第45 屆國際數學奧林匹亞競賽試題與參考解答 - 國立臺灣師範大學 ...

第 45 屆 國 際 數 學 奧 林 匹 亞 競 賽 試 題 與 參 考 解 答 ( 續 )
當 且 僅 當 Q 點 在 TV 之 間 時 , 會 有 銳 角 的
( α −α
)
∠AQB
= ∠PQC
⇔ tanα1 = − tan
2 3
然 而 Q 點 若 符 合 B , D 的 條 件 時 , 又 有 ∠ AQB = ∠PQC
則 Q 必 須 落 在 TU 之 間 , 但 ∠CQA
< 180°
180 ° > ∠CQA
= ∠CQV
+ 180° − ∠AQB
> ∠CQP
+ 180° − ∠AQB
⇔ ∠AQB > ∠CQP , 不 可 能 發 生 。
因 此 , 在 TV 之 間 的 點 Q , 若 要 滿 足 ∠ AQB = ∠PQC
而 又 能 當 作 凸 四 邊 形 ABCD 的 B 或 者 D , 又 使 P 在 ABCD 內 。 這 種 Q 是 不 存 在 的 。
故 tanα
− ( α −α
)
1
= tan
2 3
的 解 不 合 。
而 我 們 已 經 由 充 分 性 的 證 明 知 道 , 這 B , D 是 存 在 的 , 再 由 前 面 (※)
知 道 至 多 有 兩 個 解 。 因 此 D 要 在 三 角 形 ABC 的 外 接 圓 上 面 , 即 證 明 ABCD 四 點 共 圓
的 必 要 性 。
這 裡 整 理 一 下 〝 必 要 性 〞 證 明 的 詳 細 思 路
因 為 當 A , B,
C,
BD 固 定 時 , 即 P 也 固 定 了 ( 因 PA = PC ∠ ABD = ∠CBP
) 而 由 充 份
'
性 知 道 ABC 外 接 圓 交 BD 於 D 滿 足 題 設 。 所 以 設 B , A,
C,
BD 固 定 時 , 企 圖 證 明 僅 有
兩 個 點 會 滿 足 題 設 , 如 此 便 知 D ' = D , 即 證 完 必 要 性 。
( )
( )
⎧tanα1
= tan α
2
−α
3
由 上 述 的 方 法 , 知 道 ⎨
⎩tanα1
= − tan α
2
−α
3
( α −α
)
都 可 能 滿 足 題 設 並 且 至 多 有 四 組 解 , 而
tanα1 = − tan
2 3
滿 足 題 設 是 在 取 動 點 落 於 TV 之 間 時 。 而 滿 足 題 設 而 跟 V 在
AC 同 側 的 那 點 必 需 在 V 點 以 右 ( 如 下 圖 ), 方 能 使 P 落 在 ABCD 之 間 。 滿 足 題 設 而
跟 B 在 AC 同 側 的 那 點 必 需 在 U 點 以 左 , 方 能 使 ABCD 為 凸 四 邊 形 。
故 只 剩 下 TU 這 區 間 , 利 用 上 述 的 證 明 即 知 不 存 在 滿 足 題 設 的 點 。
故 而 , B , D 恰 是 tanα
( α −α
)
1
= tan
2 3
的 兩 個 解 , 並 滿 足 題 設 。
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