siia - Allar Veelmaa Ãµppematerjalid

Kordamisülesanded 

ALLAR VEELMAA 

TALLINN “MATHEMA” 2009

Kirjastus Mathema kinnitab: õpik vastab põhikooli ja gümnaasiumi riiklikule 

õppekavale ning haridus- ja teadusministri poolt õppekirjandusele kehtestatud 

nõuetele. 

Retsenseerinud Hele Kiisel ja Agu Ojasoo. 

Kaaned kujundanud Heiki Looman. 

Joonised teinud Allar Veelmaa. 

Autor tänab retsensente paljude kasulike märkuste ja nõuannete eest ning kolleeg 

Tõnu Tõnsot käsikirja toimetamise eest. Samuti tänab autor paljusid Loo 

Keskkooli õpilasi, kes on ülesannete koostamiseks inspiratsiooni andnud. 

ISBN 978-9985-9385-4-6 

© Allar Veelmaa 2009 

Kõik õigused on kaitstud. Ilma autoriõiguse omaniku eelneva kirjaliku loata pole 

lubatud ühtki selle õpiku osa paljundada ei elektroonilisel, mehhaanilisel ega 

muul viisil.

EESSÕNA 

Paljude gümnaasiumite matemaatika ainekava lõpeb kursusega 

“Kordamine”. Et ees seisavad riigieksamid, siis on antud välja päris palju 

erinevaid riigieksami ülesannete kogusid. Paraku on nende puhul tegemist 

ülesannete kogudega, aga mitte õppematerjalidega, mis on mõeldud 

gümnaasiumkursuse süstemaatiliseks kordamiseks. Käesolev raamat on 

mõeldud aga just ennekõike gümnaasiumikursuse kordamiseks. 

Kindlasti saab ka seda raamatut kasutada riigieksamiteks valmistumiseks, 

aga samas tuleks endale aru anda – matemaatikat õpitakse ju mitte selleks, et 

eksam kuidagiviisi ära teha, vaid ikka selleks, et targemaks saada ja hiljem 

osata oma teadmisi eluliste ülesannete lahendamisel kasutada. 

Käesolevast raamatust peaks sellest olema kasu ka neile, kel on keskkool 

juba lõpetatud. Selleks, et ülikoolis paremini hakkama saada, vajab 

keskkoolis õpitu ju meeldetuletamist. Kui teadmistes on lünki ja paljude 

keskkooli matemaatikaülesannete lahendamine käib üle jõu, siis võib 

lünkade kaotamisel abi olla ka käesolevast raamatust. 

Raamatus on toodud ära ülesannete lahendamiseks vajalik teoreetiline 

materjal koos näiteülesannete põhjalikult kommenteeritud lahendustega. 

Iseseisvaks lahendamiseks on välja pakutud 618 ülesannet. 

Lühidalt sisust: 

Õppematerjal on jaotatud kolmeteistkümneks teemaks: 

1. Reaalarvud ja avaldised. 

2. Võrrandid ja võrrandisüsteemid. 

3. Võrratused ja võrratusesüsteemid. 

4. Aritmeetiline ja geomeetriline jada. 

5. Funktsiooni uurimine ilma tuletiseta. 

6. Trigonomeetria. 

7. Jada ja funktsiooni piirväärtus. 

8. Funktsiooni tuletis, selle rakendusi.

9. Integraal ja selle rakendusi. 

10. Vektorid. Joone võrrand. 

11. Planimeetria. 

12. Stereomeetria. 

13. Tõenäosusteooria ja statistika. 

Kuidas seda raamatut kasutada? 

Gümnaasiumikursuse kordamiseks mõeldud raamatut saab kasutada kogu 

gümnaasiumikursuse vältel lisaks õpikule, kus mõne teema juures on 

ülesandeid vähevõitu või tunduvad need liiga lihtsatena. Asendamatuks abimeheks 

on see raamat aga eksamieelsel kordamisel, et saaks meelde tuletada 

vajalikke valemeid, uurida näiteülesannete lahendusi ja loomulikult ka ise 

ülesandeid lahendada. 

Ülesandeid väga erineva raskusastmega – alates lihtsatest, lõpetades 

tavapärastest riigieksami ülesannetest keerukamatega. 

Iga teema kordamisel veenduge, kas kirjapandud valemid tulevad ikka 

tuttavad ette. Uurige ka põhjalikult õpikus olevaid näiteid. Algul on mõistlik 

ära lahendada ülesanded, millega saate kindlasti hakkama (oma vastuseid 

saate võrrelda raamatu lõpus olevate vastustega). Siis võtke käsile juba veidi 

keerukamad ülesanded. Paljusid ülesandeid saab lahendada mitmel erineval 

viisil. Püüdke ka ise leida ülesannetele erinevaid lahendusviise. 

Paljude ülesannete puhul saab lahenduse õigsust ka arvuti abil kontrollida. 

Algebraliste avaldiste, võrrandite (võrratuste) ja ka funktsiooni uurimisega 

seotud ülesannete puhul sobib selleks programm Wiris 1 ja mitmesuguste 

geomeetria- ja algebraülesannete puhul programm GeoGebra 2 . 

Allar Veelmaa 

1 Wiris – asub aadressil http://www.wiris.ee 

2 GeoGebra – asub aadressil http://www.geogebra.org

Trigonomeetria 

6. TRIGONOMEETRIA 

Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel, samasuste tõestamisel ja 

võrrandite või võrratuste lahendamisel muudab ülesande lahendamine tihtipeale 

keerukaks see, et võimalikke lahendusteid on enam kui üks. 

Trigonomeetrilisi avaldisi sisaldavate ülesannete lahendamise üks võti 

peitub kindlasti põhiseoste ja nendest tuletatud valemite tundmisel. 

6.1. Põhiseosed ja tuletatud valemid 

Trigonomeetria põhiseosed 

2 2 sin 

sin ,Г cos , 1, 

, tan , 

2 1 

ja 1Г tan , . 

cos , 

2 

cos , 

Esimene valem kehtib nurga , iga väärtuse korral (sel juhul on tegemist 

absoluutse samasusega). Teine ja kolmas valem kehtivad juhul, kui 

5 

cos ,0, 

s.t. ,H Г2 n5, n. 

Sellistel puhkudel on tegemist tingimisi 

2 

samasustega. 

cos , 

Mõnikord kasutatakse ka valemit cot , , kus sin ,M0. 

sin , 

Taandamisvalemid 

Taandamisvalemiteks nimetatakse valemeid, mis võimaldavad mistahes 

nurga trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste leidmise taandada teravnurga 

trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste arvutamisele. 

Nende valemite meeldejätmiseks 

on otstarbekas 

kasutada järgmist skeemi: 

Negatiivse nurga korral kehtivad seosed: 

sin sin , cos , cos ,, 

tan(–,)=–tan, 

, , 

Täispöördest suuremate (väiksemate) nurkade korral: 

, , 

sin ,Гnb360 sin ,, cos ,Гnb360 cos , ja 

, 

tan ,Гnb180 tan ,, kus n. 

69


Kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus ja tangens 

sin ,H- sin , cos-H cos, sin -, 

 

 

 

 

cos ,H- cos , cos- * sin , sin -, 

tan ,Htan 

- 

tan ,H- 

. 

1* 

tan, tan- 

Kahekordse nurga siinus, koosinus ja tangens 

2tan, 

sin 2 2sin cos , cos 2 cos sin ja tan2 . 

2 2 

, , , , , , , 

2 

1 tan , 

Poolnurga siinus, koosinus ja tangens 

, 1 cos, , 1Г cos, , 1 cos, 

sin H , cos H ja tan H . 

2 2 2 2 2 1Г cos, 

Summa ja vahe teisendamine korrutiseks 

,Г- ,sin 

,Гsin-2sin bcos , 

2 2 

,Г- ,sin 

,sin-2cos bsin , 

2 2 

,Г- ,cos 

,Гcos-2cos bcos , 

2 2 

,Г- ,cos 

,cos-2sin bsin ja 

2 2 

sin ,H- 

tan,Htan - . 

cos ,bcos- 

Korrutise teisendamine summaks või vaheks 

1 

sin , cos- sin( ,-) Г sin( ,Г-)(; 

2 

1 

cos , cos- cos( ,-) Г cos( ,Г-)(; 

2 

1 

sin , sin- cos( ,-) cos( ,Г-)(; 

2 

2 1 2 1 

sin , 1 cos 2, ja cos , 1Г cos2, 

2 2 

( ( 

70


, , , , 

Näide 1. Lihtsustame avaldise sin 240 cos150 sin 270 tan315 . 

Taandamisvalemite abil leiame iga teguri väärtuse eraldi: 

, , , , 3 

sin 240 sin(180 Г60 ) sin 60 , 

2 

, , , , 3 

cos150 cos(180 30 ) cos30 , 

2 

, , , , , 

sin( 270 ) sin 270 sin(180 Г90 ) sin 90 1 ja 

, , , , 

tan 315 tan(360 45 ) tan 45 1. 

Tulemused kokku võttes saame avaldise väärtuseks 

, , , , 

3 3 

3 

sin 240 cos150 sin 270 tan 315 

b 1 ( 1) . 

2 2 

4 

Vastus: avaldise täpne väärtus kümnendmurruna on 0,75. 

Näide 2. Lihtsustame avaldised: 

3 

a) tan 510° = tan(3 · 180° – 30°) = –tan 30° = ; 

3 

2 2 2 2 

b) 

 

sin 5, sin 5, sin , sin ,, 

, , 

c) cot 270 cot 270 cot , , 

, , 180 Г(90 , ) 

 

 

, 

= cot(90 , ) tan ,, 

d) sin 2095Г, b cos,2095 Гtan 205sin 5Г, b cos,5 

 

sin ,b cos ,. 

sin 2x 

cos x 

Näide 3. Lihtsustame avaldise b . 

1Г 

cos2x 

2 

1 

cos x 

2 2 2 2 2 

Kuna 1Гcos2xsin xГcos xГcos xsin x2cos x, 

2 2 

sin 2x 

2sin xcos 

x ja 1cos xsin x, 

siis 

sin 2x cos x 2sin xcos x cos x 1 

b b 

2 2 2 . 

1Г 

cos2x 

1 

cos x 2cos x sin x sinx 

Vastus: avaldise lihtsustatud kuju on 1 : sin x. 

71


Näide 4. Teisendame korrutiseks cos 2xГsin 3xcos 4 x. 

2xГ4x 2x4x 

Kuna cos 2xcos 4x2sin sin 

2 2 

= 2sin 3xsin( x) 2sin 3xsin 

x, siis 

cos 2xcos 4xГsin 3x2sin 3xsin xГsin 3x2sin 3x sin xГ0,5 . 

Vastus: tegurdatud avaldis on 2sin3x(sin x +0,5). 

, 

Näide 5. Leiame sin , kui tan , 3 ja , on kolmanda veerandi nurk. 

2 

, 

Kui nurk , on kolmanda veerandi nurk (180 ,270 

, , 

), siis on teise 2 

 

 

, , 1 cos, 

veerandi nurk. Teises veerandis sin 0 , seega sin . 

2 

2 2 

2 1 

Leiame cos , valemi 1Г tan , 

2 

cos , abil: 1 

2 

1 Г( 3) 

2 

cos , 

1 

2 

2 1 

4, millest cos , . 

cos , 

4 

Kolmandas veerandis on koosinuse väärtus negatiivne, s.t. cos ,0,5. 

Kokkuvõttes saame, et 

, 1 ( 0,5) 1,5 3 3 

sin . 

2 2 2 4 2 

3 

Vastus: sin 0,5 , . 

2 

3 3 

cos xГsin x 2 sin 2 x 

Näide 6. Tõestame, et 

. 

cos xГ 

sin x 2 

Teisendame võrduse vasakut poolt: 

2 2 

Г Г 

3 3 

cos xГ 

sin x cos x sin x cos x cos xsin x sin x 

 

cosxГsinx cosxГsinx 

2 2 

cos xГsin xsin xcos x10,5sin 2 x. 

Saimegi sama tulemuse, mis on võrduse paremal poolel, sest: 

2 

sin2x 

2 sin2x 

10,5sin 

2 x. 

2 2 2 

 

ehk 

72


6.2. Trigonomeetriliste avaldiste teisendamine 

261. Koostage valemid, mille abil saab nurga kraadimõõdust teisendada 

radiaanmõõtu ja vastupidi. Kumba mõõtu kasutatakse tänapäeval rohkem 

(tooge näiteid)? Uurige, milleks on taskuarvutil GRAD? 

262. Teisendage nurk kraadimõõdust radiaanmõõtu ja vastupidi. 

1) 45; 225; 3600; –315; 45; 0; 180; 135; 1; 270; 

5 25 35 5 55 5 5 

2) 5; 0; ; ; ;1 ; ; ;25 ; ; ; 3 5; 6. 

3 3 4 6 12 2 4 

263. Leidke avaldise täpne väärtus mõistlikul viisil. Kontrollige tulemust 

kalkulaatori abil. 

1) cos ,, kui sin , = 0,6 ja 90° < , < 180° 

2) sin ,, kui tan , =– 3 ja 3 5 < ,


265. Leidke kalkulaatorit kasutamata, kumb avaldistest on suurem? 

1) sin 300° …. sin 320° 2) tan 32° …. tan 211° 

3) cos 100° …. cos 260° 4) sin 100° …. sin 300° 

5) tan (–44°) …. –tan 68° 6) sin 144° …. cos 144° 

7) tan 99° …. tan 89° 8) cos(–400°) …. cos 410° 

266. On antud sin ,Г cos ,m. 

Esitage arvu m kaudu 

4 4 

1) sin , cos , 2) sin ,Г cos , 

267. Leidke sin 2,, kui sin ,Г cos ,m. 

4 4 

268. Leidke sin xГ cos x, 

kui sin xcos x0,5. 

269. Lihtsustage avaldis. 

1) sin ,Г cos , 2 Г sin , cos , 

2 

2) 1sinxcosx 1sinxГcosx 

 

sin x1 

sin x 

3) 1 

sin xcos x sin x 

2 2 

sin x 

cos x 

b 

sin x 

cos x 

3 3 

sin xГ 

cos x 

12sinxcosx cosxГsinx 

4) 

 

2 

2cos x 1 

cos x 

sin x 

1Гcos xГcos 2xГcos3x 

5) 

sin 2xГ 

2sin xcos 2x 

2cosx 

sin2x 

270. Lihtsustage avaldis 

ja leidke nurgad, mille korral 

2 2 

sin xsin xГcos 

x 

selle avaldise väärtus on (–1). 

1 

cos , 

271. Leidke avaldise tan , b1Г sin, 

väärtus, kui , = 60°. 

1 

tan , 

272. Lihtsustage avaldised. 

1Г2cosxГcos2x 

1) 

12cosxГcos2x 

4 4 

sin xГcos x1 

3) 

6 6 

cos xГsin x1 

2 2 

sin 2x 

4sin x 

2) 

2 2 

sin 2xГ4sin x4 

sin 2xГ2sin 

x 

4) 

2 2 

cos xcos xsin 

x 

74


5) 

cos 

cos 

xГ y Гcos x 

y 

xГ ycos 

x 

y 

6) 

, , 

sin 30 Гx 

sin 30 x 

, , 

sin 30 Гx 

Гsin 30 x 


1cos2-Гsin2- 

tan xГ y 

tan xtan 

y 

1) 2) 

1Гcos2-Гsin2- 

tan xtan 

xГ 

y 

sin 3xГsin 5xГsin 7x 

sin x2cos3xsin 5x 

3) 4) 

cos3xГcos5xГcos 7x 

cos x2sin 3xcos5x 

tan x 1: tan x 

2sin 2xГ 

sin 4x 

5) Г 

6) 

2 2 

1Гtan x 1Г1: tan x 2cos xГ 

cos3x 

sin xГ y cos x y Гcos xГ y sin x 

y 

7) 

8) cos xcos 2y 2 Гsin xГsin 2y 

2 

274. Nurgad A, B ja C on kolmnurga sisenurgad. Tõestage, et 

A B C 

1) sinAГsinBГsinC 

4cos cos cos ; 

2 2 2 

sin C 

2) 

tan A tan B. 

cos Abcos 

B Г 


2 

2cos ,1 

1) 

5 2 5 

 

2tan , bsin 

Г, 

4 4 

 

2 4 2 

sin xГsin x 1Гcos 

x 

3) 

Г 

2 2 2 

cos xГ2sin x 2 Гtan 

x 

2) 

4) 

2 

sin x sin xГ 

cos x 

 

sin x 

cos x 

2 

tan x 1 

3 3 

cos xГ 

sin x 

1Г0,5sin2x 

sin xГ 

cos x 

276. Tõestage võrduse kehtivus. 

, , 

1) sin 450 Г, Гsin 270 , cos 

, 

,180 cos , 

2 

2) 

sin xГcos x cos x 1Г2cos x tan x1sin 

x 

4 4 2 2 6 6 

3) sin xГcos xsin xcos xsin xcos x0 

2 2 2 2 2 2 

4) sin ,Гsin - sin , sin -Г cos , cos -1 

277. Tõestage, et 

1 1 3 4 

cos 4xГ cos 2xГ cos 

x. 

8 2 8 

75




5 25 45 85 165 1 

cos cos cos cos cos . 

33 33 33 33 33 32 

, , , , , , , , 3 

sin10 sin 20 sin30 sin 40 sin50 sin 60 sin 70 sin80 . 

256 

6.3. Arkusfunktsioonid 

Arkusfunktsioonideks nimetatakse trigonomeetriliste funktsioonide teatavate 

ahendite pöördfunktsioone. 

Funktsioon Pöördfunktsioon Graafikud 

y =sinx y = arcsin x 

5 5 

X [ 1;1], 

X ; , 

2 2 

5 5 

Y ; 

Y [ 1;1] 

 

2 2 

 

arcsin(–x) = –arcsin x 

y =cosx 

X 0; 5 , 

Y 

( 

1; 1( 

y = arccos x 

X [ 1;1], 

0; ( 

Y 5 

arccos(–x) =5– arccosx 

y =tanx 

5 5 

X ; , 

2 2 

 

Y B; 

B 

( 

y=arctan x 

X B; B , 

( 

5 5 

Y ; 

2 2 

 

arctan(–x) =–arctanx 

76


Kehtivad järgmised põhisamasused: 

5 

1. Iga x 1,1( 

korral arcsin xГarccos 

x . 

2 

5 

2. Iga x korral arctan xГarccot x 

. 

2 

280. Arvutage funktsiooni väärtus. 

3 

1) arcsin 0,5 2) arcsin 3) arcsin (–1) 

2 

4) arccos 0,5 5) arccos (–0,5) 6) arccos 2009 

7) arctan 3 8) arctan (–2) 9) arctan 2009 

281. Leidke funktsiooni väärtus. 

sin arccos 0,5 Гarctan( 1) Гcos arccos 0,5 Гarctan( 1) 

1) 

2 2 

2) arccos 

Гarcsin arctan( 3) 

2 2 

 

3 3 

3) cos 

arctan arccos 

3 2 

 

 

cos 2arctan( 1) 

arccos(–0,5) 

4) ( 

5) 1 arcsin 

3 Г 

1 arccos 

2 

2 2 3 2 

282. Leidke funktsiooni määramispiirkond. 

1) f(x) = arcsin 3x 2) f(x) = arccos (–3x) 

3) f(x) = arcsin 1 x 

1 

x 

4) f(x) = arccos 

 

1Г 

x 

1Г 

x 

3 

5) f(x) = arctan 3x 6) f(x) = arctan 1 

3 x 

7) f(x) = arctan 

3 

0,5 

1 

x 

8) f(x) = arccos (1 – x) + arctan 5 

77


6.4. Funktsioonide omadused ja nende graafikud 

Funktsiooni y =sinx graafikut nimetatakse sinusoidiks. Siinusfunktsiooni 

perioodi pikkus on 25. Funktsioon on määratud kogu reaalarvude hulgal ja 

muutumispiirkond on lõik [–1; 1]. 

Koosinusfunktsiooni y =cosx graafik on koosinusoid, mis ühtib oma kujult 

5 

sinusoidiga, kuid on nihutatud võrra vasakule. 

2 

Tangensfunktsioon y =tanx on määratud, kui 

5 

x Гk5, k. 

2 

Funktsiooni graafikut nimetatakse 

tangensoidiks. 

Kui funktsioon esitub kujul y = A·sin kx või 

y = A·cos kx, siis arvust A sõltub graafiku võnkeamplituud 

ning arvust k võnkeperioodi pikkus T, 

T = 2 5 

k 

. 

Funktsiooni y = A·tan k·x graafiku 

5 

võnkeperioodi pikkus on T = . 

k 

 

283. Leidke funktsiooni graafiku perioodi pikkus. 

1) y =sin2x 2) y = cos 0,5x 3) y =tan 3 

x 

4) y =sin 3 5x 

4 

5) y =cos5x 6) y =tan(–3x) 

284. Joonestage ühes teljestikus funktsioonide y =sinx ja y =sin2x graafikud 

(–5 x 5). 

285. Joonestage ühes teljestikus funktsioonide y =cosx ja y = cos 0,5x 

graafikud (0 x 25). 

78


286. Selgitage, kuidas saab konstrueerida järgmiste funktsioonide graafikud 

funktsiooni y =sinx graafiku abil 1 . 

1) y = 3sin x 2) y = –sin x 3) y = 2sin x 4) y = |sin x| 5) y =cosx 

287. Joonestage lõigus [–5; 5] funktsioonide y =4sin2x, y =–cos0,5x ja 

y =2cos 2 

x graafikud. Leidke graafikute abil nullkohad, positiivsus- ja 

negatiivsuspiirkonnad, kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning ekstreemumkohad 

ja ekstreemumid. 

6.5. Trigonomeetrilised võrrandid 

Trigonomeetrilisteks võrranditeks nimetatakse võrrandeid, kus tundmatu on 

trigonomeetrilise funktsiooni argumendis. 

Keerukamate trigonomeetriliste võrrandite puhul teisendatakse tundmatut 

sisaldavaid avaldisi seni, kuni võrrandi lahendamine taandub ühe või mitme 

trigonomeetrilise põhivõrrandi lahendamisele. 

Trigonomeetrilised põhivõrrandid on: 

n 

x 1 arcsin mГn5, kus n, 

sin x = m, kus m 1 ja üldlahend on 

cos x = m, kus m 1 ja üldlahend on xHarccos mГ2 n5, kus n ja 

tan x = m, kus m# ja üldlahend on xarctan mГn5, kus n. 

Trigonomeetriliste võrrandite lahendeid on mõistlik kontrollida, sest teisenduste 

käigus (näiteks võrduse poolte ruutu tõstmisel) võivad tekkida 

võõrlahendid. Võrduse poolte jagamisel ühe ja sama avaldisega tuleb 

veenduda selles, et nii tehes osa lahenditest kaotsi ei läheks. 

Märkus: lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel ei ole vaja 

kasutada üldist lahendivalemit (kuid võib). Liites (lahutades) n-kordse 

perioodi pikkuse, saame jällegi lähtevõrrandi lahendi. Sõltuvalt võrrandi 

lahendamisel kasutatud võtetest ei pruugi lahendid esituda ühesel viisil. 

1 Graafikute konstrueerimise õppimisel on otstarbekas kasutada arvutiprogramme Wiris ja 

GeoGebra. 

79


Näide 1. Lahendame võrrandi sin x = 

2 

2 

kolmel erineval viisil. 

2 

1) Kui sin x = , siis arvestades seda, et siinusfunktsiooni perioodi pikkus 

2 

3 

on 25, saame lõigus [0; 25] kaks lahendit: 

5 ja 5 . Liites mõlemale leitud 

4 4 

lahendile täisarv n kordse perioodi pikkuse 25, võime esialgse võrrandi 

lahendid esitada kahe lahendiseeriana: 

5 

a) x = Г 2n5 

ja x = 3 5 

Г 2 n5 , kus n on suvaline täisarv. 

4 

4 

2) Võrrandi sin x = m üldlahendi valemi järgi saame: 

n 2 

n 5 

x1 arcsin Гn51 Гn5, 

kus n. 

2 4 

5 35 

Kui n = 0, siis x = ; kui n = 1, siis x . 

4 4 

3) Lahendame võrrandi graafiliselt. 

Joonestame sinusoidi y =sinx ja sirge y = 2 . Siinusfunktsiooni perioodi 

2 

pikkus on 25, seega on tarvis leida esmalt võrrandi lahendid ühe perioodi 

5 35 

piires. Lõigul [0; 25] on võrrandil kaks lahendit: x 1 ; x2 

. Liites 

4 4 

lahenditele x 1 ja x 2 siinusfunktsiooni täisarv kordse perioodi pikkuse (–45; 

–25; …;1005) saame võrrandi kõik lahendid esitada nii: 

5 

x = Г 2n5 

ja x = 3 5 

Г 2 n5 , kus n on suvaline täisarv 

4 

4 

Esimesel ja kolmandal juhul saime kaks lahendiseeriat, üldvalemit kasutades 

on needsamad lahendiseeriad kirja pandud ühe valemina. 

n 5 

Vastus: võrrandi üldlahend on x1 

Гn5, kus n. 

4 

Trigonomeetriliste võrrandite erilahendeid saab kontrollida ka programmi 

Wiris abil, esimeses näites oleva võrrandi lahendid saame nii: 

80


Märkus: lahendiseeriate esitamise muudab mõnikord tülikaks see, et üks 

leitud lahendiseeriatest sisaldub ka teises lahendiseerias (täielikult või osaliselt). 

5 5 k5 

Näide 2. Esitame lahendiseeriad Г n5 

ja Г , kus nk , ühe 

2 10 5 

lahendiseeriana. 

Kõik esimesse seeriasse kuuluvad lahendid on ka teises lahendiseerias (kuid 

mitte vastupidi). Sellisel juhul on esimene lahendiseeria ülearune ja võrrandi 

5 k5 

lahendid esitatakse kujul x Г , k. 

10 5 

Märkus: üldlahendi esitamine on keerukam juhul, kui kahel (või enamal) 

lahendiseerial on ühiseid lahendeid, kuid ükski nendest seeriatest ei sisaldu 

n5 k5 

tervikuna mõnes teises. Lahendiseeriad ja (n, k ) eisisaldu 

5 2 

teineteises, kuid omavad ühiseid lahendeid (näiteks juhul n =5jak =2). 

Püüdke need lahendiseeriad esitada nii, et nendes korduvaid lahendeid ei 

ole. 

2 

Näide 3. Mitu lahendit on võrrandil cos 1,5x = 

5,3 5 ? 

2 lõigus ( 

mis kuuluvad lõiku ( 

Ülesande lahendamiseks võime leida üldlahendi ja selle abil need lahendid, 

5,3 5 . Võrrandi lahendite arvu saab määrata ka lihtsa- 

2 

malt – selleks skitseerime funktsioonide y = cos 1,5x ja y = 

2 graafikud 

ja loeme jooniselt graafikute lõikepunktide (võrrandi lahendite) arvu. 

Jooniselt näeme, et võrrandil on ette antud lõigus 6 lahendit. 

81


Leidke võrrandi 

üldlahend ja leidke selle abil täpsed lahendid 

lõigust 5,3 5( 

. 

cos1,5 x 

2 

2 

Näide 4. Missuguste arvu m väärtuste korral on võrrandil cos 2x =2–3m 

5 5 

lahendid lõigus 

 

, 

4 2 

? 

5 5 

Kui x 

, 

4 2 

, siis –1 cos 2x 0. 

 

Lahendame võrratusesüsteemi 

 

2Г3m 

0 

 

 

2Г3m 

Г1. 

Selle võrratusesüsteemi lahendamisel 

saame, et 2 m 

1. 

3 

2 

Vastus: m Y ;1 . 3 

Näide 5. Lahendame võrrandi 2cos x·cos2x =cosx. 

Viime cos x võrduse vasakule poolele ja toome selle sulgude ette: 

cosx (2cos 2x – 1) = 0, millest järeldub, et 

cos x = 0 või 2cos 2x –1=0. 

Esimese võrrandi lahendid on 

5 

xHarccos 0 Г2n5 H Г2 n5, kus n. 

2 

Lahendame teise võrrandi: 

2cos 2x –1=0 _ cos 2x = 0,5 ja lahendivalemi järgi 

5 

5 

2xHarccos 0,5 Г2m5H Г2 m5, 

millest xH Гm5, m 

. 

3 

6 

5 5 

Vastus: xH Г2 n5, xH Гm5 n, m 

. 

2 6 

Kasulik teada! Mõningate lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendeid 

pole otstarbekas leida üldlahendi kaudu. Need leiame nii, nagu on näidatud 

näites 1 (v.t. 3. alajuht). 

Võrrandi sin x = 0 lahendid on xn5, n; 

5 

cos x = 0 lahendid on x Гn5, n; 

2 

82


sin x = 1 lahendid on 

5 

x Г2 n5, n; 

2 

cos x =–1 lahendidon x5Г2 n5, n. 

Analoogiliselt saab leida ka võrrandite sin x =–1 ja cosx = 1 lahendid. 

Näide 6. Leiame võrrandi sin 2 x –sinx = 0 lahendid vahemikust ( 2 5;25 

. 

Võrrandi sin 2 x –sinx = 0 esitame kujul 

sin x (sin x – 1) = 0, millest 

sin x = 0 või sin x =1. 

1) Kui sin x = 0, siis x = n5, kus n on täisarv. Vahemikku ( 2 5;25 

kuulub 

kolm lahendit: –5; 0ja5. 

2) Kui sin x = 1, siis 

5 

x Г2 n5, n; 

2 

vaadeldavasse vahemikku kuulub 

kaks lahendit: –1,55 ja 0,55. 

Vastus: otsitavad lahendid on –1,55; –5; 0;0,55 ja 5. 

Näide 7. Lahendame võrrandi 6sin 2 x –sinx· cos x –cos 2 x =3. 

Asendame arvu 3 avaldisega 

2 2 

3sin xГ 

3cos x, saame 

6sin 2 x –sinx· cos x –cos 2 2 2 

x = 3sin xГ 3cos x. 

Toome kõik liikmed vasakule poolele ja koondame sarnased liikmed: 

3sin 2 x –sinx cos x –4cos 2 x =0. 

Tegemist on homogeense võrrandiga, mille lahendamiseks jagatakse 

võrrandi mõlemad pooled cos 2 x –ga(cosx M 0). 

Saime ruutvõrrandi tan x suhtes 

3tan 2 x –tanx –4=0,millest 

5 

tan x = –1, x = arctan(–1) + nπ = Г , 

4 n 5 n ja 

tan x = 4 3 , x =arctan 4 

 

3 

+ mπ, 5 4 

 

Vastus: x Гn5, xarctan Гm5, ( n, m 

4 3 

). 

Näide 8. Lahendame võrrandi sin xГcos x 

2. 

Selle võrrandi lahendamiseks teisendame võrduse vasakut poolt nii, et saaks 

kasutada kahe nurga summa siinuse valemit: 

1 1 

2 

sinxГ 

cosx 

2 2 

2, millest 

83


2 2 

sin xГ 

cos x1. 

2 2 

2 5 5 

Kuna sin cos , siis võime võrrandi ümber kirjutada kujule 

2 4 4 

5 5 

sin xbcos Гcos xbsin 1 

ehk 

4 4 

5 

sin x 

Г 1, 

millest 

4 

5 n 

n 5 5 

xГ ( 1) arcsin1 Гn5 

, n ehk x( 1) Гn5 

, n. 

4 

2 4 

Näidake iseseisvalt, et võrrandi lahendid saab esitada ka kujul 

5 

x Г2 n5 

, n. 

4 

n 5 5 

Vastus: x( 1) Гn5 

, n. 

2 4 

Näide 9. Lahendame võrrandi cos 3x +sin2x –sin4x =0. 

Teisendame vahe sin 2x –sin4x korrutiseks: 

2x4x 2xГ4x 

sin2xsin4x2sin cos 2sinxbcos3 x. 

2 2 

Esialgse võrrandi saab nüüd esitada nii: 

cos 3x –2sinx cos 3x =0. 

Edasi lahendame nii, nagu 5. näites, s.t. 

cos 3x(1–2sinx)=0. 

Lahendades võrrandid cos 3x =0 ja sinx = 1 saame kaks lahendihulka 

2 

5 n5 

k 5 

x Г ja x ( 1) Г5 

k; n, k . 

6 3 

6 

Teine lahendiseeria sisaldub tervikuna esimeses lahendiseerias (veenduge 

selles) ja seetõttu ei pea seda vastuses eraldi välja tooma. 

5 n5 

Vastus: x Г , n . 

6 3 

288. Leidke võrrandi üldlahend ja erilahendid lõigus 5,2 5( 

. 

1) sin x =1 2)cosx = –0,5 3) tan x = 3 

4) cos x = 2009 5) sin (–x) = –1 6) tan x =–1 

289. Leidke võrrandi üldlahend. 

1) sin 3x =0,5 2)cos(3x +1)=0,5 

84


5 3 

3) tan 2x 

Г 

3 

 

3 

 

5) sin 

 

5 3 

x 

6 

 

2 

5 6) cos 

5 

2 

4) sin 4x 

 

4 

 

2 

5 x 

290. Lahendage võrrand, mis teisendub ühele ja samale funktsioonile või 

lahutub tegureiks (v.t. näidet 5) 

1) 2sin x +sin2x =0 2)cos2x +cosx =0 

3) sin 2x =sinx 4) sin 2 x –cos 2 x =0,5 

5) tan 2 x +3tanx =0 6)cos 2 x =sin 2 x 

7) 2cos 2 x =3sinx +2 8)sin 2 x =1+cos 2 x 

291. Lahendage võrrand, mis on homogeenne või teisendub homogeenseks 

(v.t. näidet 7). 

1) sin x +cosx =0 2)cos3x +sin3x =0 

3) sin 2x =cos2x 4) 3sinx 

cosx 

2 2 

5) 2sin xГcos xГ3sin xcosx0 

6) 3sin x cos x +4cos 2 x =0 

292. Lahendage võrrand 2sin 2 x +4cos 2 x = m, kui võrrandi üks lahend on 

60° ja –360° < x < 360°. 

293. Lahendage võrrand sobivalt valitud võtte abil. 

1) sin 2 2 

x =1 2) 4sin x 10 

2 

3) 4cos x4cosx30 

4) 2tan x =sinx 

2 35 

 

3sin x2cos5 

Гx 

1 

5) 9sin x27cos 

x10 

6) 

 

2 

sin xcos 5 Гx 

2 

7) cos xГ120 3 sin x 

, 

2 

2 

8)cos 5x = sin 2x sin 3x 

9) cos 3 sin x +sin 3 x cos x = 1 cos 2x 

10) cos xГsin 

x 4 

1 sin2x 

11) sin 4x +sinx =sin3x +sin2x 

12) cos x cos 4x +sinx sin 4x = sin x 

294. On antud funktsioon f(x)=sinx +cosx. 

1) Leidke funktsiooni f(x) väärtuste hulk 

f( x) 1 

2) Lahendage võrrand ( 2 

3) Arvutage 

11 2 

f 

5 

f 

5 

 

 

 

6 3 

 

 

85


295. Vaatleme funktsioone f(x) =sin2x ja g(x)=sinx. 

1) Avaldage sin 2x suuruse sin x kaudu. 

2) Lahendage võrrand f(x)=g(x) lõigul [0; 25]. 

3) Joonestage ühes ja samas teljestikus mõlema funktsiooni graafik. 

4) Leidke joonise abil need vahemikud lõigus [0; 25], kus f(x) g(x). 

296. Joonestage funktsiooni 

f( x) 

 

1Гsin2xcos2x 

Г 2 

cos x sin x Гcos 2x 

graafik lõigus 

5 5 

 

, . 

2 2 

Võrrelge seda graafikut funktsiooni y =tanx graafikuga. 

 

297. Leidke võrrandi 

2 

sin 

298. Leidke võrrandi sin x sin x 

x sin x lahendid lõigus 5; 5( 

. 

2 ;2 . 

lahendid lõigus 5 5( 

86

Sisukord 

SISUKORD 

1. Reaalarvud ja avaldised 5 

1.1. Tehted harilike- ja kümnendmurdudega 5 

1.2. Tehted ratsionaalarvulise astendajaga astmetega 6 

1.3. Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine 8 

1.4. Tehted juurtega. Juuravaldise lihtsustamine 10 

1.5. Protsentarvutus 14 

1.6. Liitprotsendiline kasvamine ja kahanemine 20 

2. Võrrandid ja võrrandisüsteemid 22 

2.1. Lineaarvõrrandid- ja võrrandisüsteemid 22 

2.2. Ruutvõrrandid ja ruutvõrrandisüsteemid 26 

2.3. Murdvõrrandid 28 

2.4. Absoluutväärtust sisaldavad võrrandid 29 

2.5. Juurvõrrandid 32 

2.6. Eksponent- ja logaritmvõrrandid 33 

2.7. Võrrandite ja võrrandisüsteemide koostamine 40 

3. Võrratused ja võrratusesüsteemid 48 

3.1. Lineaarvõrratused- ja võrratusesüsteemid 48 

3.2. Ruutvõrratus ja murdvõrratus. Intervallmeetod. 51 

4. Aritmeetiline ja geomeetriline jada 56 

5. Funktsiooni uurimine ilma tuletiseta 62 

5.1. Funktsiooni määramispiirkond ja nullkohad 62 

5.2. Lineaar- ja ruutfunktsioon 65 

5.3. Segaülesanded 67 

6. Trigonomeetria 69 

6.1. Põhiseosed ja tuletatud valemid 69 

6.2. Trigonomeetriliste avaldiste teisendamine 73 

6.3. Arkusfunktsioonid 76 

6.4. Funktsioonide omadused ja nende graafikud 78 

175

Sisukord 

6.5. Trigonomeetrilised võrrandid 79 

7. Jada ja funktsiooni piirväärtus 87 

8. Funktsiooni tuletis, selle rakendusi 92 

8.1. Funktsiooni tuletis. Tuletiste tabel 92 

8.2. Joone puutuja ja normaali võrrand 96 

8.3. Funktsiooni uurimine 100 

8.4. Ekstreemumülesanded 108 

9. Integraal ja selle rakendusi 114 

10. Vektorid. Joone võrrand 121 

10.1. Tehted vektoritega 121 

10.2. Sirge võrrand tasandil ja ruumis 126 

10.3. Ringjoone võrrand 131 

11. Planimeetria 133 

11.1. Seosed joonelementide vahel 133 

11.2. Kolmnurk 134 

11.3. Nelinurgad 140 

11.4. Ringjoon, ring, kaar ja sektor 143 

12. Stereomeetria 144 

12.1. Kuup, risttahukas ja rööptahukas 145 

12.2. Püramiid 149 

12.3. Silinder 151 

12.4. Koonus 152 

12.5. Kera 154 

13. Tõenäosusteooria ja statistika 156 

Programmid Wiris ja GeoGebra 162 

Vastuseid 165 

Sisukord 175 

176

siia - Allar Veelmaa Ãµppematerjalid

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?