第45 屆國際數學奧林匹亞競賽試題與參考解答 - 國立臺灣師範大學 ...

第 45 屆 國 際 數 學 奧 林 匹 亞 競 賽 試 題 與 參 考 解 答 ( 續 )
Lemma 2. 之 證 明 : 構 造 一 個 數 列 { } ∞ n n=1
b 使 得 對 每 一 個 n ,
b n
__________
n
≡ n +1(mod 2) 且 2 ⋅ 5 整 盡 b n
K b 1
。
__________
= 1
令 b
1
= 0,
b2
= 5 。 假 設 b
1,
K ,bn
已 被 構 造 且 令 b K l
n
b 5 B , 其 中 l ≥ n 且 B 不 能 被 5
整 除 。 則 下 一 個 數 字 b
n+ 1
必 為 b n + 1
≡ n + 2
________________
__________
(mod 2) 且
n l−n
[ b 2 B]
n
n
bn+ 1bn
K b1
= bn+
110 + bn
Kb1
= 5
n+
1
+ 5 。
當 b
5 n+1
整 除
n
1
B 被 5 整 除 時 , 上 式 為 真 。 根 據 中 國 的 餘 數 定 理 , b n + 1
≡ n + 2 (mod 2)
2 n +
+
v
n
, b
+ 12
+ B ≡ 0(mod 5), 有 解 ( 因 2 和 5 互 質 )。 且 解
n+ 1
n
b 可 從 { ,1,...,9}
0 來 選 取 。
接 著 , 我 們 針 對 一 般 的 n = 2
α 5 β k , 其 中 k 與 10 互 質 。 如 果 n 不 能 被 20 整 除 , 那 麼 2
α 5 β
β
為 2 的 次 方 ,5 的 次 方 或 是 2 ⋅ 5 之 型 式 的 數 。 根 據 Lemmas 1 和 2, 在 所 有 2 α 5 β 的 情
況 下 , 必 有 一 個 偶 數 交 錯 整 數 是 其 倍 數 , 其 數 字 為 偶 數 2 m 。 顯 然 地 ,
____________
...M
所 有 具 有 MM
n = 2
α 5 β k 之 倍 數 。 考 慮
型 式 之 整 數 也 是 2 α 5 β 之 交 錯 整 數 倍 數 。 我 們 證 明 以 上 有 一 部 分 為
2m
2m(
l−1)
Cl
= 1+
10 + K + 10 , 其 中 = 1 ,2,..., k + 1
l ,
根 據 鴿 籠 原 理 , C
l 1
和 C 為 同 餘 模 數 k , 其 中 l
1
< l2
。 因 此 , k 能 整 除 它 們 的 差 值
l 2
C
l 2
l1
l 2 l 1
2 1
10 ml
− C = C
−
⋅ 。 且 因 k 與 10 互 質 , 所 以 k 能 整 除
Cl 2 − l 1
。 由 此 可 得
____________
...M
C l 2 − l 1
× M 是 具 有 MM 之 型 式 的 數 , 因 此 是 n 之 交 錯 整 數 倍 數 。
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