第45 屆國際數學奧林匹亞競賽試題與參考解答 - 國立臺灣師範大學 ...

第 45 屆 國 際 數 學 奧 林 匹 亞 競 賽 試 題 與 參 考 解 答 ( 續 )
l
z = 5 × 10 + tl
l
w = 7 × 10 + tl
皆 為 l + 1位 交 錯 整 數
有
l
2 + 1 | x,
y (
l l
Q tl
= 2 奇 , 10 ,
l+
l
而 2 1 || x − y = 2 ⋅10
∴ x ≠ y (mod
(mod
2 +1
l )& x, y ≡ 0
or
∴ x, y 其 中 之 一 有 2 l+
2 | x or y
若 為
l
2 + 2
| x
考 慮
l
3× 10 也 都 為
2 +2
2 l +1 (mod
l
2× 奇 數 , y
l ) 但 , x , y ≡ 0
2 +2 l )
l
x, 為 2× 偶 )
l
z = × 10 + tl
5 ⇒ x ≡ z ≡ 0
(mod 2 l +2 ) 但 x ≠ z (mod
2 +3 l )
∴ 某 個 不 被
2 l+3
整 除 , 即 為 所 求 , 若
l
2 2
l
同 理 考 慮 y 跟 w = 7 × 10 + t 即 可 。
l l+
Q x − z = 4 ⋅10
= 2
2 ⋅ 5
l
l
+ | y ,
l
(2) l 為 偶 數 ⇒ 2 + 1 || t , l
第 l + 1 位 為 偶 數
l+
2 2 | 4×
10
l
∴
l+
2 1
|| 4 × 10
l
+ t
l
且
l
4 ×10
l
為 + 1
+ t
l
交 錯 整 數
取
t +
l
l+ 1
= 4×
10 tl
即 可 。
Lemma 3. 存 在 一 個 k 位 ( 最 高 位 可 為 0) 交 錯 整 數 t
k
使 5
proof:
k = 1時 t 5 即 可
1
=
l
若 k = l 有 5 | tl
k
| t
k
l
l
l
l
l
考 慮 ( 1 ⋅10
+ t , 3⋅10
+ t , 5 ⋅10
+ t , 7 ⋅10
+ t , 9 ⋅10
+ t )
這 些 都 被
l
l
l
l
l l+
1
5 整 除 , 但 x ⋅10
+ tl
≡ y ⋅10
+ ll
( 5 )
l
l
l
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