On the Accuracy of Runge-Kutta Methods for Unsteady Linear Wave ...
On the Accuracy of Runge-Kutta Methods for Unsteady Linear Wave ...
On the Accuracy of Runge-Kutta Methods for Unsteady Linear Wave ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
¢¡£ ¤ ¦¥¨§©<br />
! "$#%#%&('*)+#-, .0/213&(!4065879&:;;) < ¨=!.>(/@.A'<br />
<br />
(C= ¨)D>:, EGFH! I)+'3J )¨KL MON¤&!)PF£.A<br />
B<br />
QSRTVUXẄ RŸ Z\[PW^]<br />
]CYI_3UXẀ ];acbd];_6Ẁ ];bfe+ghŸ Zi];jkZml6Yonp]<br />
Rr%ntsvu=w!xyR8zdW^];Y6g{z|]C}¤~Ÿ Z*ghYIRR8bghŸ Z<br />
q<br />
Y6g‚iRbƒg‚n…„yu=w!xg†]=jkg<br />
€<br />
ŒmŒ¨Ž C‘<br />
U‡u*bd];}LQO]Cˆ¨}{Rƒ|‰‹ŠL}{u*bg{_‹]<br />
~’T“j”]Cgh}H•v–8W^]*—˜]Cr+u}h}{uIsRY6Z^sjkg†];jkgHsšR_6l
~6r¨}hg{zg‚n ‘=T § np]CZmR© l6Ÿ ZmRT l-n np]\j RpnWIuc_ g{_6R}‚„$l¨ƒR8_ w umb˜eA~ § ‰<br />
¦<br />
§ ‰IU q<br />
€ Y6ƒndR|];_c„ zzlIbd];zp„ YIu;nGR}h} l¨Ÿ _¨R8bƒnducuc_L• § n]Cˆ6gh}hg‚n „c‰<br />
¦<br />
ghƒƒ ghr`]|ng{uYA‰ q ghƒrPR8bƒ g{uY<br />
q<br />
¡ £¢| ‹#cF KA ¥¤<br />
¦¨§ nl¨_-„”nWIR˜];z8zlIbd];zp„u=wA‘;T § np]CZmR©‡l¨Y6ZoRT<br />
l%nnp] x3RndẄ uc_<br />
w u*b € Y6ƒndR ]=_c„ U Š q<br />
U ]C}{zl¨}†]|ng{u*Y<br />
)D#¢4L'*.L&((>
Ÿ g‚ng†]C}Lƒu}hl%ng{uYA•<br />
¢<br />
<br />
<br />
<br />
‘<br />
WIRO]CỲ ]C}‚„cng{z|]C} ƒdu}hl-ndg{uYfg‚ndWrPR8bg{uc_6g{z ˆ+ul¨Ÿ _^];b@„z8uŸ _6g‚ng{uŸ ƒ|•<br />
)<br />
¢<br />
<br />
©<br />
‘<br />
<br />
<br />
©<br />
<br />
<br />
¤<br />
Ž<br />
©<br />
©<br />
%<br />
%<br />
‘<br />
‘<br />
<br />
<br />
<br />
EGFH! I)D'3J )¨KL MON¤&!)P=F .L ¤<br />
¡£¢<br />
¡£¢<br />
Ž<br />
¡£© <br />
¡¥¤§¦ ¨<br />
¢<br />
¢ <br />
<br />
¤<br />
<br />
fWIRb R<br />
¡¢<br />
Œ<br />
¢ <br />
¨<br />
¡©<br />
<br />
¨<br />
<br />
©<br />
‘(<br />
'&<br />
! #"$<br />
%<br />
©*¤ <br />
<br />
<br />
%<br />
! #"$<br />
,+<br />
'&
xl¨}‚nghƒnp]CZmR© T j\]tndzdẄ Rƒ ) ]„%}{u*b@T ƒdRbg{Rƒ R 6r^];Y6ƒg{uY<br />
<br />
¢ ¢¥¤£¦<br />
¦<br />
<br />
<br />
<br />
¤ <br />
<br />
¤ <br />
¢ ¢<br />
¢ ¨¨¨<br />
¢<br />
¦<br />
<br />
¢<br />
<br />
¢<br />
¦<br />
¤ ¢£¢<br />
¤<br />
C‘<br />
¢ ¢<br />
<br />
¤<br />
¦<br />
¤ <br />
¤ <br />
¤ <br />
¢<br />
<br />
¢<br />
¢<br />
<br />
¢<br />
& & & <br />
¦<br />
¦ Š%u*b Ž q }hghYIR ]=b ] RSR! Ps{‰ nẄ RƒR n ukj RnWIuc_6ƒ ];bRSR! l6g‚ ]C}{RYonts<br />
Š%u*b j2l¨}‚ng T q Ÿ uŸ }hghYIR ];b$~l¨}{Rb u*b s § R! ƒ|s ‰fẄ ghZ*W u*b_¨Rb¦eL] cT<br />
¦<br />
RŸ _¨bu$# ƒdzWIR8j R R8b@„ zumjkr6}hg{z|]|ndR8_Ls<br />
"<br />
<br />
13&(!40 65879&:;;) < ¨=!.>( 1 587 ¡ ¤<br />
¨¨ ¢£¢<br />
¦ §<br />
¨ ¦<br />
¢£¢¥¤£¦<br />
¢£¢<br />
©§<br />
¢ ¨¨¨¨<br />
¢<br />
& & & <br />
<br />
¦<br />
§<br />
©§<br />
E )¤5J I(>('*. # ! ¤<br />
Ÿ R § np];ZmRSj RpnWIuc_0•<br />
,¨§<br />
¨§<br />
,¨§<br />
,¨§<br />
;‘
§ np]CZmR Žm•<br />
§ np]CZmR˜6•<br />
© 5 ¢=)P40 1 587 ¤<br />
§ np]CZmR Žm•<br />
§ np]CZmR˜6•<br />
§ np]CZmR ŒI•<br />
§ np]CZmR ‘^•<br />
¢ ¢!¤¦<br />
<br />
¢ ¢!¤¦<br />
¢ ¢<br />
¦<br />
§<br />
<br />
¤<br />
¢ ¢<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
¦<br />
¢ ¢<br />
¢ ¢<br />
¢ ¢<br />
§<br />
¦<br />
¦<br />
¦ §<br />
¤<br />
¦ §<br />
§<br />
§<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
¡ ¦¤£ <br />
¡ £ <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ž<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5 ¢=)P40 1 587 ¤<br />
¡ ¢¥£<br />
¢¢¡ ¦¤£<br />
§¦<br />
¡ ¢¥£<br />
<br />
¦ <br />
§¨<br />
¢¢¡ ¦¤£<br />
¡ ¢£<br />
¢¢¡ £<br />
¡ ¦¤£<br />
Ž*Ž<br />
¡ £<br />
¢ ¡ £<br />
Ž <br />
¢£¢<br />
¡ ¦¤£<br />
¡ £<br />
Ž8Œ<br />
¡ ¢¥£<br />
¦ <br />
¦ <br />
¦
(> .L'm>! I' EG) ¤5J ‹(>('. # ! &(; ‹> )D ' I/@ ‹';5<br />
¡<br />
£¡ ‹(#-<br />
¢¥¤£¦ ¢<br />
¡<br />
fWIRb R ¢<br />
¢ ¢ ¡ <br />
<br />
%<br />
¢<br />
<br />
¢ ¢ ¡ ¤£¦ <br />
¢<br />
<br />
¦<br />
§<br />
¤<br />
<br />
¢ ¢ ¡ ¤¦ <br />
¢ ¢ ¡ ¦<br />
<br />
Ž<br />
+<br />
<br />
# ! ‹ ¢&(>(F I> ¤<br />
¢ ¢ ¡¤£ ¦<br />
<br />
¢ ¢ ¡¤£ ¦<br />
<br />
Ž‘(<br />
¢ <br />
ghƒ‡ndẄ R U Še YilIj2ˆPR8bGR 6r¨bRƒ ƒdR_ ]Cƒ|•<br />
¨§<br />
© <br />
§ np]Cˆ¨gh}hg‚n…„¦¥¨§©<br />
Ž*‰<br />
Ž*‰cYIu _6ghƒ ƒghr^]tng{uY ]CŸ _y_%ghƒrPR8bƒ g{u*YL‰<br />
" WIRY¥¨§©<br />
" WIRY¥¨§© Ž*‰ R8b@„ }†];bZmR _%ghƒƒ ghr`]|ng{uY$]CYI_ _6ghƒ rPR8bƒg{uY
) Ẅ ghƒ ƒzdWIRj RSghƒGl¨Y6ƒnp]Cˆ¨}{R*s<br />
<br />
¢¥£ ¡<br />
¨ ¡<br />
¢ ¢ ¡ ¤£¦ <br />
§<br />
¢ ¢ ¡ £ ¦<br />
¡ 5t=)+40 1 587 C .L'*>!‹' "¤¡£;‹'*!)PF !4 ! 65¥FH>! ¦¥ F / 5<br />
£<br />
‹'‹(#%FH!4 "$ §¥ ¡<br />
/V<br />
§ np]CZmR Žm‰©¨vb R_6g{znu*b •<br />
§ np]CZmR˜6‰6U u*bbR8znu*b •<br />
<br />
<br />
¢¥£ ¡<br />
¨ ¡<br />
¦¤£ ¡<br />
¨ ¡<br />
¢ ¢ ¡ ¤£¦ <br />
¡ ¦¤£ ¢<br />
¡<br />
§<br />
¢ ¢ ¡<br />
¡ ¦¤£ ¢<br />
¦ ¡¤£<br />
) Ẅ ghƒ ƒzdWIRj RSghƒ‡nWIRSƒp];j R˜]Cƒ eA] cT " RŸ _¨bu$# § zdWIRj R<br />
§<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ž<br />
Ž<br />
¦<br />
<br />
<br />
<br />
¡ 5pC=)P4L 1 587 (> .L'*>! ‹'y#% ‹¢='*)¢¡ >(F© ‹' ‹(#6F !4<br />
Ž <br />
© <br />
xyz|U‡u*b j\];za § zdẄ R8j R<br />
<br />
<br />
© <br />
<br />
¢ <br />
©
© ¡ © 5pC=)P4L 1 587 (> .L'*>! ‹'y#% ‹¢='*)¢¡ >(F© ‹' ‹(#6F !4<br />
Œ<br />
%<br />
Ž<br />
© 5C=)P40 $1 587 C '*>! ‹'\" §¥ (> .L'*>!‹' ¢¡!)P=F ) ¡<br />
¡<br />
¡ )D#%#%&('*)+#-,<br />
%<br />
Ž<br />
Œ<br />
£ ¡ © 5pC=)P4L 1 587 (> .L'*>! ‹'y&¤¡¦¥3FH(> >(F©G ‹' ‹(#%FH!4<br />
'& %<br />
ghƒƒ ghr`]|ng{uYyw bR8R*•¤YIuŸ R<br />
q<br />
<br />
¢£ ¡<br />
¨ ¡<br />
§<br />
©<br />
¢ ¢ ¡ £ <br />
% '& <br />
<br />
<br />
Ž<br />
¨<br />
<br />
§ np]Cˆ¨gh}hg‚n…„0• ¥¨§©<br />
% & ¦<br />
& <br />
q ghƒƒ ghr`]|ng{uYyw bR8R*• ¥¨§©<br />
q ghƒrPR8bƒ g{uY3ghYoo]=bg†]CYont• ¥¨§©<br />
% & <br />
§ np]Cˆ¨gh}hg‚n…„0• ¥¨§©<br />
& <br />
q ghƒƒ ghr`]|ng{uYyw bR8R*•¤YIuŸ R<br />
q ghƒrPR8bƒ g{uY3ghYoo]=bg†]CYont•YIuŸ R<br />
Œ ¢ ¢ ¡ <br />
‘ ¢ ¢ ¡ £ ¦ ¦<br />
§ np]Cˆ¨gh}hg‚n…„0• ¥¨§©<br />
q ghƒrPR8bƒ g{uY ]CYI_ _6ghƒ ƒ ghr`]|ng{u*YyghYo ];bg†]CYont• ¥§©
¢¥£ ¡<br />
¨ ¡<br />
%<br />
Ž<br />
¢ ¢ ¡ ¤£¦ ¦<br />
¢ ¢ Œ<br />
<br />
¢ ¢ ¡¤£ ¦ ¦ ¡<br />
§ <br />
¡ © 5pC=)P4L 1 587 © .L'm>! I' (F )DC‹> &¤¡ ¥3FH(><br />
¡<br />
I'* I(#6FH!4 >(F©G<br />
<br />
¢¥£ ¡<br />
¨ ¡<br />
Œ ¢ ¢ ¡ ¤£¦ ¦<br />
%<br />
Ž<br />
Ž<br />
<br />
¢ ¢ ¡ <br />
Ž<br />
Ž<br />
¦<br />
©<br />
¢ ¢ ¡ £ ¦ ¦<br />
¢ ¢ ¡ £ <br />
§<br />
©<br />
%<br />
%<br />
¢ ¢ ¡¤£ <br />
Ž<br />
Ž<br />
<br />
¢ ¢ ¡ £ <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
© 5pC=)P4L 1 587 £ '*> .L'*>!‹' (F )+;‹> &¤¡¦¥3FH(><br />
¡<br />
I'* I(#6FH!4 >(F©G<br />
§ np]Cˆ¨gh}hg‚n…„0• ¥¨§©<br />
& +<br />
q ghƒƒ ghr`]|ng{uYyw bR8R*•¤YIuŸ R<br />
& +<br />
q ghƒrPR8bƒ g{uY ]CYI_ _6ghƒ ƒ ghr`]|ng{u*YyghYo ];bg†]CYont• ¥§©<br />
%Ž<br />
§ np]Cˆ¨gh}hg‚n…„0• ¥¨§©<br />
& +<br />
q ghƒƒ ghr`]|ng{uYyw bR8R*•¤YIuŸ R<br />
& +<br />
q ghƒrPR8bƒ g{uY ]CYI_ _6ghƒ ƒ ghr`]|ng{u*YyghYo ];bg†]CYont• ¥§©
¦<br />
<br />
<br />
¢£ ¡<br />
¨ ¡<br />
<br />
¢ ¢ ¡ ¦<br />
<br />
¢ ¢ ¡ ¤ <br />
<br />
¢ ¢ ¡ ¤ ¦ ¦<br />
¢ ¢ ¡ ¤ ¦ ¦<br />
%<br />
Ž<br />
¢ ¢ ¡ ¤£¦ ¦<br />
¢ ¢ ¡ ¤£¦ ¦<br />
Ž| §<br />
Ž<br />
§<br />
©<br />
¢ ¢ ¡ £ ¦ ¦<br />
¢ ¢ ¡¤£ ¦ ¦<br />
Ž ¢ ¢ ¡ ¤ ¦<br />
‘ ¢ ¢ ¡ ¤ ¦<br />
§<br />
§<br />
¢ ¢ ¡¤£ <br />
¢ ¢ ¡ £ <br />
¢ ¢ Ž<br />
¤£¦ ¡<br />
¢ ¢<br />
¡¤£<br />
<br />
<br />
¡ © 5pC=)P4L 1 587 © .L'm>! I' #% I¤=') ¡ >(F©G ‹' ‹(#%FH!4<br />
*<br />
§ np]Cˆ¨gh}hg‚n…„0• ¥¨§©<br />
& <br />
<br />
%<br />
ghƒƒ ghr`]|ng{uYyw bR8R*• ¥¨§©<br />
q<br />
% '& ¦<br />
& +<br />
q ghƒrPR8bƒ g{uY3ghYoo]=bg†]CYont• ¥¨§©<br />
Ž q }hghYIR ];b¥f] R!R! Ps{‰ g‚n’ghƒLnẄ R:ƒp];j Rvndu bRrIbRƒdRYon’nWIR:_¨R8bg‚o]tng‚ Rƒ<br />
Š%u*b<br />
ndẄ R2eL] cT " RŸ _¨bu$# ƒzdWIRj RSô„0•<br />
ghY<br />
=Œ<br />
<br />
¢£¢<br />
© <br />
Ž‘*‘<br />
¢£¢<br />
<br />
© <br />
Ž ¢ ¢ ¡ £ ¦ ¦<br />
‘ ¢ ¢ ¡¤£ <br />
Ž ¢ ¢ ¡¤£ ¦<br />
C‘(<br />
Ž8Œ<br />
© <br />
Ž‘m‘
¦<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
Œ<br />
¦<br />
¦ <br />
<br />
¦<br />
<br />
¢ ¢ ¡ ¤ <br />
‘<br />
¢ ¢ ¡ <br />
C‘ ¢ ¢ Œ*Œ<br />
¡¤£<br />
§<br />
Œ<br />
<br />
¢ ¢ ¡ ¤¡ ¦<br />
¢ ¢ ¡¤£ ¦<br />
¢ ¢ ¡ ¤¡¤ <br />
Ž<br />
Ž ¢ ¢ ¡¤£ ¢<br />
¨<br />
<br />
¢ ¢ C‘<br />
¤£¢ ¡<br />
Ž<br />
‘ ¢ ¢ ¡ ¤£¦ ¦<br />
Ž<br />
¨<br />
Ž<br />
Ž<br />
Œo ¢ ¢ ¡ ¤£¥ ¦<br />
¢ ¢ ¡ £ <br />
<br />
¢ ¢<br />
¤ ¡<br />
§<br />
Œ<br />
<br />
Ž<br />
Œ<br />
© <br />
¦<br />
Ž<br />
¨<br />
© <br />
§<br />
Œ<br />
<br />
¦<br />
Ž<br />
© <br />
¢ ¢<br />
¦ <br />
Ž <br />
¦ ¡¤£<br />
§<br />
Œ<br />
<br />
Œ<br />
¦<br />
© <br />
‘ ¢ ¢ ¡¤£ <br />
¢ ¢ ¡ ¤ ¦<br />
‘ ¢ ¢ ¡ £ ¦ <br />
;‘ ¢ ¢ ¡ £ ¢ ¦<br />
‘ ¢ ¢ ¡ ¤¡ <br />
© <br />
¢ ¢ ¡ ¤ <br />
Œ<br />
‘<br />
¦ <br />
¢ ¢ ¡ £<br />
¢ ¢ ¡ £ ¦<br />
C‘<br />
<br />
Œo ¢ ¢ ¡¤£ ¥ ¦<br />
Œ §<br />
¢ ¢ ¡ ¤ <br />
¢ ¢ ¡ £ <br />
Ž ¢ ¢ ¡ ¤£¢<br />
¨<br />
<br />
¢ ¢ ¡ ¤£¦<br />
¢ ¢ ¡¤£ <br />
¢ ¢ ¡¤£ ¤<br />
© <br />
<br />
<br />
¢£¢<br />
¦ ¦<br />
<br />
¦ §<br />
+ ¦<br />
+ ¦<br />
¦ §<br />
¦ ¦<br />
© +<br />
¦ §<br />
¢£¢<br />
<br />
‘‹Ž<br />
Œ*ŒoC‘ ¢ ¢ ¡ ¤ ¦<br />
C‘<br />
Ž*Ž<br />
‘‹Ž<br />
© ¦
.A'*>!‹' E )¤5J I(>('*.<br />
(><br />
=#o!<br />
¦ § ©§© ¨ § <br />
¢¡¤£¦¥¨§©<br />
"! ©#$© <br />
¨ § ©(§)© § <br />
%¡&£¦¥¨§'©<br />
"! ©#$© '<br />
1<br />
Amplification Factor<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
cfl=0.25<br />
cfl=0.44<br />
cfl=0.625<br />
cfl=0.813<br />
cfl=1.0<br />
0 1 2 3<br />
Beta<br />
Relative Phase Error<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
cfl=0.25<br />
cfl=0.44<br />
cfl=0.625<br />
cfl=0.813<br />
cfl=1.0<br />
0.0<br />
0 1 2 3<br />
Beta
¢¡&£¦¥§© <br />
© 5¥¢=)+40 1 587 (> .L'*>! ‹'3#- ‹¢')¢¡ >(F©G I'* I(#6FH!4<br />
1<br />
Amplification Factor<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
cfl=0.25<br />
cfl=0.813<br />
cfl=1.0<br />
cfl=2.0<br />
cfl=2.83<br />
0 1 2 3<br />
Beta
¢¡&£¦¥§© <br />
© 5¥¢=)+40 1 587 (> .L'*>! ‹'3#- ‹¢')¢¡ >(F©G I'* I(#6FH!4<br />
Relative Phase Error<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
cfl=0.25<br />
cfl=0.813<br />
cfl=1.0<br />
cfl=2.0<br />
cfl=2.83<br />
0.2<br />
0.0<br />
0 1 2 3<br />
Beta
¢¡¤£¦¥¨§© ¢ <br />
© 5 ¢=)P4L 1 587 © = .L'*>! ‹' #- ‹¢') ¡ >(F©G ‹' ‹(#%FH!4<br />
1<br />
Amplification Factor<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
cfl=0.2<br />
cfl=0.8<br />
cfl=1.0<br />
cfl=1.5<br />
cfl=2.06<br />
0.2<br />
0 1 2 3<br />
Beta
¢¡¤£¦¥¨§© <br />
© 5 ¢=)P4L 1 587 © = .L'*>! ‹' #- ‹¢') ¡ >(F©G ‹' ‹(#%FH!4<br />
Relative Phase Error<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
cfl=0.2<br />
cfl=0.8<br />
cfl=1.0<br />
cfl=1.5<br />
cfl=2.06<br />
0.2<br />
0.0<br />
0 1 2 3<br />
Beta
¢¡¤£¦¥¨§© ¥ <br />
© 5 ¢;)+40 1 587 © .L'*>! ‹' (F )DC ‹> &¤¡¦¥3FH(> >(F G ‹';5<br />
1<br />
0.8<br />
Amplification Factor<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
cfl=0.2<br />
cfl=0.4<br />
cfl=0.6<br />
cfl=0.8<br />
cfl=1.05<br />
0 1 2 3<br />
Beta<br />
‹(#%FH!4
¢¡¤£¦¥¨§© ¤ <br />
© 5 ¢;)+40 1 587 © .L'*>! ‹' (F )DC ‹> &¤¡¦¥3FH(> >(F G ‹';5<br />
Relative Phase Error<br />
1.6<br />
1.4<br />
1.2<br />
1.0<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
cfl=0.2<br />
cfl=0.4<br />
cfl=0.6<br />
cfl=0.8<br />
cfl=1.05<br />
0.2<br />
0.0<br />
0 1 2 3<br />
Beta<br />
‹(#%FH!4
¢¡ ¥¨# ©(§¡ ¤£ £&¥¦¥ ¡ ¤§ ¥ ! ©©¨ © ©¥ ¥ ¡ § §$© § ' "! ©#$© ¨<br />
¢¡¤£¦¥¨§©<br />
¥"£© ¥ £¦© ¥¦¥¥" #$©¥ ! ¨ ¡¥ ! ¨ § ©§ ¥¨ ¡ ¡ ©(§© ¡ £¥ ¥ "!<br />
<br />
1.5<br />
1.25<br />
1<br />
0.75<br />
0.5<br />
0.25<br />
0<br />
-0.25<br />
-0.5<br />
-0.75<br />
u<br />
t=720, number <strong>of</strong> grid=81<br />
CFL=1.0, 2nd Order Law-Wendr<strong>of</strong>f<br />
Analytical<br />
CFL=0.98, 2nd Order Law-Wendr<strong>of</strong>f<br />
CFL=0.9, 2nd Order Law-Wendr<strong>of</strong>f<br />
CFL=0.68, 4S R-K, 2nd Order Upwind<br />
CFL=0.068, 4S R-K, 2nd Order Upwind<br />
-1<br />
0 10 20 30 40<br />
x
1.25<br />
1<br />
u<br />
t=720, number <strong>of</strong> grid=81<br />
CFL=1.0, 4S R-K, 2nd Order Central<br />
Analytical<br />
CFL=0.1, 4S R-K, 2nd Order Central<br />
CFL=2.5, 4S R-K, 2nd Order Central<br />
CFL=1.0, 4S R-K, 4th Order Central<br />
0.75<br />
0.5<br />
0.25<br />
0<br />
-0.25<br />
-0.5<br />
-0.75<br />
-1<br />
0 10 20 30 40<br />
x<br />
¢¡¤£¦¥¨§© ¦ ! ¡ ¥¨# ©(§¡ ¤£ £¤¥¥ ¡ ¦ ¤§ ¥ ! © ¨ © ©¥ "¥¡ ¦ § § ¥"£¦© ¥ £© <br />
¥¥ ¥" #$©¥ ! <br />
¨ ¡ ¥ ! ¨ ¨ ¥ ! § ©§ © ¥ § "£ ¡ ©§'© ¡ £¦¥ <br />
¥ ¤!
1.25<br />
1<br />
u<br />
t=7200, number <strong>of</strong> grid=81<br />
CFL=0.8, 4S R-K, 4th Order Central<br />
Analytical<br />
CFL=2.0, 4S R-K, 4th Order Central<br />
CFL=2.8, 4S R-K, 2nd Order Central<br />
0.75<br />
0.5<br />
0.25<br />
0<br />
-0.25<br />
-0.5<br />
-0.75<br />
-1<br />
0 10 20 30 40<br />
x<br />
¢¡¤£¦¥¨§© ¦¦¦ ¡ ¥¨# ©(§¡ ¤£ £¤¥¥ ¡ ¦ ¤§ ¥ ! © ¨ © ©¥ "¥¡ ¦ § § ¥"£¦© ¥ £© <br />
¥¥ ¥" #$©¥ ! <br />
¨ ¡ ¥ ! ¨ ¨ ¥ ! § ©§ § ©§ © ¥ §¤£ ¡ ©§'© ¡ £¦¥ ¥ ¤! !
CFL=1.74, 4S R-K, 3rd Order Upwind<br />
1.5 Analytical<br />
CFL=0.87, 4S R-K, 3rd Order Upwind<br />
1.25<br />
1<br />
0.75<br />
0.5<br />
0.25<br />
0<br />
-0.25<br />
-0.5<br />
-0.75<br />
u<br />
t=720, number <strong>of</strong> grid=81<br />
CFL=0.087, 4S R-K, 3rd Order Upwind<br />
CFL=0.87, 4S R-K, 4thd Order Upwind<br />
-1<br />
0 10 20 30 40<br />
x<br />
¦ ¡ ¥¨# ©(§¡ ¤£ £¤¥¥ ¡ ¦ ¤§ ¥ ! © ¨ © ©¥ "¥¡ ¦ § § ¥"£¦© ¥ £© <br />
¢¡¤£¦¥¨§©<br />
¡ ¥ ! § ¨ ¥ ! § ©§¡ ¡ © £¢ ¨ ¡ ¨ ¡ ©(§© ¡ £¥ <br />
¨<br />
¥¥ ¥" #$©¥ ! <br />
¥ "!
CFL=1.0, 4S R-K, 4th Order Upwind<br />
1.5 Analytical<br />
CFL=0.2, 4S R-K, 4th Order Upwind<br />
1.25<br />
1<br />
0.75<br />
0.5<br />
0.25<br />
0<br />
-0.25<br />
-0.5<br />
-0.75<br />
u<br />
t=7200, number <strong>of</strong> grid=81<br />
CFL=0.02, 4S R-K, 4th Order Upwind<br />
CFL=1.0, 4S R-K, 3rd Order Upwind<br />
CFL=0.02, 4S R-K, 3rd Order Upwind<br />
-1<br />
0 10 20 30 40<br />
x<br />
¦ ¡ ¥¨# ©(§¡ ¤£ £¤¥¥ ¡ ¦ ¤§ ¥ ! © ¨ © ©¥ "¥¡ ¦ § § ¥"£¦© ¥ £© <br />
¢¡¤£¦¥¨§©<br />
¡ ¥ ! § ¨ ¥ ! § ©§¡ ¡ © £¢ ¨ ¡ ¨ ¡ ©(§© ¡ £¥ <br />
¨<br />
¥¥ ¥" #$©¥ ! <br />
¥ "!
1.25<br />
u<br />
t=7200, number <strong>of</strong> grud=161<br />
CFL=1.0, 4S R-K, 4th Order Upwind<br />
Analytical<br />
CFL=1.0, 4S R-K, 4th Order Central<br />
1<br />
0.75<br />
0.5<br />
0.25<br />
0<br />
-0.25<br />
-0.5<br />
-0.75<br />
-1<br />
0 10 20 30 40<br />
x<br />
¢¡¤£¦¥¨§© ¦ ¡ ¥¨# ©(§¡ ¤£ £¤¥¥ ¡ ¦ ¤§ ¥ ! © ¨ © ©¥ "¥¡ ¦ § § ¥"£¦© ¥ £© <br />
¥¥ ¥" #$©¥ ! <br />
¨ ¡ ¥ ! ¥ ! § ©§ © ¥ § "£% ¨ ¨¡ © ¥¨ ¡ ¨ ¡ ©(§© ¡ £ ¥ §©¡ © £¦§¡ ¥ ¥ "! !
CYI_u*b _6R8bfeL] cT " RŸ _¨bu$# ƒzdWIRj R nducu _6g #^l6ƒg‚ R<br />
¦<br />
Ž w u*bXl6Ÿ ƒndR|];_-„ z|]C}{zl6}†]tng{uY<br />
fWIRY¦¥¨§©<br />
¦ T“ƒnp];ZmR © T ‰¨CŸ _yu*b_¨Rb z8RYondb]C}0_%g #`R8bRŸ zghŸ Z l¨Y6ƒnp]Cˆ¨}{R<br />
¦ ‘;T“ƒnp];ZmR © T ‰¨CŸ _yu*b_¨Rb z8RYondb]C}0_%g #`R8bRŸ zghŸ Z‹•<br />
Œ<br />
%<br />
Ž<br />
¦ ‘;T“ƒnp];ZmR © T ‰%Œb_ u*b _6R8b‡ˆ6g†]CƒdR_yl¨r ghŸ _3_%g #`R8bRŸ zghŸ Z‹•<br />
%<br />
Ž<br />
¦ ‘;T“ƒnp];ZmR © T ‰c‘=nWu*b _6R8b‡ˆ6g†]CƒdR_yl¨r ghŸ _3_%g #`R8bRŸ zghŸ Z‹•<br />
%<br />
Ž<br />
%<br />
%<br />
Ž<br />
Ž<br />
¢¡ ”E B ¤£¢¡ ¤<br />
ƒn]Cˆ6gh}hg‚n „0• ¥¨§©<br />
% & ¦<br />
_6ghƒ ƒ ghr`]|ng{u*Yw bR8Rm• ¥§©<br />
& <br />
_6ghƒ rPR8bƒg{uYyghYo ];bg†]CYont• ¥§©<br />
% & <br />
ƒn]Cˆ6gh}hg‚n „0• ¥¨§©<br />
& +<br />
ƒ ghr`]|ng{u*Yw bR8Rm•¢YIuYIR<br />
_6ghƒ<br />
rPR8bƒg{uY¦];Ÿ _ _6ghƒ ƒghr^]tng{uY3ghYm ];bg†];YmnC• ¥¨§©<br />
_6ghƒ<br />
& +<br />
ƒn]Cˆ6gh}hg‚n „0• ¥¨§©<br />
& +<br />
ƒ ghr`]|ng{u*Yw bR8Rm•¢YIuYIR<br />
_6ghƒ<br />
rPR8bƒg{uY¦];Ÿ _ _6ghƒ ƒghr^]tng{uY3ghYm ];bg†];YmnC• ¥¨§©<br />
_6ghƒ<br />
& +
¦ ‘;T“ƒnp];ZmR © T ‰¨|nWu*b _6R8b zRYondbd]C}0_6g #`Rb RYIzghŸ Z‹•<br />
% & <br />
<br />
%<br />
Ž<br />
€ rfghYI_ ƒdzdẄ R8j Rƒ fg‚nW ‘;T § np];ZmR© T ];bR }{Rƒƒƒnp];ˆ6}{R(nW^];Y z8RYondb]C}<br />
¦<br />
#`RbRYIzghŸ Z _6g<br />
Š%u*bX}{u w bR! l¨RYIz„”}hghŸ R|];b ] R ƒdu}hl-ndg{uY6ƒt‰ nẄ RS‘=nW u*b_¨R8bXˆ¨g†]CƒdR_<br />
¦<br />
ghŸ _ _6g #`R8bRYIzghY6Z”];Ÿ _\‘=nW umb_6R8b z8RYmnbd]C}P_6g #`R8bRYIzghY6Z Ẁ ]iRfnẄ R<br />
l¨r<br />
ƒn]Cˆ6gh}hg‚n „0• ¥¨§©<br />
_6ghƒ ƒ ghr`]|ng{u*Yw bR8Rm• ¥§©<br />
% '& ¦<br />
_6ghƒ rPR8bƒg{uYyghYo ];bg†]CYont• ¥§©<br />
& +<br />
R! l6g‚ ]C}{RYmn ];zzlIbd];zp„is