Zadaci 2 - PMF

Pretpostavimo da elektromagnetno polje interaguje sa nekoliko atoma čiji vektori μ21su orjentisani na proizvoljan način u odnosu na vektor E 0. Tada se srednja vrijednost0H 21 ′2 dobija usrednjavanjem (19) po svim mogućim cos 2 θ. Pošto je svaki od uglova θjednako vjerovatan, to jeuglaste zagrade označavaju srednju vrijednost, pa je:2ππ12 1 21∫ ∫ ∫ = , gdjecos θ = dϕ cos θ sin θ dθ= u du4π20 0 −12 102 1 2 2H′ 21= E0 μ21. (20)3Uvrštavajući (20) u (18), i uzimajući u obzir osobinu δ -funkcije1δ ( ω − ω0) = δ ( ν − ν0), dobijamo:2πWπ= − ). (21)3h22 212E0 μ2 21δ ( ν ν0Povežimo ovaj izraz sa gustoćom energije ravnog elektromagnetnog talasa. Ona je, na1 2 2osnovu relacije (2.1), data sa w= ( εE + μH), što se, koristeći vezu jačina2električnog i magnetnog polja: ( ) 1/2elektromagnetni talas jeperiodu T = 2 π / ω ,2H = ε / μ E , može napisati kao w= ε E . Za ravniE= E sinωt0, tako da je gustoća energije, usrednjena poTT2 2 2ε0ω ε0T0 01 1w= wdt = E sin t dt = E / 2T∫ ∫ . Za μ = μ0, na osnovu222εμ v = 1,εμ c = i v n= c, je ε = ε 0n , tako da je:w0 01ε20 2 2= n E0, (22)gdje je n indeks prelamanja atomskog sistema. Uvrštavajući (22) u (21), dobijamo da jevjerovatnoća apsorpcije u jedinici vremena fotona frekvencije ν atomom koji sekarakteriše frekvencijom ν = E −E h i koji je obasjan ravnim monohromatskim( )0 2 1/elektromagnetnim talasom frekvencijeW221( ν ) w( ν) δ ( ν ν )12 2 203ε0hnν i gustoće energije w( ν ) , data sa:22πμ= − . (23)Ova formula, u granicama aproksimacije koju smo koristili, vrijedi samo za ravnielektromagnetni talas konstantnog intenziteta i frekvencije. Na osnovu osobine⎧0, x ≠ 0Diracove δ -funkcije: δ ( x)= ⎨ , dobija se da je za ν = ν0, tj. kada se⎩ ∞ , x = 0frekvencija elektromagnetnog talasa podudara sa frekvencijom atomskog prelaza,W12=∞, a za ν ≠ ν0je W12= 0 . To je fizikalno neprihvatljivo. Ako se vratimo namjesto gdje smo uveli δ -funkciju (jednačine (17) i (18)), vidimo da smo je dobili zat →∞. Time smo pretpostavili da je interakcija elektromagnetnog talasa i atomskogsistema ista u svakom trenutku, što naravno nije tačno. Elektromagnetni talas sa tačkegledišta atoma nije monohromatski. Zato je pravilnije posmatrati relaciju (23) kao vezu39

vjerovatnoće Wν,12dν apsorpcije (u jedinici vremena) fotona frekvencije iz intervalaν, ν + d ν sa spektralnom gustoćom energije w ν, a δ -funkciju, koja je idealizacija,zamijeniti sa stvarnom formom spektralne linije g( ν , ν0 ) (vidjeti odjeljak 2.3). Tako sedobija jednačina (2.45) sa predavanja:222πμ21ν,12 2 203ε0hn( , )W d ν = g νν w d ν, (24)νšto smo i željeli izvesti.Napomenimo da se izraz za vjerovatnoću stimulisane emisije može izvesti naanalogan način, polazeći od (9), ali uz početni uslov različit od (10): a 1 ( 0)= 0,a 2 ( 0)= 1.Traženi rezultati se mogu dobiti jednostavnom zamjenom indeksa 1 i 2.Kao dodatak ovom zadatku navešćemo neke od osobina δ -funkcije. Vrijedi:ω2⎧1 za ω1 < ω0 < ω2∫ δ ( ω − ω0) dω=⎨, δ ( ω− ω0) = δ ( ω0− ω),0 za ω0 ≤ω1 ili ωω0≥ω21⎩1 ωδ ( ω bω0)δ ⎛ ⎞− = ⎜ −ω0⎟( ) δ ( ω1− ω) + δ ( ω2−ω)δ ω1−ω ω2− ω =.b bω −ω⎝ ⎠ , ( )( )1 2Pored jednačine (17), postoje i druge reprezentacije δ -funkcije. Npr.:T1 i( ω−ω0) t1 εδ ( ω− ω0) = lim e dt2πT ∫ , δ ( ω − ω0 ) = lim.02 22π ε →ω − ω + εAko je ( )ωω→∞− T( )f ω proizvoljna funkcija ω, nesingularna pri ω = ω 0, tada vrijedi:2 2⎡⎣( ω−ω0)( − )ω22 sin t / 2⎤f ( ω ) δ ( ω− ω ) dω = lim f ( ω⎦)dωt∫ ∫ =0 2π t →∞1 ω ω ω10( ω −ω)( x )2 0 t2 ∞ 22 ⎛ x ⎞2lim ⎜ 0⎟2( 0)t→∞2( 1 0)t x πxω −ωt ⎝ ⎠−∞0( x )sin / 2 sin / 2= f + ω dx=f ω dx f ω0π ∫ ∫ =ω ω ωza1 0( )<

4πεΨ =Ψ = = =ε h2 23−1/2−r/a00 01S 100 ( r, θϕ , ) ( πa 0 ) e , a0 22meeπ mee(): Bohrov radijus. (1)Stanje 2P n= 2, l = 1, m=−1,0,1je trostruko degenerisano ( g 2= 3). Valne funkcijesu:r5−1/2−2a0210 ( r, , ) ( 32 a0 ) r e cosr5−1/2−2a0211 ( r, , ) ( 32 a0 ) r e sin cosr5−1/ 2 −2a021−1 ( r, θ , ϕ) ( 32πa 0 ) r e sinθsin2ππ∞2∫ ∫sin ∫ nlm, , = 1.0 0 0Ψ θϕ = π θΨ θ ϕ = π θ ϕ . (2)Ψ = ϕ2Funkcije stanja su normirane na jedinicu: dϕ θ dθ r drΨ ( r θ ϕ)Frekvencija koja odgovara spontanoj emisiji pri prelazu 2P →1S je, na osnovu21 jednačina (2.29) i (2.23) [ νnm= ( En −Em)/ h i En=− ], data sa:2 22n mea021 1 h ⎛ 1 ⎞ 3h15 −1ν0 = ν21 = ( E2 − E1)= 1 2,467 38 10 s2 2 ⎜− + ⎟= = ⋅ . (3)2 2h h 8πm a ⎝ 4 ⎠ 32πm aNa osnovu formule (2.47c):Anme0 e 016 g= , traženi Einsteinov koeficijent,3επ 3m 2μ3 mnnν300hcgnuzimajući u obzir da je indeks prelamanja sredine n = 1, i da jegn= g =23A, dat je sa:32 321μ3 12ν09ε0hcgm= g =1116π= . (4)U jednačini (4) μ 12je modul matričnog elementa električnog dipolnog momenta: μ * 2 212= dr Ψ1Ser Ψ2P, μ12 = μ12, x+ μ12, y+ μ212, z. Za stanje Ψ210je:∫( ) 1/2⎛ μ ⎞ ⎛ersin θ cos ϕ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜μ ⎟=ϕ θ θ π⎜θ ϕ⎟π⎜⎝μ⎠12, x 2ππ∞r r2( 3 −1/2 −a1/20 2 0d sin d r dr a ) e ersin sin ( 32 a 5 − −a∫ ∫ ∫ ) r e cosθ .12, y0 0⎟ 0 0 0⎜ercosθ⎟12, z⎝⎠Pošto je:2π 2π 2π∫ dϕ cosϕ = ∫ dϕsinϕ = 0, ∫ dϕ= 2π, to je:0 0 015∞3rπ1/222a0( 2 8 −)4 −2 212=12, z= 2 32 a0e∫dr r e ∫d sin cos = ea5 030 0μ μ π π θ θ θ 4! 253( 3/ ( 2a0)). (5)i11

Isti rezultat se može dobiti i za ostala dva stanja 2P, tako da je Einsteinov koeficijent zaprelaz iz 2P stanja (210), (211) i (21-1) u 1S stanje (100) tri puta veći od onoga da togsa (4) uz (3) i (5), tj.:2 2 3 h 2 h eA = π→A = e= = ⋅ . (6)4 3 15 3 3 4 2 22 2 8 −12P 1S3213 a2 3 10 06,277 10 s15 6 3 6 8 3 3 3 43 ε0hc 3 2 π mea0 3 π ε0c mea0Vrijeme života 2P stanja je: τsp1−9= = 1,593⋅ 10 s .A2P→1SZadatak 2.8. Naći vezu presjeka prelaza i spontanog vremena života.Rješenje: Na osnovu slijedećih relacija:2hν8πν0σnmν = Bnmg ν,ν ), (2.43): Anm = 1/ τsp, nm = Bnm3 hν0, je:vv(2.52) i (2.53): ( ) ( 0hνBnmg( νν ,0 ) 2λσnm ( ν)τsp, ν= v = g2( ν,ν0),⎛ν⎞ hν8πBnm8π⎜ ⎟⎝v⎠ vgdje je λ = v / ν talasna dužina zračenja u sredini sa indeksom prelamanja n= c/ v .Ovaj izraz se može iskoristiti za izračunavanje vrijednosti presjeka σ, na osnovupoznatog τ sp. Ako se gornji izraz integrira po frekvenciji i iskoristi osobina funkcijeg ( ν,ν0 ) , koja je slična δ -funkciji, ( ) ( 22∫ dν g νν ,0/ τsp, νν ) = 1/ ( τν, nmν0)spontano vrijeme života može izračunati po formuli:( int)nmnm( )σ = ∫ dνσ ν integralni presjek prelaza.τsp, nm, dobija se da se2λ0= , gdje je:( int)8πσZadatak 2.9. Na kratkim talasnim dužinama preovladava mehanizam prirodnogširenja linija. Pokazati da je u tom slučaju maksimalni presjek za apsorpciju dat sa:σ = λ 2/ max 0 ( 2π) .Rješenje: Na osnovu rezultata prethodnog zadatka i rezultata odjeljka 2.6, presjekza apsorpciju je:hνσmnνnmν ν0vgg1τn( ) = B g( , ) = g(msp, ν2λ8π0)ν,ν . (1)Forma linije koja odgovara prirodnom širenju linije (homogeno širenje - Lorentzovaforma - jednačine (2.32) i (2.33)) je:g1 Δν/21νν , =, 2 πΔ ν = . (2)( )0,NN 0 20,Nπ/2 τsp,nm2( ν − ν0) + ( Δν0,N)Jednostavnosti radi, pretpostavimo da su stepeni degeneracije nivoa n i m gn= 1=gm.Tada možemo izostaviti indekse m, n i jednačine (1) i (2) zajedno pisati kao:nm12

2 2λ 1 Δν0,N/2λσ ( ν)= 2 π Δ ν0,N =2 228 π π ( ν − ν0) + ( Δν0,N /2)⎡ ⎛ ν −ν⎞ ⎤02 π ⎢1+ ⎥⎢ ⎜Δν0,N/2⎟⎝ ⎠ ⎥⎣⎦2λ0σ ν0 = = σmax.2πodakle je: ( ),Zadatak 2.10. Izračunati koeficijent pojačanja u centru (prirodno proširene) linije3+rubinskog lasera (kristal Al2O3legiran jonima Cr ) sa slijedećim karakteristikama:17 −311−314Δ N = 510 ⋅ cm , Δ ν = 1,273⋅10 Hz (pri 300 K) , τ = 310 ⋅ s, ν = 4,326⋅10 Hz ,n = 1,77392 .Rješenje: Prema relacijama (2.52) i (2.58) koeficijent pojačanja je (izostavljamoindekse n i m i pretpostavljamo da je g = 1 = g ):nhνγ ( ν) = σ ( ν) Δ N = B g( ν,ν0) ΔN, (1)vgdje je Einsteinov koeficijent B povezan sa spontanim vremenom života τ = 1/ A,formulom (2.43b):28πν0A=B hν3 0, (2)va za prirodno proširenu liniju, za centar linije je:( , )g ν ν0 00m2= . (3)π ΔνDakle, na osnovu (1), (2) i (3), za ν = ν0je:3v 11 2 ΔNγ ( ν)= Δ N =8k2v Δ Δ2πν τ π ν τ νgdje je: k = 2 πν n/c modul valnog vektoraprelamanja. Odatle je:, (4)17510 ⋅γ ( ν)= =142⎛2π⋅4,326⋅10 ⋅1,77392⎞ −3 11⎜3 10 1,273 1010 ⎟ ⋅ ⋅ ⋅⎝ 2,9979⋅10⎠2π ω 2πνk = = = , v = c/n, n – indeksλ v v−1 −1cm 0,0506 cm .Dakle, intenzitet zračenja sa frekvencijom koja odgovara centru (prirodno proširene)linije prelaza, pojačava se približno za 5% pri prolazu zračenja kroz jedan centimetarrubinskog štapića.13