Matematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g. - PMF

Analitička funkcija kompleksne promjenljive
Cauchyjev teorem
Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i
neka je C zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je
∮
f (z)dz = 0.
C
Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć
Greenove formule:
∮
∫∫ ( ∂Q
P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
∂x − ∂P )
dxdy
∂y
C
int C
i Cauchy– Riemannovih uvjeta.
(Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 1 / 11

Analitička funkcija kompleksne promjenljive
Cauchyjev teorem
Višestruko povezana oblast može
se pogodno izabranim razrezima u
kompleksnoj ravni pretvoriti u
prosto povezanu oblast.
Pozitivan smjer obilaska konture -
pri obilasku po konturi koja je
ograničava, oblast ostaje lijevo.
(Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 2 / 11

Analitička funkcija kompleksne promjenljive
Neodre ¯deni integral
Neka je f (z) neprekidna funkcija u jednostruko povezanoj oblasti D, i
neka je ∮ f (z)dz = 0 za svaku konturu C unutar te oblasti. Definiramo
c
z∫
funkciju F(z) = f (ζ)dζ.
z o
(Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 3 / 11

Analitička funkcija kompleksne promjenljive
Cauchyjeva integralna formula
Teorem: Neka je f (z) regularna u jednostruko povezanoj oblasti D, C
zatvorena kontura unutar te oblasti, a z o tačka unutar te konture.
Tada vrijedi
f (z o ) = 1 ∮
2πi
C
f (z)
z − z o
dz.
(Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 4 / 11

Analitička funkcija kompleksne promjenljive
Posljedice Cauchyjeve formule
Teorem: Neka je f (z) regularna u oblasti D ograničenoj zatvorenom
konturom C i neprekidna u zatvorenoj oblasti D. Tada je u unutrašnjim
tačkama oblasti D funkcija f (z) beskonačno diferencijabilna i njen n− ti
izvod je
f (n) (z) = n! ∮
2πi
C
f (ζ)
dζ.
(ζ − z) n+1
(Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 5 / 11

Analitička funkcija kompleksne promjenljive
Posljedice Cauchyjeve formule
Teorem (Morera): Neka je f (z) neprekidna f-ja kompleksne
promjenljive
∮
z u jednostruko povezanoj oblasti D, i neka je
f (z)dz = 0 za svaku zatvorenu konturu C u oblasti D.
C
Tada je f (z) regularna u oblasti D.
Ovaj teorem se još naziva obrnuti Cauchyjev teorem.
Teorem (Liouville): Neka je f (z) regularna i ograničena u cijeloj
kompleksnoj ravni. Dakle, ∃M > 0 takvo da je |f (z)| ≤ M ∀z ∈ C.
Tada je funkcija f (z) konstantna.
(Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 6 / 11

Redovi sa kompleksnim članovima
Redovi sa kompleksnim članovima
∞∑ ∑
c n , S N = N
n=1
c n
n=1
(N− ta parcijalna suma)
∑
Red ∞ c n konvergira i ima sumu S ako |S N − S| → 0, N → ∞.
n=1
∑
Neka je a n = Re c n , b n = Im c n . Red ∞ c n konvergira akko
n=1
∞∑ ∞∑
konvergiraju redovi a n i b n .
n=1 n=1
Cauchyjev kriterij: ∀ε > 0 ∃N(ε) takvo da je
∣
∀n > N(ε) ∀p > 0.
n+p ∑
k=n+1
c k
∣ ∣∣∣∣
< ε
(Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 7 / 11

Redovi sa kompleksnim članovima
Redovi sa kompleksnim članovima
Brojni redovi. Primjer: Geometrijski red ∞ ∑
Za |c| < 1 vrijedi
∞∑
n=0
c n = 1
1−c
c n
n=0
Funkcionalni red: red čiji su članovi funkcije w n (z):
Primjer:
Stepeni red ∞ ∑
n=1
∞∑
w n (z) = f (z).
n=1
c n − kompleksne konstante.
c n z n ∑
, ili, općenito ∞ c n (z − z o ) n ,
n=1
(Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 8 / 11

Redovi sa kompleksnim članovima
Ravnomjerno konvergentni funkcionalni redovi
n− ta parcijalna suma funkcionalnog reda: f n (z) =
n ∑
k=1
w k (z).
∑
Funkcionalni red ∞ w n (z) ravnomjerno (uniformno) konvergira u
n=1
oblasti D ka f (z), ako ∀ε > 0 ∃N(ε) takvo da |f n (z) − f (z)| < ε
∀n > N(ε) ∀z ∈ D.
(N zavisi samo od ε, a ne i od z.)
Weierstrassov kriterij: Ako za svako n i ∀z ∈ D vrijedi |w n (z)| < a n i
∑
brojni red ∞ ∑
a n konvergira, onda funkcionalni red ∞ w n (z)
n=1
konvergira ravnomjerno u D.
n=1
(Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 9 / 11

Redovi sa kompleksnim članovima
Ravnomjerno konvergentni funkcionalni redovi
Ravnomjerno konvergentni funkcionalni red neprekidnih funkcija
ima kao sumu neprekidnu funkciju.
Ravnomjerno konvergentan funkcionalni red neprekidnih funkcija
može se integrirati član po član.
∫ ∞∑
∞∑
∫
[ w n (z)]dz = w n (z)dz
c
n=1
n=1 c
Suma ravnomjerno konvergentnog reda regularnih f-ja je
regularna f-ja.
Ravnomjerno konvergentan funkcionalni red regularnih funkcija
može se derivirati član po član.
d
dz
∞∑
w n (z) =
n=1
∞∑
n=1
dw n (z)
dz
(Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 10 / 11

Redovi sa kompleksnim članovima
Razvoj funkcije u red
Razvoj regularne funkcije u Taylorov red.
∑
f (z) = ∞ a n (z − z o ) n , a n = 1 ∮
2πi
n=0
C
f (z)
(z−z o) n+1 dz
Razvoj funkcije oko izolovane singularne tačke u Laurentov red.
∑
f (z) =
∞ a n (z − z o ) n , a n = 1 ∮
2πi
n=−∞
C
f (z)
(z−z o) n+1 dz
(Matematičke metode fizike II) 3. predavanje 11 / 11