 

Příklad: 

V příloze č. 2 je přehled věkového sloţení obyvatelstva v letech 2001 aţ 2004. 

Určete základní pojmy a vypočtěte relativní četnosti pro rok 2001 

1) celkově. 

2) pro muţe. 

3) pro ţeny. 

Řešení: 

Věk je v tabulce rozdělen do tří intervalů a u kaţdého intervalu jsou zadány příslušná četnosti, 

potřebné součty jsou také uvedeny, stačí tedy vydělit všechny četnosti celkovou hodnotou. 

Kdyţ výslednou relativní četnost vynásobíme 100, dostaneme relativní četnost vyjádřenou 

v %. 


1) 

statistický soubor ................ obyvatelé ČR 

statistická jednotka ............. jednotliví občané ČR 

znak statistické jednotky ..... věk osoby 

hodnota znaku ..................... konkrétní věk 

Sloţení obyvatelstva podle 

věkových skupin k 31. 12. 

(tis. osob) 

2001 

relativní 

relativní 

četnost 

četnost 

v % 

Celkem 10 206 

do 14 let 1 622 0,1589 15,89% 

15 - 64 let 7 169 0,7024 70,24% 

65 a více let 1 415 0,1386 13,86%


2) 

statistický soubor ................ muţi ČR 

statistická jednotka ............. jednotliví muţi ČR 

znak statistické jednotky ..... věk muţe 




(tis. osob) 

2001 

relativní 

relativní 

četnost 

četnost 

v % 

Muži 4 968 

do 14 let 832 0,1675 16,75% 

15 - 64 let 3 590 0,7226 72,26% 

65 a více let 546 0,1099 10,99% 

3) 

statistický soubor ................ ţeny ČR 

statistická jednotka ............. jednotlivé ţeny ČR 

znak statistické jednotky ..... věk ţen 




(tis. osob) 

2001 

relativní 

relativní 

četnost 

četnost 

v % 

Ženy 5 240 

do 14 let 790 0,1508 15,08% 

15 - 64 let 3 579 0,6833 68,33% 

65 a více let 869 0,1659 16,59% 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C




Určete základní pojmy a vypočtěte relativní četnosti pro roky 2002 aţ 2004 – celkově, pro 

muţe i pro ţeny. 

Základní pojmy – viz rok 2001 v předešlém příkladě. 

Příslušné četnosti jsou uvedeny v následujících tabulkách: 



(tis. osob) 

Celkem 10 204 

2002 relativní 

četnost 

relativní 

četnost 

v % 

do 14 let 1 590 0,1558 15,58% 

15 - 64 let 7 196 0,7052 70,52% 

65 a více let 1 418 0,1390 13,90% 

Muži 4 967 

do 14 let 816 0,1643 16,43% 

15 - 64 let 3 603 0,7254 72,54% 

65 a více let 548 0,1103 11,03% 

Ženy 5 237 

do 14 let 774 0,1478 14,78% 

15 - 64 let 3 593 0,6861 68,61% 

65 a více let 870 0,1661 16,61%




(tis. osob) 

Celkem 10 211 


četnost 

relativní 

četnost 

v % 

do 14 let 1 554 0,1522 15,22% 

15 - 64 let 7 234 0,7085 70,85% 

65 a více let 1 423 0,1394 13,94% 

Muži 4 975 

do 14 let 798 0,1604 16,04% 

15 - 64 let 3 625 0,7286 72,86% 

65 a více let 552 0,1110 11,10% 

Ženy 5 236 

do 14 let 756 0,1444 14,44% 

15 - 64 let 3 609 0,6893 68,93% 

65 a více let 871 0,1663 16,63% 



(tis. osob) 

Celkem 10 221 


četnost 

relativní 

četnost 

v % 

do 14 let 1 527 0,1494 14,94% 

15 - 64 let 7 259 0,7102 71,02% 

65 a více let 1 435 0,1404 14,04% 

Muži 4 981 

do 14 let 784 0,1574 15,74% 

15 - 64 let 3 639 0,7306 73,06% 

65 a více let 558 0,1120 11,20% 

Ženy 5 240 

do 14 let 743 0,1418 14,18% 

15 - 64 let 3 620 0,6908 69,08% 

65 a více let 877 0,1674 16,74%



Varianta B 

Příklad: 


1) U přehledu pro rok 2001 sestavte sloupkové diagramy: 

a) celkový. 

b) pro muţe. 

c) pro ţeny. 

2) Sestavte spojnicový diagram znázorňující celkový vývoj věkového sloţení obyvatelstva 

během těchto čtyř roků u kaţdé věkové skupiny. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C 

Řešení: 

1) Sloupkový diagram sestavíme tak, ţe na vodorovné ose naneseme tři shodné intervaly pro 

tři věkové skupiny a na svislé ose zvolíme jednotku – vhodně podle velikosti 

zobrazovaných hodnot. Potom v kaţdém intervalu sestavíme sloupek o výšce odpovídající 

hodnotě (četnosti) dané věkové skupiny: 

a) 

8 000 

6 000 

4 000 

2 000 

Věkové složení 

obyvatelstva v roce 2001 - 

celkově 

0 

do 14 let 

15 - 64 let 65 a více let


b) 

4 000 

3 500 

3 000 

2 500 

2 000 

1 500 

1 000 

500 

0 

Věkové složení obyvatelstva 

v roce 2001 - muži 

do 14 let 15 - 64 let 65 a více let 

c) 

4 000 

3 500 

3 000 

2 500 

2 000 

1 500 

1 000 

500 

0 

Věkové složení obyvatelstva 

v roce 2001 - ženy 


2) Spojnicové diagramy sestavíme tak, ţe na vodorovnou osu souřadné soustavy naneseme 

jednotlivé roky a na svislou osu jejich četnosti. Nakonec získané body spojíme. 

10 225 

10 220 

10 215 

10 210 

10 205 

10 200 

10 195 

2001 2002 2003 2004 

Celkem


1 640 

1 620 

1 600 

1 580 

1 560 

1 540 

1 520 

1 500 

1 480 

1 460 

2001 2002 2003 2004 

do 14 let 

7 280 

7 260 

7 240 

7 220 

7 200 

7 180 

7 160 

7 140 

7 120 

2001 2002 2003 2004 

15 - 64 let 

1 440 

1 435 

1 430 

1 425 

1 420 

1 415 

1 410 

1 405 

2001 2002 2003 2004 

65 a více let




1) U přehledů pro roky 2002, 2003 a 2004 sestavte sloupkové diagramy: 

a) celkový. 

b) pro muţe. 

c) pro ţeny. 

2) Sestavte spojnicový diagram znázorňující vývoj věkového sloţení obyvatelstva během 

těchto čtyř roků 

a) muţů 

b) ţen 

c) všech dohromady (do jednoho grafu)


Výsledky: 

1) 

a) 

2001 - celkově 


8 000 

7 000 

6 000 

5 000 

4 000 

3 000 

2 000 

1 000 

0 

do 14 let 15 - 64 let 65 a více 

let 

8 000 

7 000 

6 000 

5 000 

4 000 

3 000 

2 000 

1 000 

0 


let 



8 000 

7 000 

6 000 

5 000 

4 000 

3 000 

2 000 

1 000 

0 


let 

8 000 

7 000 

6 000 

5 000 

4 000 

3 000 

2 000 

1 000 

0 


let


b) 

2001 - muži 

2002 - muži 

4 000 

3 500 

3 000 

2 500 

2 000 

1 500 

1 000 

500 

0 


let 

4 000 

3 500 

3 000 

2 500 

2 000 

1 500 

1 000 

500 

0 


let 

2003 - muži 

2004 - muži 

4 000 

3 500 

3 000 

2 500 

2 000 

1 500 

1 000 

500 

0 


let 

4 000 

3 500 

3 000 

2 500 

2 000 

1 500 

1 000 

500 

0 


let


c) 

2001 - ženy 

2002 - ženy 

4 000 

3 500 

3 000 

2 500 

2 000 

1 500 

1 000 

500 

0 


let 

4 000 

3 500 

3 000 

2 500 

2 000 

1 500 

1 000 

500 

0 


let 

2003 - ženy 

2004 - ženy 

4 000 

3 500 

3 000 

2 500 

2 000 

1 500 

1 000 

500 

0 


let 

4 000 

3 500 

3 000 

2 500 

2 000 

1 500 

1 000 

500 

0 


let 

2) 

a) 

4 985 

Muži 

4 980 

4 975 

4 970 

4 965 

4 960 

2001 2002 2003 2004


b) 

5 241 

5 240 

5 239 

5 238 

5 237 

5 236 

5 235 

5 234 

Ženy 

2001 2002 2003 2004 

c) Dohromady 

5 250 

5 200 

5 150 

5 100 

5 050 

5 000 

4 950 

2001 2002 2003 2004 

Muži 

Ženy



Varianta C 

Příklad: 


U přehledu pro rok 2001 sestavte kruhový diagram znázorňující poměr muţů a ţen u kaţdé 

věkové skupiny. 

Řešení: 

Kruhový diagram sestavíme tak, ţe podle poměru hodnot pro muţe a ţeny určíme velikosti 

středových úhlů obou výsečí; 

úhly jsou přímo úměrné četnostem - pro ţeny a muţe vyjdou: 

5238 

10206 

0,513 0,513 360 185 

 

a 

4968 

10206 

Poměr mužů a žen v roce 

2001 - celkem 

0,487 0,487 360 175 

 

Ženy 

51% 

Muži 

49% 

790 

1622 

0,487 0,487 360 175 

 

a 

832 

1622 

0,513 0,513 360 185 

 


2001 - do 14 let 

Ženy 

49% 

Muži 

51% 

3579 

7169 

0,499 0,499 360 180 

 

a 

3590 

7169 

0,500 0,500 360 180



2001 - 15-64 let 

Ženy 

50% 

Muži 

50% 

869 

1415 

 

0,614 0,614 360 221 

a 

546 

1415 

0,386 0,386 360 139 

 


2001 - 65 a více let 

Muži 

39% 

Ženy 

61% 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C




1) Sestavte kruhové diagramy znázorňující poměr muţů a ţen u kaţdé věkové skupiny 

u přehledů pro roky 2002, 2003 a 2004. 

2) Sestavte kruhové diagramy znázorňující poměry věkových skupin v letech 2001 aţ 2004 

a) celkově 

b) pro ţeny 

c) pro muţe 

Výsledky: 

1) Po vypočtení středových úhlů dojdeme přibliţně ke stejným výsledkům jako 

v předchozích letech, takţe grafy budou prakticky totoţné, jako v roce 2001; 

z toho se dá usoudit, ţe počty v jednotlivých skupinách se sice měnily, ale u muţů i ţen 

přibliţně stejně. 

2) 

a) 

2001 - Celkem 

2002 - Celkem 



2003 - Celkem 

2004 - Celkem 


do 14 let 15 - 64 let 65 a více let


b) 

2001 - Muži 

2002 - Muži 



2003 - Muži 

2004 - Muži 




c) 

2001 - Ženy 

2002 - Ženy 



2003 - Ženy 

2004 - Ženy 




Aritmetický průměr, modus a medián 

Chceme-li si jednoduše vytvořit představu o celém souboru nebo porovnat více jednotlivých 

souborů, potřebujeme jiné hodnoty, neţ samotné četnosti. 

Tuto funkci plní tzv. střední hodnoty, které jedinou hodnotou charakterizují celý soubor. 

Takovými charakteristikami jsou například aritmetický průměr, modus a medián. 

Aritmetický průměr je součet všech hodnot znaku vydělený počtem všech statistických 

jednotek souboru. 

Modus znaku je ta jeho hodnota, která má největší četnost. 

Pokud se v souboru vyskytují dvě nebo více hodnot znaku s největší četností, tvoří modus 

všechny tyto hodnoty. 

Praktické vyuţití nalezení nejčetnější hodnoty – je to hodnota, která ovlivňuje strukturu 

spotřeby, tedy i objednávek prodejců a zprostředkovaně také výrobu (např. velikosti oděvů, 

obuvi,...). 

Medián určujeme, jsou-li hodnoty znaku čísla – uspořádáme je podle velikosti a hledáme 

„prostřední“ hodnotu znaku. Pořadí „prostředního členu“ v uspořádaném souboru určíme 

n 1 

pomocí vzorce: , kde n je počet členů (rozsah) souboru. 

2 

U lichého počtu jednotek souboru je medián sledovaného znaku ta hodnota, která leţí 

„uprostřed“. 

U sudého počtu jednotek je medián aritmetickým průměrem dvou hodnot, které leţí „nejblíţe 

středu“. 

Tyto tři charakteristiky se souhrnně nazývají charakteristiky polohy. 

Zatímco u průměru potřebujeme k jeho určení všechny hodnoty, jsou modus a medián 

charakteristiky, které všechny vstupní hodnoty nepotřebují, je tedy zřejmé, ţe soubory, které 

mají stejný modus nebo medián, můţou být jinak zcela odlišné. Proto se velmi často doplňují 

dalšími charakteristikami, které podávají informace také o zbytku souboru; jsou to tzv. 

charakteristiky variability.


Příklad: 

Ve třídě 8. A jsou známky z matematiky: 

3 5 4 3 2 4 5 3 2 5 2 2 3 1 3 2 2 5 3 4 4 5 4 1 2 5 2 3 1 2 5 4 

Sestavíme tabulku rozloţení četností: 

známka 


1 3 

2 9 

3 7 

4 6 

5 7 

Výpočet aritmetického průměru můţeme provést dvěma způsoby: 

1. sečteme hodnoty všech známek (tak jak jsou zadány) a vydělíme je počtem všech 

známek (ţáků): 

3 5 4 3 2 

32 

1 

2 

5 

4 

101 

32 

3,15625 

2. protoţe v tabulce máme spočítáno, kolikrát se která známka opakuje, můţeme celkový 

součet vypočítat tak, ţe kaţdou známku vynásobíme její četností a výsledné součiny 

sečteme; celkový součet opět vydělíme počtem ţáků: 

1 

3 

2 

9 

3 7 

32 

4 

6 

5 

7 

101 

32 

3,15625 

Modus zjistíme tak, ţe v tabulce rozdělení četností určíme, která hodnota znaku má nejvyšší 

četnost. 

známka 


1 3 

2 9 

3 7 

4 6 

5 7 

V našem příkladě je největší četnost 9 a ta odpovídá hodnotě 2, modus je tedy 2.

1. 

1. 

1. 

2. 

2. 

2. 

3. 

3. 

3. 

4. 

4. 

4. 

5. 

5. 

5. 

6. 

6. 

6. 

7. 

7. 

7. 

8. 

8. 

8. 

9. 

9. 

9. 

10. 

10. 

10. 

11. 

11. 

11. 

12. 

12. 

12. 

13. 

13. 

13. 

14. 

14. 

14. 

15. 

15. 

15. 

16. 

16. 

17. 

16. 

17. 

18. 

17. 

18. 

19. 

18. 

19. 

20. 

19. 

20. 

21. 

20. 


22. 


22. 

23. 

22. 

23. 

24. 

23. 

24. 

25. 

24. 

25. 

26. 

25. 

26. 

27. 

26. 

27. 

28. 

27. 

28. 

29. 

28. 

29. 

30. 

29. 

30. 

31. 

30. 

31. 

32. 


Abychom mohli určit medián, musíme nejdříve uspořádat známky od 1 do 5: 

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 

Počet ţáků je sudý, takţe medián je aritmetickým průměrem dvou „prostředních“ hodnot, 

n 1 32 1 33 

dosadíme-li do vzorce pro určení pořadí 16, 5 : 

2 2 2 

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 

3 

kolem středu jsou na 16. a 17. místě dvě trojky, jejich aritmetický průměr je 3, medián je tedy 

také 3. 

Ještě zbývá ukázat na příkladech, jak jinak můţe ještě medián vyjít u sudého počtu jednotek: 

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 

2,5 

a u lichého počtu jednotek: 

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 

3



Varianta A 

Příklad: 


Vypočtěte aritmetický průměr (AP) kaţdé věkové skupiny u celkových přehledů za roky 2001 

aţ 2004. 

Řešení: 

Pro AP musíme nejdříve sečíst hodnoty v jednotlivých řádcích za všechny 4 roky, výsledky 

pak vydělíme čtyřmi: 

Sloţení obyvatelstva 

podle věkových skupin 

k 31. 12. (tis. osob) 

2001 2002 2003 2004 Celkem AP 

Celkem 10 206 10 204 10 211 10 221 40 842 16 337 

do 14 let 1 622 1 590 1 554 1 527 6 293 1 573 

15 - 64 let 7 169 7 196 7 234 7 259 28 858 7 215 

65 a více let 1 415 1 418 1 423 1 435 5 691 1 423 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C




Vypočtěte aritmetický průměr (AP) kaţdé věkové skupiny u přehledů za roky 2001 aţ 2004 

a) pro ţeny 

b) pro muţe 

Výsledky: 

a) 



k 31. 12. (tis. osob) 

2001 2002 2003 2004 Celkem AP 

b) 

Muţi 4 968 4 967 4 975 4 981 19 891 4 973 

do 14 let 832 816 798 784 3 230 808 

15 - 64 let 3 590 3 603 3 625 3 639 14 457 3 614 

65 a více let 546 548 552 558 2 204 551 



k 31. 12. (tis. osob) 

2001 2002 2003 2004 Celkem AP 

Ţeny 5 238 5 237 5 236 5 240 20 951 5 238 

do 14 let 790 774 756 743 3 063 766 

15 - 64 let 3 579 3 593 3 609 3 620 14 401 3 600 

65 a více let 869 870 871 877 3 487 872



Varianta B 

Příklad: 

Porovnejte třídy oktáva A a oktáva B pomocí aritmetického průměru známek: 

oktáva A: 

2 3 5 4 3 1 2 4 5 1 3 4 2 5 5 5 1 3 5 1 5 1 1 3 3 1 4 3 3 1 2 4 

oktáva B: 

2 3 1 2 3 3 2 2 2 1 3 3 2 3 1 2 1 4 4 1 5 1 1 4 2 1 4 4 3 2 3 1 

Řešení: 

Nejdříve sestavíme tabulky rozloţení četností v obou třídách: 

oktáva A 

počet 

známka 

žáků 

1 8 

2 4 

3 8 

4 5 

5 7 

oktáva B 

počet 

známka 

žáků 

1 9 

2 9 

3 8 

4 5 

5 1 

Z takto připravených dat snadno určíme střední hodnoty: 

oktáva A 

AP 2,968 75 

modus 3 a 1 

medián 3 

oktáva B 

AP 2,375 

modus 2 a 1 

medián 2 

Závěr: Ve třídě oktáva A jsou podle všech ukazatelů horší známky. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C


1) V příloze č. 1 vypočtěte aritmetický průměr počtu obyvatel měst ČR (k 31. 12. 2004) 

a určete, kolik měst má větší a kolik menší počet obyvatel, neţ je průměr. 

2) V příloze č. 3 vypočtěte průměrnou rozlohu, průměrný počet obyvatel a průměrný věk 

muţů a ţen pro zadané státy. 

Výsledky: 

1) 

Obyvatel měst celkem: 4 854 283 

Počet měst celkem 82 

Aritmetický průměr: 59 199 

Počet měst s nadprůměrným počtem obyvatel 17 

Počet měst s podprůměrným počtem obyvatel 65 

2) 

Země 

rozloha 

(mil. km 2 ) 

obyvatel 

(mil.) 

věk - 

muži 

věk - 

ženy 

Počet zemí 39,00 

Celkem 5618,66 581,23 2 740 3 019 

Aritmetický průměr 144,07 14,90 70,256 77,41



Varianta C 

Příklad: 

Je dán přehled informací: 

Firma ABCD - přehled zaměstnanců za leden 2003 

Č. Příjmení a Jméno Věk 

Odprac. 

hodin 

Odměny 

1 Adamec Ladislav 46 120,0 1 000 

2 Bláha Jan 37 168,0 2 000 

3 Caha Jiří 35 200,0 2 000 

4 Černý Miloš 48 150,0 1 500 

5 Daněk Pavel 24 165,5 1 500 

6 Honzík Jan 39 180,0 1 700 

7 Hrabal Petr 21 210,0 3 000 

8 Jaroš Jiří 36 156,0 2 500 

9 Kacetl Jaromír 41 187,5 2 000 

10 Lesák Pavel 38 147,0 2 500 

11 Maurer Jan 58 54,5 0 

12 Novotný Havel 54 195,0 2 000 

13 Nový Gustav 49 200,0 2 000 

14 Opatrný Leoš 50 195,5 2 000 

15 Pravý Karel 39 205,0 3 500 

16 Starý František 19 210,0 4 000 

17 Zach Václav 24 175,5 2 000 

Určete aritmetický průměr, modus a medián věku, odpracovaných hodin a odměn všech 

zaměstnanců této firmy.


Řešení: 

Pro jednodušší práci s daty si je nejdříve seřadíme podle velikosti – to je vhodné nejen pro 

medián, ale v tomto případě i pro modus (hodnoty se málo opakují): 

Věk 

Odprac. 

hodin 

Odměny 

19 54,5 0 

21 120,0 1 000 

24 147,0 1 500 

24 150,0 1 500 

35 156,0 1 700 

36 165,5 2 000 

37 168,0 2 000 

38 175,5 2 000 

39 180,0 2 000 

39 187,5 2 000 

41 195,0 2 000 

46 195,5 2 000 

48 200,0 2 500 

49 200,0 2 500 

50 205,0 3 000 

54 210,0 3 500 

58 210,0 4 000 

Určíme příslušné součty – AP vypočteme jako podíl těchto součtů/17 (počet zaměstnanců), 

v uspořádaných sloupcích najdeme nejčetnější hodnoty – modus a protoţe počet zaměstnanců 

je 17 – medián bude na (17 + 1) : 2 = 9. místě: 

Firma ABCD - leden 2003 

Věk 

Odprac. 

hodin 

Odměny 

Celkem 658 2920 35200 

Aritmetický průměr 39 172 2071 

Modus 24, 39 200, 210 2000 

Medián 39,0 180,0 2 000 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C



1) V příloze č. 3 vypočtěte modus a medián věku muţů a ţen pro zadané státy. 

2) V příloze č. 4 jsou uvedeny klimatické hodnoty jednotlivých stanic ČR v roce 2008. 

Určete průměrné hodnoty pro celou ČR. 

Výsledky: 

1) 

Země 

věk - 

muži 

věk - 

ženy 

Modus 75 81 

Medián 72 78 

2) 

Klimatické hodnoty 

v roce 2008 

Prům. teplota 

vzduchu ( o C) 

Úhrn srážek 

(mm) 

Trvání 

slunečního 

svitu (h) 

Aritmetický průměr 8,96 604,07 1 668,93


Souhrnné příklady k procvičení 

1) V příloze č. 1 je přehled počtu obyvatel ve městech ČR. 

Určete základní pojmy a vypočtěte relativní četnosti. 

2) V příloze č. 3 jsou uvedeny základní informace o státech Evropy. 

Sestavte pruhové diagramy (sloupce vodorovně) pro srovnání rozlohy a počtu obyvatel 

jednotlivých států. 

3) V příloze č. 4 jsou uvedeny klimatické hodnoty jednotlivých stanic ČR v roce 2008. 

Sestavte pruhové diagramy (sloupce vodorovně) jednotlivých klimatických hodnot 

naměřených na všech stanicích ČR. 

4) V příloze č. 5 jsou uvedeny počty ţáků čtyřletých gymnázií. 

Sestavte 

a) spojnicový graf – porovnání celkového počtu ţáků 4letých gymnázií v jednotlivých 

ročnících a školních rocích 

b) sloupkové diagramy – porovnání počtu ţáků (z toho dívek) celkově a pro kaţdý ročník 

v jednotlivých ročnících a školních rocích 

5) V příloze č. 6 je přehled obyvatelstva od r. 1970 do r. 2008. 

Sestavte: 

a) graf, který zobrazuje vývoj počtu obyvatel v průběhu uvedeného období; 

b) graf, který zobrazuje vývoj přirozeného přírůstku/úbytku v průběhu uvedeného 

období; 

c) graf, který zobrazuje vývoj přírůstku/úbytku stěhováním v průběhu uvedeného období. 

6) V příloze e č. 7 je přehled porodnosti a úmrtnosti od r. 1970 do r. 2008. 

Sestavte: 

a) graf, který zobrazuje vývoj počtu ţivě narozených v průběhu uvedeného období; 

b) graf, který zobrazuje vývoj počtu mrtvě narozených v průběhu uvedeného období; 

c) graf, který zobrazuje vývoj počtu zemřelých v průběhu uvedeného období; 

d) graf, který zobrazuje vývoj počtu zemřelých do 1 roku v průběhu uvedeného období; 

e) graf, který zobrazuje vývoj počtu zemřelých do 28 dnů v průběhu uvedeného období; 

7) V příloze e č. 8 je přehled sňatkovosti a rozvodovosti od r. 1970 do r. 2008. 

Sestavte graf, který zobrazuje vývoj počtu sňatků a rozvodů v průběhu uvedeného období.


Výsledky: 

1) statistický soubor obyvatelé měst ČR 

statistická jednotka ............. kaţdý občan ţijící v nějakém městě ČR 

znak statistické jednotky ..... obyvatel města… 

hodnota znaku ..................... konkrétní město 

město 

počet 

obyvatel - 

četnost 

relativní 

četnost 

relativní 

četnost v 

% 

město 

počet 

obyvatel 

relativní 

četnost 

relativní 

četnost v 

% 

Praha 1 170 571 0,2411 24,11% Litvínov 27 027 0,0056 0,56% 

Brno 367 729 0,0758 7,58% Nový Jičín 26 331 0,0054 0,54% 

Ostrava 311 402 0,0641 6,41% Hodonín 26 290 0,0054 0,54% 

Plzeň 162 627 0,0335 3,35% Uherské Hradiště 26 280 0,0054 0,54% 

Olomouc 100 752 0,0208 2,08% Český Těšín 26 059 0,0054 0,54% 

Liberec 97 400 0,0201 2,01% Břeclav 25 716 0,0053 0,53% 

Hradec Králové 94 694 0,0195 1,95% Krnov 25 442 0,0052 0,52% 

České Budějovice 94 622 0,0195 1,95% Sokolov 24 724 0,0051 0,51% 

Ústí nad Labem 93 859 0,0193 1,93% Litoměřice 24 389 0,0050 0,50% 

Pardubice 88 181 0,0182 1,82% Havlíčkův Brod 24 296 0,0050 0,50% 

Havířov 84 784 0,0175 1,75% Ţďár nad Sázavou 23 976 0,0049 0,49% 

Zlín 78 599 0,0162 1,62% Chrudim 23 498 0,0048 0,48% 

Kladno 69 355 0,0143 1,43% Kopřivnice 23 389 0,0048 0,48% 

Most 67 815 0,0140 1,40% Strakonice 23 347 0,0048 0,48% 

Karviná 63 467 0,0131 1,31% Bohumín 23 078 0,0048 0,48% 

Frýdek-Místek 59 897 0,0123 1,23% Klatovy 22 893 0,0047 0,47% 

Opava 59 843 0,0123 1,23% Jindřichův Hradec 22 666 0,0047 0,47% 

Děčín 51 820 0,0107 1,07% Vyškov 22 259 0,0046 0,46% 

Karlovy Vary 51 537 0,0106 1,06% Jirkov 21 203 0,0044 0,44% 

Teplice 51 193 0,0105 1,05% Náchod 21 197 0,0044 0,44% 

Chomutov 50 176 0,0103 1,03% Kutná Hora 21 109 0,0043 0,43% 

Jihlava 49 865 0,0103 1,03% Blansko 20 290 0,0042 0,42% 

Prostějov 47 165 0,0097 0,97% Hranice 19 568 0,0040 0,40% 

Přerov 46 938 0,0097 0,97% Ţatec 19 535 0,0040 0,40% 

Jablonec nad Nisou 44 571 0,0092 0,92% Mělník 19 053 0,0039 0,39% 

Mladá Boleslav 42 972 0,0089 0,89% Louny 19 012 0,0039 0,39% 

Česká Lípa 38 776 0,0080 0,80% Otrokovice 18 708 0,0039 0,39% 

Třebíč 38 715 0,0080 0,80% Kadaň 17 731 0,0037 0,37% 

Třinec 38 218 0,0079 0,79% Beroun 17 646 0,0036 0,36% 

Tábor 36 013 0,0074 0,74% Bruntál 17 631 0,0036 0,36% 

Znojmo 35 177 0,0072 0,72% Uherský Brod 17 424 0,0036 0,36% 

Příbram 35 147 0,0072 0,72% Kralupy nad Vltavou 17 323 0,0036 0,36% 

Orlová 34 026 0,0070 0,70% Svitavy 17 322 0,0036 0,36% 

Roţnov pod 

Cheb 33 462 0,0069 0,69% Radhoštěm 17 276 0,0036 0,36%


Trutnov 31 239 0,0064 0,64% Ostrov 17 193 0,0035 0,35% 

Písek 29 801 0,0061 0,61% Česká Třebová 16 655 0,0034 0,34% 

Kolín 29 489 0,0061 0,61% Pelhřimov 16 417 0,0034 0,34% 

Kroměříţ 29 041 0,0060 0,60% Neratovice 16 372 0,0034 0,34% 

Šumperk 28 475 0,0059 0,59% Rakovník 16 329 0,0034 0,34% 

Vsetín 28 350 0,0058 0,58% Jičín 16 248 0,0033 0,33% 

Valašské Meziříčí 27 410 0,0056 0,56% Benešov 16 208 0,0033 0,33% 

obyvatel měst celkem: 4 854 283


2) Státy Evropy: 

Země podle rozlohy (mil. km 2 ) 

San Marino 

Lichtenštejnsko 

Malta 

Lucembursko 

Slovinsko 

Makedonie 

Albánie 

Belgie 

Norsko 

Moldavsko 

Švýcarsko 

Nizozemsko 

Dánsko 

Estonsko 

Slovensko 

Bosna a hercegovina 

Chorvatsko 

Lotyšsko 

Litva 

Irsko 

ČR 

Rakousko 

Portugalsko 

Maďarsko 

Jugoslávie 

Island 

Bulharsko 

Řecko 

Bělorusko 

Rumunsko 

Spojené království 

Itálie 

Polsko 

Finsko 

Německo 

Švédsko 

Španělsko 

Francie 

Ukrajina 

0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 500.00 600.00 700.00


Země podle počtu obyvatel (mil.) 

San Marino 

Island 

Lichtenštejnsko 

Malta 

Lucembursko 

Estonsko 

Slovinsko 

Makedonie 

Lotyšsko 

Albánie 

Irsko 

Bosna a hercegovina 

Litva 

Moldavsko 

Norsko 

Chorvatsko 

Finsko 

Dánsko 

Slovensko 

Švýcarsko 

Rakousko 

Bulharsko 

Švédsko 

Portugalsko 

Maďarsko 

Belgie 

Bělorusko 

ČR 

Řecko 

Jugoslávie 

Nizozemsko 

Rumunsko 

Polsko 

Španělsko 

Ukrajina 

Itálie 

Francie 

Spojené království 

Německo 

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00


3) Meteorologické stanice ČR: 

Lysá Hora 

Churáňov 

Milešovka 

Svratouch 

Přibyslav 

Cheb 

Liberec 

Velké Meziříčí 

Tábor 

Praha, Ruzyně 

Klatovy 

České Budějovice 

Mošnov 

Doksany 

Semčice 

Hradec Králové 

Holešov 

Kuchařovice 

Olomouc 

Brno, Tuřany 

Praha, Karlov 

Prům. teplota vzduchu ( o C) 

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0


Praha, Karlov 

Brno, Tuřany 

Tábor 

Kuchařovice 


Klatovy 


Olomouc 


Holešov 

Semčice 

Milešovka 

Doksany 

Přibyslav 


Mošnov 

Svratouch 

Cheb 

Liberec 

Churáňov 

Lysá Hora 

Úhrn srážek (mm) 

0.0 200.0 400.0 600.0 800.0 1 000.0 1 200.0 1 400.0 

Lysá Hora 

Klatovy 

Svratouch 

Doksany 

Liberec 

Cheb 


Tábor 

Praha, Karlov 

Přibyslav 


Mošnov 

Olomouc 

Semčice 

Brno, Tuřany 


Milešovka 

Holešov 

Kuchařovice 

Churáňov 


Trvání slunečního svitu (h) 

1 300.0 1 400.0 1 500.0 1 600.0 1 700.0 1 800.0 1 900.0


4) 

a) 

Žáci čtyřletých gymnázií 

1. ročník 2. ročník 3. ročník 4. ročník 

15 500 

15 000 

14 500 

14 000 

13 500 

13 000 

12 500 

12 000 

11 500 

b) 

Celkem 

Celkem 

Z toho dívky 

70 000 

60 000 

50 000 

40 000 

30 000 

20 000 

10 000 

0


1. ročník 

1. ročník Z toho dívky 

16 000 

14 000 

12 000 

10 000 

8 000 

6 000 

4 000 

2 000 

0 

2. ročník 


16 000 

14 000 

12 000 

10 000 

8 000 

6 000 

4 000 

2 000 

0


3. ročník 


16 000 

14 000 

12 000 

10 000 

8 000 

6 000 

4 000 

2 000 

0 

4. ročník 


16 000 

14 000 

12 000 

10 000 

8 000 

6 000 

4 000 

2 000 

0 

5)

1970 

1972 

1974 

1976 

1978 

1980 

1982 

1984 

1986 

1988 

1990 

1992 

1994 

1996 

1998 

2000 

2002 

2004 

2006 

2008 

1970 

1972 

1974 

1976 

1978 

1980 

1982 

1984 

1986 

1988 

1990 

1992 

1994 

1996 

1998 

2000 

2002 

2004 

2006 

2008 


a) 

10 500 000 

10 400 000 

10 300 000 

10 200 000 

10 100 000 

10 000 000 

9 900 000 

9 800 000 

Střední stav obyvatelstva od r. 1970 do r. 2008 

b) 

80 000 

70 000 

60 000 

50 000 

40 000 

30 000 

20 000 

10 000 

0 

-10 000 

-20 000 

-30 000 

Přírůstek/úbytek - přirozený

1970 

1972 

1974 

1976 

1978 

1980 

1982 

1984 

1986 

1988 

1990 

1992 

1994 

1996 

1998 

2000 

2002 

2004 

2006 

2008 

1970 

1972 

1974 

1976 

1978 

1980 

1982 

1984 

1986 

1988 

1990 

1992 

1994 

1996 

1998 

2000 

2002 

2004 

2006 

2008 


c) 

90 000 

80 000 

70 000 

60 000 

50 000 

40 000 

30 000 

20 000 

10 000 

0 

-10 000 

Přírůstek/úbytek - stěhováním 

6) 

a) 

Narození živě 

195 000 

175 000 

155 000 

135 000 

115 000 

95 000 

75 000

1970 

1972 

1974 

1976 

1978 

1980 

1982 

1984 

1986 

1988 

1990 

1992 

1994 

1996 

1998 

2000 

2002 

2004 

2006 

2008 

1970 

1972 

1974 

1976 

1978 

1980 

1982 

1984 

1986 

1988 

1990 

1992 

1994 

1996 

1998 

2000 

2002 

2004 

2006 

2008 


b) 

1 300 

1 200 

1 100 

1 000 

900 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

Narození mrtvě 

c) 

140 000 

135 000 

130 000 

125 000 

120 000 

115 000 

110 000 

105 000 

100 000 

Zemřelí

1970 

1972 

1974 

1976 

1978 

1980 

1982 

1984 

1986 

1988 

1990 

1992 

1994 

1996 

1998 

2000 

2002 

2004 

2006 

2008 

1970 

1972 

1974 

1976 

1978 

1980 

1982 

1984 

1986 

1988 

1990 

1992 

1994 

1996 

1998 

2000 

2002 

2004 

2006 

2008 


d) 

Zemřelí - do 1 roku 

4 000 

3 500 

3 000 

2 500 

2 000 

1 500 

1 000 

500 

0 

e) 

Zemřelí do 28 dnů 

2 850 

2 600 

2 350 

2 100 

1 850 

1 600 

1 350 

1 100 

850 

600 

350 

100


7) 

Sňatky 

Rozvody 

100 000 

90 000 

80 000 

70 000 

60 000 

50 000 

40 000 

30 000 

20 000 

10 000 

0


Přílohy: 

Příloha č. 1: Počet obyvatel ve městech ČR k 31. 12. 2004 

Příloha č. 2: Věkové sloţení obyvatelstva 

Příloha č. 3: Země – základní údaje 

Příloha č. 4: Klimatické hodnoty v roce 2008 

Příloha č. 5: Ţáci čtyřletých gymnázií 

Příloha č. 6: Přírůstky a úbytky obyvatelstva od roku 1970 do roku 2008 

Příloha č. 7: Porodnost a úmrtnost v ČR od r. 1970 do r. 2008 

Příloha č. 8: Sňatkovost a rozvodovost v ČR od r. 1970 do r. 2008 

Ukázky tabulek a publikace ČSÚ: 

Příloha č. 9: Mezikrajové srovnání za 1. - 3. čtvrtletí 2006 

Příloha č. 10: Mezinárodní srovnání v roce 2004 

Příloha č. 11 - Školní ročenka 2005 

V přílohách č. 9, 10 a 11 můţete vidět, jakým způsobem lze předkládat veřejnosti, 

případně interpretovat zjištěné údaje ČSÚ.


Příloha č. 1: Počet obyvatel v městech ČR k 31. 12. 2004 

MĚSTA ČESKÉ REPUBLIKY 

k 31. 12. 2004 

město 

počet oby v atel 

město 

počet oby v atel 

Praha 1 170 571 Litv ínov 27 027 

Brno 367 729 Nov ý Jičín 26 331 

Ostrav a 311 402 Hodonín 26 290 

Plzeň 162 627 Uherské Hradiště 26 280 

Olomouc 100 752 Český Těšín 26 059 

Liberec 97 400 Břeclav 25 716 

Hradec Králov é 94 694 Krnov 25 442 

České Budějov ice 94 622 Sokolov 24 724 

Ústí nad Labem 93 859 Litoměřice 24 389 

Pardubice 88 181 Hav líčkův Brod 24 296 

Hav ířov 84 784 Ţďár nad Sázav ou 23 976 

Zlín 78 599 Chrudim 23 498 

Kladno 69 355 Kopřiv nice 23 389 

Most 67 815 Strakonice 23 347 

Karv iná 63 467 Bohumín 23 078 

Frýdek-Místek 59 897 Klatov y 22 893 

Opav a 59 843 Jindřichův Hradec 22 666 

Děčín 51 820 Vy škov 22 259 

Karlov y Vary 51 537 Jirkov 21 203 

Teplice 51 193 Náchod 21 197 

Chomutov 50 176 Kutná Hora 21 109 

Jihlav a 49 865 Blansko 20 290 

Prostějov 47 165 Hranice 19 568 

Přerov 46 938 Ţatec 19 535 

Jablonec nad Nisou 44 571 Mělník 19 053 

Mladá Boleslav 42 972 Louny 19 012 

Česká Lípa 38 776 Otrokov ice 18 708 

Třebíč 38 715 Kadaň 17 731 

Třinec 38 218 Beroun 17 646 

Tábor 36 013 Bruntál 17 631 

Znojmo 35 177 Uherský Brod 17 424 

Příbram 35 147 Kralupy nad Vltav ou 17 323 

Orlov á 34 026 Sv itav y 17 322 

Cheb 33 462 Roţnov pod Radhoštěm 17 276 

Trutnov 31 239 Ostrov 17 193 

Písek 29 801 Česká Třebov á 16 655 

Kolín 29 489 Pelhřimov 16 417 

Kroměříţ 29 041 Neratov ice 16 372 

Šumperk 28 475 Rakov ník 16 329 

Vsetín 28 350 Jičín 16 248 

Valašské Meziříčí 27 410 Benešov 16 208


Příloha č. 2: Věkové sloţení obyvatelstva 

VĚKOVÉ SLOŢENÍ OBYVATELSTVA 

Sloţení oby v atelstv a 

podle v ěkov ých skupin 

k 31. 12. (tis. osob) 

2001 2002 2003 2004 

Celkem 10 206 10 204 10 211 10 221 

do 14 let 1 622 1 590 1 554 1 527 

15 - 64 let 7 169 7 196 7 234 7 259 

65 a v íce let 1 415 1 418 1 423 1 435 

Muţi 4 968 4 967 4 975 4 981 

do 14 let 832 816 798 784 

15 - 64 let 3 590 3 603 3 625 3 639 

65 a v íce let 546 548 552 558 

Ţeny 5 238 5 237 5 236 5 240 

do 14 let 790 774 756 743 

15 - 64 let 3 579 3 593 3 609 3 620 

65 a v íce let 869 870 871 877


Příloha č. 3: Země – základní údaje 

Země 

Hl. město 

rozloha (mil. 

km 2 ) 

obyvatel 

(mil.) 

věk - 

muži 

věk - 

ženy 

Albánie Tirana 28,70 3,40 75 81 

Belgie Brusel 30,50 10,20 76 81 

Řecko Athény 131,90 10,50 63 73 

Bosna a hercegovina Sarajevo 51,10 3,60 74 80 

Jugoslávie Bělehrad 102,20 10,60 66 73 

ČR Praha 78,90 10,30 70 77 

Dánsko Kodaň 43,10 5,30 73 80 

Estonsko Taliin 45,20 1,50 73 80 

Německo Berlín 375,00 82,00 75 79 

Rumunsko Bukurešť 237,50 22,50 70 75 

Chorvatsko Záhřeb 56,60 4,80 74 79 

Irsko Dublin 70,30 3,60 67 75 

Finsko Helsinky 338,10 5,10 70 74 

Ukrajina Kyjev 603,70 50,70 71 78 

Spojené království Londýn 244,10 59,00 66 75 

Lichtenštejnsko Vaduz 0,20 0,30 62 74 

Litva Vilnius 65,30 3,70 63 74 

Lotyšsko Riga 64,60 2,50 75 82 

Lucembursko Lucemburk 2,60 0,40 77 81 

Maďarsko Budapešť 93,00 10,20 68 76 

Makedonie Skopje 25,70 2,10 61 73 

Malta Valletta 0,30 0,40 73 80 

Moldavsko Kišiněv 33,70 4,30 74 82 

Španělsko Madrid 506,00 39,30 75 79 

Nizozemsko Amsterdam 41,50 15,60 74 81 

Norsko Oslo 32,90 4,40 74 81 

Bělorusko Minsk 207,50 10,30 70 76 

Portugalsko Lisabon 92,10 9,90 64 71 

Rakousko Vídeň 83,90 8,10 65 74 

Francie Paříž 544,00 58,60 73 79 

Island Reykjavík 102,80 0,30 58 72 

San Marino San Marino 0,06 0,03 73 78 

Slovensko Bratislava 49,00 5,40 75 80 

Slovinsko Lublaň 20,30 2,00 64 75 

Itálie Řím 301,30 57,40 75 81 

Bulharsko Sofie 111,00 8,30 69 77 

Švédsko Stockholm 450,00 8,90 72 79 

Švýcarsko Bern 41,30 7,10 73 79 

Polsko Varšava 312,70 38,60 70 75


Příloha č. 4: Klimatické hodnoty v roce 2008 

Meteorologická 

stanice 

Prům. teplota 

vzduchu ( o C) 

Úhrn srážek 

(mm) 

Trvání 

slunečního 

svitu (h) 

Brno, Tuřany 10,7 426,0 1 725,5 

České Budějovice 9,8 569,3 1 681,7 

Doksany 9,9 560,8 1 598,6 

Holešov 10,3 534,5 1 746,7 

Hradec Králové 10,3 465,7 1 781,8 

Cheb 8,5 731,4 1 615,3 

Churáňov 5,5 1 011,3 1 760,2 

Klatovy 9,4 478,8 1 541,9 

Kuchařovice 10,4 445,4 1 753,0 

Liberec 8,7 841,2 1 607,3 

Lysá Hora 3,9 1 268,5 1 495,4 

Milešovka 6,7 560,8 1 741,2 

Mošnov 9,9 686,3 1 692,0 

Olomouc 10,5 484,8 1 717,2 

Praha, Karlov 11,1 408,1 1 653,5 

Praha, Ruzyně 9,4 492,1 1 732,6 

Přibyslav 8,3 563,2 1 670,5 

Semčice 10,0 540,1 1 719,8 

Svratouch 7,2 690,4 1 558,0 

Tábor 8,9 442,2 1 634,2 

Velké Meziříčí 8,8 484,5 1 621,1


Příloha č. 5: Ţáci čtyřletých gymnázií 

2000/2001 2001/2002 2002/2003 2003/2004 2004/2005 2005/2006 

1. ročník 13 056 14 007 13 787 14 877 14 841 15 221 

2. ročník 13 410 12 646 13 669 13 809 14 472 14 588 

3. ročník 12 133 13 162 12 434 13 711 13 559 14 412 

4. ročník 12 203 11 851 12 898 12 385 13 355 13 463 

Celkem 50 802 51 666 52 788 54 782 56 227 57 684 

Z toho dívky: 

2000/2001 2001/2002 2002/2003 2003/2004 2004/2005 2005/2006 

1. ročník 8 577 9 085 9 005 9 581 9 489 9 730 

2. ročník 8 940 8 301 8 881 8 970 9 381 9 338 

3. ročník 7 682 8 774 8 151 8 907 8 799 9 314 

4. ročník 7 464 7 525 8 627 8 133 8 708 8 783 

Celkem 32 663 33 685 34 664 35 591 36 377 37 165


Příloha č. 6: Přírůstky a úbytky obyvatelstva od roku 1970 do roku 2008 

Rok 

Střední stav 

obyvatelstva 

Přírůstek/úbytek 

přirozený 

stěhováním 

1970 9 805 157 24 538 -4 350 

1971 9 830 602 31 805 2 490 

1972 9 868 379 44 456 2 884 

1973 9 919 519 57 313 4 615 

1974 9 994 761 67 406 3 052 

1975 10 062 366 67 462 2 401 

1976 10 128 220 62 146 2 630 

1977 10 189 312 55 549 1 307 

1978 10 245 686 51 765 2 064 

1979 10 296 489 44 163 2 494 

1980 10 326 792 18 264 1 858 

1981 10 303 208 14 031 1 717 

1982 10 314 321 10 973 1 748 

1983 10 322 823 2 957 2 383 

1984 10 330 481 4 753 2 621 

1985 10 336 742 4 240 2 195 

1986 10 340 737 771 3 013 

1987 10 348 834 3 677 2 721 

1988 10 356 359 6 973 2 544 

1989 10 362 257 609 1 459 

1990 10 362 740 1 398 624 

1991 10 308 682 5 064 2 876 

1992 10 317 807 1 368 11 781 

1993 10 330 607 2 840 5 476 

1994 10 336 162 -10 794 9 942 

1995 10 330 759 -21 816 9 999 

1996 10 315 353 -22 336 10 129 

1997 10 303 642 -22 087 12 075 

1998 10 294 943 -18 992 9 488 

1999 10 282 784 -20 297 8 774 

2000 10 272 503 -18 091 6 539 

2001 10 224 192 -17 040 -8 551 

2002 10 200 774 -15 457 12 290 

2003 10 201 651 -17 603 25 789 

2004 10 206 923 -9 513 18 635 

2005 10 234 092 -5 727 36 229 

2006 10 266 646 1 390 34 720 

2007 10 322 689 9 996 83 945 

2008 10 429 692 14 622 71 790


Příloha č. 7: Porodnost a úmrtnost v ČR od r. 1970 do r. 2008 

Obyvatelstvo - II 

Rok 


obyvatelstva 

Narození 

živě mrtvě celkem 

Zemřelí 

z toho do 1 roku 

z toho do 

celkem 

28 dnů 

1970 9 805 157 147 865 1 028 123 327 2 987 2 235 

1971 9 830 602 154 180 1 053 122 375 3 114 2 411 

1972 9 868 379 163 661 1 083 119 205 3 194 2 462 

1973 9 919 519 181 750 1 203 124 437 3 536 2 749 

1974 9 994 761 194 215 1 212 126 809 3 744 2 933 

1975 10 062 366 191 776 1 093 124 314 3 713 2 835 

1976 10 128 220 187 378 1 144 125 232 3 580 2 739 

1977 10 189 312 181 763 1 102 126 214 3 407 2 472 

1978 10 245 686 178 901 1 117 127 136 3 053 2 260 

1979 10 296 489 172 112 972 127 949 2 726 1 945 

1980 10 326 792 153 801 864 135 537 2 592 1 735 

1981 10 303 208 144 438 748 130 407 2 226 1 601 

1982 10 314 321 141 738 780 130 765 2 130 1 466 

1983 10 322 823 137 431 701 134 474 1 997 1 368 

1984 10 330 481 136 941 646 132 188 1 932 1 365 

1985 10 336 742 135 881 607 131 641 1 694 1 167 

1986 10 340 737 133 356 586 132 585 1 639 1 121 

1987 10 348 834 130 921 548 127 244 1 577 1 094 

1988 10 356 359 132 667 571 125 694 1 463 1 003 

1989 10 362 257 128 356 525 127 747 1 280 886 

1990 10 362 740 130 564 530 129 166 1 410 1 003 

1991 10 308 682 129 354 496 124 290 1 343 902 

1992 10 317 807 121 705 437 120 337 1 204 749 

1993 10 330 607 121 025 445 118 185 1 028 692 

1994 10 336 162 106 579 336 117 373 847 505 

1995 10 330 759 96 097 300 117 913 740 475 

1996 10 315 353 90 446 317 112 782 547 347 

1997 10 303 642 90 657 273 112 744 531 326 

1998 10 294 943 90 535 294 109 527 472 289 

1999 10 282 784 89 471 303 109 768 413 261 

2000 10 272 503 90 910 259 109 001 373 231 

2001 10 224 192 90 715 263 107 755 360 212 

2002 10 200 774 92 786 261 108 243 385 251 

2003 10 201 651 93 685 272 111 288 365 221 

2004 10 206 923 97 664 265 107 177 366 224 

2005 10 234 092 102 211 287 107 938 347 206 

2006 10 266 646 105 831 299 104 441 352 246 

2007 10 322 689 114 632 315 104 636 360 235


Příloha č. 8: Sňatkovost a rozvodovost v ČR od r. 1970 do r. 2008 

Rok 


obyvatelstva 

Sňatky Rozvody 

1970 9 805 157 90 624 21 516 

1971 9 830 602 91 864 23 616 

1972 9 868 379 95 337 22 392 

1973 9 919 519 99 518 25 271 

1974 9 994 761 98 048 24 970 

1975 10 062 366 97 373 26 154 

1976 10 128 220 94 929 25 544 

1977 10 189 312 93 011 25 442 

1978 10 245 686 90 338 27 071 

1979 10 296 489 84 496 26 191 

1980 10 326 792 78 343 27 218 

1981 10 303 208 77 453 27 608 

1982 10 314 321 76 978 27 921 

1983 10 322 823 80 417 29 319 

1984 10 330 481 81 714 30 514 

1985 10 336 742 80 653 30 489 

1986 10 340 737 81 638 29 560 

1987 10 348 834 83 773 31 036 

1988 10 356 359 81 458 30 652 

1989 10 362 257 81 262 31 376 

1990 10 362 740 90 953 32 055 

1991 10 308 682 71 973 29 366 

1992 10 317 807 74 060 28 572 

1993 10 330 607 66 033 30 227 

1994 10 336 162 58 440 30 939 

1995 10 330 759 54 956 31 135 

1996 10 315 353 53 896 33 113 

1997 10 303 642 57 804 32 465 

1998 10 294 943 55 027 32 363 

1999 10 282 784 53 523 23 657 

2000 10 272 503 55 321 29 704 

2001 10 224 192 52 374 31 586 

2002 10 200 774 52 732 31 758 

2003 10 201 651 48 943 32 824 

2004 10 206 923 51 447 33 060 

2005 10 234 092 51 829 31 288 

2006 10 266 646 52 860 31 415 

2007 10 322 689 57 157 31 129 

2008 10 429 692 52 457 31 300


Příloha č. 9: Mezikrajové srovnání za 1. - 3. čtvrtletí 2006 

Mezikrajové srovnání 

Tabulka s vybranými ukazateli. 

Příloha č. 10: Mezinárodní srovnání v roce 2004 

Mezinárodní srovnání 

Tabulka s vybranými ukazateli, grafy cen hovorů. 

Příloha č. 11: Školní ročenka 2005.pdf 

Ukázka prezentace dat ČSÚ, zajímavé informace, tabulky a grafy.


Základy pravděpodobnosti 


Náhodné pokusy jsou procesy, jejichţ výsledek nelze předem jednoznačně určit; 

při opakování dávají ze stejných podmínek rozdílné výsledky; 

závisí jednak na daných podmínkách, při kterých je prováděn, jednak na náhodě 

- například hod kostkou nebo hod mincí, tah Sportky, rozdání karet, otočení rulety,... 

Množina všech možných výsledků pokusů (značíme ) 

předpokládá se, ţe u kaţdého náhodného pokusu je moţno předem určit všechny 

moţné výsledky, a to tak, ţe se navzájem vylučují a ţe jeden z nich nastane vţdy 

- u hodu kostkou jsou to čísla 1 – 6, u hodu mincí „panna“ nebo „orel“ 

budeme uvaţovat pouze konečnou množinu všech moţných výsledků a navíc budeme 

předpokládat, ţe žádné dva nenastanou současně; 

- u hodu kostkou a vlastně i mincí se tím rozumí, ţe je ideálně vyvážená, ţe není 

moţné, aby padla“hrana“ a ţe vţdy padne jedna ze strana kostky nebo mince. 

Náhodný jev - podmnoţina mnoţiny všech moţných výsledků (značíme 

- padne liché číslo, padne sudé číslo, ... 

Jistý jev ( I ) - jev, který při daném pokusu určitě nastane (celá mnoţina ) 

- padne číslo menší neţ 7. 

A , B, ) 

Jev nemožný (Ø) - jev, který nemůţe nastat (prázdná mnoţina – neobsahuje ţádný prvek) 

- padne číslo větší neţ 6 

Jev opačný – jev A´ 

je opačný k jevu A , je-li mnoţina příznivých výsledků jednomu jevu 

rovna doplňku mnoţiny výsledků příznivých jevu druhému 

Pozn.: doplňkem A ´ mnoţiny A v dané základní mnoţině jsou všechny prvky 

základní mnoţiny , které nepatří do mnoţiny A . 

Pravděpodobnost náhodného jevu – počet prvků mnoţiny 

je počet všech moţných 

výsledků náhodného pokusu, reálné číslo P (A) 

je pravděpodobnost náhodného jevu 

A a určujeme ji pomocí vzorce: 

P (A) 

počet všech příznivých výsledků 

počet všech moţných výsledků


Příklad: 

Náhodný pokus ........ hod kostkou, 1 , 2, 3, 4, 5, 6 

jev A ........................ padne číslo 4 

jev B ........................ padne sudé číslo 

jev C ........................ padne číslo větší neţ4 

jev D ........................ nepadne číslo 4 

jev E ........................ padne liché číslo 

jev F ........................ padne číslo menší neţ 4 

jev G ........................ padne číslo větší nebo rovno 4 

jev H ........................ padne jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6 

jev J ......................... nepadne ţádné z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6 

Najděte jev jistý, jev nemoţný, opačné jevy a určete pravděpodobnosti všech jevů. 

Řešení: 

jev jistý ................... u hodu kostkou určitě padne jedno z čísel 1 aţ 6, proto je jev H jistý 

jev nemoţný ........... ze stejného důvodu je jev J nemoţný 

opačné jevy ............. opačné jsou jevy H a J , jevy A a D , jevy B a E a jevy F a G 

je zřejmé, ţe k jevu F nemůţe být opačný jev C , protoţe číslo 4 nepatří 

ani do jedné z mnoţin příznivých výsledků 

Počet všech moţných výsledků je 6, dále: 

A ............................ 4 - jediný příznivý výsledek ............ P A 

B ............................ 2, 4, 6 - tři příznivé výsledky .................. P B 

C ............................ 5, 6 - dva příznivé výsledky ................ P C 

D ............................ 1, 2, 3, 5, 6 - pět příznivých výsledků ............. P D 

E ............................ 1, 3, 5 - tři příznivé výsledky .................. P E 

F ............................ 1, 2, 3 - tři příznivé výsledky .................. P F 

1 

6 

3 

6 

2 

6 

5 

6 

3 

6 

3 

6 

1 

2 

1 

3 

1 

2 

1 

2


G ............................ 4, 5, 6 - tři příznivé výsledky .................. P G 

6 

H ........................... 1, 2, 3, 4, 5, 6 - šest příznivých výsledků ............ P H 1 

6 

0 

J ............................ - - 0 příznivých výsledků ................ P J 0 

6 

3 

6 

1 

2 

Na předchozím příkladě můţeme vidět, ţe: 

pravděpodobnost jevu nemoţného je 0: 

P( 

Ø ) 0 

pravděpodobnost jevu jistého je 1: 

P 

1 

součet pravděpodobností jevů opačných je 1: 

P 

A 

P 

A´ 

1 

pravděpodobnost je reálné číslo z intervalu 0 aţ 1: 

P 

A 

0, 1 

Pravděpodobnost lze vyjádřit také v procentech, tj. P A 100. 

Při malém počtu pokusů mohou být výsledky různé, ale uţ při zvyšování počtu pokusů se 

začne projevovat souvislost mezi relativní četností a pravděpodobností – tyto hodnoty se 

sobě začnou přibliţovat a při dostatečně rozsáhlém souboru jsou si dokonce rovny. 

Můţete si provést pokus, kdy budete házet mincí a zapisovat počet všech hodů a počet hodů, 

kdy padl například „orel“. Po sečtení se můţete přesvědčit, zda se relativní četnost skutečně 

rovná nebo blíţí jedné polovině.


Základy finanční matematiky 


věřitel ........................... osoba (instituce), která peníze poskytuje (půjčuje) 

dlužník ......................... osoba (instituce), která si peníze půjčuje 

úrok (ú ) ...................... částka, kterou obdrţí (navíc) věřitel po uplynutí úrokovací doby 

úroková míra, úroková sazba ( p ) 

výše úroku vyjádřená v procentech 

kapitál, jistina ( j ) ...... částka, která byla vloţena do peněţního ústavu nebo půjčena jiné 

osobě 

úrokovací doba ( t ) ...... časový úsek, po který je jistina uloţena v peněţním ústavu nebo 

půjčena jiné osobě 

úrokovací období ........ časový úsek, za který vzroste jistina j o předem stanovený úrok; 

úrokovací období můţe být: 

roční značí se p. a. (latinsky per annum) 

pololetní značí se p. s. (latinsky per semestre) 

čtvrtletní značí se p. q. (latinsky per quartale) 

měsíční značí se p. m. (latinsky per mensem) 

Investice (výdaj určité dnešní hodnoty za účelem získání nějaké budoucí hodnoty): 

dluhopis (obligace) ..... cenný papír, který vyjadřuje závazek dluţníka vůči majiteli dluhopisu 

(věřiteli); 

dluhopisy vydávají: stát, obce a města, banky, podniky 

depozitní certifikát (vkladový certifikát, depozitní list, vkladový list) 

cenný papír, který vydává banka klientovi jako potvrzení o přijetí 

vkladu (banka je v tomto případě dluţníkem, klient věřitelem); 

doba splatnosti depozitních certifikátů je doba, za kterou je klientovi 

splacena vloţená částka i s úrokem (bývá obvykle několik týdnů aţ 

jeden rok) 

směnka ........................ cenný papír - závazek zaplatit oprávněnému majiteli směnky určitou 

peněţní částku; 

rozlišujeme směnky vlastní (vystavuje sám dluţník) a směnky cizí 

(vystavované věřitelem a přikazující dluţníkovi zaplatit udanou částku 

ve prospěch třetí osoby) 

termínovaný účet ........ účet, ze kterého po sjednanou dobu nebude vkladatel peníze z banky 

vybírat 

běžný účet .................... účet, ze kterého můţe majitel peníze vybírat kdykoli


úrokování: 

jednoduché .................. úroky se stále počítají z vloţené částky; 

uţívá se v praxi, je-li úrokovací doba menší nebo rovna úrokovacímu 

období 

složené ......................... na konci prvního úrokovacího období se úrok počítá z vloţené částky; 

na konci dalších úrokovacích období se úrok vypočítává z částky, 

která se skládá z původního vkladu a jiţ dříve připsaných úroků; 

uţívá se v praxi, je-li úrokovací doba tvořena několika celými 

úrokovacími obdobími 

kombinované ............... kombinace jednoduchého a sloţeného úrokování; 

(smíšené) 

uţívá se v praxi, je-li úrokovací doba t tvořena několika celými 

a ještě částí úrokovacího období na začátku nebo na konci úrokovací 

doby 

Peněţní ústav odvádí státu za vkladatele daň z úroků (ze zisku). 

V současné době je v ČR podle zákona o daních stanovena 15% daň z úroků na vkladních 

kníţkách a z termínovaných vkladů. Úroky z vkladových certifikátů jsou zdaňovány 25 %.


Jednoduché úrokování 

Jednoduché úrokování je výpočet úroků s tím, že úroky se stále počítají z vložené částky; 

užívá se v praxi, je-li úrokovací doba menší nebo rovna úrokovacímu období. 

Výpočet úroku za jedno úrokovací období (rok): 

Tzv. EVROPSKÝ STANDARD (německá metoda) je jedna z metod, které se pouţívají pro 

výpočet úroku jen za část roku: 

den výběru se započítává, den vkladu ne 

1 rok ................... 360 dní 

1 měsíc ............... 30 dní .................. 12 

1 roku 

ú 

j 

p 

100 

1 

1 den ............................................... roku 360 

Označíme-li d jako počet dní, pak je 

Výpočet úroku za část roku: 

ú 

j 

p 

100 

d 

360 

Příklad: 

Pan Červinka si uloţil 12. 3 2000 do banky 150 000,- Kč na 3,5% úrok. Kolik korun měl na 

účtu koncem roku 2000 

Řešení: 

j = 150 000,- Kč 

p = 3,5 % 

d = 1 + (30 -12) +9*30 = 289 dnů 

ú = 

p d 

ú j 

100 360 

150000 4214,6 

150000 

154215 

3,5 

100 

289 

360 

4215 

Pan Červinka měl koncem roku 2000 na účtu 154 215,- Kč.


Chceme-li určit částku po připsání úroku přímo, stačí upravit součet původní částky a úroku: 

j 

ú 

j 

j 

p 

100 

j 

1 

p 

100 

nebo 

j 

ú 

j 

j 

p 

100 

d 

360 

j 

1 

p 

100 

d 

360 

Podle tohoto vzorce by výpočet z předchozího příkladu vypadal takto: 

j 

ú 

j 

1 p d 

3,5 289 

150000 1 

154214,58 154215 

100 360 

100 360


Sloţené úrokování 

Složené úrokování je výpočet úroků s tím, že na konci prvního úrokovacího období se úrok 

počítá z vložené částky a na konci dalších úrokovacích období se úrok vypočítává z částky, 

která se skládá z původního vkladu a již dříve připsaných úroků. 

užívá se v praxi, je-li úrokovací doba tvořena několika celými úrokovacími obdobími 

Příklad: 



Řešení: 

Výpočet úroku za první rok: 

j = 150 000,- Kč 

p = 3,5 % 

ú = 

p 

3,5 

ú j 150000 

100 100 

150000 5250 155250 

 

5250 

Výpočet úroku za druhý rok: 

j = 155 250,- Kč 

p = 3,5 % 

ú = 

p 

ú j 155250 

100 

155250 5433,75 

3,5 

100 

160683,75 

5433,75 

Pan Červinka měl koncem roku 2001 na účtu 160 684 Kč.


Chceme-li určit částku po připsání úroku přímo, stačí upravit součet původní částky a úroku: 

p 

po 1. roce: j ú j j 

100 

p 

p p 

po 2. roce: jistina na začátku 2. roku je j j , úrok je j j , konečná 

100 

100 100 

částka tedy bude 

j 

j 

j 

j 

j 

1 

1 

p 

100 

j 

p 

100 

p 

100 

p 

100 

2 

j 

1 

1 

j 

p 

100 

p 

100 

p 

100 

p 

100 

Částka po n úrokovacích obdobích je: 

j 

1 

p 

100 

n 

Podle tohoto vzorce by výpočet z předchozího příkladu vypadal takto: 

j 

1 

p 

100 

2 

150000 

1 

3,5 

100 

2 

160683,75 160684


Kombinované úrokování 

Kombinované úrokování je kombinace jednoduchého a složeného úrokování; 

užívá se v praxi, je-li úrokovací doba t tvořena několika celými a ještě částí úrokovacího 

období na začátku nebo na konci úrokovací doby. 

Příklad: 



Řešení: 

Výpočet částky po prvním roku: 

j = 150 000,- Kč 

p = 3,5 % 

d = 1 + (30 -12) +9*30 = 289 dnů 

j 

1 p d 

3,5 289 

150000 1 

154214,58 

100 360 

100 360 

 

Výpočet částky po druhém roku: 

j = 154 214,58 Kč 

p = 3,5 % 

d = 360 dnů (1 rok) 

j 

p 

3,5 

1 154214,58 1 159612,09 

100 

100 

Pan Červinka měl koncem roku 2001 na účtu 159 612,- Kč.


Úrokování se zdaněním 

Peněţní ústav odvádí státu za vkladatele daň z úroků (ze zisku). 

V současné době je v ČR podle zákona o daních stanovena 15% daň z úroků na vkladních 

kníţkách a z termínovaných vkladů. Úroky z vkladových certifikátů jsou zdaňovány 25 %. 


Varianta A 

Při výpočtu úroků po odečtení daně postupujeme následovně: 

85 75 

Je-li daň 15 %, zbude 85 %, tj. úroku, je-li 25 %, zbude 75 %, tj. úroku. 

100 

100 

Vzorce pro výpočty jsou pak následující: 

Jednoduché úrokování: 

p 

p 

j ú j 1 0,75 

nebo j ú j 1 0, 85 

100 

100 

p d 

p d 

j ú j 1 

0,75 nebo j ú j 1 

0, 85 

100 360 

100 360 

Příklad: 


účtu koncem roku 2000 po odečtení 15% daně 

Řešení: 

j ú j 

1 p d 

3,5 289 

0,85 150000 1 

0,85 153582,4 153582 

100 360 

100 360 

 

Pan Červinka měl na účtu koncem roku 2001 částku 153 582 Kč.


Složené úrokování: 

n 

p 

j 1 0, 75 

nebo 

100 

p 

j 1 0, 85 

100 

n 

Příklad: 


účtu koncem roku 2001 po odečtení 15% daně 

Řešení: 

j 

1 

p 

100 

0,85 

2 

150000 

1 

3,5 

100 

0,85 

2 

159057,76 159058 

Pan Červinka měl na účtu koncem roku 2001 částku 159 058 Kč. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C



1) Pan Černý si chce uloţit do banky na účet s roční úrokovou mírou 2,8 % takovou částku, 

aby na konci roku mohl vybrat 15 000,- Kč. Jakou částku bude muset počátkem roku 

uloţit na účet Daň z úroku je 15 %. 

[14 651.30 Kč] 

2) Pan Bílý si chce uloţit do banky na účet s roční úrokovou mírou 2,9 % takovou částku, 

aby na konci roku mohl vybrat 25 000,- Kč. Jakou částku bude muset počátkem roku 

uloţit na účet Daň z úroku je 15 %. 

[24 398.60 Kč] 

3) Doplňte chybějící údaje do tabulky, je-li daň z úroků 15 %, konečnou částku uvádějte 

s přesností na desetihaléře: 

VKLAD 

ÚROKOVÁ DATUM DATUM 

MÍRA VKLADU VÝBĚRU 

1 000 000,- Kč 10 % 1. 1. 2000 31. 12. 2000 

2 000 000,- Kč 5 % 1. 1. 2000 31. 12. 2001 

100 000,- Kč 7 % 1. 1. 2000 31. 12. 2003 

200 000,- Kč 4 % 1. 1. 2000 31. 5. 2000 

500 000,- Kč 2,5% 1. 1. 2000 31. 5. 2001 

1 500 000,- Kč 3,4 % 1. 1. 2000 17. 7. 2000 

120 000,- Kč 4,5 % 1. 4. 2000 31. 12. 2000 

250 000,- Kč 6,3 % 1. 4. 2001 31. 12. 2001 

800 000,- Kč 2,7 % 1. 4. 2002 31. 12. 2003 

300 000,- Kč 6,7 % 1. 4. 2000 31. 5. 2000 

450 000,- Kč 5,2 % 1. 4. 2000 31. 5. 2001 

720 000,- Kč 3,7 % 1. 4. 2000 17. 7. 2000 

POČET 

DNŮ 

KONEČNÁ 

ČÁSTKA


Řešení: 

VKLAD 

ÚROKOVÁ 

MÍRA 

DATUM 

VKLADU 

DATUM 

VÝBĚRU 

POČET 

DNŮ 

KONEČNÁ 

ČÁSTKA 

1 000 000,- Kč 10 % 1. 1. 2000 31. 12. 2000 1 R 1 085 000,- Kč 

2 000 000,- Kč 5 % 1. 1. 2000 31. 12. 2001 2 R 2 173 612,50 Kč 

100 000,- Kč 7 % 1. 1. 2000 31. 12. 2003 3 R 118 933,10 Kč 

200 000,- Kč 4 % 1. 1. 2000 31. 5. 2000 150 202 833,30 Kč 

500 000,- Kč 2,5% 1. 1. 2000 31. 5. 2001 1 R+150 515 146,20 Kč 

1 500 000,- Kč 3,4 % 1. 1. 2000 17. 7. 2000 196 1 523 601,70 Kč 

120 000,- Kč 4,5 % 1. 4. 2000 31. 12. 2000 270 123 442,50 Kč 

250 000,- Kč 6,3 % 1. 4. 2001 31. 12. 2001 270 260 040,70 Kč 

800 000,- Kč 2,7 % 1. 4. 2002 31. 12. 2003 1 R+270 832 446,- Kč 

300 000,- Kč 6,7 % 1. 4. 2000 31. 5. 2000 60 302 847,50 Kč 

450 000,- Kč 5,2 % 1. 4. 2000 31. 5. 2001 1 R+60 473 351,50 Kč 

720 000,- Kč 3,7 % 1. 4. 2000 17. 7. 2000 106 726 667,40 Kč



Varianta B 

Různá úrokovací období 

Příklad: 

Mějme 100 000,- Kč. Chceme vybrat banku, do které bychom tuto částku uloţili na 1 rok. 

Máme na výběr ze tří bank, které mají stejnou roční úrokovou míru 5,1 %. Liší se jen v délce 

úrokovacího období. V A-bance je roční, v B-bance půlroční a v C-bance měsíční úrokovací 

období. Ve všech bankách jde o sloţené úrokování. Daň z úroků je 15 %. 

V A-bance bude vklad úročen pouze na konci kalendářního roku (31. 12.), úrok bude 5,1 %. 

V B-bance bude vklad úročen dvakrát ročně (30. 6. a 31. 12.), úrok bude poloviční. 

V C-bance bude vklad úročen 12krát ročně, úrok bude jedna dvanáctina. 

Řešení: 

Určíme, jakou částku bychom měli v kaţdé bance na konci roku a porovnáme, která je pro nás 

nejvýhodnější: 

A-banka: 

B-banka: 

j 

ú 

j 

1 

p 

100 

0,85 

100000 

1 

5,1 

100 

0,85 

104335 

j 

1 

1 

2 

p 

100 

0,85 

2 

100000 

1 

1 

2 

5,1 

100 

0,85 

2 

104382 

C-banka: 

j 

1 

1 

12 

p 

100 

0,85 

12 

100000 

1 

1 

12 

5,1 

100 

0,85 

Nejvýhodnější by pro nás bylo, kdybychom peníze uloţili v C-bance. 

12 

104422,20 

Pozn.: 

Vzorec pro výpočet částky 

J 

n na konci n -tého úrokovacího období při sloţeném úročení, 

kde k je počet úrokovacích období za jeden rok a n je celkový počet úrokovacích období, pak 

bude: 

1 p 

J 

n 

j 1 0, 85 

k 100 

n


Spoření, pravidelné vklady 

Příklad: 

Budeme ukládat na spořící účet s roční úrokovou mírou 5,3 % vţdy koncem roku 10 000,- Kč. 

Ţádnou částku nebudeme vybírat. Kolik budeme mít na tomto účtu po třech letech Daň 

z úroku je 15 %. 

Řešení: 

Při výpočtu si stačí uvědomit, ţe kaţdý rok ukládáme stejnou částku a ta se stále úročí na 

konci kaţdého roku, takţe první vklad se úročí třikrát, druhý vklad jen dvakrát, třetí jen 

jednou a poslední vůbec (poslední vklad je ve stejný den, kdy se počítají úroky). Takţe kdyţ 

zjistíme všechny konečné částky z kaţdého vkladu a sečteme je, máme konečnou částku. 

p 

5,3 

1. vklad: j 1 0,85 10000 1 0,85 11413,30 

100 

100 

p 

5,3 

2. vklad: j 1 0,85 10000 1 0,85 10921,30 

100 

100 

p 

5,3 

3. vklad: j 1 0,85 10000 1 0,85 10450,50 

100 

100 

4. vklad: 10 000 

3 

2 

3 

2 

Celkem: 11413,30 

10921,30 10450,50 10000 42785,10 

Po třech letech budeme mít na účtu 42 785,10,- Kč. 

Pozn.: 

Ve finanční matematice se pro pravidelné střádání, kdy se částka ukládá na začátku 

(v předchozím příkladě na konci, chybí tedy poslední vklad) a úročení probíhá na konci 

kaţdého úrokovacího období, pouţívá vzorec pro celkovou částku po n obdobích: 

n 

r 1 

J 

n 

j r , kde 

r 1 

p 

r 1 . 

100 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C



1) Vyplňte následující tabulku, je-li daň z úroku 15 %: 

VKLAD 

ROČNÍ 

ÚROKOVÁ 

MÍRA 

POČET 

LET 

ÚROKOVACÍ OBDOBÍ 

roční pololetní čtvrtletní měsíční 

1 000 000 Kč 10 1 

2 000 000 Kč 5 1 

100 000 Kč 7 2 

200 000 Kč 4 2 

500 000 Kč 2.5 1 

1 500 000 Kč 3.4 1 

120 000 Kč 4.5 2 

250 000 Kč 6.3 2 

800 000 Kč 2.7 1 

300 000 Kč 6.7 1 

450 000 Kč 5.2 3 

720 000 Kč 3.7 3 

2) Vyplňte následující tabulku, je-li daň z úroku 15 %, vklad je realizován vţdy poslední den 

v roce, ţádné částky nejsou vybírány: 

PRAVIDELNÝ 

VKLAD 

ROČNÍ 

ÚROKOVÁ 

MÍRA 

POČET 

LET 

KONEČNÁ 

ČÁSTKA 

1 000 000 Kč 10 2 

2 000 000 Kč 5 2 

100 000 Kč 7 3 

200 000 Kč 4 3 

500 000 Kč 2.5 4 

1 500 000 Kč 3.4 4 

120 000 Kč 4.5 3 

250 000 Kč 6.3 3 

800 000 Kč 2.7 4 

300 000 Kč 6.7 4 

450 000 Kč 5.2 3 

720 000 Kč 3.7 3


Řešení: 

1) 

2) 

VKLAD 

ROČNÍ 

ÚROKOVÁ 

MÍRA 

POČET 

LET 

1 000 000 Kč 10 1 

2 000 000 Kč 5 1 

100 000 Kč 7 2 

200 000 Kč 4 2 

500 000 Kč 2.5 1 

1 500 000 Kč 3.4 1 

120 000 Kč 4.5 2 

250 000 Kč 6.3 2 

800 000 Kč 2.7 1 

300 000 Kč 6.7 1 

450 000 Kč 5.2 3 

720 000 Kč 3.7 3 

ÚROKOVACÍ OBDOBÍ 

roční pololetní čtvrtletní měsíční 

1 085 000.0 Kč 1 086 806.3 Kč 1 087 748.0 Kč 1 088 390.9 Kč 

2 085 000.0 Kč 2 085 903.1 Kč 2 086 364.3 Kč 2 086 675.4 Kč 

112 254.0 Kč 112 441.6 Kč 112 538.3 Kč 112 603.9 Kč 

213 831.2 Kč 213 950.7 Kč 214 011.6 Kč 214 052.5 Kč 

510 625.0 Kč 510 681.4 Kč 510 710.0 Kč 510 729.1 Kč 

1 543 350.0 Kč 1 543 663.2 Kč 1 543 822.1 Kč 1 543 928.8 Kč 

129 355.6 Kč 129 446.7 Kč 129 493.2 Kč 129 524.5 Kč 

277 491.9 Kč 277 869.7 Kč 278 063.7 Kč 278 195.1 Kč 

818 360.0 Kč 818 465.3 Kč 818 518.6 Kč 818 554.4 Kč 

317 085.0 Kč 317 328.2 Kč 317 453.3 Kč 317 538.1 Kč 

512 346.3 Kč 513 065.5 Kč 513 433.4 Kč 513 681.8 Kč 

790 090.9 Kč 790 659.2 Kč 790 948.0 Kč 791 142.3 Kč 

PRAVIDELNÝ 

VKLAD 

ROČNÍ 

ÚROKOVÁ 

MÍRA 

POČET 

LET 

KONEČNÁ 

ČÁSTKA 

1 000 000 Kč 10 2 3 262 225.0 Kč 

2 000 000 Kč 5 2 6 258 612.5 Kč 

100 000 Kč 7 3 437 137.2 Kč 

200 000 Kč 4 3 841 732.7 Kč 

500 000 Kč 2.5 4 2 608 531.9 Kč 

1 500 000 Kč 3.4 4 7 946 210.2 Kč 

120 000 Kč 4.5 3 508 249.0 Kč 

250 000 Kč 6.3 3 1 083 231.0 Kč 

800 000 Kč 2.7 4 4 187 862.2 Kč 

300 000 Kč 6.7 4 1 680 860.1 Kč 

450 000 Kč 5.2 3 1 922 895.4 Kč 

720 000 Kč 3.7 3 3 018 735.0 Kč



Varianta C 

Dluhy a úvěry 

Umořování dluhu (úvěru, půjčky) stejnými splátkami (anuitami) probíhá zjednodušeně tak, ţe 

si banka po uplynutí úrokovacího období přičte úrok a z celkové částky se odečte splátka. 

Další úrok se jiţ počítá z takto sníţené částky. 

Má-li být půjčka K , úrokovaná p procenty, splacena pravidelnými splátkami s na n let, pak 

jsou splátky dány vztahem: 

n r 1 

s K r , kde 

n 

r 1 

p 

r 1 . 

100 

Chceme-li si určit výši měsíční splátky, stačí tuto (roční) vydělit 12. 

S daní nepočítáme, platí ji banka (ta má zisk z našich úroků). 

Příklad: 

Pan Černý si chce půjčit 80 000,- Kč na 2 roky, ale neví, ve které bance. 

Banka A by mu poskytla tuto částku s roční úrokovou sazbou 14,9 %, s poplatkem 850 Kč 

za zpracování úvěru a za 50 Kč měsíčně za správu úvěru. 

Banka B by mu poskytla tutéţ částku s roční úrokovou sazbou 13,2 %, bez poplatku za 

zpracování úvěru a za 300 Kč měsíčně za správu úvěru. 

Banka C by mu poskytla stejnou částku s roční úrokovou sazbou 16,5 %, bez poplatku za 

zpracování úvěru ani za vedení úvěrového účtu. 

Určete, kolik korun by zaplatil na splátkách a dalších poplatcích celkem v kaţdé bance. 

Určete, ve které bance je pro něj úvěr nejvýhodnější. Vypočítejte, o kolik korun zaplatí více, 

neţ si půjčí. 

Řešení: 

V kaţdé bance si nejdřív určíme výši splátek (protoţe je úvěr na 2 roky, budou 2 splátky), 

přičteme poplatky za správu úvěru (za 2 roky bude 24 měsíčních) a poplatek za zpracování 

úvěru. Nejvýhodnější úvěr bude ten, u kterého bude celková částka nejniţší: 

Banka A: 

r 

1 

p 

100 

1 

14,9 

100 

1,149 

s 

2 1,149 

80000 

1,149 

2 

1,149 

1 

1 

 

49146,62 

Celkem tedy 49146,62 

2 24 50 850 100343,24


Banka B: 

r 

1 

p 

100 

1 

13,2 

100 

1,132 

s 

2 1,132 

80000 

1,132 

2 

1,132 

1 

1 

 

48083,45 


2 24 300 0 103366,90 

Banka C: 

r 

1 

p 

100 

1 

16,5 

100 

1,165 

s 

2 1,165 

80000 

1,165 

2 

1,165 

1 

1 

 

50151,50 


2 24 0 0 100303,- 

Je zřejmé, ţe nejvýhodnější úvěr je v bance C, kde zaplatí jen o 303,- Kč víc, neţ si půjčí. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 

Varianta C



Vyplňte následující tabulku: 

Výše úvěru 

Roční úrok. 

sazba (v %) 

Počet roků 

(splatnost) 

Měsíční 

poplatky 

Poplatek za 

zpracování 

1 000 000 Kč 10.3 2 50 Kč 1 600 Kč 

2 000 000 Kč 15.4 2 50 Kč 2 500 Kč 

100 000 Kč 17.2 3 50 Kč 500 Kč 

200 000 Kč 14.7 3 50 Kč 700 Kč 

500 000 Kč 12.5 4 50 Kč 1 000 Kč 

1 500 000 Kč 13.4 4 50 Kč 4 500 Kč 

120 000 Kč 14.5 5 50 Kč 450 Kč 

250 000 Kč 16.3 5 50 Kč 0 Kč 

800 000 Kč 12.7 6 50 Kč 400 Kč 

300 000 Kč 16.7 6 50 Kč 200 Kč 

450 000 Kč 15.2 7 50 Kč 450 Kč 

720 000 Kč 13.7 7 50 Kč 1 400 Kč 

Měsíční 

splátky 

Celková 

zaplacená 

částka 

Řešení: 

Výše úvěru 

Roční úrok. 

sazba (v %) 

Počet roků 

(splatnost) 

Měsíční 

poplatky 

Poplatek za 

zpracování 

Měsíční 

splátky 

Celková 

zaplacená 

částka 

1 000 000 Kč 10.3 2 50 Kč 1 600 Kč 48 209.3 Kč 1 159 822.3 Kč 

2 000 000 Kč 15.4 2 50 Kč 2 500 Kč 103 042.1 Kč 2 476 710.2 Kč 

100 000 Kč 17.2 3 50 Kč 500 Kč 3 783.7 Kč 138 512.3 Kč 

200 000 Kč 14.7 3 50 Kč 700 Kč 7 263.3 Kč 263 979.7 Kč 

500 000 Kč 12.5 4 50 Kč 1 000 Kč 13 862.8 Kč 668 815.8 Kč 

1 500 000 Kč 13.4 4 50 Kč 4 500 Kč 42 374.0 Kč 2 040 854.3 Kč 

120 000 Kč 14.5 5 50 Kč 450 Kč 2 947.9 Kč 180 325.0 Kč 

250 000 Kč 16.3 5 50 Kč 0 Kč 6 407.3 Kč 387 436.8 Kč 

800 000 Kč 12.7 6 50 Kč 400 Kč 16 537.8 Kč 1 194 720.9 Kč 

300 000 Kč 16.7 6 50 Kč 200 Kč 6 911.0 Kč 501 391.7 Kč 

450 000 Kč 15.2 7 50 Kč 450 Kč 9 067.7 Kč 766 333.1 Kč 

720 000 Kč 13.7 7 50 Kč 1 400 Kč 13 863.5 Kč 1 170 136.0 Kč


Valuty, devizy, převody měn 

Měnový kurz je poměr, v jakém se směňují dvě navzájem cizí měny, neboli cena jedné měny 

vyjádřená v jiné měně 

Rozlišujeme dva měnové kurzy: 

– devizový kurz - cena deviz, tj. bezhotovostních cizích peněz (převáděných mezi účty, 

bankovní šeky, poštovní převody, směnky,...) 

– valutový kurz - cena valut, tj. hotovostních cizích peněz (bankovek a mincí) 

Pozn.: 

Valuty jsou vedeny v tzv. valutové pokladně, kterou je třeba vést odděleně od pokladny 

v českých korunách. Není tedy moţné v rámci jedné pokladny (resp. pokladní knihy) účtovat 

zároveň o pohybu českých korun a o pohybu valut, např. EUR či USD. 

Banky uvádějí pro kaţdou měnu dva kurzy – kurz nákup a kurz prodej: 

– kurz nákup je kurz, za který je banka danou měnu ochotna koupit 

(banka nakupuje, klient prodává) 

– kurz prodej je kurz, za který je banka ochotna danou měnu prodat 

(banka prodává, klient nakupuje) 

– kurz střed je aritmetický průměr mezi kurzem nákup a kurzem prodej 

Pozn.: 

Kurzovní lístky zobrazují aktuální valutové a devizové kurzy komerčních bank. 

Prodejní i nákupní kurz je uvaţován vţdy z hlediska banky (pokud si chcete koupit zahraniční 

hotovost na dovolenou, zajímá vás kurz "Valuty-prodej").


Kurzovní lístek ČSOB: 19.8.2010 

Devizy 

Valuty 

Měna Země Množství Změna Nákup Prodej Střed Nákup Prodej Střed 

AUD Austrálie 1 -0,20 % 17,012 17,670 17,341 0,00 0,00 0,00 

DKK Dánsko 1 -0,10 % 3,262 3,388 3,325 3,25 3,39 3,32 

EUR EMS 1 0,00 % 24,288 25,228 24,758 24,24 25,28 24,76 

HRK Chorvatsko 1 -0,30 % 3,339 3,469 3,404 0,00 0,00 0,00 

JPY Japonsko 100 -0,20 % 22,109 23,011 22,560 0,00 0,00 0,00 

CAD Kanada 1 0,80 % 18,443 19,157 18,800 0,00 0,00 0,00 

HUF Maďarsko 100 0,20 % 8,750 9,108 8,929 0,00 0,00 0,00 

NOK Norsko 1 -0,10 % 3,068 3,186 3,127 3,06 3,20 3,13 

PLN Polsko 1 -0,30 % 6,139 6,389 6,264 0,00 0,00 0,00 

RON Rumunsko 1 0,00 % 5,742 5,976 5,859 0,00 0,00 0,00 

RUB Rusko 100 0,10 % 62,227 64,637 63,432 0,00 0,00 0,00 

SEK Švédsko 1 -0,30 % 2,570 2,670 2,620 2,56 2,68 2,62 

CHF Švýcarsko 1 0,20 % 18,171 18,875 18,523 18,13 18,91 18,52 

TRY Turecko 1 0,00 % 12,622 13,110 12,866 0,00 0,00 0,00 

USD USA 1 0,20 % 18,951 19,725 19,338 18,91 19,77 19,34 

GBP Velká Británie 1 0,40 % 29,515 30,719 30,117 29,46 30,78 30,12 

Tento kurzovní lístek bude pouţíván pro výpočty ve všech následujících příkladech.



Varianta A 

Příklady: 

1) Potřebuji si v bance na dovolenou vyměnit hotovost za 1 000,- Kč. Jakou sumu obdrţím, 

chci-li vycestovat 

a) do Francie 

b) do Ruska 

2) Obchoduji se zahraničím a potřebuji doplnit 100 000,- Kč na účet v cizí měně. Jakou 

částku získám, jedná-li se o účet v 

a) EUR 

b) RUB 

Řešení: 

Chci-li zakoupit cizí měnu, musím na kurzovním lístku hledat „Kurz prodej. V příkladě 1 jde 

o hotovost – valuty, v příkladě 2 devizy. 

Devizy Valuty 

Měna Země Množství Prodej Prodej 

EUR EMS 1 25,228 25,28 

1) 

2) 

RUB Rusko 100 64,637 0,00 

1000 

a) Za 25,28 Kč koupím 1 EUR, takţe za 1 000 Kč koupím 39, 55EUR 

25,28 

b) Ruskou měnu v hotovosti tato banka nenabízí. 

100000 

a) Za 25,228 Kč vyměním 1 EUR, takţe za 100 000 Kč 3963, 85EUR 

25,228 

100000 

b) Za 64,637 Kč vyměním 100 RUB, takţe za 100 000 Kč 100 154710RUB. 

64,637 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 


1) 

2) 

a) 39, 

55EUR 

b) Ruskou měnu v hotovosti vybraná banka nenabízí. 

a) 3963, 

85EUR 

b) 154710RUB.



3) Nakupte valuty v uvedené měně: 

Částka v 

CZK 

Měna 

5 000 Kč DKK 

10 000 Kč NOK 

15 000 Kč SEK 

2 000 Kč CHF 

7 000 Kč USD 

12 000 Kč GBP 

4) Nakupte devizy v uvedené měně: 

Částka v 

CZK 


5 000 Kč DKK 

10 000 Kč NOK 

5 000 Kč SEK 

10 000 Kč CHF 

15 000 Kč USD 

2 000 Kč GBP 

7 000 JPY 

12 000 HUF


Řešení: 

1) 

2) 

Částka v 

CZK 


Zakoupená 

částka 

5 000 Kč DKK 1 474.93 

10 000 Kč NOK 3 125.00 

15 000 Kč SEK 5 597.01 

2 000 Kč CHF 105.76 

7 000 Kč USD 354.07 

12 000 Kč GBP 389.86 

Částka v 

CZK 


Zakoupená 

částka 

5 000 Kč DKK 1 288.66 

10 000 Kč NOK 3 138.73 

5 000 Kč SEK 1 872.66 

10 000 Kč CHF 529.80 

15 000 Kč USD 760.46 

2 000 Kč GBP 65.11 

7 000 JPY 30 420.23 

12 000 HUF 131 752.31



Varianta B 

1) Po návratu z dovolené potřebuji v bance vyměnit hotovost v cizí měně za Kč. Jakou sumu 

obdrţím, mám-li 154 EUR 

2) Obchoduji se zahraničím a potřebuji převést zisk z prodeje zboţí na výplaty v CZK. Jakou 

částku získám směnou 

a) 194 000 EUR 

b) 1 194 000 RUB 

Řešení: 

Chci-li prodat cizí měnu, musím na kurzovním lístku hledat „Kurz nákup. V příkladě 1 jde 

o hotovost – valuty, v příkladě 2 devizy. 

Devizy 

Valuty 

Měna Země Množství Nákup Nákup 

EUR EMS 1 24,288 24,24 

RUB Rusko 100 62,227 0,00 

1) Za 1 EUR banky nabízí 24,24 Kč, takţe za 154 EUR dostanu od banky 

154 24,24 3733Kč 

2) 

a) Za 1 EUR je 24,288 Kč, takţe za 194 000 EUR bude 194000 

24,288 4 711872 

Kč 

b) Za 100 RUB je 62,227 Kč, takţe za 1 194 000 RUB bude 

1194000 

100 

62,227 742990,38Kč. 

Příklad: 

Varianta A 

Varianta B 


1) 3733Kč 

2) 

a) 4 711872Kč 

b) 742990, 

38Kč



1) Vypočtěte, kolik CZK utrţíte v hotovosti: 

Částka 


5 000 DKK 

10 000 NOK 

15 000 SEK 

2 000 CHF 

7 000 USD 

12 000 GBP 

2) Vypočtěte, kolik CZK utrţíte převodem na účtu: 

Částka 


5 000 DKK 

10 000 NOK 

15 000 SEK 

2 000 CHF 

7 000 USD 

12 000 GBP 

7 000 JPY 

12 000 HUF


Řešení: 

1) 

2) 

Částka 


Utržená 

částka (v 

CZK) 

5 000 DKK 16 250.0 Kč 

10 000 NOK 30 600.0 Kč 

15 000 SEK 38 400.0 Kč 

2 000 CHF 36 260.0 Kč 

7 000 USD 132 370.0 Kč 

12 000 GBP 353 520.0 Kč 

Částka 


Utržená 

částka (v 

CZK) 

5 000 DKK 16 310.0 Kč 

10 000 NOK 30 680.0 Kč 

15 000 SEK 38 550.0 Kč 

2 000 CHF 36 342.0 Kč 

7 000 USD 132 657.0 Kč 

12 000 GBP 354 180.0 Kč 

7 000 JPY 1 547.6 Kč 

12 000 HUF 1 050.0 Kč


Literatura: 

[1] Odvárko O., Kadleček J.: Matematika pro 8. ročník základní školy, Prometheus, 

Praha, 2008 

[2] Fuchs J., Hrubý D. a kol.: Standardy a testové úlohy z matematiky pro ZŠ a nižší 

ročníky víceletých gymnázií, Prometheus, Praha, 2000 

[3] Dytrych M., Dobiasová I., Livňanská L.: Sbírka úloh z matematiky pro nižší ročníky 

víceletých gymnázií a pro 2. stupeň základních škol – Početní úlohy, 

Fortuna, Praha, 2001 

[4] Krupka P.: Sbírka úloh z matematiky pro 2. stupeň ZŠ a nižší ročníky víceletých 

gymnázií, 1. díl, Prometheus, Praha 2002 

[5] Lukšová H., Tomicová J.: MATEMATIKA – Přehled učiva základní školy s řešenými 

příklady, Fortuna, Praha, 1999 

[6] Odvárko O., Kadleček J.: Pracovní sešit z matematiky – Soubor úloh pro 7. ročník ZŠ, 

Prometheus, Praha, 2007 

[7] Běloun F. a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro ZŠ, Prometheus, Praha, 2004 

[8] Trejbal J., Kučinová E., Vintera F., Veselý M.: Sbírka úloh z MATEMATIKY I – pro 6. 

a 7. ročník ZŠ, SPN, Praha 2004 

[9] Herman J., Chrápavá V., Jančovičová E., Šimša J.: Matematika pro nižší třídy 

víceletých gymnázií – Racionální čísla, Procenta, Prometheus, Praha, 2002 

[10] Odvárko O., Kadleček J.: MATEMATIKA pro 9. ročník ZŠ, Prometheus, Praha, 2001 

[11] Odvárko O., Kadleček J.: Pracovní sešit z matematiky – Soubor úloh pro 9. ročník ZŠ, 

Prometheus, Praha, 2001 

[12] http://books.google.cz Finanční matematika pro kaţdého, Jiří Hájek 

[13] http://www.csob.cz/cz/Csob/Kurzovni-listky/Stranky/kurzovni-listek.aspx

ZÃ¡klady statistiky a finanÄnÃ­ matematiky - Student na prahu 21. stoletÃ­

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

ZÃ¡klady statistiky a finanÄnÃ matematiky - Student na prahu 21. stoletÃ